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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

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in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/s2bulletindessci24fran 



73^ 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES. 



MM. 11 ERMITE, président. 
BERTRAND. 
DARBOUX. 
11. POINCARÉ. 
J. TANNER V. 
FOUSSEREAU, secrétaire. 



AVIS. 

Toutes les communications doivent être adressées à M. Dnrboux, Membre 
de l'Institut, rue Gaj-Lussac, 36, Paris. 



28260 Paris — Imprimerie CAIJTIIIER-VILLARS, quai des tJrands-Auguslins, 5i 




inr.LioTiiÈolJi-: dk lkcole des iivuTiis études, 

PLIiLIKIi SOUS M:S AUSI'ICKS Di; MlMSrKRIi: DE LI.NSTllUCTIO.X l'IllLIQ L IJ. » 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES, 

ni^DlGÈ PAU xM.M. GASTON OARBOUX ET JULKS TANM-RV, 

AVEC LA CULLABORATION UE 

MM. Cil. AXDRK, BOUGAIEFF, BROC.\RD, nUUXEL, 

COURSAT, Cil. HENRY, G. KŒXIGS, LAISANT, LAMPE, LESl'IAULT, MAXSIÛX, MOLK, 

POKROVSKY, RADAU, RAYET, RAFFY, 

S. RIXDl, SAUVAGE, SCIIOUTE, P. TAXNERY, ED. WEYlî, ZEUÏIIEX, ETC., 

Sous la direction de la Commission des Hautes Études. 

PlJBLICATIO\ FOXDÉE E.\ 1870 l'VK MM. C. DARttOt.V ET J. HOll-L 
ET CONTINUÉE DE 187G A I 88G PAR M.M. G. DARBOUX. J. IIOLEL ET J TANNERV. 



DEUXIEME SERIE. 
TOME XXIV. — ANNÉE 1900. 

(tome .\xxv de la collection.) 



PREMIERE PAHTIE. 





PARIS, 

GAUnilEn-VJLLARS, I.MPRIMEUR-LIRRAIRE 
nu iiURKAu DES i.oN(; nu i)i; S, de 1/ école polytechnique. 

Oii:ii lies rrramls-Aiigiislins, 55. 

1900 



/ 



^. o^ 



BULLETIN 






SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



PREMIERE PARTIE. 



COMPTES KENDUS ET ANALYSES. 

W. DE TAXNENBERG. — Sur les applications géométriques du Calcul 
DIFFÉRENTIEL. — i Vol. in-8°, 1 92 p. Parls, A. Ilermann; 1899. 

Le Volume ([iie vient de faire paraître ^L de Tannenberg, sous 
un titre modeste, contient toutes les notions qui sont nécessaires 
à ceux qui veulent entreprendre une étude approfondie de la 
théorie des courbes et des surfaces : il a le grand mérite d'une 
extrême clarté; les propositions qu'il renferme sont très nom- 
breuses, malgré son petit nombre de pages, et cependant leur 
abondance n'est pas une cause de fatigue pour l'esprit, parce 
qu'elles se présentent de la façon la plus naturelle, et que leur 
démonstration est simple, en même temps que rigoureuse. 

M. de Tannenberg fait naturellement porter son étude sur les 
lignes courbes et les surfaces dont les points ont des coordonnées 
cartésiennes développables en séries entières, ordonnées suivant 
les puissances croissantes d'une variable ou de deux variables 
indépendantes. Son Ouvrage est fort judicieusement divisé en 
cinq Parties : les deux premières sont consacrées aux propriétés 
descriptives des courbes et des surfaces, la troisième aux pro- 
priétés métriques des ligues, la (piatrièmc aux propriétés mé- 



6 l>HEailÈHE l'AirriE. 

triques des surfaces réglées, la cinquième, enfin, aux propriélés 
métriques des surfaces courbes. 

Dans les deux premières Parties, l'auteur définit la tangente et 
le plan osculaleur à une courbe, le |)lan tangent à une surface, les 
enveloppes de droites et, plus généralement, de courbes dépendant 
d'un paramètre, les enveloppes de surfaces à un ou deux para- 
mètres; enfin, il indique les notions fondamentales relatives aux 
congrncnces et complexes de droites. 

Dans la troisième Partie, les formules relatives au trièdre trirec- 
langle fondamental attaché à une courbe reçoivent leur complet 
développement et donnent lieu à d'intéressantes applications. 
Celles-ci se continuent naturellement dans la quatrième Partie, 
consacrée aux propriétés métriques des surfaces gauches et déve- 
loppables. 

La cinquième Partie est la plus importante. On y trouve d'abord 
la définition des six fonctions caractéristiques d'une surface et les 
relations fondamentales qui existent entre ces fonctions; les pro- 
priétés infinitésimales des courbes tracées sur une surface viennent 
ensuite ; l'élude des lignes asjmptotiques et des lignes de courbure 
d'une surface, celle des lignes géodésiques et des congruences de 
normales forment des applications immédiates des théories géné- 
rales précédemment exposées. H. A, 



STOLZ (0.). — GUU.M)/. GE DEK DllFKRKNTIAI.- t'M) InTI'(;U Ar.Ri: CIINUNG. 

DritLer Tlicil : Die Lelire von dcii Doppeiinle'^valcn. Kinc Eri^anzinig ziiin 
crstcii Thcil des Wcrkcs. i Vol. in-8'\ vin-'icjG p. Leipzig, Tciibncr; 1891J. 

Il est à peu près inutile de dire que l'on trouvera dans ses 
Leçons sur les intégrales doubles, comme dans les Leçons qui 
])récédaient, ce souci de la parfaite rigueur qui distingue en 
général les éeiits de ^L O. Slolz : non seulement AL Stolz cherche 
la rigueur, mais il cherche aussi à donner auK conditions sous les- 
quelles les tliéorèmes qu'il établit sont vrais, toute l'extension 
dont ces théorèmes sont susce|)tibles. Sans doute, cette dernière 
recherclie est moins indispensable que la rigueur, et l'on conçoit 
des enseignements ou l'on s'en passe, pour aller plus vite et liabi- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 7 

tuer plus tôL les éludianls au maniement de l'outil qu'on leur met 
entre les mains; lonleCois, l'esprit n'est pleinement satisfait que 
lorsque cette recherche a ahouli, et l'enseignement des proposi- 
tions à la vérité desquelles il est impossible d'assigner des condi- 
tions nécessaires et suffisantes a évidemment un caractère d'autant 
plus scientifique que les conditions suffisantes sont plus larges : 
le bénéfice est entier si la plus grande extension obtenue dans ces 
conditions n'alourdit ni l'énoncé ni la démonstration. 

Parmi les travaux qu'il a utilisés pour son exposition et qii il 
cite tous avec grand soin, M. Stolz signale particulièrement le 
Mémoire que M. de la \ allée-Poussin a publié en 1892, dans le 
Journal de Crelle, et où il s'est occupé de la transformation des 
intégrales doubles impropres en deux intégrales simples. 

Le présent Volume contient quatre sections. La première se 
rapporte aux- intégrales définies doubles, prises entre des limites 
fixes, considérées comme le résultat de deux intégrations succes- 
sives; les propositions concernant lintégration et la diflérentia- 
tion sous le signe f y trouvent leur place, et le cas où la quantité 
sous le signe f devient infinie y est étudié avec soin, ainsi que le 
cas des limites infinies. 

Dans la seconde section, Fauteur traite de l'intégrale double en 
elle-même et en donne la définition comme limite de somme, ana- 
logue à la définition classique de fintégrale simple. La notion de 
domaine d'intégration (Z^(?/-e/c/i) qui se substitue alors à celle de 
l'intervalle entre les limites, entraîne quelques longueurs, si l'on 
veut définir abstraitement ce qu'est un contour, l'intérieur d'un 
contour, le sens dans lequel on parcourt ce contour, etc. ; M. Stolz 
évite ces longueurs en faisant un légitime appel à l'intuition géo- 
métrique. Cette notion admise et la décomposition de l'aire en 
petites parties une fois expliquée, les notions d'intégrale supé- 
rieure et inférieure s'introduisent naturellement, ainsi que les 
conditions d'existence d'une véritable intégrale double. 

L'auteur montre ensuite comment une telle intégrale se ramène 
à deux intégrales simples, traite du théorème de Green et du chan- 
gement de variables. Tout ceci concerne les intégrales propres, 
c'est-à-dire portant sur des fonctions qui restent iimitées dans une 
aire qui est elle-même limitée. Les intégrales impropres sont 
approfondies dans la section sui\aulc. 



8 PREMIERE PARTIE. 

La dernière section, enfin, se rapporte aux applications géomé- 
triques; il convient de signaler en particulier le soin avec lequel 
l'auteur définit Taire d'une portion de surface courbe. 

Le Livre se termine par un Appendice à la première Partie, 
relatif aux ensembles de points, aux intégrales supérieure et infé- 
rieure d'une fonction d'une vaiiable, et à la notion générale d'in- 
tégrale définie (simple) absolument convergente pour un inter- 
valle iini. 

M. Stolz a enriclii son exposition d'un assez grand nombre 
d'exemples, bien choisis pour en éclairer les points principaux. 

J. T. 



Alois WALTER. — Théorie der atmospharischen Strahlenbrechlng. 
In-8", viii-74 l>. Leipzig, Teubncr; 1898. 

Dans ce petit Volume, j\L Walter s'est proposé de traiter com- 
plètement le problème de la réfraction atmosphérique teriestre, 
dont la réfraction astronomique n'est qu'un cas particulier: ce qui 
caractérise sa méthode, c'est la distinction qu'il établit tout d'abord 
entie la mise en œuvre des données purement géométriques du 
problème et celle des données physiques et météorologiques. 

Dans la première Partie de son Ouvrage, -après avoir admis la 
loi de la réfraction de la lumière et l'identité des conditions phy- 
siques de l'atmosphère en des points d'égale altitude, l'auleur éta- 
blit un certain nombre de développements en séries de puissances, 
permettant de résoudre toutes les questions relatives à la réfrac- 
lion, indépendamment de toute hvpolhèse faite sur la loi de varia- 
tion de l'indice avec l'altitude : les formules ainsi obtenues ren- 
ferment naturellement des coeflicients purement numériques 
indéterminés, appelés les coejjicients de refraction, et le premier 
d'entre eux joue un rôle prépondérant, qu'il est facile de mettre 
en évidence. Des applicalions à des cas particidiers montrent bien 
l'importance des résultats acquis par cette voie très simple. 

Dans la seconde Partie, M. Walter liimène la déleiminalion des 
coefficients de réfraction à celle de la loi de variation de la tempé- 
rature avec l'altitude, et discute les principales hypothèses faites 
sur celle loi jusqu'à maintenant. En particulier, il étudie le pre- 



COMPTKS HENDUS ET AxNALYSES. () 

mier coefficient de réfraction, et montre comment sa valeur dé- 
pend, pour une part essentielle, de la variation que subit la tem- 
pérature, quand on s'élève d'un mètre dans l'atmosphère, au lieu 
d'observation. Ce nouveau nombre dépend des conditions météo- 
rologiques réalisées au lieu de l'observation; une série de nom- 
breuses expériences serait nécessaire pour pcrmetlrc de lui attri- 
buer, selon les circonstances, une valeur déterminée avec quclcpie 
certitude. 

Le Livre de M. Waller est rédigé avec une grande netteté et 
renferme de nombreuses indications bibliographiques : la lecture 
en sera profitable à tous ceux qui s'intéressent à. la Géodésie et à 
l'Astronomie. H. A. 



STAHL (H.). — Elliptische F"unctione.\. Forlesuugen von Bernliard 
Rieraann. i Vol. in-8°, vii-144 p. Leipzig, Teubner; 1899. 

Ces Leçons seront les bienvenues : outre le grand intérêt histo- 
rique qui s'j attache, elles constituent encore uji cadre excellent 
pour l'exposition de la théorie des fonctions elliptiques, et leur 
brièveté même fait admirablement ressortir tout ce qu'il y a d'es- 
sentiel dans cette théorie. On saura certainement gré à M. Her- 
mann Stahl du soin qu'il a apporté à leur publication. 

Elles font partie, nous dit-il, d'un Cours que Riemann a fait 
« sur les fonctions d'une variable complexe, en particulier sur les 
fonctions elliptiques et abéliennes ». L'illustre géomètre a donné 
cet enseignement deux fois, sous des formes diflérentes, d'abord 
dans les deux semestres de l'année i855-i856, puis dans les deux 
semestres de l'année 1861-18G2. Dans ce Cours, les Leçons sur les 
fonctions elliptiques faisaient un tout et pouvaient être facilement 
séparées. Le texte de Riemann a été, autant que possible, con- 
servé; pour la commodité du lecteur, M. Stahl a dii faire quelques 
changements de notations, quel([ues remaniements dans l'ordre 
des matières; il a enfin inlrotluit une division en cinq sections et 
vingt-deux paragraphes. 

\\ a eu à sa disposition des notes et des rédactions de Hatten- 
dorf, Prvm, Schering, Dedekind; reçu des renseignements de 



10 PREMIÈUE PAIITIE. 

MM. Rlein, Schilling, H. Weber. L'édilion que publie M. Her- 
mann Stabl se présente avec les meilleures garanties. 

Les Leçons de Riemann, proprement dites, tiennent soixante- 
douze pages. Elles sont essentiellement fondées sur les propositions 
de Lioiiville et la méthode propre de l'auteur pour la représenta- 
tion des fonctions d'une variable complexe. Sauf l'introduction de 
cette méthode, elles ne sont pas sans analogie, par leur esprit et 
leur suite, avec la première édition du Traité de Briot et Bouquet. 

Après avoir établi qu'une fonction doublement périodique de- 
vient nécessairement infinie dans le parallélogramme des pé- 
riodes, et montré, par la considération de l'intégrale prise le long 
de ce parallélograniMie, que la somme des résidus est nulle, que le 
nombre des pôles est égal à celui des zéros, après en avoir conclu 
la classification des fonctions doublement périodiques d'après 
leur ordre, Riemann s'occiqîe des fonctions doublement pério- 
diques du second ordre. Si '-p(t') est nne telle fonction, avec les 
pôles simples v\, r',, le fait que la fonction cp(p', + (/, — v) — «(<') 
ne devient pas infinie suffit à montrer que cette fonction est nulle; 
on déduit de là aisément les zéros de la dérivée, puis l'équation 
difTérenlielle que vérifie 'f(t'); inversement, une équation du type 
considéré définit '-^{i') comme limite supérieure d'une intégrale de 
première espèce. En même temps, la représentation conforme du 
parallélogramme des périodes sur le j^lan conduit de suite à la sur- 
face à deux feuillets T, qui, |)ar l'introduction de deux coupures, 
devient une surface T' simplement connexe. 

Une transformation rationnelle permet de substituer à la rela- 
tion entre les deux variables z, s 



Ao52 -I- 'iX^S -h A, 

ents s( 
forme normale 



dont les coefficients sont du second degré en z, une relation de la 



jr = \/x(\ — T ) {l — k-X) = ^{X, k). 

La considération de Tinlégrale de première espèce conduit 
immédiatement à la définition des fonctions su ?/, en ?/, du?/, et 
les intégrales ])rises le long des coupures de la surface T' four- 
nissent les modules de périodicité. Riemann se j)lace dans le cas 
où A- est réel, compris entre o et i . Il a m;iintenant tout ce qu'il 



COMPTIiS IIIÎNDUSIÎT ANALYSES. n 

lui faut pour faire la représenlalion conforme sur le parallélo- 
gramme des périodes de la surface T' et des quatre parties dans 
lesquelles elle est divisée par les axes des quantités réelles et 
purement imaginaires. 

En observant que la différence 



1 1 






reste finie pour toutes les valeurs de «, Riemann est conduit aux 
formules de décomposition en fractions des fonctions sn, en, dn, 
à la représentation de ces fonctions par des séries trigonomé- 
triques.En construisant de même une fraction dont le numérateur 
et le dénominateur soient des produits infinis en s qui admettent 
pour zéros, Tun les zéros, l'autre les pôles de sn;^, il obtient de 
même les trois fonctions sous formes de quotients de fonctions 
entières, et c'est ainsi que s'introduisent les fonctions .-^ dans sa 
théorie. 

Après avoir établi les propriétés élémentaires de ces fonctions, 
Riemann montre comment elles permettent l'intégration d'une 
fonction doublement périodique quelconque, en construisant, au 
moven de ces fonctions, de leurs logarithmes et de leurs dérivées, 
une expression dont la dilférence avec l'intégrale considérée reste 
uniforme et continue dans le parallélogramme des périodes et 
s'augmente de quantités constantes quand on augmente la variable 
de 2R ou de 2/K'. Tl est inutile de dire que sa méthode revient à 
cette décomposition en éléments simples dont jM. Hermite a mis 
en pleine lumière le rôle fondamental. Riemann a[)[)lique cette 
méthode à l'intégrale de troisième espèce. 

Pour parvenir aux ihéoièmes d'addition, Riemann observe 
d'abord la composition de toute fonction doublement périodique 
admettant les périodes 2K, 2fK', an moyen de .r:=sn-« et 
de y = y/(.r, A"), ou, ce qui revient au même, de sn- u et de sa 
dérivée, en particulier, la composition des fondions paires et des 
fonctions impaires. Remarquant ensuite que Ton peut déduire 
aisément une fonction paire ou une fonction impaire d'une fonction 
doublement périodique quelconque, il applique cette remartpie 



12 PREiMIÈKli PAUTIE. 

aux fondions 

sn(u-hv) en ( Il -h v) <\n(u-^v) 

snii en u cl nu 

et détermine ensuite aisément les formes des fonctions paires et 
impaires qu'il en déduit, d'où les formules d'addition. 

Il pose ensuite le problème de la transformation, montre com- 
ment il conduit aux relations linéaires entre les périodes, com- 
ment, enfin, il se ramène à la recherche des transformations ration- 
nelles, les deux fonctions ayant une période commune, tandis que 
les autres différent par un facteur entier. La multiplication est 
regardée comme un cas particulier. 

La dernière Partie des Leçons, tirée d'un autre Cours, est l'es- 
auisse d'une théorie des fonctions doublement périodiques où l'on 
prendrait pour point de départ les fonctions 2r, introduites 
a priori : une telle exposition a, comme l'on sait, été l'objet d'un 
Cours de Jacobi en i838. M. Stahl pense, d'après M. Dedekind, 
que Riemann n'a pas connu directement les Leçons de Jacobi (* ) et 
qu'il a tiré les formules fondamentales du Mémoire de Rosenhain 
{Afém. des savants..., t. IX; i85i). Le nombre de zéros est déduit 
de la considération de l'intégrale /t/log S (t^). Considérant ensuite 
les fonctions 

\%i^Y [hMV ihin^' 

dont les périodes sont i et z, qui sont du second ordre et dont on 
reconnaît de suite les zéros et les pôles, Riemann observe que 
chacune des fonctions prend une valeur donnée en deux points 
symétriques par rapport au centre du parallélogramme, et il en 
conclut aisément qu'elles sont des fonctions linéaires de l'une 
d'entre elles ; on peut représenter ces fonctions, respectivement 
multipliées par des constantes convenables a-, b-, c-, par x, 

I — .r, 1 — k-x: la dérivée -?- est une fonction doublement pério- 
' ' dv ' 

dique du troisième ordre dont on reconnaît aisément les zéros, 



(') Œuvres, l. I, p. 3oi, publices en iS8i. 



r.().MPTi:S H KM) us l'T AXALVSKS. i3 

doîi l'cqnalioii (lidV'i'oiil icllc 

/-. d-*^ /—, i 

on aperçoit dès lors le |)assage aux fonctions de Jacobi et le moven 
de déterminer les diverses conslanles. 
La fonction 

loi; Q {u — a ) — Xo'^Q {u — b ). 

lorsqu'on augmente ii de aK ou de 2iK', s'augmente d'une quan- 
tité constante. On en déduit qu'elle est l'intégrale d'une fonction 
algébrique de %nu. En partant de là, Piiemann obtient aisément la 
relation 

loge {il — a) — log0(M -h a) — I o(u)du, 

OÙ 

Csn-zt ^ 

«i(«) = — 7, r-. r777--f-G, ; 

sn2« — sn-(a-f-iK) 

la détermination des constantes C, Ci le conduit à l'intégrale de troi- 
sième espèce U(a, a) et au théorème de l'échange du paramètre et 
de l'argument. La méthode se généralise de manière à fournir, 
sous la forme 

A,log 6i(u — ai)~- . . . -h A„i log0(« — a,,,) Ait -i- B, 

où l'on suppose nulle la somme A, -h ... + A,„, l'intégrale d'une 
fonction algébrique de sn'-u qui n'admet que des pôles simples. 
Enfin, des considérations analogues permettent d'obtenir l'inté- 
grale de seconde espèce 



E (il) = I an- Il du . 



Riemann s'occupe ensuite de l'équation différentielle linéaire du 
second ordre que vérifient K et Iv', et où la variable indépen- 
dante A est le carré du module. Il en déduit, par une analyse inté- 
ressante, la relation 

„ dK' ,., dii\ - 
dt' dhj 4 



\\ PlUÎMlÈnE PAHTIR. 

où )/ = I — ).. puis la relation de Legcndre 

KE'-^ EK— KK'= -. 

Il oblienl enfin les expressions de ^^^(o), ^3(0), 37 (o) au mojen 
de k et de K en partant de l'équation aux dérivées partielles en v 
et T que vérifient les quatre fonctions .r7. 

Ces leçons ne peuvent manquer d'intéresser les géomètres; 
mais M. Hermann Stald a voulu aussi qu'elles pussent servir aux 
étudiants pour apprendre la théorie des fonctions elliptiques. Il a 
d'ailleurs échappé à la tentation très naturelle de conserver le 
cadre de Riemann, en l'élargissant et le remplissant, en y intro- 
duisant celles des propositions importantes dont la théorie s'est 
enrichie depuis Eiemann, en complétant quelques démonstrations, 
en comblant quelques lacunes, en donnant enfin les explications né- 
cessaires au lecteur qui n'est pas familier avec la théorie des fonc- 
tions. Sans doute, en faisant ainsi, M. Hermann Stalil aurait écrit 
un bon Livre, mais il a bien agi en renonçant au plaisir d'écrire ce 
Livre, où la parole et la pensée de Riemann auraient nécessaire- 
ment été altérées. Avec raison, il a voulu conserver pieusement 
l'une et l'autre : il s'est contenté d'introduire discrètement çà et 
Jà, dans le texte, cjuelques propositions complémentaires, si voi- 
sines de celles qu'établit Riemann, qu'il est réellement difficile de 
les en séparer; encore a-t-il soin de prévenir le lecteur par l'em- 
ploi de petits caractères; puis il a écrit un véritable commentaire 
des Leçons de Riemann, commentaire qui tient la moitié du vo- 
lume; il donne là, en restant d'ailleurs dans l'esprit de celui qu'il 
commente, les explications utiles et ceux des compléments qui ne 
se relient pas immédiatement au texte. M. Stahl a terminé son 
Livre en introduisant les fonctions de Weierstrass, en sorte que le 
lecteur de ce petit Volume puisse se trouver en possession de tous 
les points essentiels de la théorie. J. T. 



C M l' T i<: s lUÎ N I ) u s i<: t a n a i. v s k s . 1 5 



LEIBNIZ. — Dku 1Jkiki"\vi:ciisi:i. von Gottimuiod Wimiki.m Ij:ir!Ni/. mit .M,\- 
THEMATiKEUN, lici'ausgegebon von C.-J. Gcrlmrdi. Ersler Baiid. iii-8", 
xxvni -i- 760 p. Berlin, Mayer el Millier; iSijg. 

Les .papiers de Leibniz, qui conservait jusqu'à ses premiers 
brouillons, forment à Hanovre une mine inépuisable d'inédits; 
l'exploitation en appartient sans conteste, par droit de premier 
occupant, à C.-J. Gerhardt, qui, dès 1846, éditait Vflislori'a et 
o/'igo Calculi diffeientialis, et, de 1849 à i863, donnait sept 
volumes d'écrits mathématiques de Leibniz (les quatre premiers 
renfermant la correspondance, les trois derniers les opuscules). 
Spécialement attiré vers l'histoire des JMathématiques, à laquelle 
il a consacré quelques autres travaux importants. Gerliardta peut- 
être hésité avant d'entreprendre la [)ublication des écrits philoso- 
phiques ('), dont il a donné le premier volume en i8-5, et qu'il 
poursuit depuis celte époque; mais qui pouvait, mieux que lui, 
déchiffrer l'écriture souvent illisible de Leibniz? qui était capable, 
comme lui, de faire un choix judicieux parmi toutes ces pièces, 
dont les unes sont insignifiantes, dont les autres ne peuvent, telles 
qu'elles sont, supporter l'impression? qui aurait su, comme il l'a 
fait, tirer, sous une forme intelligible, de ces dernières, au milieu 
des surcharges, des ratures et des notes confuses, ce qu'il y avait 
qui valût vraiment la peine d'être reproduit? 

C'est, en tout cas, une bonne fortune, pour ceux qui s'inté- 
ressent à l'histoire des Mathématiques, que l'Académie des Sciences 
de Berlin ait voulu, à l'occasion du deuxième centenaire de sa 
fondation, honorer spécialement la mémoire de celui qui y prit 
une si grande part, et qu'elle ait, dans ce but, chargé l'infatigable 
Gerhardt d'une nouvelle édition de la correspondance de Leibniz 
avec les Mathématiciens. Cette nouvelle édition est conçue sur un 
plan différent de celui de la précédente et que, pour ma part, je 
trouve très heureux. Ainsi, au lieu de l'ordre strictement chrono- 
logique, le premier volume, qui vient de paraître, nous offre trois 



(') La distinction des deux classes d'écrits de Leibniz n'est pas des plus aisées; 
l'iiistorien des Matliémaliques a à s'occuper de diverses pièces publiées comme 
philosophiques; le pliilosophe, au contraire, peut trouver, surtout dans la cor- 
respondance mathématique, nombre de passages qui l'intéressent spécialement. 



i6 P 11 li M 1 FJU' PAllTIE. 

séries tllslinctes, précédées cluiciine (rime iiUroduclion spéciale : 
i" leltres échangées avec Oldenhiirg, INe%vl()n, Gollins et Conli; 
y.° corres|)ondancc a\cc 'J'scliirnliiuis ; .^" coriespondance avec 
Huygens. De |)liis, dans ces séries sont insérées diverses pièces, 
tirées des papiers de Leibniz, ayant rapport de date et de sujet 
avec les lettres publiées ('). Chaque série forme ainsi un loul 
complet, facile à étudier en lui-même, et où l'on suit sans peine 
l'évolution des pensées, surtout si Ton a recours aux introduc- 
tions, qui ont été écrites avec une rare compétence, et où l'édileur 
a su dire loul ce (pi'il fallait, sans rien ajouter d'oiseux. 

Est-ce à dire que lout soit parfait dans ce beau volume? Ce se- 
rait méconnaître les diflicultés de la tâche et les limites pratiques 
de la correction. La vérité est que le texte n'est pas partout suffi- 
samment assuré, soit qu'il ait élé établi sur des copies fautives, 
soit que les originaux aient été mal déchiffrés. J'ai déjà eu l'occa- 
sion d'indiquer ailleurs (-) une trenlaine de corrections néces- 
saires. Voici quelques autres taches relevées après un examen 
attentif des vingt premières pages. 

P. 4o (seconde du texte de la correspondance), la première 
lettre est datée 10/22 juillet 16-0. Si je comprends bien la note 
de l'éditeur, cette date est empruntée à la lettre suivante, où on 
lit (p. 4ij I- 4) i5/23; il y a donc au moins une faute d'impres- 
sion. D'autre part, la différence des deux-dates de style julien et 
grégorien devrait être de dix jours, et la correction à faire reste 
incertaine (•"'). — P. 4^? 1- 29 : caltentioribus, lire callenlio- 
ribus. — P. 44) 1- 18, plerœqiiœ, lire plerœque; 1. 36 : du- 
rietles, lire durilies. — P. 47 • il était utile de signaler que la 
lettre III est incomplète; 1. 3 en rem. : Baconi (au lieu de la 
forme ordinaire Baconis) est suspect. — P. 5o, 1. 21 : interruin- 
peret, lire interrumperer. — P. 60, I. 9 : utitur, lire iitetur; 
1. 16 : applicationi, lire appllcatione (s'il n'y a pas toutefois une 



(') Parmi ces pièces, signalons en particulier le début du Traité perdu de 
Pascal sur les coniques, début que Leiljniz avait copié, et remarquons, à titre 
de curiosité, que l^ascal y appelle a/i^o6o/e la section conique fermée (elliptique 
ou circulaire ). 

(-) Revue critique, numéro du 20 novembre 1899. 

(^) C'est i3/23 juillet qui parait la leçon la plus probable; cependant il fau- 
drait examiner la Icllrc dOltlciibuiy. qui existe eu orii;iual. 



CUMPTIiS UlîNDUS Kl ANALYSES. 17 

corrcclion plus grave à Aiire); \. 'n : choddiuin imprlnH' jtoiii- 
chordarum. — )tf . 04? 1- ^ en rem. : fore, V\rc fave. — l'. :"J5 : 
le total du couiple argenl ne concorde pas avec le détail des ar- 
ticles. — P. 5G, 1. 5 : ulriqiœ, lire ntriusqiie; 1. 28 : de est à 
ajouter avant lalione. — P. 5^, 1. 18 : après onerali, il y a, 
seml)lc-t-il. une phrase omise; Leibniz, aprrs avoir parlé de l'al- 
cali, a dû parler de l'acide. — P. 5^8, I. 9 : le texte n'est guère in- 
telligible et me paraît suspect, mais je n'ose proposer une correc- 
tion ; 1. 22 : l'indication d'une lettre perdue aurait dû être 
relevée; 1. 26 : pisterio, lire pistoiio. — P. 60, 1. 20 : après 
polum, il j a un membre de phrase omis; Leibniz a dii dire que 
le pôle boréal de l'aimant de Grandami était pointé vers le 
nadir. 

Ajoutez quelques fautes de ponctuation qui gênent la lecture, 
on trouvera sans doute qu'une revision attentive de ces textes, 
déjà édités, n'aurait pas été inutile: que, d'un autre côté, la cor- 
rection typographique aurait pu être plus satisfaisante, car bon 
nombie des laclies signalées sont évidemment de simples fautes 
d'inqjressiou. 

Cependant tout cela est d'une importance secondaire, et si j'ai 
cru utile de faire remarquer que l'on ne doit pas avoir une con- 
fiance absolue dans le texte de la correspondance de Leibniz (pas 
plus que dans celui de la plupart des correspondances publiées), 
si j'ai été obligé, par suite, de justifier cette remarque, je dois 
déclarer d'autant plus nettement que je n'ai constaté aucune faute 
réellement grave, et que le volume publié n'en est pas moins pré- 
cieux et pas moins digne d'être consulté à l'avenir au lieu des édi- 
tions précédentes. 

Ce qu'il contient, je n'ai pas besoin de le dire plus longuement ; 
la première série de lettres n'est rien moins que l'ensemble des 
pièces qu'il faut lire avant tout pour se former une idée juste des 
prétentions et des droits de Leibniz dans l'invention du Calcul 
infinitésimal; la seconde, qui contient nombre de pièces jusqu'à 
présent inédites (lettres de Tschirnhaus), jette un jour singulier 
sur les relations des deux mathématiciens allemands; la troisième 
enfin, qui devance l'achèvement de la publication de la corres- 
pondance de Huygens, permet de juger de la grande infiuence 
'que le savant hollandais exerça sur Leibniz, et de ramener à un 

Bull, des Sciences niat/icin ., i' ^évlt;, 1. XXIV. (Janvier ifji'O.) a 



i8 IMUîiMIÈRE FAUTIE. 

point de vue exact les récits que l'on fait d'ordinaire sur son atti- 
tude vis-à-vis du nouveau calcul. 

Si je parle de l'influence de Huygens, je l'entends d'ailleurs 
surtout au point de vue moral, et non seulement eu égard aux 
conseils c[u'il donna à Leibniz pour l'étude des Mathématiques. 
Car je ne veux pas cacher l'impression générale que m'a laissée, 
sur le caractère de Leibniz, la lecture de ce volume de corres- 
pondance. Au début, lorsque, âgé seulement de vingt-quatre ans, 
il entre en relation avec Oldenburg, le Secrétaire de la Société 
Royale de Londres, il est excessivement infatué de lui-même, van- 
tard et gascon; il est ce que Tschirnhaus restera toute sa vie. 
Lorsque, moins de trois ans après, le 9 avril 1678, la Société 
Rovale l'admet comme associé étranger ('), son bagage scienti- 
fique est insignifiant; l'opuscule De cuLe combinatorîa , qu'il 
avait fait imprimer à vingt ans, et qu'il avoua plus tard n'avoir pas 
été un début particulièrement heureux; VJJypotJiesis physica 
nova de 1671, formée de deux opuscules dont l'un est dédié à la 
Société Royale, l'autre à l'Académie des Sciences de Paris, 
ébauche d'un système du monde encore plus imparfait que celui 
des tourbillons de Descartes ^ la Notitia Opticw proinotœ, de la 
même année, simple promesse qui ne devait aboutir à rien; enfin 
le premier modèle de cette machine arithmétique, qui devait lui 
coûter tant de peine et tant de frais inutiles, et qui n'a pu marcher 
régulièrement que de nos jours. C'est tout; et lorsqu'en jan- 
vier 1678 il va à Londres et entre en relations personnelles avec 
les savants anglais, s'il leur parle de ce qu'il a découvert en Ma- 
thématiques, il se fait aussitôt dire par Pell que c'est déjà connu, 
et c'est inutilement qu'il se débat contre l'évidence. Il me semble 
vraiment bien douteux que son ton et ses prétentions aient laissé 
une impression nettement favorable aux membres de la Société 
Royale, si frappés qu'ils aient pu être par l'universalité des con- 
naissances de ce jeune homme, déjà revêtu d'une charge politique 
et qui s'était au moins aussi annoncé comme juriste que comme 
savant. jMais Oldenbnrg tenait évidemment à avoir un correspon- 



(') Lorsque l'Académie des Sciences, en 1675, lui fit le même honneur, la 
question n était pus la même. Leibniz avait déjà nettement prouvé son génie 
matliématique. 



co.MPTi'S ri: M) US i:t Ai\alvsi:s. kj 

dant utile en .Vllcinagne, el li-s ichilioiis ([uc Leibniz a\ail déjà su 
se créer semblaient assurer (juil remplirait ce rôle dans d'excel- 
lentes condil ions. 

Lorsqu'en iG~6 Leibniz (|uilte la Fiance, il a sinj;ulirreinent 
changé; il a appris à ne plus parler de ses rêves coniine de réa- 
lités, il a appris à concentrer ses efforts sur des pomls (b'teiininés, 
où le succès est possible, et à les poursuivre jusqu'à ce qu'il ait 
obtenu des résultats décisifs, au lieu de se dépenser en promesses 
vagues et irréalisables. Sa correspondance avec Tschirnbaus est 
particulièrement intéressante par les conseils d'ami qu'il essaye de 
lui donner, sans le froisser, alin de le corriger à son tour de ses 
«asconnades. 

Que ce changement de caractère, chez Leibniz, s'accentue de 
plus en plus, ce sera, bien entendu, l'efiet de l'âge et de l'expé- 
rience; plus ses travaux lui acquéraient de gloire, plus il pouvait 
savoir quelle peine coûte l'établissement d'une nouvelle vérité po- 
sitive; mais pour que, de vingt-cinq à trente ans, il se soit déjà 
ainsi transformé, il faut cpiil ait subi quelque inlluence spéciale, et 
je ne puis la trouver ailleurs que dans cet Huygens, déjà couvert 
de gloire, et cependant si modeste et d un bon sens si limpide. A 
voir avec quel respect réel il lui écrira plus tard, lorsque lui-même 
se sera élevé à un niveau égal, à voir quel compte il tient de son 
jugement, si sévère qu'il soit, par exemple, sur le projet de C/ia- 
raclerisiica geometrica, il ne me semble pas que l'on puisse nier 
l'impression profonde qui lui était restée de son premier com- 
merce avec Huygens, et qu'aucun autre de ses contemporains ne 
me paraît avoir exercée sur lui. 

Je reviens sur l'incident auquel j'ai fait allusion tout à l'heure 
et qui eut lieu entre Leibniz et Pell ; on le raconte en effet d'ordi- 
naire un peu trop à l'avantage du premier. Il s^agit an reste de ses 
premiers travaux réels en IMathématiques. On sait qu'avant son 
arrivée en France, en i6"2, il n'avait guère étudié que les élé- 
ments; du moment où il voulut s'élever plus haut, cojume, en 
même temps qu'il étudiait les ouvrages dont la connaissance lui 
était nécessaire, il essaya de voler de ses propres ailes, il devait 
fatalement découvrir de bonne foi des propositions déjà connues. 
Il n'y a, en fait, dans l'affaire dont il s'agit, qu'un point curieux, 
c'est qu'on était, ce semble, mieux Informé à Londres qu'à Pans. 



•20 ruE-MiÉiiE PAirriE. 

La décoiivcrle que l^eibniz crovail avoir faite est relative à la 
composition d'un nombre fonction d'un autre au moyen de ses 
diflTcrences finies, d'ordre successif. Sans doute, il en avait parlé 
en France comme il en parla en Angleterre; mais là Pell lui ob- 
jecte que celte composition, sur laquelle Briggs avait déjà fait des 
remarques, a été donnée dans un Ouvrage publié à Lyon, en 
1670, par le Français Mouton. Leibniz vérifie que le fait est 
exact, mais dans une lettre à Oldcnburg, du 3 février i6y3, lettre 
évidemment faite pour être montrée, il revendique la priorité sur 
deux points. 

En ce qui concerne le second, il avait raison; Mouton n'avait 
considéré que des différences en nombre fini, c'est-à-dire des fonc- 
tions algébriques entières; Leibniz avait étendu sa pro])Osition au 
- cas d'un nombre indéfini de différences non nulles. Là est certai- 
nement le trait du génie mathématique; seulement il faut avouer 
que, tant qu'une idée de ce genre n'a pas reçu d'applications pré- 
cises, elle reste comme non avenue. Or J^eibniz a beau célébrer 
rimj)ortance de sa considération, il n'est pas encore en mesure de 
])rouver ce. qu'il avance à cet égard, et il est obligé de rester 
dans le vague. 

Heportons-nous maintenant à la lettre de Newton à Oldenburg 
du 24 octobre lOjO. Newton la commence précisément en disant 
comment, au début de ses travaux mathématiques, alors qu'il étu- 
diait les écrits de Wallis, il trouva le moyen de résoudre le pro- 
blème proposé par celui-ci, d'interpoler des séries indéfinies 
entre les termes d'une suite d'expressions finies, et comment il 
parvint ainsi à représenter par des séries l'aire du cercle et celle 
de l'hyperbole. Or ce moyen n'est autre que l'extension dont 
Leibniz parle à Oldenburg, et il n'est pas douteux que ce ne soit 
en poursuivant son idée que Leibniz parvint lui-même en i6^4 à 
l'expresssion sériai re spéciale qu'il donna pour la quadrature du 
cercle. SI celte remarque prouve bien l'importance capitale de 
l'idée dont il s'agit, et si l'indépendance de Leibniz doit être re- 
connue, il n'en est pas moins clair que sur ce point, comme sur 
bien d'autres, la priorité de Newton est incontestable. 

Quant à l'autre revendication de Leibniz dans sa lettre du 3 fé- 
vrier lOjôj c'est une singulière maladresse, et je m'étonne que 
x^L Gerhard t, en analysant sa lettre (p. 10), ne l'ail pas signalée. 



GOMPl'IÎS UliNDUS K T ANALYSES. ai 

Le Tableau de coefficients clonn« par .Mouton est nalurcllcnienl 
celui des coefficients du binôme, bien (aniilier depuis longtemps 
pour tous les arithméticiens. Or, quel que soit le procédé de 
formation qu'ait indiqué Mouton pour ce Tableau, il est incontes- 
table que celui qui correspond à la formule 

procédé que revendique Leibniz, était connu depuis Stifel ('). 
Mais il est encore plus étrange que Leibniz dise s'étonner de ne 
pas avoir trouvé ce procédé dans le Triangle arithmétique de 
Pascal, alors qu'il constitue |)récisémenl le iriode de formation de 
ce triangle. Tout cela ne pouvait guère faire bonne impression 
sur les savants anglais, et, s'ils n'ont pas relevé ces assertions, c'a 
sans doute été par pure politesse. 

Leibniz ajoute, à la fin de sa lettre, qu'il a obtenu (c'était d'ail- 
leurs par un procédé tout autre) la sommation des séries indé- 
finies formés par les inverses des nombres figurés successifs. D'a- 
près le récit qu'il a fait plus tard, ce problème lui avait été 
proposé, pour les inverses des nombres triangulaires, par Huy- 
gens, au début de leurs relations, et si la démonstration (p. 19) 
conservée dans les papiers de Leibniz ne serait guère regardée 
aujourd'hui comme rigoureuse, il n'en est pas moins probable 
que Texaclitude de la solution fut le premier signe auquel Huj- 
gens reconnut la réalité des aptitudes mathématiques du jeune 
étranger. Mais là encore celui-ci jouait de malheur. Collins lui 
fait répondre, le 6 avril lÔjS (p. 8G), qu'il considère (-) la mé- 
thode de sommation des séries dont parle Leibniz comme donnée 
par Mengoli dans un ouvrage publié en i658. Avant d'examiner 
le fait, Leibniz répond que sa méthode doit être différente (ce 
qui ne semble pas douteux) et que Mengoli n'a dû enseigner que 
la sommation d'un nombre fini de termes, tandis qu'il est, lui, par- 



(') La relation CJ" = — Cf'Li est, au contraire, une découverte de 

Fermât, qui en a laissé partager la !;loire à I^ascal, quoiqu'il reùt faite long- 
temps avant ce dernier. 

(-) Putat. Cette expression singulière s'explique par l'obscurité des écrits de 
Mengoli. Toutefois il est clair que Collins en a tiré une méthode, qu'il possède 
bien, mais dont il ne prétend nullement s'attribuer l'invention. 



•22 P REM If; H H PAUTIK. 

venu à la sommation de la série indéfinie. Comme si la sonimalion 
d'un nombre fini de termes ne permettait pas de passer aisément 
à la série indéfinie! Si dans la réplique de Collins, transmise par 
Oldenburg, celle question est laissée de côté, c'est sans doute 
aussi par politesse^ et il laudra encore du temps avant qu'il trouve 
quelque chose de réellement neuf dans les essais de Leibniz. 

En résumé, jusqu'en 16-/1, les lettres de Leibniz feraient plutôt 
mal augurer de son avenir; c'est un esprit plein de verve, brillant, 
mais auquel manque la discipline scientifique, et qui semble avoir 
des visées trop larges pour fournir de bonne heure des preuves de 
maturité. Il n'en est que plus intéressant d'étudier, dans le détail 
de sa correspondance, l'affermissement rapide de sa pensée et le 
progrès positif de son savoir. Paul TAixrvEUY. 



jMouitz CANTOR FESTSCH1{IFT. — Abhandlungen zur Geschichte dmk 
.Matiiematik, Ileft IX, 658 p. in-8", Teubncr, Leipzig; 1899. 

C'est à l'occasion du ro'' anniversaire de la naissance (2.3 août 
1824) de l'illustre historien de la ^lathématique que le Zeitschri/t 
fur MatJiematih und Physik vient de donner un \olume spécial 
à' Abhandlungen dont les articles ont été demandés aux amis et 
admirateurs du Maître, et ,dont la publication a été dirigée par 
Maximilien Curtze et Siegmund Giinther. Le premier des deux 
éditeurs a terminé le volume par le relevé des écrits de AL Cantor, 
relevé d'autant plus intéressant que la seule liste des articles de 
recension dans le Zeilsclirifl /". 31. u. P. peut servir de biblio- 
graphie pour riiisloire des IMathématiques depuis i856. 

Les articles sont au nombre de trente-deux, et rangés suivant 
l'ordre alphabétique des noms des auteurs. Trois ont écrit en 
français : V.-V. Boiîy>i>,', à Moscou (sur les procédés servant à 
décom|)Oser les quotients en quantièmes, comme le faisaient les 
anciens Egyptiens et les praticiens grecs ; article un peu obscur, 
et dont il aurait |)eut-étrc mieux valu donner une traduction alle- 
mande); Paul ÎNlAr^sioiv, à Gand (sur le caractère géométrique de 
l'Astronomie ancienne; remarques très justes); moi-même enfin 
(sur les fragments mathématiques de Descartes, et particulière- 
ment sur ses ovales). 



COMPTAS KENDUS l-T ANALYSES. -ïi 

Deux articles sont en anglais : T. -S. IIeath, à Cambridge, sur 
vine allusion assez obscure d'Arislotc à la construction des paral- 
lèles, intéressante pour Tliistoire du postulatum avant Euclide; 
F. Gajori, Colorado Springs, notes sur Ibistoire des logarillimes, 
en particulier sur les Tables de Speidell, les premières qui aient 
donné (en 1620) les logarithmes appelés à tort népériens {^). 

Deux articles sont'en italien : A. Fava.ko, sur un manuscritré- 
cemment découvert des Mécaniques de Galilée, manuscrit qui 
donne des variantes importantes par rapport au texte publié dans 
YEdizione Nazionale (ce manuscrit a été édité depuis par A. Fa- 
varo); Gi>.o LoRiA, sur les renseignements que fournissent, tou- 
chant l'histoire des Mathématiques en Italie au xyiii*^ siècle, deux 
recueils littéraires négligés jusqu'à présent. L'auteur fait ressortir 
que l'on considère souvent à tort les géomètres italiens du dernier 
siècle comme s'étant tenus à l'écart du mouvement général. 

Les vingt-cinq autres articles sont en allemand; voici comment 
on pourrait les classer méthodiquement. 

Généralités. — F. Rosemjerger, sur Tutilité de l'histoire des 
sciences exactes; A. Heller, sur les problèmes que soulève 
l'histoire de la Physique. Deu>: articles de grande portée. 

Matliéniatique grecque. — A. Sturm, notes sur Anaximandre 
et Démocrite; A. Nagl, le calcul sur l'abacus grec, intéressante 
solution de difficultés que présentait l'explication des dispositions 
offertes par les abaques antiques; H. Suter, texte arabe et tra- 
duction du loculus d'Archimède, petite fantaisie du grand Géo- 
mètre sur une sorte de jeu de patience; F. Hultsch, remarquable 
restitution de la dioptra d'Hipparque pour la mesure des angles; 
J.-L. Heibero, textes arithmétiques byzantins, intéressants pour 
l'histoire delà numération et du calcul. 

Moyen âge et Renaissance . — • M. Curtze, texte d'une ancienne 
traduction allemande du Tractatus quadrantis de Robertus 
Anglicus, que j'ai publié dans les Notices et extraits (XXXVo, 



(') Toutefois les logarithmes de Speidell sont calculés, non pour les nombres, 
mais pour les lignes trigonométriques; la caractérislique n'y est point distinguée 
des autres figures, et pour avoir réellement les logarithmes naturels des lignes 
plus petites que l'unité, il faut retrancher 10 de cette caractéristique. 



u4 PIUÎMIËUE PAUTIK. 

i8c)-); S. GuNTHEK, élude approfondie sur Nicolas de Ciies, ses 
idées et ses travaux concernant la Cosmoi;rapliic et la Géographie 
(avec reproduction d'une curieuse Carte de l'Europe centrale); 
F. MiJLLEu, terminologie des premiers auteurs matliématic|ues 
avant écrit en allemand, patient relevé qui ne me semble guère 
favorable aux idées des puristes actuels; E. Wappleu, texles pour 
l'histoii'e de l'Algèbre en Allemagne, tirés d'un manuscrit de 
Widmann d'Eger; H. Stakvmuller, Johann Scheubel, professeur 
à Tubingue, surtout considéré comme algébriste (il a été trop 
rabaissé par Treutlein et mérite d'être placé à côté de Stifel); 
M. Steinschiveider, bibliographie des écrits mathématiques com- 
posés par des auteurs juifs dans la première moitié du xvi" siècle; 
K. HuwRATH, sur les Tables trigonométriques de Rheticus et de 
Vicie, élude circonstanciée; A. von Braujvmïjhl, histoire de la 
méthode de prosthaphérèse, qui servit avant l'invention des loga- 
rithmes, pour éviter les multiplications dans les calculs trigono- 
métriques. 

xvii*^ et XVIII*' siècles. — E. Wohlwill, la découverte de la 
forme parabolique de la trajectoire des projectiles (important 
article auquel je consacrerai une élude spéciale); G. Wertheim, 
exposé clair et exact de la dispute entre Fermai et Wallis; J.-H. 
Graf, sur un curieux plagiat d'une Géométrie pratique du gra- 
veur Sébastien Leclerc, mise -sous le nom à^Ozonam (sic) ('); 
G. Enestrom, Wargentin et ses travaux sur les Tables de mor- 
talité (il ne mérite pas les reproches qu'on lui a adressés au sujet 
de l'emploi de la méthode dite de IJallev); E. Gelcich, sur 
l'histoire de la détermination des longitudes en mer, preuves de 
l'incertitude qu'elle a constamment offerte avant la construction 
des chronomètres. 

MatJiématiques modernes. — S. Dickstein, histoire des cri- 
tiques concernant la Théorie des fonctions analytiques de La- 
grange; V. Stackel, Taurinus, un précurseur de Lobalchefski et 
de Bolyai (c'est le neveu de Schweikart, qui inventa le terme de 



(') Ozanam avait composé une Géométrie pratique tout à fait dilTérenle. Le 
plagiaire (Berne, 1699) a voulu lui prendre son nom, en même temps qu'il pre- 
nait l'ouvrace à un autre. 



COMPTKS HIÎNDUS KT ANALYSKS. 25 

Géomélrie astrale); F. Mf.m:i!, sur l'Encyclopt-die dos Sciences 
Matliémallqiies, courte analyse dos six premiers articles de ce 
recueil; F. -A. Ujvgeu, description des machines à calculer, pleine 
d'indications utiles. 

Ces bi'èves mentions suffiront à peine pour donner une idée 
exacte de l'intérêt qu'olTre ce Fetschrift. Sans doute il n'était pas 
difficile, pour l'occasion dont il s'agissait, de trouver les collabo- 
rateurs désirables; mais limiter à chacun l'espace autant qu'il a 
été nécessaire de le faire, obtenir néanmoins des articles d'une 
valeur réelle, et assurer une variété aussi complète, cela n'était 
point une lâche aisée. MM. Curtze et Giinther doivent être fiers 
du succès de leurs elTorls. Paul Ta>>euy. 



H. BROCARD. — Notks dk BiBLiocnAPHiE des courbes géométriques, 
partie complémentaire; o.\y p. in-S" autographiées, imprimerie et litho- 
graphie Comle-Jacquet, Bar-le-Duc; 1897. 

C'est un complément de l'utile vocabulaire dont il a été parlé 
dans le numéro du Bulletin de juillet 1898 (p. i65). L'étendue 
de ce complément tient moins à des omissions d'articles dans le 
premier travail qu'à ce que M. Brocard a développé, en général, 
les indications sur chaque courbe. 

Le nombre des articles s'élève à 1022, d'après la table alphabé- 
tique commune aux deux répertoires. Il est vrai que tous ces 
articles ne se rapportent pas réellement à des courbes, et que, 
d'autre part, il y a quelques doubles emplois; mais on ne peut que 
savoir le plus grand gré à AL Brocard d'avoir relevé patiemment 
une nomenclature aussi étendue et d'avoir ainsi préparé tous les 
matériaux pour qui voudra entreprendre de dresser un catalogue 
méthodique des courbes spécialement dénommées jusqu'à présent. 

Bien entendu, un répertoire de cette nature ne peut que s'ac- 
croître sans cesse, si on veut le tenir au courant. Mais il me semble 
qu'il est déjà assez considérable pour qu'on l'arrête avec le 
xix^ siècle, et qu'on laisse s'écouler une ou deux générations avant 
de fixer un nouveau jalon lexicographique. 



26 PUKMIKUI- PARTIK. 

Le travail de jM. Brocard csL-il désormais complel pour le passé? 
Ce serait plutôt là le point important, mais je ne pense pas qu'il 
y ait personne autre que l'auteur qui puisse réellement répondre 
à cette question, et il a montré assez de conscience et de savoir- 
faire pour que nous ayons toute confiance en lui. Je ne comple 
pas la possibilité de signaler quelque nom mort-né perdu dans un 
Mémoire oublié ou dans un manuscrit inédit 5 celte possibilité 
existera toujours, mais ne peut exciter un intérêt proprement 
scientifique. 

C'est ainsi que je signalais, l'autre jour, dans ce qui reste du 
Traité des coniques de Pascal ('), le terme, d'ailleurs assez mal 
fait, (ïantobole, pour désigner la section conique fermée (cercle 
ou ellipse) : « vel (planum) per verticem non transiens, nulli ex 
verticalibus (lignes du sommet ou génératrices) parallelum est; 
talis coni sectio est Antobola, eo quod in se ipsam redit. » 

C'est ainsi encore que, tout récemment, j'ai rencontré à la 
Bibliotbèque de Munich (cod. gall. 247 à 202) un ouvrage ano- 
nyme considérable, dont les deux dernières parties seraient une 
mine précieuse pour l'histoire oubliée des lignes courbes. Cet 
ouvrage intitulé ; Application de V Algèbre et des lieux géomé- 
triques pour la solution des problèmes de Géométrie, est certai- 
nement d'Ozanam, et il n'a été achevé qu'après la publication de 
V Analyse des infiniment petits du marquis de l'Hospital, c'est- 
à-dire après 1696. 

J'y ai, par exemple, relevé ce petit détail curieux de l'histoire 
du folium de Descartes, au Livre II, Chap. IV^ dans une série de 
problèmes concernant le tracé des tangentes. 

Probl. 4-'-) le folium, rapporté aux tangentes au point double 
comme axes, est appelé ligne inclinée, et aucune mention de 
Descartes n'y est faite. 

Le probl. 43, au contraire, débute comme suit : 

« lirer une touchante par le point B donné sur la ligne de 
Descartes ABC. » 

« Cette courbe a été appelée ligne de Descartes, parce que 



(') Der Briefweehset von G.-W. Leibniz mit Mathematikern. Fîerliii, Maycr 
et Millier, 1S99, p. i36. Voir plus haut p. 16, note i. 



COMPTES UKXOUS HT ANALYSES. '>- 

M. Descaries en a |)arlé le premier, et (iiren celle façon il senihlr 
l'avoir inventée. » 

Suit l'énonce de « la propriété essenlielle «, qni conduit inimé- 
dialement à « l'équation constitutive » : 

ax-^'ix'-y — ay- — y^, 

c'esl-à-dire à l'équation (\v\ foliiim rapporté à son axe de symétrie 
(OY) et à la perpendiculaire au point double (OX). 

De fait, Desearles avait proposé \efoliiun sous la première forme 
à Fermât en janvier i638; il le proposa ensnile sons la seconde 
(lettre à Alersenne du 'ï^ août i638) à Roberval, pour se moquer 
de lui s'il ne reconnaissait pas que c'était la même courbe. Il me 
semble que la rédaction d'Ozanara ne peut s'expliquer qu'en 
admettant qu'il aura compilé, sans se rendre compte de cette 
identité, nn recueil anlérienr dans lequel les deux problèmes 
étaient dans un ordre inverse, la ligne de Descartes définie 
d'abord de la seconde façon, puis la même ligne de Descartes qua- 
lifiée d^i/iclinée et définie de la première façon. 

Quand Ozanam écrivait, il y avait bien trente ans que Clerselier 
avait publié les Lettres de Descartes où la plaisanterie de ce 
dernier était révélée; on peut admettre que le recueil que je sup- 
pose avait été formé depuis. En tout cas, la boucle senXeàn foliuni 
est figurée sur le manuscrit, et non les brancbes asymptoliques, 
qui cependant avaient déjà été reconnues par Huygens. 

Paul Ta>m;ry. 



PASCAL (E.). — Die V.\Ri.\TioNSRii:cHXUNG altouisierte deltsche Ausgabe, 

von JdolJ Schcpp, i voL in-8°, vi-146 p., Teubiier; 1899. 

Nous sommes heureux d'annoncer la traduction allemande de 
l'exposition résumée que M. Pascal a donnée dans les Manuels 
Hœpli de la théorie du Calcul des variations, exposition qui forme, 
avec le Calcul des différences finies, la troisième partie du Calcul 
infinitésimal de l'auteur. Le Bulletin ( ' ) a déjà parlé des qualités 



(-) T. XXI., p. 270; 1897. 



28 PREMIER K PARTIE. 

et de rol)jet du travail de M. Pascal; nous nous contenterons de 
signaler, cette fois, les nombreux et intéressants renseignements 
historiques et bibliographiques que l'on y trouve, la façon dont 
est mise en lumière la part qu'ont apportée à celte théorie ceux 
qui l'ont fondée et développée. J. T. 



TCHEBVCHEF (P.-L.). — Œuvres publiées par les soins de MM. J. Marlcnff 
cL N. Soniii, Membres ordinaires de rAcadémie impériale des Sciences. T. I 
avec portrait, Saint-Pétersbourg: 1899. Commissionnaires de l'Académie 
impériale des Sciences, vi-714 p- in-4°. 

C'est avec beaucoup de plaisir et beaucoup de reconnaissance 
que sera accueillie la publication des Œuvres de Tcliebychef. Le 
grand géomètre russe était très apprécié et très populaire dans 
notre pavs. C'est dans les Recueils français qu'il a publié plusieurs 
des plus importants de ses Mémoires, il nous rendait aussi fré- 
quemment visite; il prenait grand plaisir à s'entretenir avec plu- 
sieurs d'entre nous et à nous faire connaître les conceptions très 
originales qui impriment un caractère si particulier à chacun de 
ses travaux. Nous avions .tous une grande admiration pour le 
savant, en même temps qu'une grande reconnaissance pour les 
marques d'estime et de bienveillance qu'il ne cessait de nous 
prodiguer. C'est avec joie que nous voyons revivre ses traits dans 
le portrait que les éditeurs ont placé en tête du Volume que nous 
recevons aujourd'hui. 

Cette publication, entreprise grâce au concours qu'a bien 
voulu assurer M. le général d'artillerie W.-ï. Tchebychef, frère 
du regretté géomètre, sera, nous n'avons pas besoin d'y insister, 
un véritable service rendu aux études mathématiques, Tchebychef, 
on le sait, était un géomètre ne se rattachant à aucune école; 
les vues qu'il a apportées dans les Mathématiques lui appar- 
tiennent entièrement; dans la solution des problèmes qu'il était 
conduit à se poser, il a apporté une rare fertilité de moyens 
et une pénétration véritablement extraordinaire. 11 a pour ainsi 
dire renouvelé l'étude de toutes les questions dont il a eu à 
s'occuper. L'étude de ses travaux est donc de celles que l'on ne 



COMPTES KliNDUS Kl ANALYSES. ^y 

saurait trop recommander; elle est de nature à éveiller clic/, tous 
ceux qui l'entreprendront sérieusement les qualités d'originalité 
et d'invention, cet esprit d'initiative qui sonl, aujourd'hui plus 
que jamais, nécessaires à tous les savants. 

MM. MarkolTet Sonin, auxquels l'Académie de Sainl-Pélersbourg 
a confié la publication nouvelle, s'en sont occupés avec le plus 
grand zèle ; ils ont fait appel au concours désintéressé de beaucoup 
de savants russes, principalement d'anciens élèves de ïcliebjchel, 
et ils ont eu ainsi à leur disposition les traductions des articles 
qui, du vivant de l'auteur, ont été publiés dans une seule langue. 

]^'édition comprendra deux ^ olunies. Elles renferme tous les 
travaux imprimés du vivant de l'auteur, sauf deux thèses publiées 
à part : l'une pour le grade de magister, intitulée : Essai d ana- 
lyse élémentaire de la théorie des probabilités, Moscou, i845, 
et une thèse de doctorat intitulée : Théorie des cons'/'itences. 

L'ordre chronologique est celui qui a été adopté pour la distri- 
bution des matières. 

Le Tome ï comprend 29 Notes et Mémoires publiés de iS43 
à i858:ils se rapportent aux fractions continues, à l'intégration 
des dilTérentielles irrationnelles, à la théorie des cartes géogra- 
phiques, à celle des parallélogrammes, aux propriétés des 
nombres premiers, à l'interpolation et à la représentation approxi- 
mative des fonctions. La réunion de tant de beaux travaux 
inspirés par les mêmes idées directrices donne à chacun d'eux 
une valeur nouvelle: elle contribuera à assurer le développement 
et la continuation de recherches que Tchebvchef a poursuivies 
pendant toute sa vie et auxquelles il attribuait avec raison tant 
d'importance. G. D. 



3o PUE.MIEIIK PARTIE. 

MÉLANGES. 

SUR UNE FORMULE DE WEIERSTRASS; 
l'Ail M. Emile PICARD. 

On sait quelle est, dans Ja ihéoric des iiilégrales liyperellip- 
liques d'après "WeiersLrass, l'importance de l'identité 

OÙ P(^) désigne un polynôme arbitraire ayant des racines 
distinctes <7,, «o? • • * •> ^hi^ et où U {x,y) est un poljnome en x 
ely défini par cette identité même. Weierstrass considère l'inté- 
grale double 



i r 



'\J(t, y ) dx cly 

WW)\/PTy) 



Cette intégrale est nulle si, |j. étant le plus petit des deux 
nombres ijl et v, on a 

[JL -f- I < V. 

Si, au contraire, -j. H- i = v, l'intégrale a une valeur différente 
de zéro. C'est ce résultat que nous nous proposons d'établir d'une 
manière très simple et entièrement différente de celle de l'illustre 
géomètre. 

Nous allons envisager l'intégrale double prise le long d'un 
domaine à deux dimensions formé par une courbe fermée C du 
plan de la variable x qui comprenne à son intérieur deux des 
points «, et par une courbe fermée C analogue dans le plan de la 
variable j'. Si les deux courbes C et C, tracées sur le même plan, 
offrent la disposition de la Jig. i, c'est-à-dire si les contours C 
et C ne se coupent pas (ou peuvent être ramenés à des contours 
ne se coupant pas sans traverser les points «), on aura de suite, 
d'après l'identité (i), 

(I) C Ç^^^dxdy = o [^- = v/Fûôv/P(y)], 

puisque, tous les éléments restant finis dans les deux intégrales 



MÉLANGES. 



3f 



on n'a qu'à faire la première intégration dans cliaeunc de ces inté- 
grales et l'on obtient ainsi zéro. 



Fi g. I. 




Le résultat précédent ne subsiste pas si les deux contours ont 
la disposition de la Jig'. i. 

Les contours G et G' ont deux points communs/? et q et le 
maniement des intégrales (a) demande quelques précautions à 
cause des deux éléments qui j deviennent infinis. Prenons sur G 



Fi: 




deux points j:, et x-, de part et d autre de p, et deux points x^ et 
Xji départ et d'autre de q. Nous allons calculer la valeur de l'inté- 
grale 



J J '^Ai 



dx dy, 



l'intégration par rapport k y étant faite le long de G', et l'intégra- 
tion par rapport à x étant faite le long de l'arc x^ x-^ et le long de 
l'arc X'^x-2. Le radical y/P(.2r) aune valeur bien déterminée le long 
de G, et le radical y/P(jj^) une valeur bien déterminée le long de G'; 
nous pouvons supposer qu'ils sont égaux en yj, ils auront alors 
des valeurs de signes contraires en q. 

Geci posé, l'intégrale précédente est manifestement égale à 



'il 



\/V{x,) 



\/P(a-2) 



v/P(.r3) sJV(x.,) 



dy 



dv. 



32 PREMIÈKE PARTIE. 

Pour calculer l'iulé^rale qui forme la preinièic ligue, traçons 
un arc inra, comme rindique la fig. a. Une inlégrale prise le 
long' de C est égale à la somme d'une intégrale prise le long du 
contour mqnrin et d'une intégrale relative au contour mrnpm. 
Or, pour la première ligne, la première de ces deux intégrales 
est très petite si X\ est très voisin de x-^] la seconde se réduit à 



f 



v/FT^ ,,^, 



{y — ^-i)\/^'^y) 



prise le long du contour mrnpm : elle a donc pour valeur 2-/. 
L'intégrale de la seconde ligne se calculera de môme; sa valeur 
est encore 2-/, en se rappelant qu'en q les radicaux ^/P(.r) et 
y^P(j') sont de signes contraires. 

Si l'on calcule maintenant l'intégrale 



././ àyl(r-j)z] -^ 



dans les mêmes conditions, on trouve évidemment zéro. Par suite 
l'intégrale 



// 



H<£iZ^.terf,, 



prise pour jK le long de (]', et pour x le long de C à l'exclusion des 
deux arcs très petits X\X-i, dx-^x-, est très voisine de ^rù. On 
aura donc par suite, puisque l'élément de cette intégrale reste 
fini en p et q, 



If 



dx dy = !\tA. 



Ce résultat est bien d'accord avec la relation obtenue par 
Weierstrass et qu'il formule de la manière suivante [Œuvres, 

t. I, p. I 17) : 

r'"- r"' Y{x.y)dxdy ^ ^ ^ 

Le polynôme R(^) est désigné dans notre texte par P(-c), et 

U 
i:^ représente — • 



eu MPT lis UlîNDUSlir ANALVSI-IS. 33 

coMPri:s KKNDUS i-:t anai.vsks. 



Emu. WOlILU'Il.t.. — Du: E\Ti)i;';KrM; dick P\R\iu:i,i()iiM df.ii W'i iiri.iMi:, 
ylbhandluii^en z/ir Geschichtc der M'(thciuatil,\ [X, p. Djg-GSj, Teiibner, 
Leipzi-g; i<S<)9. 

Dans le qualrièine volume de son Histoire de la nié.Uiode expé- 
rimentale en Italie, ouvrage où sont au reste consignés les résul- 
tais de reclierclies extrêmement méritoires, Ilalaeilo Caverni a 
soutenu un singulier paradoxe dont le thème essentiel est le sui- 
vant : ce n'est |)oint Galilée f|ui a découvert que la trajectoire des 
projectiles est une ]jarabole, et si même il avait eu cette idée, il 
lavait écartée, pour s'en tenir à la fantastique hypothèse de Tar- 
laglia. La découverte serait due à Cavalieri, qui, de fait, a été le 
premier à la publier dans son Speccltio ustorio (iGSa); mais 
Galilée aurait ensuite persuadé Cavalieri que l'antériorité lui 
appartenait, et se serait arrogé une gloire dont, au dire de M. Ca- 
verni, il convient de le dépouiller sans scrupule. 

M. Wohhvill a cru devoir faire à ce paradoxe Thonneur d'une 
réfutation en règle, qu'il ne méritait certainement pas en lui- 
même, mais que la ré[)utation acquise par M. Caverni pouvait 
rendre utile; je ne m étendrai pas sur cette réfutation, faite de 
main de maître; je constate seulement qu'elle est absolument 
complète, que tous les détails de la question sont parfaitement 
éclaircis, et que de nouvelles vérifications ont permis de préciser 
certaines dates importantes. 

Mais je voudrais présenter quelques réllexions sur le lait bien 
connu qui a été le point de départ du roman échataudé par M. Ca- 
verni; car ce fait est, à mon avis, un élément essentiel de 
l'histoire du principe de l'indépendance de lelfet d'une bjrce et de 
l'eiFet du mouvement antérieurement acquis, et ce|)endant il me 
paraît avoir été négligé sous ce rapport. 

Dans son célèbre A\di\o^v\eA.e% Massinii Sislenii {iC)?)!), Galilée 
ne parle nullement de la courbe décrite par les projectiles; il 
réserve expressément la question pour l'ouvrage dont il avait 
réuni les éléments depuis [)lus de vingt ans, les Naove Scienze, 
qui parurent en i()38. Vu contraire, il énonce très clairement la 

Bull, des Sciences mal lœin., '^^ i<éy\tt. l. WIV. ( I'é\ rier 1900. ) ■) 



34 1'Ui:miéi{|- PAUiii-;. 

loi des carrés des Icmps pour la chute des graves, cl il pose égale- 
ment le princi|)C de rindé|)endance des mouveraenls, c'esl-à-dire 
les deux élérnenls nécessaires et suflisanls pour reconnaître la 
foime parabolic|ue des trajecloires. 

Mais dans les Massiini Sislemi, ce principe de l'indépendance 
joue surtout un rôle important pour établir que les mouvements se 
passent à la surface de la terre de la même façon, soit qu'elle 
tourne, soit qu'elle ne tourne pas : c'est-à-dire que Galilée étend 
l'indépendance au mouvement de rotation conçu comme tel, qu'il 
n'admet point la déviation des corps vers l'est, et qu'il n'a aucune 
idée du théorème de Coriolis. Personne ne j)eut lui en faire un 
reproche, mais il im|)orte, pour l'historien, de constater le fait; 
j'ajoute que le seul phénomène à la surface de la terre, où Galilée 
croit voir un effet lié à la rotation de la terre est celui des marées, 
et que c'est à cette question qu'il consacre la quatrième journée des 
A/assimi Sistemi. pour exposer une théorie 1res ingénieuse, mais 
dont les conclusions sont naturellement erronées. 

Le seul endroit des Alassimi Sistemi qui puisse faire penser que 
Galilée ait eu, au moins à un moment donné, quelques scrupules 
sur sa façon d'entendre l'indépendance des mouvements, se ren- 
contre dans une réponse de Salviati à Simplicio, après le calcul 
du temps de la chute d'un grave depuis la lune jusqu'à la terre ('). 
Comme le péri|)atéticien objecte que ce temps, quoique très réduit 
par rapj)ort aux évaluations de Scheiner, est encore assez grand 
pour faire ci'oire à un relard du point de chute (déviation vers 
l'ouest), Salviati réplique qu'il faudrait beaucoup plutôt admettre 
une avance (déviation vers l'est), puisque le mouvement de circu- 
lation se fait suivant des cercles de plus en plus petits. Mais si 
imporlante que soit celle remarque, elle ne vaut que comme un 
doute. Galilée a pu le ressentir à l'occasion delà question spéciale 
qu'il traitait là, mais il n'a pas cru, pour cela, devoir modilîer ses 



(') Vol. III, p. 269, de lEd. Naz. — Le calcul du temps de cluite est fait en 
supposant la constance de l'accélération, malgré rénornie variation de distance. 
On verra que celte constance était loin dèlrc un dogme pour Galilée. 'SI. Wohl- 
will a d'autre part rendu très probable que toute celte discussion, j compris 
l'énoncé de la loi des carrés des lemps, est une addition faite en dernier lieu 
au plan primilif. 



CO.MITI'S MKNDIJS !•; T ANAI,VSKS. 35 

assenions positives, d'ii^irs l(;sf|ucllcs le moiiveinenl, ii|)|);ireiU de 
chute des graves se fait rigoureusement selon la verticale, paspUis 
qu'il n'a jugé ;^ pmpos, dans les Xuoi-e Scienze, de revenir sur 
ce sujet . 

Il s'ensuit donc que lorsque, dans les lUassimi Sistemi, il parle 
de la spirale trajectoire absolue d'un grave (tombant à ré(|ua- 
teur) ( ' ), si l'on veut déiern)iner cette spirale d'après ses idées, 
très nettement exprimées, en l;i rap|)ortant au centre de la terre 
comme |)Ôle et, comme axe, au rayon passant par la position ini- 
tiale, on doit prendre une équation telle que celle-ci 

(') P — ^ — ^-^ W" ; 

mais, au lieu de cela, et c'est ici la pierre de scandale pour 
M. Cavcrni, Galilée, qui n'a point, en cet endroit, encore énonce 
la loi des carrés des temps, dit qu'il est possible que cette trajec- 
toire absolue soit un ccrele : 

(■-'•) p = a co?cu z= a — ia sin- — • 

Comment cette assertion pouvait-elle être prise par les mathé- 
maticiens contemporains de Galilée? Aucun d'eux, surtout Cava- 
lieri, ne pouvait lier ce problème, de la trajectoire absolue du 
grave abandonné à lui-même, avec celui de la trajectoire apparente 
des projectiles; dans un cas, le mouvement vers le centre est sup- 
posé changer de direction; dans l'autre, il est supposé rester pa- 
rallèle à lui-même. Mais aucun d'eux n'était capable non plus de 
reconnaître l'erreur de principe commise par Galilée; on pouvait 
lout au |)lus constater la contradiction théorique entre la loi des 
carrés des temps et la relation (2), comme aussi l'impossibilité de 
laire coïncider suffisamment pour l'expérience les relations (1) 
et (2), car cette coïncidence U l'on remplace sin ^' par ^') exi- 
gerait encore pour - une valeur à peu près dix fois plus faible que 
la \aleur léelle. 

Ce lut dans ces limites que dut se borner la communication 



(') J'ajoute celte restriction, qui i.-esi p,,iut dans Galilée, parce qu'elle est 
rendue nécessaire par sa llsuiv et i);ii- ses e\|di( aliuus. 



35 PUI-MIEIU' l'AKTll-:. 

("ailo à Galilée, cti i().)7, pai- un ami de Careavi (probahlemciil 
Fermai) ( ' ), commiinicaiion iiiallieiireusement perdue. Galilée l'é- 
pondit (pi'il ne fallait voir, dans son lijpoliièse de la possibilité 
d'une forme circulaire de la trajectoire absolue, cprun caprice et 
une bizarre fantaisie. 

■Mais, si l'on fait abstraction de la contradiction avec l'expé- 
rience, ce caprice n'est nullement une absurdité. Il implique seu- 
lement (pie, tliéoriquement , Galib-c ne rei^ardait |)oint la loi des 
carrés des temps comme d'une rigueur absolue, c'est-à-dire qu'il 
doutait si la pesanteur restait constante, malgré les variations de 
distance au centre de la terre. Etait-il capable de déterminer la loi 
de variation de la pesanteur satisfaisant à la condition d'une forme 
circulaire pour la trajectoire absolue? C'est bien douteux; cepen- 
dant on ne peut se prononcer d'une façon assurée pour la néga- 
tive, car Galilée a été loin de publier toutes ses idées. Or je suis, 
pour ma part, d(^ l'opinion de Libri, que la conception des indi- 
visibles (-) lui ap[)arlient et que l'on doit au plus liésiter sur la 
question de savoir jusqu'à fpiel point il l'avait développée." 

En tout cas, en supposant, bien entendu, rindé|)endance des 
mouvements comme il l'admet dans les iMassinii Sistemi, il est 
aisé de reconnaître que, pour oue la trajectoire absolue soit circu- 
laire, il faut (jue la pesanteur soit [U'oporlionnelie à la distance au 
centre. Or, il est remarquable que Galilée ait piécisément admis 
avec grande faveur ro|)init)n de Beaugrand sur une telle propor- 
tionnalité, et cela malgré les paralogismes évidents commis par 
Beaugrand dans sa prétendue démonstration. 

Si le caprice de Galilée doit s'expliquer, comme le dit 
M. ^^ollhvill, par un trait de caractère du grand |)enseur, et aussi 
par le parti pol('Mni(|ue cpi'il tire de sa fantaisie, il me semble que 
les remarques qui précèdent en peuvent mieux faire comprendre 
le point de départ et aussi la véritable portée. 

Pour en revenir à Cavalieri, je dirais aussi cpie M. Wolilwill 
montre peut-être un peu trop d'indulgence à son égard. Ee fait 



(') Il s'est occupé de la spirale de Galilée (voir Œuvres de Fermât, l'aris, 
Gaulhiei-Villars, t. III, p. 70; 1S96). 

(-) En r(332, Ca\alieri n'avait encore rien publié sur ce sujel: Galilée était 
cependant au courant du projet de la Geonietria indivisibilntiu. 



COMPTAS UKiNOUS Kl" ANAI.VSKS. 3; 

(l'avoir impt'iiiK' une inopusilioii (|u il .savait apparleiiir à Galilée 
el (loiil il lie |t()ii\ail cloiiler que celui-ci ne voulût se réservée la 
|)ul)licahon, clait au moins une indisciélioii ; en prévenant le 
lecteur qu'il devait en pariie ce c|u'il allait dire aii\ enseignements 
de Castelli cl aux conimtinicalions de Galilée, il aggravait son 
tort; car ce qui lui ap|)a'iienait en propre, c'était au plus une dé- 
monstration facile à trouver et qui ne pouvait dilTérer de celle 
même de Galilée. Gelui-ci fut blessé, puis il pardonna devanldes 
excuses qui rachetaient la faute. Nous pouvons bien aussi l'excuser, 
nmis elle n'en reste pas moins réelle. 

Paul Ta^imcivy. 



A. BUUCHÉ-LECLERCQ. — L'Astrologie guecqle, \x -t- 658 p. gr. in-8"; 
Ernest Leroux, Paris: 1899. 

Dans la préface de jnes Recherches sui' r histoire de l'Astio- 
noinie ancienne, j'écrivais, il y a sept ans, ([ue l'histoire de 
l'Astrologie restait enlièrement à faire, et (|ue l'on ne pouvait 
même pas dire que le premier canevas en fût tracé. 

Aujourd'hui cette lacune est comblée, et je dois d'ailleurs dé- 
clarer qu'elle l'est d'une façon qui dépasse ce que je considérais 
comme immédiatement possible. C'est que M. Bouché-Leclercq a 
eu la grande sagesse de savoir délimiter sou sujet; il s'est borné, 
en principe, à le considérer dans l'antiquité classi([ue et à ne 
tenir compte (pie des ouvrages astrologiques imprimés. Dans son 
Histoire de Ici Divination, il avait déjà prouvé qu'il était capai)le 
d'épuiser un sujet ainsi délimité, quelque vaste qu'il fût; et Ton 
ue peut que se féliciter si, par surcroît, il a ajouté quehiues 
ejccursus indiqués par la nature du sujet, mais pour les(piels il 
devait recourir à de nouvelles sources. 

Le savant professeur à la Faculté des Lettres de Paris met 
(piehjue co([nctter]e à ne pas être jiiis pour un malhématicien : il 
a su, en tout cas, s'assiunler toutes les connaissances nécessaires 
pour bien comprendre sa matière et pour l'expliquer clairement 
et exactement. Je dirai même (|uc, |)ar exemple, les figures cju'il a 
tracées, proprio Marte, pour rendre compte des apparences des 



38 PIIEMIEUE PAUTIK. 

mouvements planélgires, mérileraieiil amplement d'être adoptées 
dans l'enseignement des Ijcées pour la Cosmograpliie, si, ce que 
je crains fort, cet enseignement est resté ce que je l'ai connu. 
Notez que, dans les questions de détail que M. Bouclié-Leelercq 
avait à traiter, plus d'une exige une réflexion attentive, et qu'une 
erreur v serait bien |)ardonnal)le, même à un professionnel. Mais 
si Ton en trouve une dans son Livre (et pour ma part, au point de 
vue mathématique, je n'en ai découvert qu'une seule), ce sera 
précisément une de ces inadverlances (pie l'on passe à tout le 
monde, sauf aux enfants de l'école primaire ('). 

Il y a cependant des lecteurs que iM. Bouché-Leclercq ne con- 
tentera pas. Ce sont ceux qui voudraient apprendre dans son 
livre à pratiquer l'Aslrologie. lis feront encore mieux de le lire 
que de recourir au Tetrabiblos de Ptolémée; mais il n'est peut- 
être pas inutile que j'e\[)lique pourquoi ils ne seront pas beaucoup 
plus avancés. 

Dans tout procédé de divination, susceptible de conquérir la 
vogue, il j a, comme en cartomancie, le petit jeu et le grand jeu. 
Le petit jeu repose sur un petit nombre de combinaisons aisées, 
auxquelles on n'a à appliquer que des règles faciles à retenir, mais 
on n'obtient que des réponses vagues ou banales. Le grand jeu 
approclie d'autant plus de l'idéal divinatoire que les combinaisons 
sont en nombre plus considérable, cl que les règles sont jilus com- 
pliquées. Le devin, et c'est là son art, peut alors choisir arbitraire- 
ment telle règle ou telle combinaison pour prédire ce qui convient, 
et pour corriger successivement ce qu'il a déjà dit. Si plus tard 
l'événement le dément, sa réponse est prête; son art est sérieux 
et impeccable ; mais l'homme peut se tromper; il a oublié telle con- 
sidération dont l'importance est cependant bien reconnue. 

Nul procédé de divination ne peut certainement lutter sous ce 
rapport avec le grand jeu de la génethliacpie, tel (pie l'enseigne 
Ptolémée;les combinaisons sont en nombre réeHement illimité, 
et les règles forment le fouillis le plus inextricable. Evidemment 
c'est un simple trompe-l'œil ; jamais aucun j)ralicien ne s'est 



(') Page 7 : « Il fallait savoir cjiie le nombre lo est, après limité, le premier 
nombre qui soit composé de deux moitiés impaires. >> C'est j)robablemcnt là 
d'ailleurs une phrase empruntée; mais je n'ai pu deviner à (|ui elle l'était. 



COMPTAS KKNDUS liT ANALYSES. 39 

assimile la Lolalilé (111110 |)iiieille lliéorie; mais cluicun |)Ouvait j 
puiser stiivanisa Canlaisie. cl, en cas de besoin, le Livre du maîlre 
était là, susceplihic de fournil- aux aceiisalions portant coiilrc l'art 
une riposte décisive. De la sorte, i'Astroloi^ie put rejouer ipiinze 
cents ans; et si son système n'avait pas postulé Timmobililé de la 
Terre, nous n'en serions péut-ètrc pas encore débarrassés. 

Après Ptolémée, et en dehors de lui, nous n'avons ou bien que 
des auteurs qui cherchent à l'imiter, ou bien des manuels tout à 
fait enfantins pour le petit jeu astroh^gique, savoir si le moment 
est propice pour telle ou telle action. Le degré intermédiaire fait 
défaut; pour apprendre à pratiquer effectivement l'Astrologie à la 
façon des Grecs, il faudrait étudier un certain nombre de thèmes 
et, à côté, les prédictions réellement laites. Cela est possible dans 
une certaine mesure, au moins pour l'Astrologie de la Renaissance ; 
niais pour l'antiquité, il faut j renoncer, à moins que l'on n'ad- 
mette que les Bvzautins aient conservé les Iraditions classiques et 
que les inédits que recherchent actuellement INIM. Cumonl, Boll 
et Kroll, ne fournissent pour la période bjzanline des documents 
qui nous manquent jusqu'à présent. 

Avant Ptolémée, les matériau^( sont insulfisants pour résoudre 
siiremenl un certain nombre de questions capitales; en tout cas, 
]M. Bouché-Leclercq a su en tirer un assez bon parti pour établir 
un point important, à savoir que la jjcrfection de l'Astrologie (au 
sens que j'ai indiqué) est en grande partie due à Ploh'mée. Il 
semble certainement, dans son Tetvabiblos, s'être montré nova- 
teur beaucoup plus original et réformateur beaucoup plus hardi 
que dans la Syntaxe. 

Mais d'où vient l'Astrologie? quelles sont ses premières origines? 
M. Bouché-Leclercq fait j)reuve, vis-à-vis des légendes consacrées, 
d'un scepticisme radical. Il prétend réduire au minimum les 
connaissances aslronomi(pies des Egyptiens et des Chaldéens; il 
croit que leurs procédés divinatoires étaient restés tout à fait dans 
les limbes, que l'élaboration presque complète en est due à une 
aberration du génie grec, entraîné par sa croyance instinctive à 
l'unité du monde et par le goût pour les s|)éculaiions mystiques 
sur les nombres et les figures (pythagorisme). Il reconnaît 
d ailleurs très nettement qu'avant leur contact plus intime avec 
l'Orient, les Grecs ne supposaient au\ astres (|iie des inlluenees 



4o PHi<:.MiÈi{iî PAirriK. 

méléoroldi^iqiics, mais après les conqnêles d Alexaiulte, si los 
peuples JK'llénisés ont ioiirni la matière, ce sont les Hellènes qni 
ont donné la forme. 

J'eslinieqiieiM. Bouclîé-Leclercqa eu grandement raison de réagir 
vigoureusement contre les exagérations dont la tradition courante 
a tant de peine à se défaire. Mais n'a-t-il pas été trop loin? Je 
pense |)our ma part que ses doutes, relatifs à certaines con- 
naissances astronomiques des Chaldéens, ne sont pas sulfisamment 
justifiés. Mais surtout pour l'Astrologie, l'heure n'est pas venue 
de discuter à fond la question, alors qu'il existe encore tant 
d'écritures cunéiformes qui n'ont pas été décliilïrées, et que, d un 
moment à l'autre, les conclusions aujourd'luii les plus plausibles 
peuvent être mises à néant par Jine découverte inattendue. Dans 
l'état actuel de nos connaissances, M. Bouché-Leclercq a surtout 
raison d'insisler sur les iails suivants : Petosiiis, iXecepsos, 
Manétlion, qui représentent la tradition astrologique égyptienne, 
sont des noms servant d'enseigne à des éci'its apocryphes dont les 
auteurs ont reçu la culture grecque; les Chaldéens qui ont circulé 
dans l'Rmpire romain' comme astrologues viennent sans doute de 
tout autre pnys que de la (^haldée; enfin, les écritures cunéiformes 
astrologic|ues di'chifTrées jusqu'à présent nous révèlent l)icn des 
))rocédés analogues à ceux des Grecs, mais sous les Arsacides ou 
au plus lot sous les Séleucides, c'est-à-dire après Alexandre. 
Quant aux Chaldéens antérieurs, chez cpii les noms des étoiles 
semblent avoir été plus ou moins difterents, on est encore loin 
d'avoir débrouillé leur Ciel; il devient cependant probable que 
leurs constellations zodiacales sont l'origine de celles des Grecs; 
en tout cas on n'a encore rien rencontré qui ressemble à la géneth- 
lia(]ue; l'astrologie se borne à observer des conjonctions et des 
oppositions et surtout les circonstances des éclipses dont elle tire 
des présages d'intérêt général et non parliculier; c est un sujet 
qui. à l'époque grecque, passe tout à fait au dernier plan. 

11 n'en est pas moins vrai que, si le nom de Chaldéen est devenu, 
dans Tanliquilé, synonyme d'astrologue, il a bien fallu que les 
Chaldéens aient eu une astrologie à eux, elle problème du départ 
à faire entre cette astrologie et la grecque, qui est en tout cas 
postérieure, ne [)eut guère être tranché actuellement. Si ^I. Boiiché- 
Leclei'Cfj a porlè une lumière inattendue sur quelques points, |tar 



COAIl'TI'lS lUÏNDUS KT ANAI>VS1':S. .\i 

cxoiiiplc en nionlranl que, selon loule probabililé, l'origine de la 
semaine (avee les jouis dénoruniés (raj)iès les planèles) ne reinoiile 
pas beaueoup au delà de noire ère, il ne reste ejicore rpie trop 
d'mcerliludes sur nond)re d'aulres questions non moins impor- 
tantes. 

L'aiileur aura en tout eas pleinement atteint le double but cpi il 
s'était proposé: eoiislitiier un réjtertoire commode pour la (;laire 
explication des termes astrologiques employés dans l'antiquité, 
lerincs dont il faut connaître le sens exact pour comprendre 
nombre de documents importants pour l'histoire de l'Astronomie; 
raconter, sous une lorme atlrajanle, malgré Taridité des détails, 
riiistoire de cette singulière maladie de l'esprit liumain à laquelle 
si peu de matli('maticiens ont échappé, à partir de son invasion, 
(pie le nom de leur science, Wi/s /na//ie/natica, est précisément, 
dans l'antiquité, devenu celui de l'Astrologie. 

Paul Tanin euy. 



KŒPEIIT (L.). — GiiLNDiuss dkr Difi-erkntial um) L\ti;grai.-IIkciixung. 
II. Tlieil : Iittegral-Rcclinuii^. Siehcnte verbexserte and vermehrle Aujlage 
des gleicliiiainigeii J.citfadens, Von D"" Max Stegeinauu. i vol. in-8", xx- 
Giy p. Ilclwiiigsclic Verlagsbuchliandlang; 1899. 

La dernière édition de ce Traité ne remonte qu'à trois ans; 
c'est la meilleure preuve de la faveur dont il jouit dans le public 
|)our lequel il a été écrit. M. Kiepert ne signale d'ailleurs qu'un 
petit nombre de cliangemenls sur la sixième édition; mais, dans 
la préface, il fait un pressant appel aux tecbniciens pour que 
ceux-ci veuillent bien lu! signaler les défanls ou les lacunes de son 
l^ivre : cet appel mérite d être signalé et cette opinion que, pour 
écrire un livre de ce genre, la collaboration entre le savant et l'in- 
génieur est très désirable, contient sans doute une grande part de 
vérité; ce qui intéresse l'un n'est pas toujours ce qui intéresse 
l'autre; s'il appartient sûrement au premier d'établir les projH)- 
sitions fondamentales et de coordonner les matières fpi'il traite, il 
ap[)artient aux [)raticicns de dire quelles choses leur servent 
eUeclivement, quelles |)arties il faut élaguer, lualgré leur iiitéièl 



42 PUEiMIÈUlï PAI\TIK. 

ihéoiiquc, vers quel but il faut cliriyer Je lecteur. El il est vrai 
aussi que les collaborateurs de celte dernière sorte doivent être 
inullij)les, parce que les besoins des uns ne sont ]>as ceux des autres ; 
grâce à leur concours, s'ds veulent l'apporter, l'ancien manuel de 
Stegemann, que M. Kiepcrt a déjà singulièrement amélioré, et 
dont le remaniement est facile puisqu'il continuera sans doute de 
s'écouler aussi rapidement, pourrait rendre encore de meilleurs 
services. J. T. 



MELANGES. 

SUR UNE RELATION GÉOMÉTRIQUE ENTRE DEUX COURBES; 
Par m. N. J. lIATZIDAIvTS. 

Les normales aux diHérents points d'une courbe c cpii font avec 
les normales prinei[)ales, aux points correspondants, un angle 
constant le long de la coui'be, peuvent-elles être norrua/cs prin- 
cipales ou binormales d'une autre courbe c'? 

Premier cas. — En posant ]MM'= c/, on aura, pour des coor- 
données relatives de JNI' par rapport au Irièdre de M : o, r/cosO, 
rtsinO, fj désignant l'angle constant mentionné. Les projections 
de la vitesse relative de jM' sur les axes du trièdre de M seront 
(D.viîBoux, Surfaces, t. I, j^. 8) 

y^. = 1 — a/-cosO, V',. = — aps\n{), Vl=a/)cosO, 

car a doit être évidemment constant, si la droite iNOL est perpen- 
diculaire à la vitesse de jNL, ce qui est une condition nécessaire. 

Le Irièdre de c, dans une position quelconque, deviendra 
parallèle au Irièdre de c', si on le fait tourner d'abord autour de la 
tangente Mx jusqu'à ce f|ue la normale pi-incij)ale Mr coïncide 
avec ]MM', et ensuite autour de INHl' jusqu'à ce que Mx devienne 
parallèle à M'.z'. 

Si donc nous concevons un Irièdre inlerna'diaire .ry' Z\, (pii 



MÉLANGES. 45 

résulte après avoir fait loiirner seulement aiilour de Mx, on aura, 
jDour les rotations /j|, ry,, /•, de ce dernier trièdre, 

<^i=: ^ cosO ^- /■ siii = /• sin 0, 
/■j = — q sinO -i- /'COsO = /• cosO. 

Mais nous avons^ d'un autre côté, 

p' =: Pi COSO) ^ ri^wto. q -- q^-i -, r= — /^i sin (o -i- /-j coscj, 

w = angle(i\l3-, M'^'); 
on aura donc, en remplaçant, 



p' = p cos w -i- /■ cosO sinco, 



(i) ' /-sinfi = , 

' as 



/' = — p sin to -i- /• cosO cos to. 

On a ainsi les deux rotations //, /•' en fonction des courbures/;, /• 
de M ('). 

L'angle to peut êlre exprimé en fonction de />, r, rt et B^ en effet, 
on a 

(■/>.) V'cosw = 1 — /acosO, V'sinw = — V',.sinO -+- V'-cosO = a/>, 

d'où 

ap 

(j) tani^to = -• 

1 — a/- cosO 

Remarquons que Ion a aussi 

/• ds -+- const. 



= — sinO / ; 



(') On a suppose ici < -, w< '\ que les sens positifs des Iricihcs onl la 

nicuie orienlaliun et que la projection de la vitesse V sur le pian j-z fait un 

angle aigu avec Me; dans le second cas, 6< — > io< -> les sens positils des 

trièdres sont supposés d'orientation contraire et (juc la projection de la vitesse \ 
sur le plan yz fait un angle aigu avec My. Si l'on change ces conditions, on doit 
changer aussi quelques signes dans les formules. 



44 PUE.MIKUE PARTIE. 

On lire des éi^nlités (2) 



(4) 



\ -^ — — = (1 — ra cosO j-+ a- p-. 



On a maintennnl 

et comme, (2), 
il vient, (i), 

(5) 



V 



/y = — -7 



I sinoj 

V ap 

«p 



si n (0 ( cos s i n to ) ( T — cos to ) ( p ) 



' si n w ( si 11 o) ){p -l- cos cos co ) ( x ) 

O/i a ainsi les deux coui-bures de c' en fonction de celles 
de c et de «, (o, 0; ou bien, à cause de (3), 



(6) 



/ , Vf a cos(i\- «-"1 



a co?0 \ - a- 



^] 



a ( p2 _i- cos"^ )( T- ) — cos )( -:- p) 



La courbe c /l'est pas tout à fait aibilraiie ; cji etlet, on a, 

(.)et(3). 



. , a ap 

r sinO = r a>'c taii"' j- 

ds I — ICI cosO 



;) ^^sM,<l[(,- 



cnsO 



d- r/ rnsO / c/p dz 



équation différenlielle c[iii définira la combe r, (juaiid a, Q seront 
donnés. On en tire 



(S) 



o( p. T, c) = O. 



La couibe c' n'est pas, non j)lus, tout à fait arbitraire, car 
ses deux ravons p', -' sont liés, ((3), aux rayons de c; si dune on 
élimine, entre (G) et (8), les quantités p, t, on aura une écjiiation 
de la forme /(p', "', c) = o. 



MKLANGKS. 40 

Des cas paiticulieis irrs iiiliMcssanls sont les deux sulvanis : 

r' 0=^0. Alors /es nirimilcs principales des deux courbes 
co'incident. On iclroiive l(;s eoiirbes (Je M. Bertrand (Dauboux, 
I. I, p. i3 et suiv.). l'^l, en eflei, réqnalion (-") devient alors 

f/T _ _ £/. /_ do ^ (h 

ds ?' \ '''*■ '^ dx 

on bien, en inléi>i'anl. 



On trouve, en outre, to = const., etc. 

Reniar<|uons qu'en supposant (0 = const., on a de nouveau le 
cas de M. Bertrand, ou bien le cas éxldent d'une droite c et d'une 
hélice cylindrique c\ ( i) et (5). 

2" = -• La binorinale de c coïncide avec la normale prin- 
cipale de c' \ on a ainsi les courbes c' de AI. Mannlieim (voir 
Comptes re/idas, novembre i87j,ou Intermédiaire des Mctthé- 
maticiens, mai et juillet i8()()). Les deux courbures de c' sont 
liées par une équation algébrique du second degré d'une 
foi nie particulière. . .. (Voir second cas). 

Second cas.\ — Nous allons maintenant considérer le cas où les 
normales aux dillérenis pGints d'une courbe c qui font, avec les 
normales principales aux points correspondants, un angle constant 
le long' de la courbe, sont binormalcs crime aiihe courbe c' . 

En posant M-M'= rt, et O'désignant l'angle constant menlionm'. 
on aura, pour les j)rojections de la vitesse relative de AI' sur les 
axes du trièdre de r, 

I Y'j. = i — nr siii 0. \\ = — np cos 0, \'- = ap sin 

C) 



(- = -«■) 



puisqu'on aura a = const. 

Le trièdre de c, dans une position quelcon(|ue, deviendra paral- 
lèle au Irièdre de r', si on le ("ait tourner d'abord autour de la 
tangente ALr jusqu'à ce que la binormalc AI; coïncide avec AIM'. 



46 IMUiMIÈIlK PAinili. 

et ensuite an loin- de MM' jusqu'à ce (|ue Mx devienne parallèle 
àM'^;'. ]l suflildonc de considérer un Irièdre intermédiaire xy ^z' 
pour avoir, pour les rotations />, , y,, /•, de ce dernier trièdrc, 

q ^^= q cosO — r siii = — /■ sinO, 
/•, = ^ sin + 7-cosO = /■ cosO, 
puisque rj = o. 

Mais, d'un autre côté, 

p = PiCOSM ~~ qièinto, 7-=;-j+-— , q =-- — /jj sui w -f- ^i cos oj, 

d'où, en remplaçant, il vient 



I 



,' p' = p C05 to — /• si n si n w, 
ho 



' = r cos , , , 

(2) \^ ds 

q ^^ o ^ — p sin (o — /• siii C()S(o, 
to_= angle (M 3", iM'a-'). 

Des écpiations (2) on tire 

(3) taiiiio) = sinO, 

P 

mais, comme on tiouve aussi des égalités (1), 
, — «/" 



(4) 

il vient 



(ir siii 



(5 ) /-sihO = ai p--\- r- sin-O ), 

c'est-à-dirc 

, .,, sinO / I siiV-0\ 
( 5 ) = a -- H — . 

P \^- p- / 

L'équation algébrique du second degré (5') doit donc être 
vérifiée par les deux courbures de la courbe M. 

Il est facile de montrer que, réciproquement, toute courbe 
satisfaisant à l'équation (5') a la propriété géométrique indi- 
quée. Nous omettons la démonstration à cause du manque de 
place. 



Al il L A N (j li S , 



Coin nie on a 






il vient, des relations (/î). 



SI II to / rnsw sin «j 



1 

a - 



rnsw SI 11 fj . , \ 



(6) 



I sin oj /' cosO r/w 

p' I \ p "^ ds , 



pnisqiie, (i ). 



V 



a/) 



L'équation (3) nous donne 
— /-sinO 



\/p'--i- r-sia-0 



> cos to 



el 



df dp 

dit} . . ^ ds ds 

—r^ = — siiiO ^ . ■ ,, 

ds p- -5- ;-sin'-(J 



P 



donc on a, (6), 



I sinO z 
■z' a 



(7) 



\^p'- -+- /--sin-O 



?' «v/p2M-T2sin2 



T-sinO ( cosO . ^ ' ds ' f/.9 

siii — ï-^^ft 

P--^ ':-siii-a 



Donc, des deux rayons de la courbe c' , celui de torsion 
s'exprime en fonction des p, t de c [o« bien, (.V), en fonction 
de seul] et des a et 0, celui de courbure, au contraire, au 

moyen des o, t, -^ > -t- ' <'/i 'J- 
•^ ' f/S (ts 

Les qnanlilés «, données, anciine des deux coiirlics n'est, tout 

à fait aibittaire; en etlel, la combe c est définie |iar l'équalioa 

algébrique (5'); la courbe c doit vérifier une équation dilleren- 

lielle entre ses deux ravons, que Ton tro.uvera en éliminant, 

entre (à') et les intégrales de (7), p. t. Nous l'oniettons ici. 



48 i> in: M I i: lu- PAinirî. 

Deux cas pailiciilicis ictnaicjuahlcs sonl les siiivaiils : 

i" f) = o. Les binormales des deux courbes coïncideni, et, 
comme on a, (2), psino) =0, on aura 

ou p = o, ou bien sinco = o: 

n ^ o donne aussi Z-' = o, et les deux courljes sont planes ; on a, 
(4), aussi (.):=o, d'où /•'=/•; les courbes sont égales, |)uisqu'on 
a, en généial, (1), 

ds'^ = ds' [( I — ar sin )- -h «-/>-], 

et ici, par suite, ds' =: ds (a reste indéterminé). Les courbes sont 
des sections planes d' une surface cylindrique génrrale, ré- 
sultat évident aussi a priori. 

Si w = o, /) ^ o, on a aussi, (4) ou (1 '), 6f = o. Les deux courbes 
coïncident, ce qu'on pourrait aussi trouver d'avance. 

2" B = - • La binoi-male de c' coïncide avec la normale princi- 
•>. ■ 

pale de c. La courbe c est une courbe de M. MannJieini et l'équa - 

lion (o') devient Ijien léquation de ces courbes : 



- = « — H- „ 



{Cf. Premier cas). 

Remarque. — Nous avons eu connaissance, après la rédaction 
des lignes pi-écédentes, d'un Article de ^L E. Cesàro, qui traite la 
même rpiestion [un peu généralisée) par une méthode différente 
(voir Malliésis, jan\ ler iqoo). 



COMPTES KENDUS ET ANALYSES. 49 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



EuNST SGHRODER. — Algebrv der Logik, l. I, xn-717 p.; 1890. 
T. II, 1'" Partie, xiv-4oo p.; i8gi. Leipzig, Teubner. 

M. Schrôder, l'auteur bien connu d'un Lehrbach der Arith- 
metik iind Algebra (i8;3), a consacré un gros Ouvrage (et une 
grande partie de sa vie) à développer le Calcul logique de Boole, 
à le corriger, à le perfectionner, et à en faire une Science indépen- 
dante et complète ( ' ). Nous ne nous étendrons pas ici sur les rai- 
sons philosophiques qui rendent ce système utile et même néces- 
saire au progrès de la Logique, et que l'auteur a exposées tout au 
long dans une Introduction de 120 pages. Nous nous proposons 
simplement de faire connaître cette nouvelle Algèbre aux Mathé- 
maticiens, de leur en expliquer les principes, les définitions et les 
règles fondamentales. 

Voici comment la Logique est devenue susceptible d'un traite- 
ment mathématique, et a donné naissance à cette Algèbre. Tout 
jugement catégorique (à copule est) exprime un rapport d'inclu- 
sion ou d'exclusion entre deux concepts : or chaque concept a une 
extension, c'est-à-dire détermine une certaine classe d'objets aux- 
quels il s'applique. Donc, au point de vue de l'extension, le rap- 
port d'inclusion de deux concepts se traduit par le rapport d'in- 
clusion des classes correspondantes. Dire « tout a est b », c'est 
affirmer que la classe a est contenue dans la classe b. On exprimera 
cette relation de contenu à contenant par un signe approprié (^), 
et l'on écrira 

a<b{^). 

Telle est la relation fondamentale de la Logique selon M. Schrôder 



(') C'est ce que l'Auteur avait commencé à faire clans son opuscule : Der Ope- 
rationskreis des Logikkalkids, 07 pages (Leipzig, Teubner, 1877). 

(-) Le signe employé par M. Schrôder est formé par la réunion du signe 
d'égalité et du signe d'inclusion proprement dite (analogue au signe d'inéga- 
lité <). Comme nous n'aurons jamais besoin de ce dernier, nous l'employons 
pour désigner la relation générale d'inclusion. 

(^) Qu'on peut lire : « a dans b ». 
Bull, des Sciences niathëm., 2' série, t. \MV. (Mars 1900.) 4 



FHl^LMIÈRE PAirriE. 



(§§ 1, 2). Elle jouit de deux propriétés essentielles qui constituent 
les deux principes de l'Algèbre de la Logique : 



I. « < «. 

« (Tout) a est a. » C'est \e principe cV identité. 
II. Si rt << ^ et Z> << c, il en résulte 

« < c. 

C'est \e principe du syllogisme (en Barbara). 

Il va sans dire que la relation d'inclusion (de subsomption ) 
n'exclut pas V identité : dire que tout a est b, ce n'est pas affirmer 
que tout b est «, mais ce n'est pas non plus affirmer qu'il j a 
d'autres b que les a (des b qui ne sont pas a). 

Il est clair que les deux classes a el b seront identiques, si 
tout a est b et si tout b est a. D'où la définition formelle de l'éga- 
lité logique (ou identité) : 

« Si a <^ b el b <C. a, on a a = b^ et réciproquement. » 

De cette définition et du principe d'identité, il résulte que 



De la même définition et du principe du syllogisme résultent les 
propositions suivantes : 

« Si « << 6, et 6 =: c, on a a <; c. w 

« Si rt = 6, et 6 << c, on a rt << c. » 

« Si rt = Z>, et 6 = c, on a rt = c (§ 4). » 

Comme on le voit, les concepts sont représentés dans le calcul, 
ou plutôt remplacés parles classes qui constituent leur extension, 
c'est-à-dire par des ensembles d'objets ou d'individus quelconques 
(qui forment ce qu'on appelle en Logique des espèces etdes genres). 
La relation de l'espèce au genre est ramenée à la relation (pure- 
ment extensive) du contenu au contenant. Le Calcul logique n'est 
donc pas autre chose que le Calcul des ensembles considérés au 
point de vue de leur inclusion ou exclusion relative ('). 



C) On remarquera que la théorie des ensembles pourrait s'exprimer commo- 
dément et avec avantage au mojen des notations de la Logique. La relation < a 
déjà été adoptée par MM. Canlor et Dedekind. De même, on verra que ces auteurs 
ont employé les notions de somme el d«; produit logiques, sous une notation 
différente. 



GOMPTKS KKNDUS lîT AXALYSIÎS. 5r 

D'aiilrc part, la thcorie des ensembles trouve une intcrprélalion 
naturelle et une applicallon intuitive en Géométrie, dans l'étude 
des « domaines » ou « ensembles de points » ; ceux-ci peuvent 
donc servir de schèmes aux classes, et par suite aux concepts cor- 
respondants. Ce schématisme avait déjà été employé par Euler, 
qui figurait l'extension des concepts par des cercles qui s'em- 
boitent ou se coupent nuiluellement. Ainsi, à côté de son inter- 
prétation logique, la nouvelle Algèbre comporte des a|)|)lications 
variées à la théorie des ensembles et à la Géométrie (§ 3). 

Nous allons maintenant définir les trois opérations fondamen- 
tales de la Logique. Les deux premières, qui sont des combinaisons 
de deux termes, s'appellent multiplication et addition, en vertu 
de leur analogie formelle avec les opérations arithmétiques de 
même nom ( ' ). 

La somme de deux, classes a et h est l'ensemble des objets con- 
lenus dans l'une ou l'autre de ces classes. On la définira donc for- 
mellement comme suit : 

« Si a << c et 6 << c, on a rt + 6 << c, et réciproquement. )> 

Cela signifie que toute classe c qui contient à la fois a et b 
contient leur somme a -{- b] et réciproquement. 

Le produit de deux classes a et b est l'ensemble des objets 
contenus à la fois dans l'une et dans l'autre (communs à toutes 
deux). On le définira donc formellement comme suit : 

((Si c <ia et c << ^, on a c ■< ab. » 

Cela veut dire que toute classe c contenue à la fois dans a 
et dans b est contenue dans leur produit ab\ et réciproque- 
ment (2) (§5). 

11 convient de définir en même temps deux classes particulières, 
qui joueront le rôle de modules de l'addition et de la multiplica- 



(') On les désignera aussi par les mêmes signes algébriques. 

(-) On •remarquera que ces notions de somme et de produit coinç.'iàeni respec- 
tivement avec les notions du plus petit com.mun multiple et du plus grand com- 
mun diviseur de deux ensembles (de M._Cantor, ap. Mathematische Annalen, 
t. XVII et XXI) et avec celles que M. Dedekind désigne par itt(A, B, ...) et 
<6(A, B,.. .) ap. Was sind und was sollen die Zaklen? n°* 8 et 17 (Braunschweig, 
Vieweg, 1887). M. Cantor indique par le signe -i- la somme de plusieurs ensembles, 
quand ils sont deux à deux sans connexion (n'ont aucun élément commun ). C'est 
la somme logique telle que la concevait Boole; mais cette restriction est inutile 
et même fâcheuse, comme le montre .M. Schroder (§ 18). 



5-2 PREMIEUE PARTIE. 

tion, et que, par siille de cette analogie formelle, on représentera 
respectivement par les cliiflres o et i . 
En voici la définition formelle : 

o •< 3", a? < I , 

quel que soit x; cest-à-dire que o est une classe contenue dans 
toutes les autres, et que i est une classe qui contient toutes les 
autres (§ -i). Il est aisé de voir que la classe i contient la totalité 
des objets dont il peut être question dans une étude ou une 
recherche déterminée : c'est ce que Boole appelait l'Univers du 
discours. M. Schroder montre que cette notion est trop large 
et trop vague, et il la précise par des considérations que nous ne 
pouvons résumer ici. Quant au o, il résulte des mêmes considé- 
rations qu'il ne peut être qu'une classe vide de tout élément, 
le Néant (logique) (§§ 7, 9). On démontre alors aisément que les 

inclusions 

^-< o, I < ^, 

équivalent respectivement aux égalités 

T ^= o, 1 = .r, 

c'est-à-dire qu'une classe contenue dans o est identiquement nulle, 
et qu'une classe qui contient i équivaut au Tout (§ 4). 

De la définition de la somme et du produit résultent immédia- 
tement les formules suivantes : 



a <C n -^ h. 
b <C fi -h i>, 



ab < a. 
ab < b. 



en vertu du principe d'identité (en remplaçant respectivement c 
par a-\-h ou par ah dans cette définition). Ainsi une somme 
contient chacun de ses termes; et, au contraire, un produit est 
contenu dans chacun de ses facteurs (§ o). 

On conçoit sans peine que les notions de somme et de produit 
s'étendent à un nombre quelconque de termes ou de facteurs. 

On a dû remarquer, dans les définitions de la somme et du pro- 
duit, et dans celles de o et de i, une symétrie parfaite; il est évi- 
dent que cette symétrie devra persister dans toutes les consé- 
quences qu'on en pourra déduire. Cette symétrie se ramène à 



COMPTES UKNDUS ET ANALYSES. 53 

l'idenlilé formelle, si Ton permute les signes 4- et x , les chifTres o 
et I, et si l'on renverse le signe -< (on si l'on intervertit les deux 
membres d'une inclusion). Par suite, de chaque formule on 
devra déduire une formule équivalente (c'est-à-dire également 
vraie ou également fausse) en effectuant sur elle cet ensemble de 
transformations. C'est en cela que consiste \e principe de dualité 
en Logique ('). Il permet, comme on voit, de se dispenser de 
démontrer une formule quand on a établi la formule corrélative 
par dualité (comme en Géométrie projective) (§ 14). 

On prouve facilement que les deux opérations logiques véri- 
fient la loi commutative et la loi associative. Elles jouissent en 
outre de propriétés spéciales fort remarquables, qui apportent 
une simplification notable dans les calculs. Ce sont : 

1° La loi de tautologie (Boole, Jevons) : 

a — a = a, \ aa ^= a. 

2" La loi d'absorption (dont la précédente est un cas particu- 
lier) : 

On établit encore une relation fondamentale entre les deux co- 
pules -< et =, qui permet de transformer une inclusion en une 
égalité (de deux manières corrélatives), et inversement : 

« L'inclusion 

a <Cb 

équivaut à chacune des égalités 

a = ab. I a ^- b = b. 

Cette proposition a des corollaires très importants, qui déter- 
minent le rôle de o et de i dans le calcul. On a en effet, quel (pic 

soit X, 

o = o X .r, j .r -;- I = I . 

On a d'autre part 

X -\- o = X, \ X X l = T, 



( ' ) Comme M. Scliroder, nous écrirons les formules corrélatives par dualité sur 
la même ligne en les séparant par un trait vertical. 



54 PIlEMIËin!: PAUTIE. 

ce qui montre, comme nous l'avons dit, que o et i sont les mo- 
dules de l'addition et de la multiplication (§§ 10, 11). 

On peut enfin établir la loi distributive pour l'inclusion, dans le 
sens direct : 

ab -h ac <C a{b ■+- c), \ a -h ùc <C. (a -t- b)(a + c). 

Mais on ne peut pas démontrer les inclusions inverses, ni par 
suite la loi distributive pour l'égalité 

ab -\- ac = a{b -\- c), \ a -+- bc = ( a -i- b')( a -i- c). 

C'est ce que M. Schruder a pi^ouvé, en montrant qu'un certain 
Calcul (le Calcul des groupes) vérifie tous les principes précé- 
dents et toutes les lois qui en dérivent, y compris la loi distribu- 
tive directe, mais ne vérifie pas la loi distributive inverse ('). 

On est donc obligé de postuler celle-ci, au moins dans un cas 
particulier, et de s'assurer intuitivement qu'elle est bien vérifiée 
par les concepts, d'une part, et par les classes, ensembles et do- 
maines géométriques, d'autre part (§ 12). 

On a dû remarquer que la loi distributive a deux formes corré- 
latives, c'esl-à-dire que si la multiplication est distributive par rap- 
port à l'addition (comme en Arithmétique et en Algèbre), l'addi- 
tion est à son tour distributive par rap])ort à la multiplication. 
Cette réciprocité, conséquence du principe de dualité, introduit 
dans le Calcul logique une symétrie parfaite qui lui donne un grand 
avantage esthétique sur l'Algèbre ordinaire. 

On définit enfin la troisième opération, propre au Calcul logique, 
la négation : elle ne porte que sur une classe X' el la transforme 
en une autre classe, X) (non-j:). Celle-ci se trouve définie d'une 
manière formelle parles relations suivantes : 

^"37, = o, j a-f-ri = i, 

qui traduisent respectivement le principe de contradiction et 
celui du tiers exclu : « Aucun objet n'est à la fois x et non-x; 



(') Voir ies très inléressanls Appendices I\ , \' et VI, où se li-ouve esquissé ce 
Calcul logique des groupes. Cf. les articles de M. Sctinider dans Math. Annalcn. 
I. WIX, et dans Iloppes. Archlv fiïr Mathenialilx iind P/ijsiA (1887). 



CUMl'TliS l{IÎM)US HT ANALVSKS. 55 

loiil objet est ou x ou non-j:* )>. On démontre que la elasse x^ 
ainsi définie est déterminée d'une manière unique. On prouve 
que X est la négation de ^, comme Xi est celle de x (ce qui est 
évident, du reste, en vertu de là symétrie des deux relations qui 
définissent .27, par rapport à x), c'est-à-dire que 

ce qui est la loi de la double négation : « Deux négations valent 
une affirmation ». On constate aisément que o et i sont la négation 
l'une de l'autre (§§ 13, 16). 

On établit ensuite \es formules fondamentales de de Morgan: 

(ab)i = cti^ bi. I (a -f- 6)i= rti6i, 

qui montrent que la négation, appliquée à un produit, le trans- 
forme en une somme; appliquée à une somme, la transforme en 
produit; et qui permettent (ï effectuer les négations complexes, 
en supprimant les parenthèses et en faisant porter la négation sur 
chaque terme ou facteur. 

On démontre \q principe de la contraposition, à savoir que 
rinclusion et l'égalité 

a <C b. I a = b, 

équivalent respectivement à celles-ci : 

6,<ai. j bi^ai. 

Ainsi, pour convertir par contraposition une proposition, il 
suffit de nier les deux membres et de les intervertir (ce qui n'a de 
sens, d'ailleurs, que pour la copule <, et non pour la copule 
symétrique ^). 

On peut alors établir une nouvelle relation fondamentale entre 

les deux copules, à savoir celle-ci : 

« L'inclusion 

a<b 

équivaut à chacune des deux égalités 

abi — o, I m-^ b = i. y> 



5fi PREMIËIIE PAUTIE. 

Celle proposilion (') a pour corollaire la suivante : 

« L'égalité 

« = 6 

éqiiivaul à chacune des égaillés suivantes : 

ab\ + ai 6 = o, I rt^ -4- «1 il = I . » 

Cette relation permet donc de transformer une inclusion ou une 
égalité en une égalité à second membre o ou i, c'esl-à-dire de 
ramener les propositions à la ("orme normale des équations algé- 
briques en faisant passer tous les termes dans un membre (§ 17). 

Avant d'arriver à la théorie des équations logiques, signalons 
les formules du développement de o et de i par rapport à une, 
deux, . .., n classes données et à leurs négations. On a identi- 
quement 

o = rtrti -^ ô/^i-i- cC] -t-. . .; I I = (a H- «1 )(6 -I- 6i)(c -h Cl). . . , 

ce qui donne les développements corrélatifs suivants : 

= ( a -1- 6 )( rt -1- ^1 ) ( «1 + 6 ) ( ai -h 6i ), 

1 =z ab -1- abi-i- aib -^ aibi, 

= {a-hb-i-c)(a-hb-i-Ci){a-hbi-{-c){a-hbi-\-Ci)(ai-^b-^c) 

( a 1 -h Z; -I- Cl ) ( ai -I- 6i -t- c ) ( ai -f- èi + Cl ), 

1 = abc -+- abci -t- a^i c -H a^i Cj ->- «i bc -+- ai bci -h a ibiC -^ aibiCi, 

dont on aperçoit immédiatement la loi générale. Les formules du 

développement de i représentent les règles de la classification 

dichotomique, c'est-à-dire de la division d'une classe jc par 

rapport à d'autres classes (sous-classes) a, b, .... Par exemple 

(§ 16) : 

x = .Tab-{-xabi-\-xaib-\-xaibi. 

Nous n'avons pas besoin de dire ce que l'on entend par fonction 



(■) Elle a aussi pour corollaires les formules suivantes, dues à Pcirce 

(§§ n, 18) : 

{ab < c) = {a <c -\- b^), 

{ab < c -h d) = {adj< c + b^), 

qui pcrinelleiil de I ranspoi-tcr un lerruc (ou fadeur) d'un membre dans l'autre 
d'une inrlusion. 



COMPTES UKNDUS ET ANALYSES. ■)7 

(algébrique) d'une ou plusieurs classes variables ou inconnues x, 
y, z-^ . . . . 11 suffit de remarquer que, en vertu de la loi de tauto- 



logie 



XX = X, 



toutes les fonctions (et équations) sont du premier degré par 
rapport à chacune des variables (ou des inconnues). 

Voici la formule du développement d'une fonction /{x) par 
rapport à la variable x 

/(.r)=/(i)^+/(o),r,. 
Pour la prouver, il suffit de poser 

f(x) = Ax-{-Bxi 
et de faire dans cette égalité, successivement 

X = 1, a^i := o, 

et 



On établit de même les formules analogues de développement 
(dues, comme la précédente, à Boole) par rapport à deux, 
trois, . . . , n variables : 

/(^, JK) =/(i,' i)^J-h/(i,o)^j^,+/{o, Oa-ij' h-/(o, o).riji, 

/(^, JK, ^)=/(i, I, i).rjz-h/{i, i, o)xyZi^f{i, o, i)xjiZ 

+ /(!, o, o)xji^i-i-/(o, I, i)xiyZ'+-f{o, 1, o)xi7^, 
-h/(o, o, i)j-i7i3 +/(o, o, o)a:'i7i^,, 

dont on aperçoit sans peine la loi de formation ('). 

Les fonctions ainsi développées ont cette propriété remarquable, 
que leur somme, leur produit et leur négation s'obtiennent en 
additionnant, en multipliant et en niant leurs coefficients (chacun 
à chacun) (§ 19). 

La théorie des équations logiques se distingue de celle des 
équations algébriques par des caractères originaux. En premier 
lieu, tout svstème d'équations simultanées se réduit à une seule, 
qu'on obtient en les additionnant membre à membre : en elTet, 



(') Boole a remarqué l'analogie de rc dcvcjnppemcnt avec la formule de 
Taylor, qui le lui a peul-èlre suggéré. 



58 PUEMlEKli PAUTIH. 

pour qu'un polynôme s'annule, il faut et il suffit que tous ses 
termes soient nuls séparément. En second lieu, on peut éliminer 
d'une seule équation un nombre quelconque d'inconnues, toutes. 
si l'on veut. Enfin, on peut résoudre une seule équation par rap- 
port à toutes les inconnues. Nous allons expliquer comment 
s'effectue la double opération de la résolution et de l'élimination. 
Soit l'équation à une inconnue 

f{x)^o. 

En développant le premier membre, on la met sous la forme 

ax -\- bxi — o. 

Elle équivaut aux deux équations simultanées 

ax = o, bxi = o, 

c'est-à-dire aux deux inclusions équivalentes 

a- < «[, b <i X. 

Ainsi l'équation donnée équivaut à la double inclusion 

b <x <Cai 

dont la conséquence nécessaire est (en vertu du principe du svllo- 
gisme) 

b<ai 
ou 

ab = o. 

Ainsi l'équation proposée est vérifiée par loutçs les valeurs de .r 
comprises entre b et «, (c'est-à-dire par toutes les classes qui 
contiennent b et qui sont contenues dans «,), à la condition que b 
soit contenue dans «,, ou que ab = o. Cette égalité, qui exprime 
la condition nécessaire et suffisante de la résolubilité de l'équation, 
s'appelle la résultante de l'élimination de x. Elle formule la con- 
séquence que l'on peut tirer, par rapport aux coefficients, de 
l'équation, supposée vérifiée. 

D'autre part, quand la résultante est vérifiée, la solution géné- 
rale de l'équation est donnée par la double inclusion 

b <C X <^ ai 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 59 

qui peiil se melLre sous forme d'égalité 

X = ttiX -\- bxi, 

ou, en employant une indéterminée (') m, 

X = ai a -{- btii = b -\- Giii — ai{b -\- u), 

équivalenees qui dérivent de la résultante supposée vérifiée (-). 

On voit que la solution, dans le cas général, est relativement 
indéterminée, c'est-à-dire comprise entre deux limites connues. 
Elle n'est déterminée que dans le cas particulier où 

b = «[. 
La solution devient alors 

X = b = cil. 

Cela est évident par intuition : si l'on trace un cercle qui repré- 
sente Cf, et un cercle intérieur qui représente 0, toute aire conte- 
nant b et contenue dans rti est une solution; mais si les deux 
cercles b et «, deviennent égaux (coïncident), l'unique solution 
possible leur est nécessairement égale (identique) (§ i21). 

Maintenant que l'on sait résoudre une équation à une inconnue 
et en éliminer cette inconnue, on peut résoudre une équation à 
plusieurs inconnues et en éliminer un nombre quelconque. On 
démontre aisément que l'élimination est une opération commuta- 
tive et associative, de sorte que l'on peut, sans chanijer le résultat, 
intervertir l'ordre des inconnues à éliminer, et en éliminer plu- 
sieurs à la fois ou successivement. Pour éliminer toutes les incon- 
nues ensemble, il suffit de développer le premier membre de 
l'équation par rapport à toutes les inconnues, et d'égaler à o le 
produit de tous les coefficients de ce développement (c'est là une 



(') Susceptible de prendre toutes les valeurs, y compris et i. 

(-) On peut définir, avec M. Voigt, la solution générale d'une équation 
comme l'expression qui, substituée à l'inconnue, réduit l'équation à la résultante 
de l'élimination de cette inconnue. Ainsi, en général, toutes les fois que la résul- 
tante est vérifiée, si l'on substitue à l'inconnue x la solution générale dans 
l'équation primitive, on réduit celle-ci à une identité, puisqu'elle sera vérifiée par 
toute valeur de l'indéterminée u. Pour employer le langage de M. ^^'llilcllca(l 
(Universal Algebra, n" 3"2 ) on transforme ainsi une équation liinilaiitc jiar 
rapport à x en une équation illiniitatite par rapport à u. 



6o PUliMIÉHI-: l'A UT lit. 

généralisation de la résultanle de l'éliminalion â'ime inconnue). 

Pour résoudre l'équation par rapport à toutes les inconnues, on 
les élimine une à une, par exemple, dans l'ordre /, . . ., x, y, z. 
On obtient ainsi une suite de résultantes partielles dont la der- 
nière, ne contenant plus aucune inconnue, est identique à la 
résultante totale que nous venons de définir. Si celte dernière 
résultante est vérifiée, l'équation est résoluble. On résoudra donc 
l'avant-dernière résultante par rapport à z\ on aura la valeur de 
cette inconnue en fonction d'une indéterminée v. On la portera 
dans la résultante antépénultième, qui deviendra une équation 
en y : on la résoudra, et on en tirera la valeur de y en fonction 
de V et d'une nouvelle indéterminée u. On la portera dans la 
résultante précédente, que l'on résoudra par rapport à .r ; et ainsi 
de suite. Enfin on remontera à l'équation proposée, où toutes les 
inconnues, sauf t, seront exprimées au moyen des classes connues 
(des coefficients) et d'un nombre égal d'indéterminées. On en 
tirera la valeur de t en fonction de n indéterminées. 

Dans le cas où plusieurs inconnues s'éliminent en même temps, 
on remplace les résultantes qui manquent par des identités. C est 
d'ailleurs signe que ces inconnues dépendent les unes des autres; 
on peut, par suite, les considérer toutes, moins une, comme des 
indéterminées (§ 22). 

On voit quels avantages considérables la théorie des équations 
logiques possède sur la théorie des équations algébriques; toutes 
les équations sont du premier degré; tout svstème d'équations se 
réduit à une seule; enfin toute équation est résoluble par rapport 
à toutes ses inconnues, et l'on peut les en éliminer toutes. 

Il reste toutefois un desideratum, au point de vue de l'élégance 
algébrique : les solutions générales d'une équation à plusieurs 
inconnues sont asymétriques, et leur forme dépend de l'ordre dans 
lequel les inconnues ont été éliminées, puisque la dernière éli- 
minée ne contient qu'w/?(? indéterminée, tandis que la première en 
contient /î. Il y a donc lieu de chercher des solutions générales 
symétriques. M. Schruder consacre à cette recherche un Chapitre 
spécial, trop technique pour qu'on puisse l'analyser ici (' ) (§24). 

On a pu remarquer qu'il n'est pas question des opérations 

(') Cf. WiiiTEHEAD, Unùeisal Algebrn, n"' 35-37. 



.COMPTHS KENDUS I-T ANALYSES. Gi 

inverses [souslvacùou et division). On peut les considérer comme 
les solutions générales des équations 

b -^ X = a. ! fj.r = a, 

mais comme ces solutions sont, d'une part, soumises à des condi- 
tions restrictives exprimées par les résultantes 

a, i» = o. abi = 

et d'autre part, indéterminées, ces opérations seraient incom- 
modes et peu pratif)ues. 

Si l'on veut détermine/' les résultats, en prenant la dilTérence 
minimum et le quotient maximum, on trouve que ces valeurs 
principales sont 

a — b =z abi, a'.b ^= a — b\, 

de sorte que la soustraction et la division déterminées se ramènent 
à la multiplication et à l'addition combinées avec la négation (' ). 
Ainsi, ou bien ces opérations sont indéterminées, ou bien elles 
sont inutiles. De toute façon, il est préférable de s'en passer, 
d'autant plus qu'elles sont de peu d'usage au point de vue de la 
logique, et d'une interprétation difticile (-) (§ 23). 

Le premier Volume contient de nombreux exercices et pro- 
blèmes qui fournissent l'occasion d'appliquer les règles générales 
du calcul, et d'établir quelques règles spéciales de transformation 
et de simplification (§§ 18, l2o). Il se termine par un exposé som- 
maire des diverses méthodes inventées pour résoudre les problèmes 
logiques, à savoir celle de Boole, celle de levons et de ^ enn, 
enfin celle de Peirce et de Mac Coll (§§ 26, 27). 

Le second Volume est principalement consacré à appliquer la 
même Algèbre au Calcul des propositions. C'est un fait remarquable 
(découvert par Boole) que les mêmes formules et les mêmes règles 
de calcul soient applicables aux concepts et aux propositions. 
Pour cela, il suffit de représenter chaque proposition par son 



(') La principale réforme que M. Schruder ait fait subir au système de Boole 
a consisté précisément à remplacer la soustraction par la négation ( Boole repré- 
sentait la négation de x par i — x). 

(-) Voir John Venx, Symbolic Logic, Cliap. III {-2' éd. 189^; London, Mac- 
mi 1 1 a n ) . 



()2 PUlîiMIÈUli PAUTIIi:. 

domaine de valahillté, c'est-à-dire par l'ensemble des instants 
où elle est vraie. Dès lors, les relations entre propositions se tra- 
duisent par des relations entre leurs domaines de valabilité, c'est- 
à-dire entre des ensembles soumis au Calcul des classes ('). L'in- 
clusion 

A<B 

signifie que le domaine de valabilité de la ])roposition A est con- 
tenu dans celui de B; elle exprime donc le jugement hypotlié- 
tique : « Si (ou quand) A. est vraie, B est vraie », ou simplement 
« A implique B ». Le produit AB est la partie commune aux 
domaines de valabilité de A et de B, c'est-à-dire l'ensemble des 
instants où A et B sont vraies à la fois; il représente donc le 
domaine de valabilité de V affirmation simultanée de A et de B. 
La somme A -h B est l'ensemble des instants où l'une (au moins) 
des deux propositions A et B est vraie; elle représente donc le 
domaine de valabilité de Vaffirmation alternative de A et de B : 
« ou A est vraie, ou B est vraie ». 

L'égalité 

A= B 

équivaut toujours aux deux inclusions simultanées 

A< B, B< A. 

Elle signifie que les deux propositions A et B sont équivalentes, 
en ce sens qu'elles sont vraies (ou fausses) en même temps. 
Le zéro, défini par la relation formelle 

o<X 

(quel que soit X), représente une proposition qui n'est jamais 
vraie; il est donc le symbole de l'impossibilité ou de labsurdité. 
Le un ou tout, défini de même par 

X<i, 

(quel que soit X), représente une proposition qui est toujours 
vraie : c'est le symbole de l'évidence ou de la nécessité (par 
exemple, des propositions identiques) (§ 28). 

(') On représentera les propositions par des majuscules, pour les distinguer 
des concepts. 



COMPTES KKNDUS ET ANALYSES. f.3 

Reste à vérifier si, moyennant cette intei'prétation, les principes 

du calcul des classes sont encore valables pour les propositions. 

\.e principe d' identité 

A < A 

signifie : « Si A est vraie, elle est vraie ». Le principe du syllo- 
gisme 

(A<B)(B<G)<(A<C), 

signifie : <( Si A entraîne B, et si B entraîne C, alors A en- 
traîne C ». L'un et l'autre sont encore évidents dans la nouvelle 
interprétation. Dès lors, toutes les conséquences formelles que 
l'on en a déduites sont également valables pour les propositions ('). 
Par exemple, \es, principes de contradiction eldu tiers exclu 

XX, = o, X-.-Xi = i, 

vaudront pour les propositions; ils ont alors le sens suivant : 
« Il est impossible qu'une même proposition soit vraie et fausse à 
la fois » et : « Ou bien une proposition est vraie, ou bien elle est 
fausse ». 

Aux principes précédents, qui sont les mêmes que pour le 
Calcul des classes, M. Schroder joint un axiome spécial au Calcul 

des propositions 

(A = i)=A, 

c'est-à-dire : « Affirmer qu'une proposition A est toujours vraie, 
c'est affirmer cette proposition elle-même ». Seulement, cet 
axiome ne vaut que pour les propositions à sens constant (juge- 
ments catégoriques) qui sont, en effet, toujours vraies ou toujours 
fausses; mais non pour les propositions à sens variable, qui 



(' ) Il faut encore s'assurer que le postulat (loi distributive inverse) 

(A-f-B)C< AC + BC 

est vrai pour les propositions : « Affirmer que A ou B est vraie, et que C est 
vraie, c'est affirmer, ou bien que A et C sont vraies, ou bien que B et C sont 
vraies », ce qui semble évident. M. Schroder croit pouvoir déduire cette formule 
d'un résultat plus simple 

(A + B = i) = (A = i) + (B = i) 

(qui résulte d'ailleurs de l'axiome spécial), ce qui ne nous parait pas ccrlain. 



64 PREMIÈUli PARTIE. 

peuvent èlre tantôt vraies, tantôt fausses (exemple : il pleut) ('). 
M. Schruder exclut ainsi de son Algèbre les jugements condition- 
nels, généraux ou indéterminés, qui font précisément l'objet du 
Calcul des probabilités. Il rompt par là, ou du moins il néglige, la 
liaison si remarquable que Boole avait établie entre la Logique et 
le Calcul des probabilités (-). 

Pour exprimer la négation dune proposition, M. Schroder fait 
porter le signe de négation sur la copule, puisque c'est la relation 
exprimée par la copule qui est niée (^); ainsi il écrit 

(a<b)i = (a\<b), 
{a.= b),={a\=b). 

Cela posé, l'axiome spécial- entraîne les équivalences suivantes : 

A=(A = i) = (Ai = o) = (A, = o) = (A, 1=1), 
Ai = (A^o) = (A|=i) = (A,= i)=(Ai| = o). 

Plus généralement, on a 

(A|=B) = (A= B,) = (A,= B)=:(A,|= Bi). 

Ainsi, dans une proposition à sens constant, on peut transporter 
la négation de la copule sur l'un des deux membres; par suite, on 
peut transformer une proposition négative en une affirmative ( '' ) 

(§31). 

(') Le calcul des propositions à sens constant se l'éduit, en somme, à une 
Arithmétique où il n'y aurait que deux valeurs distinctes, o et i. 

(2) Et que les recherches de M. Mac Coll ont contribué à préciser et à déve- 
lopper. Voir son Calculas of Equivalent Statements, a p. Proceedings of llie 
London Alathematical Society, t. IX, X, XI, XXVIII, XXIX, XXX. 

(') Le signe de négation est alors une barre verticale qui- traverse le signe de 
copule en son milieu. Nous avons reporté cette barre à gauche du signe de copule. 

(*) L'auteur emprunte aux Mathématiques les signes 2 et II, qui lui fournissent 
une notation très commode. Les propositions n'étant susceptibles que des valeurs 
o et I, pour qu'une somme soit égale à i, il faut et il suffit qu'wra de ses termes 
soit égal à I (de même, pour qu'un produit soit égal à o, il faut et il suffit 
qu'wn de ses facteurs soit égal à o). Pour qu'un produit soit égal à i, il faut que 
tous ses termes soient égaux à i (de même, pour qu'une somme soit égale à o, 
il faut et il suffit que tous ses termes soient égaux à o). Soit donc P^ une pro- 
position qui contient un élément variable a; (lequel parcourt un ensemble déter- 
miné de valeurs). S^P^(=i) signifiera que l'une au moins des propositions P_^ 
est vraie, c'est-à-dire que « quelque x » vérifie la proposition P; et n^P^( = i) 
signifiera que toutes les propositions P^ sont vraies, c'est-à-dire que « tout x » 
vérifie la proposition P. On interprèle de même les sommes et produits relatifs 
à plusieurs variables Z , n , ... (§ 30). 



COMPl'KS lUiNDUS li 1 ANAl.VSKS. Cj 

L'axiome spécial |)eiiiiel encore la Iranslornialion siiivaiUc dune 
inclusion en une somme (c'est-à-dire en une alternative) 

(A < B) = (.\B, = o) = (A,-t- B = 0= A,-- B. 

(( Dire que si A est \raie, 13 est vraie, c'est afiinner (juc, un 
bien A est fausse, ou bien B est vraie. » 
\ll par cotiséipicnt 

( A = B) = ( A < B ) ( B < A ) = ( A, - B ) ( A + B, ) = AB - A, B, . 

« Dire t|ue les propositions A et B sont étpiivaientes, c'est 
affirmer qu'elles sont ou toutes deux vraies, ou toutes deux 
fausses. i> 

Ces deux transformations permettent de réduire des propositions 
secondaires, c'est-à-dire dont les termes sont des propositions, à 
des propositions primaires, c'est-à-dire dont les termes sont des 
concepts (classes). Elles fournissent encore un moven de vérifier 
des équivalences de propositions secondaires, en les réduisant à 
des propositions primaires dont l'identité est manifeste (v; 32). 

L'auteur applique alors son Algèbre au problème de la Logique 
classique. Les quatre jugements traditionnels se traduisent ainsi : 

I" Uuniierselle a//ùmative (A) : « Tout a est b » par 

(a< b) = {abi = o); 

2" Uiini\erseUe négative (E) : « iVul a n'est ù » (c'est-à-dire : 
« tout a est non-b »), par 

(a<bi)={ab = o); 

3" Lsi particulière affirmative (I) : « Quelque a est b » (né- 
gation de E) par 

(a |< ^i) = (a6 1= o); 

4" La particulière négative (O) : « Quelque a n'est pas b » 
(négation de A) par 

(ai<6) = (a6,|=o)(')(§33). 



(') Cette traduction algébrique des particulières a été trouvée pour la 

première fois par M. Mac Coll en 1878, ainsi que son application à la théorie 

du syllogisme. On voit que les propositions universelles se traduisent par 

une copule affirmative, et les propositions particulières par une cupule néga- 

Bull. des Sciences niathem.. 2"= série, t. XXIV. (Mars 1900.) 5 



M. Scliriider appliqne ces nolalions précises à la lliéoiie du 
syllogisme. Sur les dix-neuf modes concluants d'Arislote, il en 
trouve quatre non concluants, parce qu'ils reposent sur la con- 
version partielle de A en I, ce qui implique un jugement d'exis- 
lence non compris dans les prémisses. Les syllogismes concluants 
dérivent tous d'une seule formule d'élimination trouvée par 
Miss Ladd. Ainsi est vérifiée la vue profonde de Boole, pour qui 
le syllogisme, et plus généralement la déduction, se ramenait à un 
processus d'élimination (des moyens termes) (§§ 42-4-4). 

L'auteur cherche à généraliser la théorie du syllogisme en s'in- 
spirant des idées de Gergonne (' ). Au lieu des quatre propositions 
classiques A, E, 1, O, il distingue quatorze relations fondamen- 
tales entre deux classes ou leurs négations : ce sont les sept rela- 
tions d'extension possibles entre deux domaines (figurés par deux 
cercles) et leurs négations. Il recherche leur traduction analy- 
tique (dans l'Algèbre de la Logique) et la possibilité de les réduire 
les unes aux autres, et notamment à l'égalité. Enfin il les ramène 
aux quatre relations primitives de de Morgan : 

al) = o, abi = o, ^,6 = 0, «,61 = 0, 

et à leurs négations. Il retrouve ainsi un théorème de M. Peano, à 
savoir que le nombre des jugements que l'on peut énoncer sur n 
concepts (classes) est égal à 

Ainsi sur deux concepts seulement on peut porter 32767 juge- 
ments difi'érents. On devine par là quelle peut être la complication 
de la syllogistique généralisée, où l'on combine chaque juge- 
ment portant sur « et 6 avec chaque jugement portant sur b eV c 
pour en tirer une conclusion touchant « et c (§§ 34-39, 48). 

L'auteur revient au problème de l'élimination, dans le cas gé- 
néral où à une ou plusieurs équations viennent se joindre une ou 
plusieurs inéquations. Ce problème n'est pas encore complètement 



twe C'est que, dans les propositions négatives, la négation ne porte pas en real.te 
sur la copule, mais sur le prédicat. Cest là une des nombreuses illusions ou 
ambiguïtés du langage que la Logique algorithmique sert à dissiper. 

(• ) Essai de dialectique rationnelle, a p. Annales de Mat/iematiques, t. MU 

(iSiti-i8r-- ). 



COMPTES HK.NDLS KT .AiNAI.VSHS. 6; 

résolu : la diinciiUé vient tle ce que les iné(|ualioiis siiimllanées 
ne se réduisent pas à une seule, comme les équations simultanées. 
On peut obtenir la résultante complète pour le système d'une 
équation et (\unc inéquation 

{ax ^ bxy — o)( p.r -^ (]Xi\= o)<^[ab — o)(/>a,-i- qbx\= o), 

mais la même formule d'élimination, appliquée à un système de 
plusieurs inéquations, fournit une résultante qui n'est pas com- 
plète. Pour la compléter, il faut lui adjoindre une clause qui 
exclut certains cas (exceptionnels) où plusieurs classes connues 
(figurant comme coefficients) se réduiraient au même individu. 
Far exemple, pour que le système suivant de deux inéf^alités 

( px\= o){qx^\—o), 
soit résoluble, faut-il non seulement que la résultante 

{p\=o){q\=o) 

soit vérifiée, mais encore que les deux classes/? et^ ne se réduisent 
pas au même individu (§§ 40, 41, 49). 

Pour exprimer analjtiquement ces clauses, on a besoin d'une 
définition formelle de l'individu, ou, plus exactement, de la classe 
singulière (qui se réduit à un individu). C'est une classe/ non 
nulle, et de plus telle qu'elle ne peut avoir des parties communes 
à la fois avec deux classes disjointes (sans connexion) quelconques 
{i\=o)X\^^y[{xy = o)<{ix\=o){iy\z=o)\, 

ou, en particulier, avec une classe quelconque x et sa négation 
(car XX s = o) 

( / i = o ) IT^ [( ix ! = o ) (>>, I = o ) = o ] . 

Cette formule exprime, en somme, ce fait que la classe singulière 
est indivisible. On en déduit la suivante (par contraposition) 

(f 1= o) Uj:[{ix = o)-(-(<>, ^ o)= i], 
ou encore la formule équivalente 

( i I = o ) n^ f( t" < a? ) -f- ( f < .r, ) = ) ]. 

Celle-ci signifie que la classe i est tout entière contenue, soit 
dans X, soit dans non-.r (quelle que soit x) (§ 48). 



es l' lu- M li: u !■: pautir. 

Celle définllion de l'individu monlre à quel degré de rigueur 
et de fiuesse la nouvelle Algèbre peut pousser l'analyse logique, 
et comment elle constifue un instrument de précision pour la 
pensée. Elle ne sert pas seulement à traduire les jugements sous 
une forme absolument claire et exemple des équivoques de lan- 
gage ('). Elle constitue un algorithme, c'est-à-dire permet de 
remplacer le raisonnement par un calcul formel, soumis à des 
règles fixes, qui fournit automatiquement, en quelque sorte, les 
conséquences de prémisses données ou la solution d'un problème 
posé. En un mot, c'est une machine à penser, le Calculas ratio- 
cinât or de Leibnilz, qtîi devait être aussi utile aux sciences dé- 
ductives que le télescope ou le microscope aux sciences d'obser- 
vation. Elle remplace et englobe (en la corrigeant parfois) la 
Logique classique, et en même temps elle a une portée inconq:)a- 
rablemenl plus grande que la Sjllogistique d'Arislote, et permet 
de traiter des problèmes bien |)lus compliqués. Elle fait enfin 
rentrer la Logique dans le cadre des sciences mathématiques, et, 
en lui prêtant leur méthode rigoureuse et formelle, elle lui 
apporte un perfectionnement considérable et lui assure un progrès 
indéfini (-). Louis Couturat. 



MAXSION (P.). — IXTRODtCTIOX A LA THÉORIE DES DÉTERMINANTS, AVEC DE 
NOMBREUX EXERCICES A l'uSAGE DES ÉTABLISSEMENTS d'iNSTRUCTION MODERNE. 

3' édition. Un vol. in-8"; Sg p. Gand, Hoste; 1899. 

Éléments de la théorie des DÉTERMINA^TS, avec de nombreux exer- 
cices. 6" édition, revue et augmentée. Un vol. in-S", iv-91 p. Paris, Gau- 
thier-Viliars: 189g. 

Nous nous contentons de signaler ces nouvelles éditions de 
livres bien connus; l'exposition est très claire; les exemples sont 
nombreux et intéressants : outre les propriétés fondamentales des 



(') Par exemple, elle a révélé les jugements d'existence que le langage ordi- 
naire sous-entend lial)iluellemeMt dans les propositions universelles. « Tout a 
est b », « nul a n'est b » implique, dans l'usage de la conversation, quoique à 
tort, qu'il y a des a (que la classe a existe, n'est pas nulle). 

(-) Sur les rapports de la Logique et de la Mathématique, tels qu'ils res- 
sortent de l'étude des nouvelles Algèbres, voir notre article sur VAIgèbre uni- 
Kerselle de M. Whiteliead, ap. Res.'ue de Métaphysique et de Morale de mai 1900. 



M fi LAN (JE s. fuj 

déterminants, railleur développe dans ses Eléments la résolution 
des équations linéaires et la mélliode d'élimination due à iM. Sjl- 
vester; les propriétés générales des déterniinanls ne sont déve- 
loppées qu'après l'étude des déterminants du deuxi«"'me et du 
troisiètne degré : c'est là une méthode qui a des avantages incon- 
testables, car l'expérience montre que les étudiants qui sont en 
possession des définitions et propriétés générales peuvent être 
parfaitement incapables de reconnaître, par exemple, les mineurs 
d'un déterminant du troisième degré quand ces mineurs sont 
écrits explicitement, el a fortiori, de tirer quelque parti des rela- 
tions entre ces mineurs. Je me permettrai de signaler une légère 
lacune, qu'il sera facile de combler dans une procliaine édition : 
M. Mansion n'est pas de ceux qui craignent de multiplier les dé- 
nominations, et l'on trouvera, par exemple, dans ses Eléments, 
la plupart des noms que l'on a introduits pour désigner des déter- 
minants spéciaux, avant quelque |)ropriélé remarquable. Je 
regrette qu'il n'ait pas parlé de la notion de rang dont M. Fro- 
benius el Kroneckeront montré l'importance ca[)itale, qui s'intro- 
duit d'elle-même dans l'exposition, classique en France, de la 
théorie des équations linéaires que l'on doil à jM. Rouché, comme 
aussi dans la théorie des formes quadratiques. J. T. 



MELANGES. 

FUNÉRAIILES DE M. JOSEPH BERTRAND, 

SKCHKTAIllE PEIiriCTUICL PK l'aCADEMIE DES SCIENCES. 



Discours de M. Maurice LÉVV 
Président de l'Académie. 

Messieius, 



Les hommes comme Joseph Bertrand aiment à être loués par 
leurs œuvres el leurs disciples. Si tous ses élèves se trouvaient 
aujourd'hui à Paris, ils lui feraient, à eux seuls, un imposant cor- 



70 PREMIÊKE PAKTIE. 

tcge. Car son nom n'a jamais éveillé chez eux, comme parlout, 
qu'admiration, respect et sympathie profonde. 

La grandeur même de ce nom dit mieux que de simples paroles 
ce que la mort de celui qui l'a porté et illustré fait perdre tout à 
la fois aux Sciences et aux Lettres, et ce n'est pas pour vous, ses 
confrères, collègues ou amis, qu'il serait utile d'y insister. 

3Iais ce que nous perdons plus particulièrement à l'Académie 
des Sciences, ceux qui en font partie sont seuls en état de le 
mesurer. Ce n'est pas seulement l'une de nos gloires qui s'en va ; 
c'est l'âme même de notre Compagnie qui est atteinte. Car, parla 
vertu d'un long et mutuel amour, l'âme de notre Secrétaire per- 
pétuel et celle de l'Académie étaient arrivées à une telle commu- 
nion que, depuis longtemps, elles n'en faisaient plus qu'une. 

Leur violente séparation aura un long et douloureux retentisse- 
ment. 

Depuis quarante-quatre ans que Joseph Bertrand siégeait à 
l'Académie, depuis vingt-six ans qu'il j exerçait la suprême dignité 
du secrétariat perpétuel, ses services se sont chaque jour renou- 
velés. Sa présence au bureau valait une encyclopédie, une ency- 
clopédie toujours renseignée, toujours ouverte à la bonne page. 
Avec lui, jamais une question ne demeurait en suspens. Qu'elle 
fut de science ou de tradition académique, il savait toujours la 
résoudre ou la faire trancher sur l'heure. 

Cette puissante faculté, qui a fini par faire de lui comme l'incar- 
nation de notre Compagnie, ne tenait pas seulement à l'universalité 
de son génie, à la sûreté et à la spontanéité de sa mémoire, au 
charme de sa parole ailée et persuasive. Elle était la résultante de 
tout cela et, en plus, d'une vie éclose et cultivée en milieu savant. 

Illustre en quelque sorte de])uis son enfance, causeur recherché 
et partout écouté, il a connu tout ce qui a marqué dans la science 
des soixante, presque des soixante-dix dernières années. Quant 
aux savants du commencement du siècle, ou « l'enfant prodige », 
comme on l'appelait, avait été leur jeune ami, ou il en avait entendu 
parler par son père ou chez son oncle Duhamel, en telle sorte que 
l'on peut dire que si Joseph Bertrand n'a pas, comme Fonlenelle, 
vécu cent ans, il a, du moins, au point de vue scientifique et aca- 
démique, vécu tout notre grand dix-neuvième siècle. Quant au 
dix-huitième, il en était par sn cullure première. (iCtle haute 



MÉLANGES. 71 

science du siècle passé, si près el pourtant, à tant d'égards, si loin 
de nous, il aimait à la rappeler. C'est par elle qu'il commençait 
volontiers ses leçons du Collège de France, quand l'occasion lui 
en était ofïerte. Nul mieux que lui ne savait la ressusciter, la faire 
renaître de ses cendres et la montrer comme la préface nécessaire 
de la nôtre. 

Il était ainsi la chaîne qui nous reliait solidement à tout le 
passé de la Science actuelle et à tout le passé de notre Académie 
elle-même, dont il a d'ailleurs écrit l'Histoire. 

C'est cette chaîne qui se trouve aujourd'hui rompue et qui se 
remplacera très difficilement. 

Vous parlerai-je de l'homme? Ce sera encore et presque toujours 
vous parler du savant. Les grandes natures sont simples, et Joseph 
Bertrand me paraît pouvoir être caractérisé d'un mot : il était 
vrai. 

Il était aussi vrai dans la vie que dans les Mathématiques. 

Lorsqu'il ne rencontrait pas les qualités de dioiture et de sin- 
céi-ilé qui étaient en lui, il se détournait discrètement, sans airec- 
tation et sans colère. 

J'aime qu'avec douceur nous nous montrions sages. 

Mais sa douceur était protégée par une riposte aussi fine que 
prompte. 

Il était curieux de vérité en tout. Cette curiosité Ta nalurellement 
engagé à tout aborder. Sa mémoire pouvait tout recevoir et tout 
retenir, et sa raison avant tout mathématique, mais d'admirable 
ordonnance générale, mettait chaque chose en place et savait 
découvrir, im peu partout, des doutes à éclaircir et des problèmes 
à résoudre. C est ainsi qu'il a été un mathématicien original et 
fécond, un érudit de marque el un fin critique. 

Le critique, chez lui, a bien souvent aidé le mathématicien, ce 
qui n'est pas extraordinaire. Car tout progrès résulte de la judi- 
cieuse critique de quelque coin du passé. 

C'est en faisant la critique approfondie d'un théorème fameux 
de Poisson qu'il a été amené à ses belles découvertes sur tes pro- 
priétés des intégrales des problèmes de la Dynamique et à une 
nouvelle méthode pour les aborder. 

Le calcul des probabilités où il est si facile de se Irumper, où 



7?. PHE.MIEIUÎ PARTIE. 

les plus grands se sont trompés, a nalurellement dû allirer le 
maître critique, sv'ir de ses propres jugements. Celte science devait 
aussi sourire à son imagination enjouée et poétique parle singulier 
don qu'elle a de rendre l'homme un peu prophète. Il l'a toujours 
cultivée. 11 l'a enseignée à diverses reprises au Collège de France 
et lui a fait une place aussi large que possible, même dans son 
enseignement moins élevé de l'Ecole Polytechnique, en quoi il a 
d'autant mieux fait qu'elle n'est pas seulement d'une grande utilité 
en Astronomie et dans les autres sciences d'observation, mais aussi 
dans plusieurs branches de 1 art de l'ingénieur civil ou militaire. 
Son Ouvrage sur cette matière ardue, résumé des leçons qu'il a 
faites au Collège de France, l'une des dernières années qu'ily a 
professé, est et restera un chef-d'œuvre. 

Dans son Traité de Calcul différentiel et intégral dont le 
troisième Volume n'a malheureusement pas paru, le manuscrit 
ayant disparu dans un incendie, il ne se borne pas à exposer les 
découvertes des autres; il donne aussi quelques-unes des siennes. 
Dans le premier Volume notamment, on trouve résumées un très 
grand nombre d'applications géométriques éparses dans ses divers 
INIémoires, et il convient de donner une mention toute spéciale à 
son exposition de la théorie des déterminants fonctionnels et au 
rapprochement si commode dans les applications, qu'il a su établir 
entre ces déterminants et la simple dérivée d'une fonction d\ine 
variable. 

Sa Thermodynamique était prête en iS-jo et le manuscrit en a 
été brûlé en même temps que celui du dernier Volume du Calcul 
intégral. Il l'a refait en donnant le résumé de ses leçons d'une 
année au Collège de France. Il observe qu'il n'a pas entendu faire 
un Traité complet et qu'il n'expose que ce qu'il a compris. Mais, 
sur ce qu'il prétend n'avoir pas compris, notamment sur les phé- 
nomènes irréversibles et l'application du second principe aux corps 
à température non uniforme, il fait une série de remarques cri- 
tiques très importantes et qui ont déjà porté des fruits. 

Cet Ouvrage, comme d'ailleurs tous ceux qui sont sortis de sa 
main, se distingue par vva ensemble d'exercices variés et toujours 
d'un tour original. Ici, quelques-uns, notamment ceux relatifs aux 
vapeurs saturées, dépassent de beaucoup le but purement spé- 
culatif pour le(]uel ils ont clé imaginés; ils peuvent être d'une 



Mf:LANGI-:S. 73 

grande ulililé à la IMivsi(|iie expérimentale et à l'arl de l'Ingénieur. 

Parmi les innombrables Traités d'Electricité qui ont paru, le 
court Volume où il résume aussi ses leçons d'une année au Collège 
de France est peul-étre le seul où Ton tiouve la véritable origine 
et la raison d'être de cette notion du Hux électrique due au génie 
divinateur de Faradav et passée dans la pratique, bien que Joseph 
Bertrand ne l'utilise pas svslématiqueinent, étant trop mathéma- 
ticien pour ne pas avoir préféré, aux procédés du grand physicien 
anglais, les méthodes jigourexises d'Ampère, pour lequel il avait 
d ailleurs une particulière admiration que justifiaient bien des 
([ualités communes. 

Son édition de la Mécanique analytique de Lagrange, avec les 
lumineuses Notes dont il l'a fait suivre, est Aenue à son heure. 
Bour, ^Massieu et bien d'autres v ont puisé le goùL des hautes 
questions de la Mécanique et du Calcul intégral. 

Ses Ouvrages élémentaires ne sont pas moins remarquables que 
les autres. C'est dans sou Aritliniélique que l'on trouve, pour la 
première fois, la claire définition de l'incommensurable. Elle est 
passée depuis dans les parties les plus élevées de la Science. 

Ce n'est pas ici le lieu et il ne serait pas possible d'analjser ses 
nombreux Mémoires sur les diverses branches des Mathématiques 
pures ou appliquées à la Mécanique et à la Physique mathéma- 
tique. 

Qu'il me soit pourtant permis de citer, en raison des beaux 
travaux qu'il a inspirés, son célèbre théorème sur le nombre des 
valeurs d'une fonction dont on permute les lettres et, en ma qua- 
lité de mécanicien, de donner une mention à ce principe si simple 
et si utile de la similitude en Mécanique et en Phvsique. Il permet 
(le deviner à l'avance les lois de certains phénomènes et toujours 
de circonscrire le champ de l'inconnu. Par l'emploi des modèles 
en petit, il est chaque jour appliqué en Architecture navale; il 
commence à l'être eu Hydraulique fluviale et maritime, ainsi que 
dans les constructions civiles. 

Je ne puis m'empêcher de rappeler aussi que la notion d'une 
intégrale commune à plusieurs jjroblèmes de Mécanirpie, devenue 
si fondamentale, a été jetée par lui, il v a longtemps, dans l'un de 
ses Mémoires, ainsi que l'étude des intégrales algébriques qui a 
donné lieu égalcnient à de si remarquables dévclo|)pemenls. 



74 p u li M I i: in«: iwirriiî. 

Quand on réunira l'œuvre scienlifique et l'œuvre lllléraire de 
Joseph Bertrand, on sera étonné qu'une vie humaine ait pu suffire 
à tant de labeur et qu'un seul cerveau ait pu enfanter tant de pen- 
sées originales et en des genres si divers. 

II a été un semeur d'idées. Ses Ouvrages classiques, avec leurs 
nombreux exercices, ont déterminé bien des vocations, de même 
que les pensées imprévues, les inspirations soudaines qui lui 
échappaient au cours de ses leçons du Collège de France ont 
modifié bien des carrières dans le haut enseignement. Le nombre 
des thèses de doctorat sorties de là serait difficile à chifTrer. 

S'il jetait la vérité en prodigue, jiar la plume et la parole, il 
savait aussi l'aimer et l'apprécier chez les autres. C'est pourquoi il 
a eu beaucoup d'amis. 

Il la trouvait toujours bonne à dire. C'est pourquoi il a dû s'at- 
tirer aussi quelques inimitiés, peu j'imagine; car il la disait tou- 
jours pour elle-même, jamais dans le dessein de nuire et autant 
que possible de façon à ne pas nuire. 

Il savait en inculquer l'amour à la jeunesse. C'est pourquoi il a 
été un vrai maître. 

Aucune peine ne lui coûtait j)Our rechercher les jeunes talents 
et les mettre en lumière, et il n'a pas attendu d'être ariivé lui- 
même pour se donner cette tâche. Dès sa jeunesse, il l'a considérée 
comme de devoir étroit pour lui. C'était, sans doute, sa façon de 
reconnaissance pour les dons exceptionnels qu'il avait reçus de la 
nature et une façon de n'en pas garder le profit pour lui seul. 

Si tous les riches se mettaient à suivre son exemple, le pro- 
blème social aurait fait un grand pas. 

Presque au début de sa carrière, alors qu'il n'était que simple 
professeur de lycée, il devina Foucault, s'attacha à lui, l'aida de 
sa science mathématique dont Foucault était dépourvu, contribua 
ainsi à ses découvertes sans se montrer; puis, à peine arrivé à 
l'Institut, à l'âge de trente-quatre ans, il soutint, contre les plus 
hautes personnalités de l'époque, une lutte restée célèbre, pour 
la candidature du grand physicien, alors peu connu ou méconnu. 

La bataille ne fut pas sans péril, ni le triomphe sans gloire. Une 
voix de majorité! Mais l'Institut de France comptait un homme 
de génie de plus à son actif. 

Il n'est pas de savant qui n'ait Uouvr ;ircucil auprès de Joseph 



MÉLANGES. 75 

Bertrand. A ceu\ qui lui en paraissaient dignes, il donnait son 
amitié, ses conseils, son appui. 11 s'inqniétait de leur carrière où 
qu'ils fussent, faisait des démarches en leur faveur sans le leur 
dire, et plus d'une fois il a mis toute son ingéniosité à trouver le 
moven le plus délicat et le plus acceptable pour eux de leur venir 
en aide de sa bourse. 11 est allé jusqu'à quitter provisoirement ou 
définitivement une partie de son enseignement pour permettre à 
tel savant de se mettre plus rapidement en évidence, et, en pareil 
cas, il se débattait contre les règlements pour abandonner la plus 
grande part possible de son traitement. 

Il a vraiment montré, par l'esprit, par le cœur et par ses œuvres, 
des vertus qui n'appartiennent qu'aux grands hommes, ces vertus 
rares en tous les temps, plus rares, nous assure-t-on, dans le nôtre, 
dont, en tout cas, une nation a le droit d'être fière, mais dont elle 
a aussi le devoir de perpétuer la mémoire et l'exemple. 

Ce n'est que quand ce devoir sera accompli que nous commen- 
cerons à nous consoler de l'avoir perdu, et je souhaite bien ardem- 
ment que sa famille, dont il était l'idole, qui lui a rendu en amour 
et en dévouement ce qu'il lui a donné en gloire et en tendresse, 
puisse un jour trouver là, elle aussi, un soulagement à sa profonde 
et si naturelle affliction. 

C'est dans cette pensée, cher et vénéré Maître, que votre ancien 
suppléant au Collège de France vous offre l'hommage respectueux 
et attristé de cette autre famille qu'a été pour vous l'Académie des 
Sciences, et dans laquelle, après tant de succès personnels, l'une 
de vos dernières et plus grandes joies a été de voir entrer votre 
fils. 



SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES DES POLYNOMES; 
Par m. Emile BOREL. 

Etant donné un polynôme à coefficients entiers {^), dépendant 
d une ou de plusieurs variables, il peut arriver que, pour toute 
valeur entière des variables, la valeur numérique du polynôme soit 

(') On reconnaîtra facilemenl que ce qui siiiL [muirail être étendu au ra;* où 
les coefficients seraient seulement rationnels. 



-G vnvA', ii:k !•: i> aiîtik. 

divisible par un noinhre ci; ce nombre esl ce que nous api^ellerons 

un diviseur numf'viqae du polynôme. Il est clair que, pour 

trouver tous les diviseurs numcri<pies d'un polynôme, il suffit de 

rechercher ceux qui sont égaux à une puissance d'un nombre 

premier; si l'on désigne par/-»^, cp, /T, ... les puissances les plus 

élevées des nombres premiers/?, q, /■,... (pii divisent le polj^nome 

proposé, le produit 

D = p'J-q^rl . . . 

est visiblement le plus grand diviseur numérique du polynôme 
et l'on obtient tous les diviseurs numériques en formant le tableau 
des diviseurs de D. 

Tout revient donc à déterminer les exposants a, |6, •', . . . qui 
conviennent aux divers nombres premieis y?, </, /•, .... J'y par- 
viendrai en étendant au cas des polynômes à plusieurs variables 
une remarque que j'ai faite, il y a quelques années, pour le cas 
d'une seule variable (') : le théorème de Fermât pour le cas 
d'un module premier suffit pour résoudre la question qui nous 
occupe. 

1. Dans ce qui suit, nous considérerons des variables x, r, z., ... 
assujetties à prendre seulement des valeurs entières. Nous disons 
que ces valeurs sont indépendantes suivant le module p si, quels 
que soient les entiers donnés a, [i, y, ... il est possible de vérifier 
simultanément les congruences 

X ^ 1 ( mocl/?;, 
j' = ^ (mofl/?), 

i; ES Y ( niod/»), 



Nous verrons que des variables peuvent être liées par des rela- 
tions et être cependant indépendantes suivant le module />. 

Une remarque évidente est la suivante : si les variables .x", y, 
;;,... d'une part, x, .r,, ar^, ... d'autre part, sont indépendantes 



( ' ) Introduction à la Tliéorle des nombres et à l'Algèbre supérieure, d'après 
des leçons de M. J. Tannery ; par E. Boiiei. el J. Drach. iNotk I. Sur le 
théorème de Fermât. Je pi-ofile de celte occasion pour rlire (|ue celle Noie esl 
la seule chose qui iii';ip|)iirticnne en propre clnus ce Livre. 



MI'LANGKS. 77 

suivant le module/?, il en est de même de rcnsemhic des variables 

X , X [ ^ uT-j , . . . j ^ , ^, .... 

Donnons encore une définition : nous appellerons degré d'un 
polynôme à plusieurs variables l'exposant le plus élevé qui j 
figure; par exemple, le poljnome x^ y- -\- x- y^ + z^ y -\- x^ sera 
dit du troisième degré. 

Nous pouvons maintenant démontrer les deux théorèmes qui 
servent de base à notre méthode. 

Théokème I. — Un polynôme de degré inférieur à p^ à un 
nombre quelconque de variables, indépendantes suivant le mo- 
dule /?, ne peut être di^'islble par p pour toutes les valeurs 
possibles (') de ces variables, que si les coefficients sont tous 
divisibles par p. 

La proposition est bien connue dans le cas où le poljnome ne 
renferme qu'une variable; il suffit donc de la démontrer pour le 
cas des polynômes à n variables, en la supposant vraie des poly- 
nômes k n — I variables. Soit donc 

un poljnome à n variables de degré inférieur à p. Les coefficients 1* 
sont des polynômes k n — i variables. Le polynôme FI étant divi- 
sible par /> quel que soit x, les coefficients l'o, •••, P,^ sont eux- 
mêmes divisibles par p pour toutes les valeurs possibles de 
n — 1 variables, indépendantes suivant le module/?. Tous leurs 
coefficients, c'est-à-dire tous les coefficients de FI, sont donc divi- 
sibles par/?. C.Q.F.D. 

Théorème IL — Si V on pose 

XP ^ X -^ pxi, 

les variables X et X y sont indépendantes suivant le module p. 

Il suffit de montrer que l'on peut vérifier simultanément les 



conffruences 



'6 



(0 



X ^ a. (mot!/» ), 

a-i s= ai (mod/?). 



(') Les valeurs possibles sont toutes celles que peuvenl prendre les variables, 
eu égard aux relations auxquelles elles sont assujetties; mais on suppose ces rela- 
tions telles que les variables soient indépcnflantcs suivant le module p. 



78 PHEMIËIIK PAHTIE. 

Posons 

X =:^ a -\- p z , 

<xP — a — pa. 
On aura 

Xi = := ' = « — 2 H- p M, 

P P 

M étant un nombre entier. 
H suffit donc, de prendre 

a — 5 s^ ai (moùp), 
c'est-à-dire 

z ^s a — ai ( mod p ) 

pour avoir simultanément les relations (i). 

II. Nous possédons maintenant tous les éléments nécessaires 
pour résoudre la question suivante : 

Etant donné un polynôme à coe^cients entiers P(ûr,y, z, ...), 
tromper la puissance la plus élevée p'^ du nombre premier />, 
qui divise le polynôme pour toutes les ivileurs entières des 
variables. 

Si le degré du poljnome est inférieur à />, nous savons 
(théorème I), qu'il suffit de rechercher la plus haute puissance 
de p qui divise tous les coefficients. 

Si le degré dépasse />, c'est que l'une au moins des variables, 
X par exemple, figure avec un exposant supérieur à/?. On posera 

XP = X -\- pXi, 

et l'on se servira de celte relation pour rendre inférieurs à p tous 
les exposants dex. On obtiendra ainsi 

le nouveau polynôme P, renfermant une variable de plus; mais 
cette nouvelle variable x, figure certainement avec un degré bien 
moins élevé que celui auquel figurait x dans P; et ;r ne figure 
dans P, qu'au degré p — i au plus; enfin les variables x, Xt, y, 
z, . . . sont indépendantes suivant le module/». 

Si le degré de P, dépasse/?, on procédera de même, c'est-à-dire 



.MftLANGKS. 79 

que l'on posera 

x1= Xi-hpx^, 

y1=yi-^pyi, 
ZP = z -^pzi, 

et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne un poljnome 

F/,{x,xi, ...,j,7,, ...,z,zi, . . ., zk, . ..)i 

dont le degré soit inférieur à />; le théorème I fera dès lors con- 
naître immédiatement l'exposant a. 

On voit combien est simple le principe de la méthode: elle ne 
fait intervenir que le théorème de Fermât pour un module pre- 
mier et le théorème II qui en est une conséquence presque immé- 
diate. 

Si l'on veut chercher tous les diviseurs numériques d'un poly- 
nôme donné, on devra donner successivement au nombre premier 
p toutes les valeurs inférieures ou égales au degré du poljnome 
proposé; les calculs doivent être recommencés pour chaque valeur 
de/?; c'est là un inconvénient de la méthode, mais on reconnaîtra 
sans peine qu'elle exige néanmoins des calculs bien plus courts 
que la méthode proposée par M. Hensel et basée sur la formule 
d'interpolation de Lagrange ('). Dans certains cas, il pourrait 
j avoir avantage pour les applications à combiner les deux mé- 
thodes. 

III. Soit, par exemple, 

P =. x^ — x^ -T- 3i5. 

Le polynôme P n'admet pas de diviseur premier supérieur à 'j. 
Posons donc d'abord 

37 ' ^^^ OC '-" "^ ce \t 



(•) Journal de Crelle, t. 117; 1896. Cet article de M. Hensel est postérieur 
à la Note citée plus haut; mais il est manifeste qu'il en est complètement indé- 
pendant. 



-So l'l{l>:.MlJ<:i{E l'AUTIH. 

il vient 

P = ■jx'^xi-'- 3i5; 

on trouve ainsi le diviseur ~, à la première puissance. En posant 

a"3 = a? -i- 'jxi 
d'où 

^9 _ ;j™3_|_ -^x'^Xi = a- -f- 5^1 -1- 5.r*:ri, 
on a 

F* = X — .r-^ -i- 5 .ri -i- 5 :f ^ X] H- 3 1 5 , 

c'est-à-dire que P n'est pas divisible par 5. 
Si l'on pose maintenant 

a:^ = .r -f- 3 57] , 

il vient 

X^ = X^-k- ^X-Xi-+- ^-jX Xl~ir ■l'jXl^ 

et avec 

■T, = Xi-T- iX2i 

on obtient 

P = 9:r2a"i 4- 27.r a?f -H ■27(:ri -t- Sa^o) -T- 3i5, 

et l'on voit que P admet le diviseur 9. 

Enfin, il sulfit de faire :r = o pour constater que P n'est pas di- 
visible par 2. Le plus grand diviseur numérique de P est donc 

32 X 7 = 63. 

On constatera aisément que c'est la détermination de l'exposant 
du diviseur 2 qui exige en général les plus longs calculs, lorsqu'un 
artifice ne permet pas de le déterminer immédiatement. 



COMPlMiS IllîNDUS liT AXALVSIiS. 8i 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



P. APPELL. — Les mouvements de roulement en Dynamique (colleclion 
Scientia). Un vol. iti-S" de 70 p. Paris, Carré et Naud, r8()(). 

L'extension croissante qu'a prise, dans ces dernières années, 
l'usage de la bicvclette, a naturellement attiré l'attention des 
savants sur les problèmes de Mécanique qu'elle soulève. C'est 
ainsi que l'Académie des Sciences a mis la question au concours 
en 1898, et qu'en réponse à son appel, plusieurs auteurs, tels que 
MM. Bourlet etCarvallo, ont fait faire à cette théorie d'importants 
progrès. Il est arrivé là, comme à beaucoup d'autres étapes de 
l'histoire de la Science, que l'application a été, pour la théorie, 
un guide utile, que l'étude d'une question purement pratique a 
rappelé l'importance de remarques d'ordre général insuffisamment 
approfondies jusque-là. 

Les mouvements de roulement, tels que la bicvclette les pré- 
sente, offrent en effet, pour la Mécanique classique, un puissant 
intérêt. On n'a pas afl'aire ici, comme le plus souvent dans l'étude 
des machines, au cas particulièrement simple d'un système à 
liaisons complètes; et, d'autre part, s'il est vrai qu'il s'agit d'un 
problème de Dynamique classique, en ce sens que les déforma- 
tions élastiques ne paraissent jusqu'ici jouer qu'un rôle insignifiant 
dans la question, on n'en est pas moins placé dans des conditions 
assez différentes de celles où se place généralement cette partie 
de la Science. 

En Dynamique classique, en effet, on considère la position d'un 
système comme définie par les valeurs d'un certain nombre de 
paramètres qi^q-j-, • • ., qm- Toute nouvelle liaison introduite dans 
le système s'exprime par une ou plusieurs équations entre ces 
paramètres et, en général, on peut, à son gré, soit garder tous les 
paramètres primitifs, en tenant compte des équations ainsi intro- 
duites, soit profiter de ces équations pour réduire le nombre des 
paramètres. 

Or, lorsqu'il s'agit de corps solides roulant l'un sur l'autre, les 
choses se passent autrement. Les conditions de roulement intro- 

Bull. des Sciences nialliém., 1' série, t. \\l\'. (Avril 1900.) IJ 



S7. PHEiMIElU!: PAUTIE. 

(luisent bien deux relations entre les paramètres définissant les 
positions des solides; mais ces relations sont des équations aux 
dift'érentielles totales pour lesquelles les conditions d'intégrabilité 
ne sont pas vérifiées et qui, par conséquent, ne peuvent se rem- 
placer par des équations en termes finis. 

Le problème ainsi posé relève encore des méthodes i^énéraies 
de la Dynamique, mais exige certaines précautions dans leur 
emploi. La nécessité de ces précautions introduit un nouveau 
genre de difficulté et, d'autre part, leur oubli a occasionné quelques 
erreurs. Une étude d'ensemble sur ce sujet, telle que le Livre de 
M. Appell, était donc intéressante tant au point de vue théorique 
qu'au point de vue pratique. 

Le plan de l'Ouvrage est très simple. D'abord sont rappelés 
les princi|)es généraux de la Mécanique du solide. Puis quelques 
considérations de Cinématique sont nécessaires ])Our appliquer 
ces principes au roulement. Une série d'applications sont pré- 
sentées, d'après V Advanced rigid Dynamics de Routh et d'après 
le Mémoire de M. Carvallo. 

C'est seulement ensuite que l'auteur étudie la question au point 
de vue de la Mécanique analvtique. En se plaçant à ce point de 
vue, on constate que le procédé qui sert à former les équations 
de Lagrange est encore applicable, mais en avant soin d'écrire 
l'expression de la force vive comme si les relations aux différen- 
tielles totales n^ existaient pas, c'est-à-dire comme si les solides 
qui roulent étaient assujettis à la simple condition d'être tangents. 
C'est seulement après les difTérentiations faites, du moins les diffé- 
rentiations partielles, qu'il est permis de tenir compte des con- 
ditions de roulement. 

Telle est la règle qu'il est nécessaire d'observer si l'on veut 
arriver à des résultats exacts. Toutefois cette règle est-elle toujours 
absolue? N'est-il aucune partie du calcul où l'on puisse utiliser 
les équations déroulement pour simplifier l'expression de la force 
vive? A cet égard, M. Appell démontre la proposition suivante : 
On peut se servir des relations aux difi'érentielles totales pour 
former l'équation de Lagrange relative à l'un des paramètres, 
^, par exemple, si, lorsqu'on se sert de ces relations pour ne laisser 
subsister que les différentielles réellement indépendantes, les 
variations virtuelles des coordonnées des différents points prennent 



CO.MPTES HI:M)L'S \n ANALVSHS. 8i 

chacune la forme d'ime difTércnlicJle totale, aiii^nienlée dime 
expression difTérenlielle ne contenant pas «y,. 

C'est ainsi que, dans ses recherches sur le cerceau, le mono- 
cycle et le bicvcle, AI. Carvallo a pu conslalcr que l'équation de 
Lagrange, relative au paramètre qui détermine l'inclinaison du 
cerceau sur le plan, peut être formée sans qu'il soit nécessaire de 
suivre la règle indiquée tout à riieure. 

Les deux Notes ajoutées par AI. Hadamard, à la fin du Volume, 
sont consacrées à une recherche analogue, mais non identique à 
celle dont nous venons de parler. Au lieu de se demander si, 
parmi les équations de Lagrange cherchées, il y en a que l'on 
puisse écrire en se servant de toutes les équations données, l'auteur 
se pose la question suivante, en (pielque sorte inverse de la pre- 
mière : Parmi les relations différentielles qui expriment la liaison, 
ou parmi leurs combinaisons, en est-il que l'on puisse appliquer 
sans précaution au calcul de toutes les équations de Lagrange? La 
réponse, dans des cas assez généraux, est affirmative, et l'on con- 
state que l'on peut former les combinaisons ainsi utilisables par 
un procédé qui revient (Note II) à la première série des opérations 
par lesquelles on complète un système d'équations linéaires aux 
dérivées partielles de premier ordre à une seule fonction inconnue. 

L'application de ces principes montre, par exemple, que dans 
le roulement d'une courbe sur une surface, on peut utiliser l'équa- 
tion qui exprime l'absence de glissement longitudinal, et que, 
dans le roulement sans pivotement de deux surfaces l'une sur 
l'autre, on peut employer sans précaution les équations qui 
expriment le roulement simple. 



Erxst SCHRODER. — Algebra uxd Logik der Relative, t. IH des T'orle- 
siingen iiber die Jlgebra der Logik, i'^ Partie, VI11-G49 P* Leipzig, Teubner. 
1895. 

Dans son Algebra der Logik, AI. Schroder avait traité la 
Logique des termes absolus, c'est-à-dire la théorie des jugements 
de prédication (dont la copule est le verbe être unissant deux 
concepts). Dans le présent A olume, qui forme à lui seul un nouvel 



84 l' lUi M 1 E H l< PAIITIIî:. 

Ouvrage, il expose une science incoinparablemenl jjIlis vasLe el 
plus complexe, la Logique des fermes relatifs, fondée par Ch.- 
S. Peirce ('). Celle-ci étudie toutes les relations que peuvent 
exprimer les jugements possibles (au mojen des copules autres 
que le verbe être), ainsi que leurs diverses combinaisons. L'auteur 
se borne aux relations binaii-es, c'est-à-dire à deux termes, ^^oici 
comment on définit ces relations, considérées à un point de vue 
purement formel (-). 

Soit un ensemble i, d'individus A, B, C, .... On désignera 
par i, y, /i. A", ... des é\ém.enl9, généraux ou iiidé terminés, dont 
chacun peut représenter un individu quelconque de cet ensemble. 

Cela posé, soit une certaine relation générale a. Si elle existe 
entre A et B, on dira qu'on a la relation (binaire) individuelle 
AlB. Une relation binaire est considérée comme la somme des 
relations binaires individuelles qui peuvent exister entre tous les 
individus de l'ensemble 1 1. On pose donc, par définition 

en convenant de donner au coefficient «/y la valeur i, si la relation 
individuelle (i'.j) existe, et la valeur o, si cette relation n'existe 
pas. Chacune des variables fely parcourt tout l'ensemble i|. Si 
i^ji {i-'.j) pst une sibirelation individuelle; si i\z=j^(^i\j) 
est une aliorelation individuelle. 

Ainsi une relation binaire est définie par l'ensemble de ses coef- 
ficients a,y, qui forme une table à double entrée (chaque entrée 
étant constituée par l'ensemble i ( ). L'ensemble des couples {i'.j), 
c'est-à-dire de toutes les relations individuelles possibles dans le 
domaine du j)remier ordre i,, forme le domaine du second 
ordre lo (§§ 1-3). 



(') Fils de lienjamin Peirce, l'auteui' de Linear associative Algebra, ap. Ame- 
rican Journal of Matheniatics, t. IV. Ses principaux Articles se trouvent dans 
les Memoirs of the American Academy, t. IX; 1870, et dans V American 
Journal of Matheniatics, t. III; 1880, et t. VII; 1884. 

(-) Cf. deux Notes de M. Schrôder : Note ûber die Algebra der binàren Rela- 
tive, ap. Matheniatische Annalen, t. XL\'I, p. \!\!\-\b%; et Ueber Pasigraphie, 
ihren gegemvdrtigen Stand, and die pasigraphische Dewegung in Italien, ap. 
Verhandlungen des ersten internationalen Mathematiker-Congresses in Ziiricit 
( 1897); p. i47-i6'-'- I-eipzig, Teubncr, 1898. 



COMPTHS HHNDUS ET ANALVSliS. 85 

Dans ce domaine à deux dimensions, cliaquc relation sera 
définie par le lablcfiu de ses coellicienls (tous égaux à i ou à o), 
(|u'on nomme sa matrice. On j^eut la figurer géomélriqxiemen't 
par un réseau quadrillé dont les lignes, tant horizontales que 
verticales, corres|)0iident aux divers individus A, B, C, .... Si 
deux individus sont en relation, on met un point (un œil) à l'in- 
tersection de leurs lignes; sinon, on la laisse vide ('). La figui'e 
formée par les points ainsi marqués caractérise la relation donnée 
au point de vue de s'a forme (§ 4). 

On définit certaines relations spéciales qui jouent le rôle de 
modules dans les opérations. \ oici d'abord les modules absolus 
o et I, définis par leurs coefficients 



Cela signifie que tous les coefficients de o sont o, et que tous les 
coefficients de i sont i; en d'autres termes, la matrice de o est 
entièrement vide (ne contient aucun point), et celle de i est entiè- 
rement pleine (contient tous les points de l'ensemble lo). 

On définit encore les modules relatifs o' et i' par leurs coeffi- 
cients 

o/y--(M = y), Ùj = {i = j)- 

(]ela veut dire que le coefficient de o' qui correspond au couple 
(i'.j) est égal à o quand ^ ety sont identiques, et à i dans le cas 
contraire ; et que le coefficient de i ' qui correspond au couple (i'.j) 
est égal à i quand i cl j sont identiques, et à o dans le cas con- 
traire. Si l'on suppose les individus de l'ensemble i , rangés dans 
le même ordre sur les deux entrées du tableau, la matrice de i' se 
composera uniquement de tous les points de la diagonale prin- 
cipale (-), et la matrice de o' aura au contraire tous ses points 
pleins, sauf ceux de cette diagonale. Ainsi i' est la somme des sibi- 
relations individuelles, et o' celles des aliorelations individuelles (3). 



(') Chaque relation individuelle impliquant un ordre entre ses deux termes, 
on prendra le premier tertne dans la colonne de gauche, c'est-à-dire parmi les 
lignes horizontales, et le deuxième terme dans la ligne supérieure, c'est-à-dire 
parmi les colonnes verticales. 

(-) Définie comme dans les déterminants. 

(') i' est la relation d'identité (i est idcnliqne à y); o' est la relation d'alté- 
rité {i est autre que ./ ). 



86 PKIÎMIÈHK TAUTIE. 

On définit ensuite les six opérations fondamentales : les trois 
premières sont les mêmes qu'en Logique : tnultiplication, addi- 
tion et négation. Voici leurs formules, appliquées au\ coeffi- 
cients : 

( ab )ij = a,j bij, \ {a -h b )ij — a,j H- b/j. 

au = ( «/y ) ( ' ). 

Les coefficients n'étant susceptibles que des valenrs o et i , cela 
veut dire que le produit ab a un i partout où les deux facteurs a 
et b ont à la fois un i, et un o partout ailleurs^ et que la somme 
(a -\- b) B. un I partout où l'un au moins des termes a et 6 a un i, 
et un o partout ailleurs (-). Enfin, la négation ci de a sl un i par- 
tout où a a un o, et un o partout où a a un i. Les deux matrices 
a et a sont complémentaires, et l'on a les deux relations 

aâ = 0, « -I- « = I. 

Voici maintenant comment se définissent les trois opérations 
propres à l'Algèbre des relations : la multiplication et Vaddition 
relatives., et la conversion : 

{a;b )ij = Z/, aihbkj, {a-\b )ij = H/, ( au, -\- b^j ) ( ^ ), 

Clly ■=■ Ctji- 

Cela signifie, en somme, que la relation «; b existe entre les 
deux, individus i et y, s'il y a au moins un individu h tel que la 
relation a existe entre i et /i, et (en même temps) la relation b 
entre h ety ; et que la relation ai b existe entre les individus ielj, 
si, pour tout individu h, il existe^ ou bien la relation a entre / 
et A, ou bien la relation b entre /i et y. Ces deux définitions 
fournissent le moyen de construire la matrice de a ; b ou de ai b 
connaissant celles de a et deb, et, par suite, de déterminer (d'une 



(') Le signe de la négation est désormais la barre supérieure (employée par 
Boole, Venn et l'eirce). 

(-) La somme et le produit logiques ont toujours la même interprétation 
géométrique; la somme (a -h b) est l'ensemble des points contenus dans les deux 
matrices a et b; le produit ab est l'ensemble de leurs points communs. 

{') Le signe employé par M. Scliroder pour faddilion relative est une croix 
dont la branche verticale porte un crochet inférieur (à gauche), afin d'accuser 
l'asymétrie de l'opération ((|ui n'est pas commutaiivc) comme le l'ait le sighe : 
de la multiplication relative. 



COMPTES KKNDUS lîT ANALYSES. 8- 

manièrc iinivoque) la somme et le produit relallfs de (lcii\ lehi- 
tions données quelconques. 

Nous nous bornerons à interpréter la tnultiplication relative : 
on dira qne i est V{a; h) de y, si / est Va de h, et A le h dey 
par exemple : si « = père et Z> = père, (a; ^) = grand-père; s 
a = frère et ^ = père, (a; b)^ oncle paternel, etc. On lira (« ; b) 
« rt de 6 » (')• 

Quanta la conversion, elle est aisée à comprendre : la relation a 
(converse de a) existe entre i et y, si la relation a existe 
entre y et / (dans l'ordre inverse). Si a = frère, a = frère ; si 
a = père, a = fils ou fille, etc. Géométriquement, la conversion 
se traduit par un retournement de la matrice autour de la diago- 
nale principale. Il est clair que, pour que « ^ a, il faut et il suffit 
que la relation a soit symétrique, ou que sa matrice soit symé- 
trique par rapport à la diagonale principale, c'est-à-dire que, pour 
tout couple {i'.j)i l'on ait 



Nous venons d'invoquer tacitement le critérium de Végalilé de 
deux relations, à savoir que tous leurs coefficients correspondants' 



( ' ) La notion de produit de relations coïncide avec celle de fonction, de 
fonction. En effet, le produit relatif des deux équations 

est 

r=/[r(^)]' 

c'est-à-dire le résultat de l'élimination de h entre les deux équations 
y=f{h), h^-^(x). 

Plus généralement, soient deux fonctions implicites déterminées par les équta- 
tions 

E(^, y) = ô, •^{x.y) = G, 

leur produit sera le résultat de l'élimination de h entre les équations 

F ( j;, /t ) =0, »I> {h, y) = o. 

Ainsi le produit de deux courbes est une courbe. Le produit de deux courbes 
planes situées respectivement dans le plan des xz et dans celui des yz est la 
projection sur le plan des xy de l'intersection des deux cylindres droits qui 
ont ces courbes pour directrices (§4). 



88 PUliiMlÈUH PAirriK. 

soient, égaux (que leurs matrices soient super|)osal)les). On le 
formule algébriquement ainsi : 

(a = b) = 11,7 («vy = à,-j). 

De même, on définit V inclusion ou subordination de deux 
relations binaires par la formule 

{a <b) = \\ij{aij<bij). 

Or, comme o <^ o, o << i , ' < ' , mais i |<; o, cela veut dire que 
la relation a est contenue dans la relation Z>, si tous les points de 
la matrice de a correspondent à des points de la matrice de b (ou si 
la matrice de b contient tous les points de la matrice de a) (§ 3). 

Toutes les règles du Calcul logique sont encore valables dans 
PAlgèbre des relations pour les opérations logiques. Mais les opé- 
rations relatives ont des règles de calcul spéciales, soit par elles- 
mêmes, soit combinées avec les opérations logiques, ce qui pro- 
duit une grande complication. Par exemple, la multij)lication et 
l'addition relatives sont bien associatives, mais non commutalives 
(comme on peut s'en rendre compte par la forme même de leur 
définition). Elles sont en outre dislributives, chacune par rapport 
aux deux opérations logiques, mais non l'une par rapport à l'autre. 
La négation les transforme l'une en l'autre, suivant des formules 
analogues à celles de De îMorgan : 



a; b = a j b, | a j b = a; b. 

Quant à la conversion, elle n'a pas d'elTet sur les opérations 
logiques 

ab =: a b, a -\- b = a -i- b, 

et elle renverse simj)lement les opérations relatives 

a; b = b ;a, a-j b =^ b \Y(. 

Enfin la négation cl la conversion sont commulativcs entre elles 

a =za., 'cl ^ a, a = n, 

de sorte que les quatre classes a, a, 7i et a forment un groupe 
[)ar rapport à ces deux opérations. 



COMPTIÎS HIÎNDUS ET ANALYSES. 89 

Le principe de (huiUté règne encore dans Ja nouvelle Algèbre. 
Étant donnée une formule, on obtient la formule corrélative {^àv 
dualité) en la contraposant, c'est-à-dire en niant les deux membres 
et en les intervertissant, puis en effectuant la négation sur les 
termes simples; cela revient à |ierniuter entre eux les signes de la 
multiplication et de l'addition logiques, et à renverser le signe <. 

A ce principe s'en joint un autre, propre à TAlgèbre des rela- 
tions, qui est \e principe de conjugaison. Etant donnée une for- 
mule, on obtient la formule conjuguée en convertissant les deux 
membres, et en effectuant la conversion sur les termes simples. 
Cela revient à intervertir l'ordre des opérations relatives (; et f )' 
c'est-à-dire à renverser tous les termes, et à lire en quelque sorte 
la formule à rebours (en conservant les parenthèses). 

Ainsi la négation, d'une part, et la conversion, d'autre ])arl, 
fournissent deux movens de transformer une formule en une autre 
équivalente. De plus, ces deux opérations sont commutatives; la 
corrélative de la conjuguée est identique à la conjuguée de la 
corréliilive. Une seule formule en engendre donc, en général, trois 
autres, et il suffit, en vertu des principes de dualité et de conju- 
gaison, d'en démontrer une seule pour établir toutes celles qui 
appartiennent au même ciaadrige (suivant l'ex[)ression pitto- 
resque de l'auteur) (^§ 6, 7). 

Pour compléter les règles du calcul, on établit celles du calcul 
des quatre modules 1,0, 1', o'. 

l^es modules absolus o et 1 sont, comme on sait, les modules 
respectifs de l'addition et de la multiplication logiques; de même 
les modules relatifs o' et i' sont les modules respectifs de l'addi- 
tion et de la multiplication relatives. De même qu'on a, dans le 
calcul luuKiue, 



aa -< o, 

on a les lormules analoi;ues 



I < (/ -f- rt. 



aa < o 
a \7i <^ o 



I < a ^a. 
r < « X ^ . 



Combinés entre eux, les quatre modules forment un groupe 
par rapport aux six opérations fondamentales. De même que 



(jo PREiMIÈHE PARTIE. 

o et I, o' et i' sont la négation l'un de l'autre ('); la conversion 
transforme chacun des quatre modules en lui-même (-). 

On a les formules suivantes (analogues à des formules de Calcul 
logique), qui permettent de transformer une inclusion en lui don- 
nant i' pour premier membre ou o' pour second : 

(C<ïiib) = (a<b) = ia;ï<o') (§8). 

Une relation quelconque a forme, avec les quatre modules, 
seize combinaisons irréductibles. Par exemple, iV/ comprend 
toutes les sibirelations individuelles, et o'a, toutes les aliorelations 
individuelles de a. La relation a forme, avec le module i', un 
groupe de 64 combinaisons par rapport aux six opérations fon- 
damentales. Par exemple, acî ne contient que les \eux pairs 
(svmétriques) de a; a a ne contient que ses yeux impairs (sans 
symétriques); aa H- aci transforme les yeux impairs de a en pairs, 
et exclut les autres; aa-i-aa contient tous les éléments pairs 
(yeux ou vides) de a; et ainsi de suite. Mais les combinaisons 
modulaires les plus importantes sont les suivantes (•^) : 

ï. «;i transforme toutes les lignes occupées de a en lignes 
pleines^ et conserve les lignes vides; 

II. rt 7 o transforme toutes les lignes lacunaires de « en lignes 
vicies, et conserve les lignes pleines; 

III. a ; o' transforme toutes les lignes plurioccupées de a en 
lignes pleines, et les lignes unioccupées en leurs négations (lignes 
unilacunaires); 



(' ) En ed'et, ils vérifient les deux relations 

o'.i' =0, o'+ i' = I, 

comme on le constate intuitivement par leurs matrices. 

(-) En eflct, leurs matrices sont symétriques par* rapport à la diagonale prin- 
cipale. 

(3) Une ligne (de la matrice) de a est dite occupée quand elle contient au 
moins un i; unioccupée, quand elle n'en contient qu'un; pluriocciipée, quand 
elle en contient plusieurs; vide, quand elle n'en contient aucun. De même, elle 
est dite lacunaire, quand elle contient au moins un o; unilacunaire, quand elle 
n'en conUcnl i\u.'n\\; plurilacunaire, quand elle en contient plusieurs; pleine. 
quand elle n'en contient aucun. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 91 

IV. f( j i' transforme loiiles les V\^nc% plurilacunaircs (\c a en 
lignes vides, el les lignes iinilacunaires en leurs négations (lignes 
uDioccuj)ées). 

Si, clans les qiialre délinitions précédentes, on intervertit les 
termes, on devra remplacer le mot ligne par le mot colonne (ligne 
verticale) (§ 9). 

M. Schroder adopte un schématisme commode pour repré- 
senter la composition linéaire d'une l'elation : i figure les lignes 
pleines; a, les lignes unilacunaires ; [3, les lignes plurilacunaircs 
et plurioccupées; y, les lignes iinioccupées; el o les lignes vides. 
Ainsi cliacpie relation a pour schéma un nombre sjmbolicjuc de 
cinq chiffres la^yo. Cela posé, l'auteur appelle transformation 
linéaire d'une relation toute transformation qui change le carac- 
tère de ses lignes, c'est-à-dire la composition du nombre qui les 
symbolise; il y en a 266 pour une relation générale. 

Il traite alors le problème suivant : Représenter toutes les 
transformations linéaires d'une relation au mojen des quatre 
modules et des six opérations fondamentales. Les quatre théo- 
rèmes précédents donnent la clef de ces transformations. Cha- 
cune d'elles sera figurée par une altération du nombre symbo- 
lique la^iyo. On comprend que les transformations linéaires 
deviennent, par simple conversion, des transformations colon- 
naires, qui consistent à changer les colonnes pleines ou vides, 
uni- ou plurilacunaircs, uni- ou plurioccupées les unes dans les 
autres (§§ lo, 46). 

On est ainsi amené à définir les relations quadrillées. Ainsi 
c = (afo) (of ^) est l'ensemble des points d'intersection des 
lignes pleines de a avec les colonnes pleines de b. De même, 
f/ = rt ; I -|- I ; ^ se compose de toutes les lignes occupées de a et 
de toutes les colonnes occupées de Z>, devenues pleines; de sorte 
que ses seuls vides sont les intersections des lignes vides de a et 
des colonnes vides de h. On dit alors que c est une relation qua- 
drillée d'yeux, el d une relation quadrillée de vides, pai'ce que les 
yeux de l'une et les vides de l'autre sont disposés en rectangle, 

La forme générale de la première est c ; i ; c, celle de la seconde, 
c/fo-j-c/, de sorte que leurs écpiations caractérislicjucs sont 

.r = .r ; I ; .r , | x =■ x\ii\ x ( § :20 ). 



9'2 PKK.MIÈUË PAUTIE. 

On appelle relations distinguées des combinaisons modulaires 
irréductibles qui ne peuvent prendre que les deux valeurs o et i 
(coniuie des propositions). Voici quelques-unes des plus simples, 
avec la signification d'une de leurs valeurs (la signification de 
l'autre s'en déduit par négation) : 

(i;rt;i = o) = (a = o), ( o j aj o = i) = (a = i), 

[i;(«-f-o) = o] =z (^aj o =: o) = a n'a pas de ligne pleine, 

(07a;i = i) = (a;i = i) = « n'a pas de ligne vide. 

Inversement, on peut mettre toute proposition sous la forme 
d'une relation distinguée; car toute pro])osition consiste à égaler 
une certaine relation j; à o ou à i , ce qui peut s'exprimer en éga- 
lant à I une certaine relation distinguée, fonction de x, c'est-à-dire 
en l'écrivant simplement (') (§ 10). 

Parmi les relations spéciales qu'on peut encore définir, il faut 
citer V unilinéaiie et V unicolonnaire (dont les matrices sont 
composées d'une seule ligne pleine ou d'une seule colonne 
pleine). Ils sonl définis respectivement comme suit : 

ce qui veut dire que leurs seuls coefficients i (yeux) sont ceux 

pour lesquels on a 

h = i, /. =j, 

c'est-à-dire ceux de la ligne i ou de la colonne y. Ainsi i repré- 
sente un élément de l'entrée de gauche et y un élément de 
l'entrée du haut; tous deux représentent un individu du domaine 
du premier ordre i , . 

L'équation caractéristique de l'individu est 



On a l'équivalence fondamentale 

{(lij = i) = ( f < a; j) = (/< a ; 

qui est évidente dans son interprétation verbale : car, dire que le 
coefficient oij est égal à i, c'est dire que / est dans la relation a 

(') En verlu de Vaxioine spécial (A — i) = A. 



COMPTES KEN DUS ET ANALYSES. 9J 

avecy (est un a dey) ou que / est dans la lelalion (inverse) ïi 
avec i ( ' )• 

On a aussi l'équivalence suivante : 

qui permet de représenter la relation individuelle (i'.J) au moyen 
des six opérations fondamentales. Il est évident, géométriquement, 
que le point {'ij) est l'intersection de la ligne i et de la 
colonney (que cette intersection existe ou non) (§ i2o). 

On arrive ainsi à définir l'individu du domaine du deuxième 
ordre lo, c'est-à-dire la relation individuelle dont la matrice a un 
senl œil et qn'on appelle pour cette raison Vunioculaire (-). 
Pour avoir son équation caractéristique, il suKit d'éliminer / ety 
entre les trois équations suivantes : 

l'f i; I = i, l'fy ;i =y. 
Réduite à sa j)lus simple expression, elle s'écrit 
I ' 7 ^ -j- r = ^ : [ -^ i ; j . 

On trouve comme résultantes partielles, d'une part, 

(x;î=o) = (i;:;;i = i) 

qui signifie que z n'est pas nulle, c'est-à-dire a au moins un œd ; 
et, d'autre part, 

qui signifie que :: a au plus un œil. On conslale que l'équation 
caractéristique équivaut à la définition de l'individu du domaine 
du premier ordre donnée en Logique, c'est-à-dire à 

(^; = o)n„[(^ <«)-;-(::< û)] (§2G). 



(' ) lîn général, on a 

le second membre prenant les valeurs o et i en même temps que le premier, 
c'est-à-dire suivant que la relation a existe ou n'existe pas entre les individus i 
et y (c'est une relation distinguée). 

(-) Nous rappelons que monocle est un barbarisme, de même que bicycle, 
automobile, etc. 



94 PlîEMIÈUE PAIlTlIi. 

On pciil enfin passer du domaine du premier ordre au domaine 
du deuxième ordre et, par suile, faire rentrer le Cnleul logicpie (et 
la Théorie des ensembles) dans l'Algèbre des relations, en définis- 
sant les ensembles ou systèmes comme des lela lions spéciales. On 
sait que, quelle que soit la lelalion rt, les relations a\i et <7 f o se 
composent uniquement de lignes pleines et de lignes vides. Or 
chaque ligne pleine représente un individu du premier domaine; 
donc ces relations représentent des ensembles ou classes d'indi- 
vidus, c'est-à-dire des systèmes. L'équation caractéristique du 

système est donc 

a ; \ — a, ou a j- o = a. 

On retrouve, dans l'Algèbre des relations, toutes les propriétés 

des classes établies dans le Calcul logique; la somme et le produit 

de deux systèmes et la négation d'un système sont encore des 

systèmes. Un système peut se représenter comme une somme 

d'individus 

a = ^iOii, 

le coefficient ai étant égal à i ou à o suivant que l'individu i fait 
ou ne fait pas partie de l'ensemble a, ce qu'on exprime en posant 

valeur indépendante dey, puisqu'elle est la même sur toute la 
ligne i de la relation a ; i (pleine ou vide). 

On voit que l'opération (; i) etrectuée sur une relation quel- 
conque la transforme en un système. Au point de vue logique, elle 
transforme un terme relatif en un terme absolu. Au lieu de dire : 
« i est un a dey" », on dit simplement : « i est un a » (*) (§27). 

L'auteur expose, d'autre part, la méthode générale pour 
résoudre les problèmes de l'Algèbre des relations. Les données 
du problème sont des égalités et des inégalités; mais on peut 
ramener les inégalités à des égalités et réduire une somme on un 
produit d'égalités à une seule égalité au moyen des relations 



(' ) On pcul remplacer a par « multiple », « père », frère », « époux », etc. Par 
exemple, au lieu de dire : « x est le mari de j' », on dira simplement : « x est 
marié ». 



COMPTES URNDUS lîT ANALYSILS. 93 

distinguées; on peut donc considérer tout prolilènic comme 
exprimé par une équation unique. Comme dans le Calcul logique, 
la résolution d'une équation et l'élimination des inconnues 
marchent ensemble et pour ainsi dire parallèlement. On éliminera 
les inconnues une à une, et l'on aura des résultantes successives, 
dont la dernière devra être vérifiée identiquement pour que l'équa- 
tion soit résoluble. Puis on résoudra les résultantes dans l'ordre 
inverse, en reportant dans les précédentes les expressions des 
inconnues tirées des suivantes. En somme, tout revient à savoir 
éliminer une inconnue d'une équation et résoudre celle-ci par 
rapport à cette inconnue (§ 11). 

Soit une équation résoluble sans condition (c'est-à-dire dont la 
résultante est une identité) 

(1) F(:r) = o. 

On établit les trois propositions suivantes : 

1" La solution générale de cette équation peut se mettre sous 

la forme 

x=/{u), 

a étant une relation entièrement arbitraire. 

2" Toute solution générale est caractérisée par l'égalité 

la somme S étant étendue à toutes les relations n possibles, c'est- 
à-dire à toutes les classes du domaine lo. 

3" La solution générale peut toujours vérifier la condition 
complémentaire suivante 

[F(a,) = o] = [f{x) = T], 

c'est-à-dire que la fonction y doit être telle que les racines soient 
caractérisées par l'équation 

(2) f{x) = T. 

Si l'on connaît une racine a de l'équation (i), on peut la 
résoudre à la rigueur en prenant pour solution générale la 
fonction 



90 PUE M IK RE PAHTIK. 

En elTcf, on jiroiivc que, si F(?/) =: o, 

/(h) = u, 
el que, si F{u) |= o, 

f(u) = a. 

Donc, dans tous les cas, /{'/) fournit une racine de (i). 

Mais cette solution à la rigueur n'est pas satisfaisante; il faut 
encore que la fonction /{u) permette de reconnaître les racines 
au moyen de l'équation (2), c'est-à-dire les reproduise identique- 
ment. 

Inversement, si l'on veut éliminer u d'une ccpiation 

la résultante aura la forme 

Ainsi le problème de l'élimination est l'inverse du problème de 
la résolution. En Logique, le problème de l'élimination consiste 
à tirer de prémisses données une conclusion en faisant abstraction 
des termes inconnus, c'est-à-dire auxiliaires. Le problème de la 
résolution, au contraire, consiste à trouver de quelles prémisses 
on peut déduire telle conclusion donnée, en introduisant des élé- 
ments nouveaux représentés par les paramètres indéterminés 

(§i2)(;)- 

Voici la solution générale du problème de l'élimination : 
Étant donnée l'équation (i), la résultante complète de Télimi- 
nalion de a: peut se mettre sous les deux formes corrélatives 

n,Ji ;F(«): i] = o, ::„[o-l-F77ôf o]=i. 

En eflél, en vertu des propriétés des relations distinguées, si 

F(r) = o, 
on a 



I ; F ( 37 ) ; I = o, o -|- 1^' ( 3^- j y o = I , 

et réciproquement (§ 28). 

M. Schruder traite dans un ordre mélbodiquc les divers pro- 
blèmes que présente l'Algèbre des relations, c'est-à-dire toutes les 



( ' ) Ce processus est analogue à l'inlégration, qui inlroduiL des constantes 
arl>iti'aires. 



COMPTES UKNDUS KT AXAI.VSKS. 97 

équations que l'on peut construire avec un ou plusieurs ternies 
combinés avec les modules. Nous ne pouvons entrer dans le 
détail de la résolution, souvent très compliquée, de ces équations. 
Nous nous bornerons à mentionner les problèmes les plus inté- 
ressants. 

Tels sont, par exemple, les prohlcmes (V inversion, dont les 
types sont les équations 

x; b <i a, a <C x; b, x,b^=a, 

que l'on résout à l'aide des théorèmes d'inversion 

(a; 6<c) =(6; c </a) = {c; a <C.b), 

et de l'équivalence fondamentale suivante (' ) 

(a; b <. c) = {a <i c j b ) , 

qui permet de faire passer un terme (ou facteur) d'un membre 
dans l'autre d'une inclusion (§§ 17-19). 

Parmi les problèmes en deux, lettres, signalons les deux inclu- 
sions suivantes et leurs solutions 

Cette inclusion exprime que x est une relation symétrique ou 
réciproque, car elle équivaut à l'équation 

X — X. 
2" (x <. x) = "^(x = u u). 

Celte inclusion exprime que x est une relation impaire ou 
asymétrique, car elle équivaut à l'équation 

XX = (§21). 

Parmi les problèmes en trois lettres, on remarque celui-ci . 

X ; X <C X 

qui exprime que la relation x est transitive : « Tout .r de ;r est 
encore un .r », ou plus explicitement : ce Si i est un x de A, et h 

(') Analogue à la formule de Peirce en Logique : 
(ab <c) — (a < c-f- ^,). 
Bull, des Sciences malhéni., 2" série, t. XXIV. (Avril lyoo.) 7 



qs p rem 1er k partie. 

un X dcj, i est aussi un .v de j ». Telles sont, par exemple, les 
relations d'égalité (arithmétique), de congruence (géométrique), 
qui sont aussi symétriques. Comme exemples de relations symé- 
triques non transitives on peut citer : « inégal à », « premier 
avec », etc., et comme exemples de relations transitives non 
symétriques : « plus grand que », « plus petit que », « multiple 
de », « diviseur de », etc. 

La solution générale de cette inclusion (c'est-à-dire la formule 
générale des relations transitives) peut se mettre sous trois formes 
différentes finies : 

X = (if j i{.)u ^= u( uj-u) = (ûf u)u(u-'[-Ti) 

et sous forme d'une série infinie : 

X = Il -\- u- -^- u^ -^ (§22). 

Cela nous amène à dire quelques mots des séries, de leur con- 
vergence, de leurs limites, et de l'itération des fonctions dans 
l'Algèbre des relations. 

Etant donnée une suite simplement infinie de relations 

?/0, «1, lli, ..., Un, ■■■, 

on dit que son terme général u,/ est convergent, si à chaque 
place {i-ij) de la matrice correspond un nombre k tel que, pour 
tout n >> /., u,i y ait toujours un œil (un point) ou un vide. 

On dit qu'une place {i, j) est déjinitivement pleine ou vide, 
si elle est jileine ou vide dans toutes les i-elations u,, à partir d'un 
certain rang h. 

La limite u^ de la suite convergente Uu est la relation qui a 
pour places pleines les places définilivemenl; pleines, et pour 
places vides les jîlaces définitivement vides. On démontre aisé- 
ment que toute suite convergente a une limite bien déterminée 
qu'elle définit complètement. 

Toute suite infinie n'est évidemment pas convergente; mais 
toute série (somme infinie) et tout produit infini est convergent 
sans condition ( ' ). 



(') IiuiLile de iairc ressorlir rimmcnse avantage (]ue celle propriélé confère à 
l'Algèbre des relations sur l'AnalNse ordinaire, au point de vue de la sini|)Iicité 
et de la généralité. 



c M p T \'. S in: M ) r S i; r a n a l v s !•: s . grj 

Daulre pari, on pciil iléfinirla pifissance /«"'""' d'une relation u 
comme le produit relatif de /i facteurs égaux à //, que Ton dési- 
gnera par {il',)" ou simplement ii" ('). 

De même, on définira une somme itérative (que l'on pourrait 
aussi appeler un multiple) de it , comme la somme relative de ?i 
ternies égaux à m, que l'on désignera par (^^7)". 

La puissance x"^ est convergente, si x vérifie l'une des inclu- 
sions 

X <:^ X \ X X : X <^ X. 

Mais on n'a pas de critérium général de la convergence d'une 
puissance. En général, une puissance est divergente; néanmoins, 
d'après ce qui vient d'être dit, toute série de puissances -" u'^ est 
convergente. 

On définit une fonction itérée de la manière suivante (par ré- 
currence) : 

/ouO = ", /'(«)=/(«), f''^Hu)=f[f"{u)]. 

Si la fonction itérée y"(«) est convergente, elle a une limite 
bien déterminée qui sera, par définition, 

rin) (§131. 

Revenons aux problèmes en trois lettres. On voit que la solution 
générale de Tinclusion 

mise sous la forme dune série de puissances . 



I- -i- 7/3 _L_ 



a toujours un sens déterminé, quelle que soit l'indéterminée u. Un 
autre problème, à savoir : 

{x \ a <.x) =^ {x <^ X -j a) = {a <C'x j x) 

a pour solution générale la limite d'une fonction itérée 

où 

f{u)=^u-T-u\ a. 



(') Il n'y a pas d'ambiguïté à craindre, puisque la iiuiltiplicalioii logique ne 
comporte pas de puissances. 



loo PUHiMIËKIi PAUTIE. 

et par suilo 

j"^ ( u ) = Il -{- Il ; a -h u; a'--h II : a^ -h . . . 

On est ainsi amené à définir la chaîne (]c a 

f/o = I ' -t- « + (7- + «^ -I- . . . = ( r H- « )* 

[ce qui permet d'écrire la solution précédente 

ar =/'' (u) = H ; «„] 
et la chaîne-image de a, 

«00 = rt ; «0 = «0 ; « = « -H «^ + «^ + • • • • 

Les fonctions itérées à l'infini, et les chaînes en particulier, 
fournissent la solution d'une certain nombre de problèmes (§22). 
Mais leur application la plus intéressante est celle que M. Sclir(")der 
en fait en traduisant et en justifiant dans l'Algèbre des relations la 
théorie des chaînes de M. Dedekind ('). Il retrouve ainsi un des 
résultats les plus importants de cette théorie, à savoir la démon- 
stration analytique rigoureuse dn principe de l'induction com- 
plète {^^'È3, U). 

L'auteur emploie enfin l'Algèbre des relations à définir les con- 
cepts les plus importants de la Théorie des fonctions. 11 appelle 
représentation une relation binaire telle qu'elle-même ou sa 
converse soit au moins univoque (jamais nullivoque) ou au plus 
univoque (jamais plurivoque), et il formule analytiquement les 
conditions auxquelles elles possèdent chacun de ces caractères. 
(Une représentation au moins univoque est une relation qui n'a 
pas de colonne vide; une représentation au plus univoque est 
une relation qui n'a pas de colonne plurioccupée.) Une repré- 
sentation univoque (au moins et au plus) s'appelle une fonction 
(toutes ses colonnes sont unioccupées) (-). La relation inverse 
s'appelle un argument (toutes ses lignes sont unioccupées). 
Enfin une représentation univoque et réciproque (^) s'a|)pelle 



(') Was sincl und was sollcn die ZaA/e« ? 13raunschwei§, Viewcg, 1887. 
(-) Une fonction y —f{x) s'écrit dans l'Algèbre des relations : 

Une fonction constante est une relation unilinéaire qui correspond à sa valeur 
unique. 

(^) C'est-à-dire dont la ronvcri;rnce est aussi univocjuc. Exactement : « fonc- 
tion uni/orme d'une variable ». 



CO.MPTKS lU'XDUS I-:T ANALYSES. loi 

une siihstitdtion. I^Mnvcrsion d'une fonction équivaut à la con- 
i'crsion de la velalion c|ui lui correspond. Une fonction de fonc- 
tion est, comme on l'a déjà vu, le produit relatif des deux fonc- 
tions. Dans la théorie des subslilulions, le module relatif i' 
représente la subslilulion identique; la relation ^, converse 
de 5, représente la subslitulion inverse de s. Le produit de deux 
substitutions est leur produit relatif. Les puissances successives 
d'une substitution sont ses puissances relatives. On voit que 
la Logique des relations donne une définition et une expression 
analytiques à toutes les notions fondamentales de la Théorie des 
substitutions, et fournit pour les calculer un algorithme appro- 
prié (§ 30). 

Enfin M. Schruder trouve, dans l'Algèbre des relations, six dé- 
finitions formelles de la représentation semblable d'un système 
par un autre; il en tire la définition des ensembles semblables on 
équivalents (d'égale puissance) et, par suite, celle de \di puis- 
sance (nombre cardinal) et celle de l'ensemble infini (semblable 
à une partie intégrante de lui-même) (§ 31). 

Depuis que ce Volume est paru, l'auteur, poursuivant ses 
recherches, a employé son Algèbre à démontrer plusieurs 
théorèmes de M. Cautor sur les ensembles, à établir l'équivalence 
de deux définitions de l'ensemble fini, données respectivement par 
Peirce et par M. Cantor, à définir la notion d'ordre linéaire (comme 
une relation entre les éléments d'un même ensemble), enfin à dé- 
finir anal\ ti({uement les premiers nombres cardinaux ('). Ces 
essais donnent une idée de la portée de cette Algèbre et de ses 
applications aux Mathématiques, que contiendra probablement la 
suite de l'Ouvrage que nous venons d'analyser. 

En résumé, l'œuvre de M. Schroder, encore inachevée, forme 
déjà un corps de doctrine vaste et imposant; c'est toute une 

('} Ueber zwei Definitionea der Endlichkeit, und G. Cantor'sche Sàtze; 
die selbstàndige Définition der Miichtigkeiten o, i, 2, 3, und die explizite 
Gleichzahligkeitsbedingung, ap. Abhandlungen der Kaiserl. Leop.-Carol. 
Ahadeniie der Naturforscher, t. LWI (Halle, 1S98). Cf. l'aiLicle déjà cité : 
Ueber Pasigraphie, etc. Nous avons cru devoir faire des réserves, au point de 
vue philosophique, sur ces prétendues définitions analytiques du nombre entier, 
ainsi que sur la définition logique de l'individu : Sur une définition logique du 
nombre, ap. Bcvuc de Métaphysique et de Morale, janvier 1900 (t. Mil, 
p. j3-3G ). 



;io2 pin^AiiËiir: i'autiiî. 

Science nouvelle que l'auteur a, sinon créée, du moins fondée ù 
nouveau, développée dans un enchaînement rigoureux et exposée 
dans un ordre systématique. D'une part, la Logique des relations 
est définitivement constituée sous la forme d'une Science mathé- 
matique, et dotée d'une méthode purement analytique. D'autre 
part, l'Algèbre des relations rejoint et enveloppe les branches 
proprement logiques des Mathématiques (théories des ensembles, 
des substitutions, des fonctions). Elle comble donc la lacune qui 
existait entre la Logique et la Mathématique; elle retrouve et 
justifie les fondements logiques de celle-ci, et elle en fait une 
branche ou un prolongement de la Logique elle-même. Elle rat- 
tache les principes propres des Mathématiques aux lois générales 
de la pensée, et contribue ainsi à réaliser Tunilé philosophique de 
la Science. Lolis Colturat. 



MELANGES. 

REMARQUE SUR LA SÉRIE DE FOURIER: 
l'AU M. LERCII. 

i. Soity"(a:) une fonction finie et intégrahle dans l'intervalle de 
zéro à un, et développable par la série de Fourier 

(i) f{^)= - «Q-T- / {(ly cos'i^ix- -t- by siriav j-tt). 

v = l 

En introduisant les quantités «v et ù^ avec des indices négatifs 
par les équations a_y=:ay, 6_v= — ^^^ ^0=0? cette formule 
pourra s'écrire comme il suit 

(i«) f{x) = Um > c,^ e-'"-!^' , où Cy= — ■- • 



11 nVn résulte pas que ce résultat puisse s'écrire de la manière 



Mi;LAN(ii:S. io3 

su i va 11 le : 

(2) /(■"■)= 2 cvcîvx^', (o<x<i); 

car l'cxislcncc de colle série implique la convergence des deux 

suivantes : 

» —1 

— « 

la partie réelle de la première revient, à une constante près, à la 
moitié de la série (i), mais elle présente aussi une partie imagi- 
naire 

(3) - / (av^inav.r- — b-jCos-rtXT.) 



qui est étrangère à la série de Fourier et dont il n'est jamais 
question dans les reclierclics de la convergence de la série (i). 
La série (?. ), dont les coefiicicnts sont donnés par la formule 



.= f'fi^-)' 



(4) c,= / f{z)e-^^'-^^idz. 

^ 

est donc une chose de nouveau, différente de la série de Fourier, 
et on peut l'appeler la série de Laurent relative à des fonctions 
d'une variable réelle. Nous verrons que l'existence de la série de 
Laurent impose à la fonction /\x) des conditions plus spéciales 
que celle de la série de Fourier, de sorte que, logiquement, il faut 
admettre l'existence de fonctions développables par la série de 
Fourier et non plus par la série de Laurent; il serait du plus haut 
intérêt de posséder des exemples de telles fonctions. .Mais si la 
série de Laurent converge, ses parties imaginaires se détruisent, 
et elle devient égale à la série de Fourier. 

Pour établir la convei'gence de la série (2), dont les coefficients 
sont donnés par la formule (4), il suffit d'établir la convergence 
de la série suivante : 



1 



C.jC- 



)o4 PinuMIEUlî PARTIE. 

car, à une constante près, le reste est une (juantllé conjuguée de 
celle-ci. 

Considérons à cet effet l'expression 



(5) S„= > c^e^v^cw, 

V=:0 

on trouvé 

o ,j — — / t ( Z ) ■ — -, ClZ 

■ij^ '' %\n{z — x)-rz 

i r , cos(2rt-f-i)(;3 — x)t, ^ co?^{z — x)t. 

+ - / ./(--') '■ — 7 ^ "'^* 

■>. ,/y sin(;: — x)-K 



(5-) 



La limite de la partie réelle du second membre pour n infini a 
été l'objet de recherches importantes, mais à notre connaissance 
l'étude de la partie imaginaire n'a pas été abordée jusqu'ici. 

Je veux d'abord établir que cette partie imaginaire n'aura une 
limite que lorsque la fonctiony"(5) sera continue aupoint.r. Soit, 
en effet, x = c une quantité contenue entre zéro et un, et prenons 
pour y"(::) la valeur zéro, lorsque o << ^ -< c, et la valeur un lorsque 

c <^ ^ ■< I • Alors l'intégrale qui multiplie - dans notre formule 
deviendra 



l 



cos(2/i -+- i)(^ — c)-:z — cos(^ — c)tï 
sin (;; — c)- 

COi {l n -^ \) Z 7Z — COS^T 



dz 



et l'identité facile à vérifier 

n 

• -. ■ = — 2 > smav^Tc 

^mzT^ ^i 

v = l 

donne 

a " 

/cof^iin -h i)z7: — cos^t: ■^ cosavar — i 
sin^Tt ^ " — _^ .,- 

quantité qui, pour n = cc^^ tend vers moins infini. 



MÉLANGES. io5 

2. Posons maintenant, pour abréger le langage, 



\ «- 



(6) 

cos(2« -!- i)(5 — x)t: — cos('^ — x)- . 

sin(^ — X)-:: 

et commençons par évaluer ces intégrales dans le cas de/(x) = i . 
Dans ce cas la formule (2) subsiste, car on a Co= i , Cy = o pour 
v^o, et en séparant dans la formule (5'') les parties réelles des 
parties imaginaires, il s'ensuit 

f sin(2/i -+- i)(^ — x)-7Z-i- sin(z — x)7: , 

I ^-^ ^ «^ = 2, 

Jr C0S(2«-i- l)(j — x)- COS(^ — X)- 
^ sin(^— a:)7: 

doù Ion a 



1/ 



sin(2«-^i)(5 — X)- , 

dz ~ \, 



%\n{z — X)- 
ï r QÇ)^{in-\-\){z — x)-— co%(z — x)t. j 

I I ^— r dZ = O. 

[ Jo Sin{z — x)- 

Ecrivons maintenant les formules (6) sous la forme 



(G*) 



U 



— \ /t -^ -l- - ) ^-^ — dz, 

C ~'' .. , cos(?./i -4- i)^- — cos^r , 



posons/(j7 -+- z) —/(x-) = 'f{z) et employons les formules (6'^); 
il vient 

(7) T = T-t-/(:r), U = U, 

en posant pour abréger 



(:") 



] 7^ r ' / co'^i'J.n -T- i)zTz — coszr. , 

L = / -jd) .^ dz. 

\ J . binz- 



io6 PREiMIÈlin: PAiniK. 

Si la foDclioay(:;) était continue au points, la fonction '-^(z) 
sera continue au point ^ = o et j aura la valeur nulle. 

J'écrirai maintenant w au lieu de 2/i + i, et je ferai usage de la 
circonstance que l'on a 

-.— = -- -^P(^), 

en désignant par P(^) une fonction rpii reste finie et continue 
dans chaque intervalle de la forme [ — i + s. . . i — s); on a évi- 
demment 



— r , cosi%>ZT. — i r ï — cosz- 

U= / 0(Z) : dz-T- / 0{Z) : clz 

*- — .1' '- — .!• 

= Ç "'>^(j) ^""''/_"~' dz^ f '\{z){coswz--x)V{^)dz 

t — a- ^ '■ ^ — .r 

r I— C0S3- 

— / o(z) . dz, 

de sorte que nos équations (7*^) deviennent 

ri — r • -, 1 — .r 

'■f{z)- -^ dz ^ I o{z)'^{z) sin IV z- dz, 




f- / o(z)V(-^)(^osii'z-dz. 



Pour trouver les limites de ces expressions pour «v infini, nous 
allons ctDnsidérer d'abord les quantités 

(8) \=/ o(c) ; dz, \=l '^(z) : dz, 

• "* «0 "" 

sous riiypothèse de o <^ « •< 1 et que 'f (•:^) soit finie et intégrable 
entre zéro et «7, et que l'on ait limcp(^) = o; en même temps nous 

nous libérons de l'hvpotlicse que iv soit de la forme particulière 
2/1-4-1, en admettant (|uc iv tende vers l'infini positif d'une ma- 
nière quelconque. 



MÉLANCJKS. IIV7 

Après avoir mis ces iiilégrales sons la forme , . .:,, 

je représenlerai par n un entier positif lel que la difiTércncc 

aw — n soit positive et inférieure à une limite constante, puis 

j)ar m un entier posilif fixe. En observant que les intégrales 

I • :. 1 

tendent vers zéro pour iv infini, il s'ensuit que l'on pourra rem- 
placer les quantités X et Y par les suivantes : 

/Il -^ - 
2 

cl en posant 



et puis 



c/z 



où /• signifie une constante positive, il est clair que la quantité Vo 
aura la même limite que la quantité 

(80 Y, = Z-I. 

L'intégrale Z pouvant s'écrire 



(8-') 






io8 PREMIERIÎ PAUTIE. 

on peut la mellre sous la forme 



A cause de la coiiverîrence absolue de rinté2,rale 



""i^r/. 



r 



el à cause de riivpolhèse 11m -^( - j = o pour ivz=i x, on aiir; 



Mil;;- 
dz = o. 



m - ' 

el rinlégrale Z pourra être remplacée par la suivante : 






qui donne 

celle intégrale a évidemment la même limite pour \v infini cpie la 
suivante : 



(9«) 



-.rh^>-=(=-i)]"- 



Dans beaucoup de cas on peut conclure de Tune ou l'autre des 
deux formules (9) el (9") que Ton a 



lim (X. -7- Zi ) = o. 



Supposons, par exemple, que la fonction '^(^) soit continue 
entre zéro et a inclusivement les limites, et représentons par 

A'j>(/) la quantité 'f ( ^ -t- — ) — -j>(/); l'intégrale (9) sera infé- 



MÉLANGES. 

rieiire en valeur absolue à la (inanlilé 



lOiJ 






— ^0 log — , 
;: m 



supposé que représente le niaximuni de | A'^(/) \. 
Or, puisque liai -, = ' , on aura 

Il m loir — = o, 
,v _. « m 

si la dillercnce A'^(/) remplit la condition 
lim Ac2(<) logw = o, 

ou, ce qui est la même chose, 

lim [Acp(OIogA^] =o. 

Observons que la convergence de la série de Fourier exige que 

l'on ait 

lim Xi = o, 

et si l'intégrale (9) doit tendre vers zéro, on devrait donc avoir 

en même temps 

lim Zi = o, 

tv = te 

et la quantité Y| ne pourrait avoir une limite déterminée que si 
l'intégrale J, donnée par la formule (8''), tend vers une limite 
finie. Or l'existence de la limite 



i i m 



I>^- 



dz 



suppose que la fonction '-^ soit intégrable à partir du point :: = o. 

Cette circonstance vérifie ce que nous avons annoncé, à savoir 
que la convergence de la série de Fourier a lieu sous beaucoup 
moins de restrictions que celle de la série de Laurent, 

Supposons maintenant que l'intégrale 



(10) 



/•"' d- 



iid PHI'AIIKHK PAU TU'. 

soit finie et déterminée, et revenons sur les intégraliîs Xi et Z. 
En employant l'itlentilé 



et en cliangeant, dans le terme général du deuxième membre, 
z en V -j- :, il vient, d'après (8*), 






?(;-^) 



ce que 1 on peut écrire 






(h 



I •^ ■ \ W / l "^ 



■?. [JL — I 



z- + -1 u. — I 



— <u. 



Chacune des deux sommes dont se compose la parenthèse est la 
valeur approximative de l'intégrale 

d'où il suit que l'on a 

lim-Xi = o pour tp = co. 

On prouve de la même manière que limZ := o et que, par con- 
séquent, 

dz 



limY 



=-A<- 



En changeant, dans ce qui précède, '^{z) on :-'si(^:-)'^(z), on 
voit tout de suite que l'on a 

liml (^{z)'\fi{z) sinw zr. dz = o, 

lim I -Ji .;) p( 3) cos (l'ir r/v = o, 



Mf:LAKGES. Ml 

elles équations (2*) nous fournironL les résullals 

IimT=o, liinU=— / 9(-)7^-^/ 'f(-) ( t^ — .cot-=~ ) «5^-, 

ou bien 

liin U = — / o{z) cotzr. dz, 

où l'on a introduit riijpothèse qu'aussi la fonction -^ — ^— soit 
intégrable à partir du point z = o. 

On a. par conséquent, d'après les formules ((3) et (j), 

(n) lim / /(:;) ; dz — f(x), 

( ,. f^r, .cos('?.n^i)(z — x)- — co'i( z — x)~ . 
\ 1 1 m / f(z) : dz 

(12) " , 

-- f [f{z)-f{x)]col(z-x)-dz. 

\ »- 

On peut donc énoncer le théorème suivant : 

Soit f(z) une fonction finie et intégrable dans l'inlenalle 
(o, . . ., 1), et supposons que dans certains points x cette fonc- 
tion soit continue de telle mesure que les deux fonctions 

fix-^t)-f{x) f(a, — t)—f(x) 



soient intégrables à partir de la valeur de / = o; alors, en 
posant 

cy= f f{z)e-^-^--rJdz, 

la série 

V Cv e^v-TTî' ( o < :r < 1 ) 

V = — 00 

correspondant à ces valeurs-là de x sera convergente et aura 
pour somme /(jc), et la série 



2 ^v e--^-'-'^^', 



nu PUKMlKlΠVA KTIK. 

qui n'en contient que la moitié de termes, aura pour valeur 
l'expression 

Ce tliéorèmc subsiste aussi pour ^ = o, si les deux quantités 
y(o) et f{\) sont égales, et si les deux fonctions 

/(t)-f(o) /(,-t)—f(o) 

/ ' 1 — ~ 

sont intégrables à partir de f = o. On peut l'emplojer pour mettre 
certaines séries sous forme d'Intégrales définies. 



COMPTES UKNDUS HT A.WI.VSl-S. 

COMPTAS m: NI) US kt anai.vsks. 



CAHEX (E.)- — Éléments de la Théorie des nombres. Congruences. — 
Formes quadratiques. — Nombres incommensurables. — Questions di- 
verses. Un vol. in-8", viii-4o3 p. Paris, Gauthier-Villars, 1900. 

Qu'il n'v ait, dans notre pays, aucun livre classique moderne 
sur la théorie des nombres, cela est d'autant plus étonnant que 
celte théorie n'a pas cessé d'être cultivée et enrichie soit par des 
maîtres très illustres, soit par des travailleurs modestes. Sauf le 
premier volume de la Théorie des nombres de Lucas, je ne sais 
s'il a paru en France aucun livre spécial sur cette matière depuis 
la Traité de Legendre et la traduction des Disquisiliones. Les 
auteurs de Traités d'Arithmétique font, d'ordinaire, une petite 
place à cette belle théorie; ils essayent d'éveiller chez leurs lec- 
teurs un goût que ceux-ci ne trouvent guère le moven de déve- 
lopper, s ils ignorent les langues étrangères. Ils peuvent, sans 
doute, trouver dans V Algèbre supérieure de J.-A. Serret, d'excel- 
lents renseignements sur les congruences; mais la théorie des 
formes quadratiques n'y est pas touchée, non plus que dans l'unique 
volume qu'il ait été donné à Lucas de publier. Si intéressant cpie 
soit ce volume, que l'on continuera de lire pour les faits curieux 
et les ingénieux aperçus qu il contient, on p«ut regretter que son 
auteur se sojt trop souvent arrêté sur des problèmes particuliers, 
et se soit détourné de la grande et large voie ouverte et suivie par 
Fermât, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Lejeune-Dirichlet. . . . 
C'est les résultats essentiels obtenus dans cette voie qu'il importe 
de faire connaître, non seulement à cause de leur intérêt propre, 
mais parce que la valeur même de ces résultats est prouvée par la 
place qu'ils occupent dans d'autres parties de la Science. 

Il fautdonc féliciter M. Gahen d'avoir voulu écrire ces Eléments 
et de les avoir écrits avec celte clarté et cette élégance que Ion 
est presque en droit d'exiger dans une science dont on ne sait 
s'il faut plus admirer les énoncés que les démonstrations, perfec- 
tionnées par les plus grands mathématiciens. Le titre est d'ailleurs 
bien justifié, et c'est bien la partie élémentaire du sujet que l'au- 
Btill. des Scisnres Diathéin.^ 1- SL-rie. l, WIV. (Mai 1900.) S 



Il/, pi{i;mii:hI': pamtie. 

leur a trailée, celle que doivent connaître tous ceux qui étudient 
les INfalhénialiqueSo 

M. Cahen a cru, avec raison, devoir reprendre les principes, 
ceux même qui sont exposés dans les Traités d'Arithmétique, 
afin de fixer nettement le sens et la portée des mots et des opéra- 
lions. En cela, il s'autorise de l'exemple de Lejeune-Dirichlet. Il 
insiste donc sur les définitions fondamentales des opérations rela- 
tives aux nombres entiers, fractionnaires et incommensurables; 
il a laissé de côté, en les supposant connues, les opérations sur les 
nombres négatifs, dont l'exposition aurait alourdi inutilement son 
livre, et n'olTrait, à son point de vue, aucun intérêt. 
Son livre contient six Chapitres et huit Notes. 
Les deux premiers Chapitres contiennent le rappel des notions 
élémentaires sur les nombres entiers et les nombres premiers, la 
théorie de V indicateur et des fractions continues limitées. Notons 
rintroduclion de l'indicateur du ^"■'"•* ordre d'un nombre entier /i, 
comme nombre des groupes de p nombres dont le plus grand 
commun diviseur est premier à n. Le Chapitre suivant contient 
les propositions générales sur les congruences, l'étude spéciale 
des congruences de module premier, et plus particulièrement 
des congruences binômes, la théorie des racines primitives et des 
indices; enfin, l'auteur montre comment la résolution des con- 
gruences suivant un module quelconque se ramène à la résolution 
de congruences suivant un module premier. C'est dans ce Cha- 
pitre que se trouvent démontrés, de plusieurs points de vue, les 
théorèmes de Fermât, d'Euler et de Wilson. A propos des con- 
gruences suivant un module premier, l'auteur a introduit, pour 
les polynômes, la notion de divisibilité suivant un module pre- 
mier. Signalons aussi les détails donnés pour la recherche effective 
des racines primitives. Le Chapitre 1\ se rapporte à la théorie des 
restes quadratiques, des symboles de Legendre et de Jacobi : 
M. Cahen donne deux belles démonstrations de la loi de récipro- 
cité, fondées sur le caractère qui se tire de la considération des 
restes minima de la suite 

a, ?.a, oa, .... a 

par rapport au module premier />; l'une est due au pasteur Zeller, 
l'autre à Kronecker. 



COMPTES lUîNOrS i: T ANAI.VSI-S. n") 

Le Chapitre V est consacré, poiii- la plus grande partie, aux 
fractions continues illimitées; après avoir établi les propositions 
classiques, l'auteur v montre comment on peut transformer une 
fraction continue qui présente queUpic irrégulariti' dans ses pre- 
miers termes (quotients incomplets nuls ou négatifs) en une frac- 
tion continue régulière, de manière que tous les éléments, à partir 
d'un certain rang, soient les mêmes; il en déduit la condition 
pour que les fractions continues qui représentent deux nombres 
soient identiques à partir d'un certain quotient incomplet. 11 traite 
ensuite de la recherche des racines cominensurables d'une équa- 
tion algébrique, donne les notions fondamentales sur l'irréducti- 
bilité, sur les nombres algébriques, sur la recherche des facteurs 
irréductibles. La réduction en fraction continue des racines d'une 
équation algébrique est traitée avec ampleur : l'auteur établit une 
limitation des coefdcients de l'équation algébrique que vérifie 
Je n"""*" quotient complet d'une telle fraction continue, limitation 
qui donne en particulier, d'une part, le théorème deLagrange sur 
la périodicité des fractions continues qui représentent un nombre 
algébrique du second degré, d'autre part, une proposition bien 
connue, due à Liouville, sur l'approximation des irrationnelles 
algébriques, et d'où résulte l'existence de nombres transcendants. 
L'étude des nombres algébriques du second degré et des fractions 
continues qui les représentent est d'ailleurs reprise directement et 
faite avec détails : les résultats en seront utijisés dans le Chapitre 
suivant, pour l'équation de Pell et la réduction des formes qua- 
dratiques. 

L'étude des formes quadratiques binaires est précédée d'un 
important paragraphe sur les substitutions linéaires, où M. Cahen 
introduit la notion du groupe modulaire, des substitutions con- 
grues ou incongrues suivant un module. 11 s'occupe ensuite des 
problèmes londamentaux relatifs aux formes quadratiques : Étant 
données deux formes de même discriminant, reconnaître si elles 
appartiennent ou non à la même classe ; déterminer, dans le dernier 
cas^ les substitutions ([ui permettent de passer de l'une à l'autre; 
déterminer les classes de formes qui ont le même discriminant. 
C'est, comme on Je sait, dans l'étude de ces trois problèmes, dont 
les solutions sont essentiellement différentes suivant qu'il s'agit 
de formes définies ou indéfinies, que s'introduit l'équation de 



iiG p m: M (EU II pautii:. 

Pell. Le problème de la représentation d'un nombre donné par 
une forme donnée, l'analyse indéterminée du second degré ne 
comportent ensuite aucunes dilllcultés essentielles. L'étude des 
formes linéaires qui contiennent les nombres susceptibles d'être 
représentés par une forme quadratique donnée termine cet im- 
portant Chapitre. 

Parmi les Notes, nous signalerons les suivantes : 

La Note B contient la démonstration de lidentité d'Euler 



5)(-i)(-^0--'-' 



et diverses conséquences, en particulier Tinfinité du nombre de 
nombres premiers. C'est une fenêtre entr'ouverle du côté de la 
théorie analytique de la Science des nombres; jusqu'à présent, 
les recherches personnelles de jNL Cahen ont été surtout dirigées 
de ce côté, et il est permis de souhaiter qu'il nous donne bientôt un 
livre sur ce sujet; c'est la suite indispensable des Eléments qu'il 
vient de publier, et ce livre-là manque peut-être encore plus, dans 
notre pays, que ne manquaient les Eléments. 

La Note H, sur les fonctions numériques, appartient à une autre 
branche de la même théorie. 

Dans la Note C, l'auteur montre le parti qu'on peut tirer de la 
représentation d'un nombre par une forme quadratique pour la 
décomposition en facteurs premiers, et signale quelques résultats 
curieux. La Note E se rapporte à la recherche eflfective des racines 
primitives des nombres premiers : on y trouve établie l'existence 
d'une racine primitive égale à 2 ou 3 pour certains types de 
nombres premiers. Enfin, la Note I, sur les nombres entiers ima- 
ginaires, peut être regardée comme une amorce à cette théorie 
des nombres algébriques qu'ont fondée les travaux de Kummer, 
de M. Dedekind et de Kronecker. Sur ce sujet-là encore, il y a un 
beau livre à faire. C'est peut-être le cas de répéter, avec les anciens, 
que le beau est difficile; mais cet antique adage n'est assurément 
pas pour décourager M. Cahen. 

Dans tout le cours de ses Elénicnls, ^L Cahen a insisté comme 
il convenait sur les exemples numériques, sur la façon dont doivent 
être conduits les calculs. Il a reproduit, à la lin, (juatre Tables 
données par Tchebvschofl' dans sa Théorie des eongi'dences : 



COMl'I'l'S lu- M) US l'T ANAl.VSKS. ii; 

Table des nombres premiers de i à lo ooo. Table des racines pri- 
mitives et des indices pour les nombres premiers de i à aoo, Table 
des formes linéaires des lactenrs impairs des formes qnadratiqnes 
j;--|-Dr% ou ./■- — \r'- de D = i à D=:ioi, cl de 1 = a à 
A ^ 1 o i . J . 1 . 



A. REBIÈRE. — Pages choisies des Savants modernes, extraites de leurs 
Œuvres, i vol. Gr. in-8'', vni-6i8 p. Paris, Xoiiy et C'^. 1900. 

Ce nouvel Ouvrage de iNl. Kebière vient heureusement com- 
pléter celui qu'il avait fait paraître il v a un an : Les Savants 
modernes, leur vie et leius travaujc. 

Après nous avoir donné jadis les biographies et les litres des 
Œuvres principales des savants du dix-huitième et du commence- 
ment du dix-neuvième siècle, voici qu'aujourd'hui il nous pré- 
sente des extraits de leurs travaux pour, ainsi, nous les mieux 
faire connaître et apprécier. 

Cette nouvelle entreprise était peut-être plus périlleuse que les 
précédentes et son exécution plus délicate; il faut louer, sans 
réserves, M. Rebière d'avoir su la mener à bien. 

Il s'agissait de faire un Livr« qui put être lu par tout le monde 
et qui, cependant, intéressât les spécialistes. Tâche ingrate s'il 
en fut; car combien v a-t-il de mathématiciens, parmi les plus 
illustres, qui n'ont pas écrit dix lignes qui ne soient entremêlées 
de calculs et de formules! Comment alors trouver une page point 
banale, accessible à tous les lecteurs? 

L'Auteur dut souvent recourir aux Préfaces, parfois compulser 
les rapports officiels et même quelquefois louiller les correspon- 
dances privées. 

Pour les uns, à la fois lettrés et savants, tels que Descartes, 
Pascal ou Helmholtz, M. Rebière n'eut que l'embarras du choix et 
son mérite fut de retenir les pages les plus belles de leurs Œuvres, 
celles qui caractérisent le mieux l'homme et son génie. 

Pour d'autres, qui ont peu écrit, tel Walt, il lui a fallu se con- 
tenter de quelques notes brèves, de celles qu'un homme d'action, 
qui n'a pas le temps d'écrire, jette au hasard sur son carnet. 



II. s PKI-.MIKIII- PAUTII-:. 

Le plan de ce Volume est exactement le même que celui du 
précédent. Nous retrouvons les mêmes subdivisions et, dans cha- 
cune d'elles, les mêmes noms dans le même ordre. Ainsi ces deux 
Ouvrages sur les Savants modernes se correspondent et se com- 
plètent l'un l'autre. 

Pour parfaire son œuvre diiistorien, il ne restait plus à M. Re- 
bière, comme il le constatait lui-même dans sa Préface, qu'à écrire 
deux autres Volumes, 1 un consacré aux savants de lantiquité el 
du moyen âge, et 1 autre aux savants contemporains. Nous souhai- 
tions ardemment, pour notre instruction et notre plaisir, qu'il 
eût le loisir et le courage de terminer celte série de livres histo- 
riques du plus haut intérêt et de la plus grande utilité; et voici 
qu'une mort inattendue, qui l'a frappé en pleine vigueur de corps 
et d'esprit, nous prive hélas, à jamais, de cet espoir. 

C. BoUULET. 



Urkuxden ziR Geschichte der Nicht EuKLiDiscHEX GEOMETRIE, heraus- 
gegeben von Friedrich Engel und Paul Slackel. I. Nikolaj Iwaxowitcu 

LOBATSCHEFSKIJ. NiKOLAJ I\\ AXOWITSCIl LOBATSCHEFSKIJ. ZwEI GEOMETRISCHE 

Abhaxdlungex aus dem Russischen uebersetzt, mit Anmerkungen und mil 
einer Biographie des Verfassers von Friedrich Engkl. Erster Theil : Die 
Uebersetzvxg mit eiaetn Bildiiisse Lobais ehefskij s und mit 194 Figuren im 

Text. ZwEITErThEIL: AxMERKUXGEN' LoBATSCHEFSKUSLEBEXrXDScHRirTEN. 

Regisler mit 67 Figuren im Text. Leipzig, Teubner, in-8", xiv-ZjjG p.: iSgtj. 

Nous avons rendu compte en 1896 {^Bultcliii, I, t. XX, p. 279) 
de l'Ouvrage important que MM. Stâckel et Engel avaient publié 
ensemble sur la théorie des parallèles dejuiis Euclide jusqu'à Gauss. 
Après s'être occupés des précurseurs de la Géométrie non eucli- 
dienne, il était naturel que ^IM. Engel et Stiickel eussent le désir 
de compléter leur œuvre, de nous faire connaître dans leur en- 
semble, dans leurs traits caractéristiques, les travaux des fondateurs 
de cette théorie, et notamment ceux de Lobatschefskj et de Bolyai. 
On peut être assuré d'avance que leur travail rendra les plus grands 
services et que le succès sera la récompense méritée de leurs elForls 
persévérants. Il y a trente ans, deux ou trois géomètres à peine 
s'occupaient de la Géométrie non euclidienne; nous nous rappelons 



coMPri'S iu:m)Us irr analvsiîs. ho 

encore le lenn)s où lloiu'l, l'iiii des fondateurs de noire Bulletin, 
était à peu près le seul en France à appeler l'allenlion surrinlérêt 
et la haute valeur de celte théorie. Aujourd'hui tous sont avertis; 
personne n'ignore plus que les recherches entreprises sur ce beau 
sujet sont de nature à nous donner les idées les plus netles sur 
l'origine et le mode de formation de nos connaissances. Par là 
elles intéressent les jihilosophes aussi bien que les géomètres; 
mais il importe grandement, à notre avis, que les géomètres de 
professsion en conservent la direction effective et s'efforcent de 
leur donner, à l'aide de l'analjse mathématique, toute la précision 
dont elles sont susceptibles. 

Pendant que ^1. Stackel s'occupait de Bolyai, M. Engel étudiait 
plus spécialement les écrits de Lobalschefsky ; et le volume qu'il 
nous présente aujourd'hui représente le résultat de ses études. U 
se divise en deux Parties. La première contient la traduction alle- 
mande de deux éciits de Lobalschefsky, écrits en langue russe, et 
qui étaient, pour ainsi dire, restés inconnus. Ces Mémoires sont 
le travail Sur les fondements de la Géométrie paru en 1 8-^9-1 83o 
dans le Messager de Kasan et le second travail Nouveaux fon- 
dements de la Géométrie imprimé en 1 835 et dans le Recueil scien- 
tifique de V Université de Kasan. Il est certain que ces deux 
Mémoires forment un ensemble infiniment plus complet que tout 
ce que nous connaissions et nous permettent pour la première fois 
de nous faire une idée nette de ce que la Géométrie non eucli- 
dienne doit à Lobalschefsky. Ils forment en réalité un Traité 
complet de Géométrie non euclidienne systématiquement déve- 
loppé et accompagné d'exemples pour le calcul des longueurs, des 
surfaces et des volumes. 

La deuxième Partie constitue un commentaire aussi complet et 
aussi savant qu'on peut le désirer, des écrits dont nous venons de 
parler. 

Des notes détaillées et précises, dont quelques-unes ont une 
assez grande étendue, complètent heureusement le lexte de Lobals- 
chefsky et éclairent ou développent tous les points qui présentent 
des difficultés ou méritent d'attirer l'attention. 

L'Ouvrage se termine par une biographie de Lobalschefsky que 
l'on peut regarder comme définitive. M. Engel y a mis à profit 
toutes les pièces déjà publiées cl, en particulier, la Notice bien 



PIULMIKHI': PAKTIK. 



connue de M. Wassilief à qui nous devons, comme l'auleur lui- 
même, adresser lous nos remerciemenls j30ur l'appui qu'il a prêté 
à M. Engel et pour lous les renseignements inédits qu'il s'est em- 
pressé de lui fournir. G. D. 



BOREL (E.)- — Leçons sur lks fonctions entuïrks. Un vol. iii-S". vi-i.i4 p. 
Paris, Gaulhier-Villars, 1900. 

M. Borel nous donne, comme Tan dernier, un petit Livre où il 
résume les leçons laites par lui à l'Ecole Normale, aux élèves de 
seconde année : il nous en promet d'autres, qui seront les bien- 
Avenus, comme les deux premiers. M. Borel est, pour les élèves de 
cette École, un maître précieux, qui sait les conduire, par des 
chemins attrayants, jusqu'aux limites mêmes de la Science ac- 
tuelle; ceux qui ne peuvent assister à ses leçons se réjouiront de 
retrouver dans ses Livres la matière de son enseignement. 

Il s'agit celle fois de celte théorie des fonctions entières qu'il a, 
avec M. Hadamard, tant contribué à développer. J'essaye, dans ce 
qui suit, d'indiquer brièvement les sujets qu'il traite; mais je re- 
nonce à dire combien sont suggestives les vues qu'il indique, à 
l'occasion des théorèmes qu'il établit, et la façon dont il critique 
les méthodes. 

M. Borel s'occupe d'abord de la formation, d'après A\eierstrass, 
d'une fonction entière comme pjroduit de facteurs primaires. 
L'exposition du théorème fondamental est précédée de Cjuclques 
remarques simples dues à M. Hadamard, sur les relations entre 
les modes de croissance de la fonction entière, des coefficients de 
la série qui la représente, de sa partie réelle et de sa partie imagi- 
naire. 

Ces remarques amènent naturellement à parler du célèbre 
théorème de M. Picard sur la non-existence d'une fonction en- 
tière F(r) telle que les équations 

¥(z) = a. F(z) = b. (cir^b) 

n'aient pas de racines, théorème donl rétudc occupera la lin du 
Livre; pour le moment, M. Borel se contente de rappeler la dé- 



c M r r i: s n n x d u s i-; r a n a l v s i- s . i / 1 

monslralion de M. Picard, fondée sur la considération de la fonc- 
tion modulaire. La démonslralion même du théorème de A\ eier- 
sirass, présentée de manière à faire pressentir au lecteur la clas- 
sification ultérieure des fondions entières, conduit Fauteur à 
introduire, relativement aux suites /), r^, ..., r„, ..., formées 
de nombres positifs croissants qui, dans la suite du Livre, dési- 
gneront les valeurs absolues des zéros de la fonction entière F(5), 
la notion importante de Vexposant de convergence : c'est la li- 
mite commune p des deux ensembles de nombres positifs a, [ii tels 
que des séries 

V-L, ^-^ ' 



Q ' 



la première soit divergente et la seconde convergente. L'expression 
exposant de convergence a été introduite, avec une signification 
un peu différente, par M. von Schaper, dans sa Dissertation inau- 
gurale. En désignant par \ l'inverse de p, on a pour toutes les va- 
leurs de l'entier n qui dépassent une certaine limite 

r,i> rO-'-, 

et, pour une infinité de valeurs de /?, 

r,i < /i>-^^, 

quel que soit le nombre positif s. A cette notion se rattache celle 
de l'ordre d'infinitude de r^; posant 



et désignant par a', W les limites supérieure et inférieure de l'en- 
semble dérivé de l'ensemble des nombres )>,/•> limites qui appar- 
tiennent nécessairement à cet ensemble dérivé, M. Borel dit que 
l'ordre d'infinitude de ;•„ est déterminé lorsqu'on a )/= a" et qu'il 
est alors égal à leur valeur commune, qui est aussi la limite 
de A//. Les recherches de MM. Paul du Bois-Rejmond et Ha- 
damard ont fait ressortir le rôle des deux limites d'indétermina- 
tion a', a'. 

Passant ensuite aux recherches de Laguerre, AL Borel introduit 
la notion de genre d'une fonction entière 



F(.) = eQ-JXP'-(|;)^ 



IM\KMIEKE FAUTIF.. 



où Pa( "- ) est le fadeur primaire 



I «'"■ 



A",', 



relatif au zéro «y^ ; les valeurs absolues /■), /'2, /'■.). ... fies zéros 
«1, ao,'rt3, .. . sont supposées croissanles. Si Q(-;) est un poly- 
nôme de degré q et si /.■ est le plus petit nombre entier tel que la 
série 



./.■+! 



soit convergente, le genre de F(::) est, comme on sait, le plus grand 
des nombres q et k. Si p est l'exposant de convergence de la suite 
f'\-, l'ii J'ai • • -1 on a A£p ^A" + i; p est ce que M. Borel appelle 
Voidre réel de la fonction F(;). Si F(:;) est de geni-e fini />, la 
fonction entière 

F(-jF(tu3)...F(co'"-'^), 

oiJ m est un entier au moins égal à /> -j- i , et où to est une racine 
primitive de l'équation binôme 



est une fonction entière de "enre zéro et d'ordre — de la variable 

^ m 

Z =,-'". 

Après avoir établi les propositions bien connues de Laguerre 
sur les fonctions réelles de genre zéro ou un, dont toutes les racines 
sont réelles, M. Borel reprend, pour la compléter et en faire nette- 
ment ressortir le principe, la démonstration d'une proposition 
due aussi à Laguerre, et que voici : Etant donnée une fonction 
entière F(;;) de genre />, ayant un nombre fini q de racines ima- 
ginaires : i" la fonction dérivée F'(5) est de genre/?; 2° l'équa- 
tion F'(^) = o a, comme on sait, d'après le théorème de Bolle, 
une racine au moins dans l'intervalle de deux racines consécutives 
de l'équation F(^) = 0; on peut affirmer de plus que, en dehors 
de ces racines dont l'existence est décelée par le théorème de 
RoUe, il y a au plus p -\- q autres racines, d'ailleurs x-éelles ou 
imaginaires. 



COiMPTl'S lU'NDUS ET ANALYSES. }-j:\ 

M. Poincaré a moniré (') ([u'il y avail une lelalion, d'une jjarl, 
entre l'ordre de grandeur d'une fonction entière et son genre sup- 
posé fini, d'autre part, entre Tordre de grandeur de la fonction et 
l'ordre de grandeur de ses coefficients. M. Hadaniard, outre qu'il 
a complété sur quelques points les résultats de M. Poincaré, a, en 
démontrant la réciproque de ces propositions, apporté une impor- 
tante contribution à la théorie des fonctions entières; c'est le sujet 
qui va maintenant occuper M. Borel. 

11 établit sous la forme suivante les inégalités de M. Poincaré. 
Désignant par M(r) le maximum de la valeur absolue de la fonc- 
tion entière F(;), de genre /;», lorsque la valeur absolue de z est 
égale à r, on a 

quel que soit le nombre positif a, pourvu que /• soit suffisamment 
grand. Si A^, est le (|Jt-+ i)"™'' coefficient de la série qui repré- 
sente F(:;), le produit 

A^(i. ■>.... [j.)/^ + ', 

tend vers zéro lorsque [Jt. augmente indéfiniment. L'auteur obtient 
des résultats plus précis en substituant à la notion de genre la no- 
tion d'ordre. 

11 considère, à cet effet, une fonction de genre /> 



i- —] e"-. 2«,^ ^„;; 



F()=n 

qui soit un produit de facteurs primaires, non précédé d'un fac- 
teur exponentiel c^'"', c'est ce qu'il appelle un produit canonique 
de facteurs primaires ; soit p l'exposant de convergence de la suite 
croissante /•,, /.>, /'s, . . . des valeurs absolues des zéros, il j a lieu 
de distinguer deux cas : 

i" La série \-^ est divergente : p est alors X ordre par dé- 
faut; 

2° Cette même série est convergente, p est Vordre par excès. 
On a toujours, s étant un nombre positif arbitrairement choisi, 

\¥{z)\<er-'\ 
(') Bulletin de la Societc inalhcnialiquc, i883. 



ii4 piniMiÈin- pAiniiL 

pourvu que /• soil suffisamiiienl grajid; si p est l'ordre par excès, 
on a, dans les mêmes conditions, 

\F{z)\ <€'-'•• . 

Ces résultais conduisent à d'importantes relations d'inégalité 
pour les coefficients de la série 

Ao^A,;:-^Aoc'-f-... 

qui représente une fonction entière F(:r), d'ordre p; il est, en 
elTet, assez facile de montrer que si M(/') désigne le maximum de 
la valeur absolue de F(:;) quand on suppose que la valeur absolue 
de z est /*, la supposition 

M(/-) < e'" 



entraîne une inégalité de la forme 



VlX 



> K m" 



K étant fixe. Une discussion très intéressante qui nous renseigne 
en particulier sur le mode de croissance de la partie réelle de F(3) 
et de la partie imaginaire, montre la valeur de la limitation ainsi 
obtenue pour | A„, |. 

Inversement, M. Hadamard, dans son Mémoire couronné en 
1892, a montré comment, étant donnée une limite supérieure de 
la croissance d'une fonction entière, on peut déterminer une li- 
mite supérieure de l'exposant de convergence de la suite de ses 
zéros. 

M. Borel n'expose pas la méthode de jNI. Hadamard, mais bien 
une méthode plus élémentaire due à M. Schou, méthode qui 
donne des résultats équivalents, dans le cas où le genre de la fonc- 
tion est fini, mais non pour les fonctions de genre infini. 

Si la fonction F(^) satisfait, pour les grandes valeurs de /", à 
l'inégalité 

M(r)<e'-^\ 

et cela, quel que soit le nombre positif î, M. Borel dit qu'elle est 
d'ord/e appaient p'; M. Hadamard a montré, d'une part, que 
l'exposant de convergence de la suite /■,, /'o, /'.t, . . . est au plus 
égal à p', daulrc ])ail que, si l'on considère un produit cano- 



CO.MI'THS MHXDUS ET ANAF.VSIiS. iv") 

niqiio 0(3) de facteurs piimaiics d'ordre cl 1111 nombre; positif 
arbitraii'C c. ou peut trouver une infinité de cercles de rayons in- 
définimenl croissants, snr cliaciin desquels on ait l'inégalité 

!G(-)i>e-''-^'. 

Il en résulte que l'ordre réel p d'une fonction entière est au 
[)lus égal à son ordre apparent p'; il lui est égal quand p' n'est pas 
entier. La démonstration même du second théorème de .M. Hada- 
niard fournit quelques renseignements utiles sur les rayons pos- 
sibles des cercles auxquels il s'applique. M. Borel signale d'ailleurs 
l'importante application que M. Hadamard a faite de cette théorie 
à la fonction v(.s) de Riemann. 

Le théorème de M. Picard est susceptible d'une suite de géné- 
ralisations : les premières que développe M. Borel sont dues à 
M. Hadamard. 

Si la fonction entière F(^) est de genre fini, les deux équations 

F(.-)-Pù) = o, F(c)-Q(--; = o, 

où P(^c ), Q(^) sont des polvnomes distincts, ne peuvent avoir 
chacune un nombre fini de racines, sans que Fi'^) soit un polj- 
nome. Cela résulte simplement de ce que les premiers membres 
des équations sont de la forme A(r)e"'"\ où H(^) est un poly- 
nôme. Cette proposition étant établie, on en déduit d'une façon 
élémentaire le théorème relatif à 11 mpossiblllté de deux équa- 
tions F(^) := a, F(c) = b sans racines, pour les fonctions F(:;) 



vérifiant l'inégalité 



lF(;:)i <ee'-"\ 



pour des valeurs suffisamment grandes de /•=':;]. Le théorème 
s'étend ensuite aux fonctions qui vérifient des inégalités analogues, 
où les exposants s'échelonnent aussi haut qu'on le veut; mais on 
n épuise pas ainsi tous les modes de croissance. 

M. Borel établit ensuite les belles propositions que voici : 
Soit F(:;) une fonction entière d'ordre apparent égal à p. Con- 
sidérons les équations de la forme 

où '^|(ôK 'f(c> sont des fonolions entières d'ordre apparent infé- 



I2G PUEiMIËHn: l'AHTir. 

rieur à /? ; parmi ces équations, il ne peut s'en trouver qu'une 
seule pour laquelle l'exposant de convergence de la suite des 
zéros ne soit pas égal à p : dans le cas d'exception, on peut seule- 
ment affirmer que l'exposant de convergence est inférieur à p. 
On peut donc, lorsque l'on n'est pas dans le cas d'exception, ap- 
pliquer aux valeurs absolues des racines les limitations que l'on a 
signalées plus haut et qui traduisent la notion même d'exposant 
de convergence. 

Si F(^) est de genre infini, il peut exister au plus une équation 

où C3,(:;), '^{z) sont des fonctions entières de genre fini, telle que 
la suite de ses racines ait un exposant de convergence fini. 

Le Livre de M. Borel se termine par trois jNotes : la première 
reproduit une Note des Comptes rendus àdins laquelle il établit le 
théorème de M. Picard sans se servir des propriétés de la fonction 
modulaire. La seconde Note se rapporte aux fondions à croissance 
réiriilière. En conservant les notations antérieures, M. Borel dit 
que la fonction entière F(^) et la fonction M(/') qui s'en déduit, 
comme on l'a expliqué plus haut, sont à croissance régulière quand 

l'expression 

loglogM(r) 
log/" 

tend vers une limite lorsque /• croît indéfiniment. Supposant en- 
suite que l'exposant de convergence p de la suite des ;■,« "^ soit 
pas un nombre entier et que l'ordre apparent de F(s) soil(coiTîme 
son ordre réel) égal à p, il monire que : la fonction F(:;) est à 
croissance régulière si l'ordre d'infinitude de /■« est déterminé et 
que réciproquement, l'ordre d'infinitude de //< est déterminé 
quand la fonction F(^) est régulière. La troisième Note, enfin, 
concerne les fonctions à croissance ivréguliève; Tauteur y indique 
comment on peut construire une fonction C5(^) dont le module 
maximum M(/') est, dans une infinité d'intervalles d'étendue aussi 
grande qu'on veut, très voisin de e'' et, dans une infinité d'inter- 
valles d'étendue aussi grande qu'on veut, très voisin de e' \ 

J. T. 



COMPTKS RENDUS ET ANALYSES. 



John William STRUTT, Bnron RAVLKUiH, Ilonorary Fl-IIow nf Tiinity Col- 
lège, Cambridge. Profossor of Natural Philosophy in llie Royal Inslilution. — 
SciENTiFic Papeiis ( ' ). Vol. I, 18G9-1881. Cambridge Universily Press; 
1899- 

Il y a exactement trente ans, le Philosophical Magazine pu- 
bliait une étude sur les phénomènes électromagnétiques : c'était 
le premier Mémoire scientifique de Lord Ravieigh. Il s'agissait 
à^ illustrer les phénomènes de l'Electromagnétisme par ceux de 
la Mécanique qui |)résentent avec eux celte analogie de satisfaire 
aux mêmes équations. L'auteur, établissant une exacte compa- 
raison entre les lois de l'induction et celles du mouvemenl des 
liquides, montrait, par exemple, comment la théorie des bobines 
d'induction correspond à celle des béliers hydrauliques. Il n'est 
pas jusqu'à la rupture éventuelle du bélier qui ne puisse repré- 
senter la production d'une étincelle disruptivc. 

JN'y a-t-il pas, dès ce premier travail, l'indication de ce que de- 
vait être l'œuvre de Lord Rajleigh : ingénieuse, touchant parfois 
à l'Analyse mathématique, avec quelque préférence pour la Méca- 
nique analytique, mais serrant toujours de très près la matière 
expérimentale? 

C'est, en restant dans les mêmes voies que l'auteur donne, dès 
l'année suivante (18-0), un intéressant Mémoire sur la théorie de 
la résonance. Bien d'autres l'ont suivi, et plus de la moitié du 
Livi'c que nous présentons ai'x lecteurs du Bulletin est consacrée 
à des Mémoires portant sur la dynamique des systèmes; sur ses 
applications au mouvement des fluides et, surtout, à la théorie du 
son. Plusieurs de ces Mémoires, du reste, font partie de la Theory 
of Sound, deux Volumes publiés en 1873, devenus tout de suite 
classiques, et auxquels l'auteur renvoie fréquemment. 

C'est encore au même ordre d'idées que se rattachent le peu de 
Mathématiques pures que contient cet Ouvrage; quelques Notes 
sur le calcul des fonctions de Bessel, une démonstration originale 
du théorème de la movenne sphérique dans la théorie du potentiel 



(') In-'|°, JG.> pages. 



128 PI5li.MII' Ul': l'AUTlK. 

newlonien. . . el les questions posées au concours de 18-6 pour le 
Tripos examination (agiégalion ). 

Très peu d'Electricité puisque ce premier Volume s'arrête à 
1881, c'est-à-dire à la veille des célèbres expériences de Lord Raj- 
leigh sur les unités électriques. Par contre, une vingtaine de Mé- 
moires d'Optique témoignent des progrès que Lord Rajleigh a 
fait faire à l'étude de la diffraction. 

Il V a, dans ce Livre, mieux qu'une simple réimpression. Ces 
travaux, déjà anciens, sont pourtant au courant des développe- 
ments de la Science, grâce à des notes personnelles de l'auleur, 
nettement séparées du texte, qui donnent aux sujets traités une 
physionomie plus intéressante en les plaçant tour à tour dans leur 
milieu scientifique naturel. 

Certains de ces sujets paraissent, du reste, définitivement 
épuisés. Ainsi, après avoir lu ce Livre, nous savons pourquoi le 
joueur de tennis peut tromper son adversaire en lançant la balle 
liors de sa trajectoire parabolique. Nous savons aussi comment il 
se fait que la voix de femme renvoyée par l'écho d'un bouquet 
d'arbres njonte en général d'un octave et paraît, au contraire, 
baisser de la même quantité quand la lisière du bois est normale 
au rayon sonore. Et l'explication de ces singulières apparences est 
fournie par la théorie même C[ul explique le bleu du ciel. 

Nous sommes moins nettement fixés, par contre, sur la question 
de savoir quel avantage aurait un joueur de pilr ou face à s'ar- 
roger le droit d'arrêter à son gré la partie. 

L'ensemble n'est donc pas trop sévère, car ces travaux, peu 
austères, viennent créer ime diversion sur l'intention de laquelle 
nous ne pouvons nous méprendre puisque l'auteur a eu soin de 
nous la signaler dans une très courte Préface. 

Tel est ce premier Volume de Mémoires, remarquablement 
édité d'ailleurs, et que Lord Rayleigh a eu Tintraduisible pensée 
d'offrir au public sous l'invocation de ce verset : 

The \vorks of ihe Lord are great, 
Soiight out of ail iheni that hâve pleasure iherein. 

IL A«n\nAM. 



COMPTAS KEN DUS KT ANALYSES. 1-29 

RUDIO (F.). — Verhandluxgen des ebsten i.nternationalen Mathema- 
TiKER-KoNGRESSES IN ZuRtcH voM g. Brs II. AuGfST 1897. Un vol, in-S", 
viii-397 P- Leipzig. Teubner, 1898. 

Les mathématiciens qui ont eu la Ijonne fortune d'assister au 
Congrès international qui s'est tenu à Zurich en 18g- en ont rap- 
porté un excellent souvenir, et, à leur retour, se sont plu à redou- 
bler les regrets de ceux qui n'avaient pu accepter les aimables 
invitations des organisateurs du Congrès : cela n'est pas étonnant. 
La grande autorité scientifique dont jouissent bon nombre des 
maîtres qui enseignent dans les Universités ou dans les Écoles 
suisses assurait d'avance la réussite du Congrès; puis la Suisse 
est un pavs vraiment hospitalier, où chacun, au moins pour 
quelques jours, se trouve mieux que chez lui et se laisse volontiers 
pénétrer par cette franche et simple cordialité que l'on respire 
avec le bon air. Ce pavs-là semble désigné pour le commencement 
de tontes les bonnes œuvres internationales. 

Il faut savoir gré à M. Ferdinand Rudio du soin qu'il a apporté 
à la publication du Volume où sont réunies les Communications 
alressées au Congrès, où sont retracées la préparation et l'histoire 
de ce Congrès; M. Rudio a d'ailleurs pris une large part à l'orga- 
nisation et il a prononcé d'excellentes paroles sur l'utilité de ces 
réunions, sur le profit qui doit en résulter pour les Mathématiques 
et les mathématiciens, sur le genre de travaux qui doivent y 
être entrepris, en particulier sur la constitution d'un Répertoire 
mathématique. 11 est bien certain que la question bibliographique 
est une de celles qui s'imposent aux Congrès. Elle a été traitée à 
Zurich, par M. Enestrom, dont la compétence est connue de tous. 
Quoiqu'il en soit, grâce à M. Rudio, personne ne sera privé ni des 
intéressantes Communications scientifiques qui ont été faites 
à Zurich, ni des choses profondes ou charmantes qui v ont été 
dites, par des maîtres qui ne séparent la Science ni de l'Art, ni de 
la Philosophie. 

\ oici la liste des Lectures qui ont été faites au Congrès, et que 
l'on retrouvera dans le Volume de M. Rudio : 

Poincaré. — Sur les rapports de l'Analvse pure et de la Piivsique 
mathématique. 
Bull, des Sciences rnatheni., 2' série, i. XXIV. (Mai 1900.) 9 



iU> PREMlEllE PAUTIE. 

lliirwitz. — Sur le développement de la théorie générale des 
fonctions analytiques dans les temps récents. 

JJ'eber (//•)• — Sur les genres dans les corps algébriques. 

Beusclile. — Théorie des constituants : une méthode nouvelle, 
fondamentale et génétique pour la théorie des invariants. 

Stéphanos. — Sur les systèmes associatifs de nombres symbo- 
liques. 

Garda n. — Résultants de formes ternaires. 

Enriijues. — Sur les problèmes qui se rapportent à la résolution 
des équations algébriques renfermant plusieurs inconnues. 

Schrôder. — La Pasigraphie; son état actuel et le mouvement 
pasigraphique en Italie. 

Bados. — Pour la théorie des formes quadratiques adjointes. 

Pervouchine. — Formules pour la détermination approximative 
des nombres premiers, de leur somme et de leur différence 
d'après le numéro de ces nombres. 

Meyer (JV.-F.). — Sur l'algorithme des fractions continues. 

Stickel.berger. — Sur une nouvelle propriété des discriminants 
des corps algébriques. 

De la \ allée-Poussin. — Sur la théorie des nombres premiers. 

Brioschi. — Sur une classe d'équations du cinquième degré 
résolubles algébriquement et la transformation du onzième ordre 
des fonctions elliptiques. 

Picard. — Sur les fonctions de plusieurs variables et en particu- 
lier les fonctions algébriques. 

Hadamard. — Sur certaines applications possibles de la théorie 
des ensembles. 

Pincherle. — Remarque relative à la Communication de M. Hada- 
mard. 



COMPTES HENDUS ET ANALYSES. i3i 

Borel. — Remarque relative à la Communication de M. Hada- 
mard. 

Boiigaïeiv. — Les Mathématiques et la conception du monde au 
point de vue de la Philosophie scientifique. 

Au tonne. — Sur les pôles des fonctions uniformes à plusieurs 
variables indépendantes. 

De Galdeano. — L'unification des concepts dans les Mathéma- 
tiques. 

Reye. — Quelques nouvelles propriétés des complexes quadra- 
tiques. 

Gerbaldi. — Sur le groupe simple de 36o collinéations planes. 

Burali-Forti. — Les postulats pour la Géométrie d'Euclide et de 
Lobatschewsk^. 

Andrade. — Statique non-euclidienne. 

Fano. — Sur les groupes, en particulier sur les groupes continus 
de transformations de Cremona du plan et de l'espace. 

Briinn. — Sur les courbes à nœuds. 

Stodola. — Sur les relations de la Technique et de la Mathéma- 
tique. 

Joukoivsky. — Un nouvel appareil gjroscopique. 

Zeutlien. — Isaac Barrow et la méthode inverse des tangentes. 

Enestrum. — Sur les nouvelles entreprises de Bibliographie ma- 
thématique. 

Loria. — Aperçu sur le développement historique de la théorie 
des courbes planes. 

Peano. — Logique mathématique. 

Klein. — L'enseignement des hautes Mathématiques. 

On voit combien les sujets traités sont variés, comment les 
diverses parties de la Science se trouvent représentées; l'Histoire 



lii rni;Mii:i!i'. I'autii-:, 

même un |in.s élr ()iil)liée el les CominiiiiK allons de M. Zeiillicii et 
de M. Lona sont très iiiléressanles. Il convient de remarquer 
qu'un grand nombre de ces Lectures ont un caractère général; 
parmi celles-là même, la plupart ne regardent que les mathéma- 
ticiens; telles sont, par exemple, le magistral exposé qu'a fait 
M. Plijrvvilz du développement de la théorie des fonctions analy- 
tiques, ou les vues que M. Klein a développées sur l'enseignement 
des Mathématiques. D'aulres méritent d'être méditées par les 
philosophes. Qui ne serait émerveillé par les pages exquises et 
profondes que M. Poincaré a écrites sur les rapports de l'Analyse 
pure et de la Physique mathématique? Qui ne ressentirait l'émo- 
tion de M. Bougaïew réclamant la place de l'individu et les droits 
de la personne humaine dans cet écoulement de phénomènes dont 
nous avons les oreilles rebattues depuis Heraclite, que l'Analyse 
mathématique piétend aujourd'hui expliquer, prévoir et soumettre 
entièrement à ses lois? Je me suis figuré, en le lisant, que le 
géomètre russe regarde volontiers la continuité comme une appa- 
rence, comparable à ces lois asymptotiques des nombres entiers, 
qui recouvrent des discontinuités irréductibles, et qu'il a si souvent 
maniées. Celte façon dont les mathématiciens modernes regardent 
du côté des idées génér-ales est extrêmement remarquable. Il est 
fort naturel que M. E. Picard, qui a pris la parole dans le banquet 
final, ait voulu y faire allusion. Par la largeur et l'acuité de son 
esprit, M. Emile Picard est assurément fait [)Our s'associer à cette 
tendance; dans un toast plein d'humour et d'excellents conseils, 
il a proclamé que celte coquetterie entre la Science et la Philoso- 
pliie était pour le mieux. J. T. 



Jacques BOYER. — Histoire des Mathématiques. Paris, Carré et Naud 
(BiblioUièque de la Revue générale des Sciences). In-8", xii-'26o p.; 1900. 

Étant posé le problème de librairie d'écrire une Histoire des 
Mathématiques en 25o pages, depuis l'origine jusqu'à nos jours, 
on ne peut naturellement attendre, comme solution, que la vulga- 
risation, plus ou moins heureuse, de ce qu'il y a de surtout sail- 
lant dans les Ouvrages appuyés sur des recherches originales. Le 



COMPIFS HHNDIS l'T ANA I. VSHS. iV> 

mince Volume de M. Boyer a l'avaiilaj^e incoiiteslable tle la claiU' 
dans la disposition et dans le style; il se recommande également 
par son illustration intéressante (i() portraits tirés de sources 
authentiques, depuis ISapier jusqu'à Weierstrass ; fac-similés de 
manuscrits, d'ancietines gravures d'instruments, etc.). Constater 
cpi'il n'est pas exempt d'erreurs de détails, est assez inutile, alors 
(|u'il V en a dans les travaux de première main les plus justement 
renommés, et qu'elles se propagent beaucoiij) j)lus facilement que 
leurs corrections; il suffit que ces erreurs ne soient pas graves et 
qu'elles ne soient pas plus fré(|uentes que dans les Abrégés ana- 
logues (toutefois plus étendus) de Rouse-Ball et de (^ajori. 

M. Bover a mis d'ailleurs sa marque personnelle dans son 
Histoire et s'est efforcé de lui donner un caractère particulier en 
la laissant très élémentaire et en la destinant à ceux qui apprennent 
les ]Mathématiques, non ceux qui les savent. On ne peut que lui 
souhaiter d'atteindre son but, et d'exciter au moins, dans les gé- 
nérations des élèves, un intérêt pour des questions auxquelles 
malheureusement trop peu de j)rofesseurs sont aujourcriuii 
capables de répondre. 

Alais l'avouerai que, pour mon comple, je ne puis \oir bien 
clairement à (juel public s'adresse un Abrégé de ce genre; pour un 
candidat à la licence, il y a déjà bien des sujets qui paraîtront 
trop écourtés; pour les élèves des lycées, je ne vois point quel sens 
peut avoir un Chapitre sur la Mathématique moderne. Et si l'on 
veut, d'après le système actuellement en vogue, continuer à 
pousser jusqu'à nos jours, l'Histoire des Sciences comme du reste, 
il y aurait, je crois, beaucoup mieux à faire. 

Prendre, par exemple, le programme actuel des Ivcées pour 
l'Arithmétique, et faire, à part, et successivement, l'histoire de 
chaque question : numération parlée, numération écrite, calcul 
des quatre règles, etc.; suivre l'évolution de la pratique et de la 
théorie jusqu'à leur forme présente ; voilà un plan dont l'exécution 
devrait, ce me semble, tenter un travailleur; il répondrait à une 
idée claire, et aboutirait à un enseignement méthodique dont l'uti- 
lité ne serait pas négligeable, même au point de vue strictement 
mathématique. 

In petit \ olume tie la sorte pour 1" Arilhmétique, trois autres 
pour l'Algèbre, la ('léomclrie élémcnlairc et la Géométrie analy- 



i34 PREMIËUE PARTIE. 

tique, joints à un Résumé général chronologique, tel que l'Abrégé 
de M. Boyer, contribueraient beaucoup à élargir les idées des 
élèves, sans parler du rappel de nombre de questions curieuses, 
qui sont passées de mode, mais dont l'oubli n'est pas mérilé. Pour 
les Mathématiques supérieures, l'intérêt de leur histoire est beau- 
coup moins actuel; M. Cantor l'a très bien compris en s'arrêtent 
à Lâgrange; son œuvre sera continuée, mais les savants dont on 
étudie encore les écrits n'appartiennent point véritablement à 
l'Histoire, et pendant un siècle, les Monographies suffiront pour 
assembler les matériaux que l'avenir mettra en œuvre. 

Paul Tamnehy. 



NETTO (E.)- — VoRi.EsuNGEX ÏBER Algebrv. Zwciter Band. Un vol. in-8", 
xn-5i9 p. Erste Lieferung; 1898. Zweite Lieferung; 1900. Leipzig, 
Teubner. 

Le premier fascicule de cet important A olume est consacré à la 
théorie des fonctions entières de plusieurs variables. Après avoir 
montré comment on calcule le nombre de coefficients d'une fonc- 
tion du n'""'"^ degré à m variables, ou le nombre de ces coefficients 
qui satisfont à certaines conditions, l'auteur traite les questions 
générales relatives à la divisibilité de pareilles fonctions (réduc- 
tibilité, plus grand commun diviseur, etc.). Il introduit ensuite 
la notion de racine d'une équation ou d'un système d'équations; 
le mot racine (ou point-racine) est entendu dans le sens de sys- 
tème de valeurs des variables qui vérifient l'équation, ou le système 
d'équations; pour une équation, la distinction entre les racines 
simples et les racines multiples ne comporte aucune difficulté. 
Cette distinction, et la solution d'autres questions qui se pré- 
sentent naturellement, ne peut se faire en général avant d'avoir 
traité de l'élimination : l'auteur s'occupe d'abord du cas de deux 
équations à deux inconnues. 

Dans le précédent Volume, on a donné la notion de résultant 
pour deux polvnomesy, g à une variable ^,, notion fondée sur la 
théorie des fonctions symétriques; c'est une fonction entière R^,^, 
parfaitement déterminée, des coefficients de ces polynômes. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i35 

Lorsque ces coefficients sont eux-mêmes des polynômes par rap- 
port à une seconde variable Zi, le résultant, après la substitution, 
devient une fonction de cette seconde variable, c'eslV éliminant 
des deux équations à deux inconnues obtenues en égalant à zéro 
les deux polynômes à deux variables. 

L'utilité de la transformation linéaire qui permet de préparer 
ces deux équations supposées de degrés respectifs /;?, n, de ma- 
nière que les inconnues v figurent elTectivenient à ces degrés, appa- 
raît immédiatement. L'auteur montre sous quelle condition le 
résultant est efiectivement de degré mn\ il introduit ensuite 
cette transformation due à Liouville (') et dont Kronecker a tiré 
si grand parti, qui consiste à prendre pour inconnue auxiliaire 

où X, /, sont des indéterminées. L'équation finale en x permet de 
définir le degré de multiplicité d'une racine, et, quand elle est 
résolue, d'associer les éléments C|, ^2 q"i constituent celte racine. 
Après s'être occupé des racines infinies, il développe les règles de 
Minding et de Labatie pour la détermination du nombre exact de 
racines finies. 

L'exposition de la méthode d'élimination de Poisson exige un 
Chapitre préliminaire sur les fonctions symétriques entières de 
systèmes de variables indépendantes, en particulier sur l'expres- 
sion de ces fonctions symétriques au moyen de fonctions symé- 
triques élémentaires qui, toutefois, ne sont plus indépendantes, 
comme dans le cas classique où chaque système ne comporte 
qu'une variable. Considérant ensuite ni équations générales à m 
variables z^, z^^ ..., z,,,., de degrés «,, /?o, ..., /?,„, les proposi- 
tions fondamentales relatives au nombre de racines, à la façon de 
les faire dépendre d'une seule équation de degré k = /?, /^o- • -'hu 
par la transformation de Liouville, etc., propositions établies 
dans le cas de deux équations, s'obtiennent par induction, et 
la théorie des fonctions symétriques conduit ensuite à la notion 
de résultant entre ni -+- i équations à m inconnues ainsi qu'aux 
propriétés essentielles de ce résultant. Revenant ensuite à la ré- 
solution de m équations à //? inconnues, qu'il ne suppose plus 

(') Jour/ml (le Matlit'nialirjues /fiirea ci appli'juées. l. \II, p. 68-72: 1847. 



f36 pni:.Mif:RF pahiir. 

à coefficienls indélerminés, l'auteur traite des racines infinies 
et des racines multiples; celles-ci lui donnent (dans le cas des 
racines doubles) l'occasion d'introduire la notion du jacobien; 
il développe une méthode simple pour déterminer, dans le cas 
général, le degré de multiplicité d'une racine; il examine enfin le 
cas où les équations ont une infinité de racines, et définissent 
ainsi une multiplicité d'une dimension supérieure à o, dimension 
qu'il apprend à déterminer. 

I^a méthode deBézout, fondée sur la détermination de polynômes 
'-5(, '^2, .... 'o„i tels que l'expression 

?1 /l ^- 'f 2/2 -^- ■ • • -+- 'f /» fm, 

où /) , y^, . . 'ijm sont des polynômes donnés en ;;,, So, . . ., 5„j, ne 
contienne plus qu'une de ces variables, l'étude des propriétés des 
éliminants et des résultants donnent lieu à d'intéressants dévelop- 
pements dont plusieurs sont d'une importance capitale pour l'étude 
des courbes et des surfaces algébriques. Signalons, par exemple, la 
démonstration de la proposition suivante : Si les racines du système 

/a<'-i, -2, • • • -«1) = o (a = I, 2, . . ., w% 

sont en nombre fini et si toutes ses racines annulent le polynôme 
^, il existe une relation de la forme 

.ï,!;.=/,Q,^/,Q, + ...^/„,Q„,. 

où les Q sont des polynômes en ;;, dont les coefficients s'expriment 
rationnellement au moyen des coefficients des polynômes /"a, O, 
et où UL est le plus haut degré de multiplicité d'une racine. 

M. Hilbert ( ') a montré comment on peut étendre cette propo- 
sition au cas où le svstème d'équations admet une infinité de 
racines. 

Dans la méthode de Kronecker, c'est la substitution de Liou- 
ville qui joue le rôle essentiel. Etant donné un nombre quelconque 
d'équations en 3|, z^. ... '-m 

(1) /l=f~', /2='l- /v^^'»' 



(') L'c-bev die vollcn In\^arinntcnsy.%tcine (Math. Ann., t. XIJI 



COMPTES RKNDl'S KT ANALYSES. iS; 

on peut, en posant 

en déduire une suite dérjuations en x, 

Ra(.r; :;i, -.,, •• •• -m- a) = » (a = i, 2, . . . , m), 

dont les racines sont linéaires en ?/,, u-y, •••, et qui fournissent 
toutes les racines des équations (i). Les racines lournies par l'équa- 
tion Rjj^o forment une multiplicité de la dimension m — a: 

Znt-oL+i 'm s'expriment algébriquement au moyen de r, , ^j, ..., 

z„,-y. qui restent arbitraires. Les quantités R^ sont les éliminants 
partiels et le produit R| Ro. . .R,„, l'éliminant total. A la notion de 
l'éliminant total se rattache celle de la réductibililé et de l'irré- 
ductibilité d'un système, de la divisibilité d'un système par un 
autre système, dont l'éliminant total divise l'éliminant total du 
premier. La méthode donne ainsi une véritable connaissance de la 
nature des restrictions apportées par les équations (i) à la multi- 
plicité /?2"P''' des variables z. On en déduit encore que m -h i équa- 
tions (au plus) suffisent toujours à définir complètement l'en- 
semble des racines de ces q équations, ou si Ton veut la figure, 
dans l'espace à m dimensions, telle que les coordonnées :;( , z-^, . .., 
Zm d'un quelconque de ses points vérifient ces q équations. 

L'étude de la dépendance entre des équations données peut se 
faire soit par la théorie de l'élimination, soit par la considération 
du jacobien, et la comparaison des deux méthodes conduit à des 
propositions intéressantes. 

Des trois méthodes d'élimination que M. Netto a développées, 
il ne semble pas qu'aucune puisse être négligée, puisque chacune 
se trouve éclairer naturellement une face du problème; les mé- 
thodes de Cajlev et de Sylvester, auxquelles il consacre une leçon, 
sont moins essentielles : la première consiste à multiplier les 
équations en ^,, z., ..., z„ par i. r,, . .., z,i, 3; ; z, z., ..., z-l, 
zf^, ..., de manière à obtenir un nombre d'équations suffisant pour 
éliminer tous les monômes, regardés comme les inconnues d'équa- 
tions du premier degré; M. Netto montre que quelques-unes des 
assertions de Cavley sont inexactes. La méthode de Svlvester, qui 
permet d'obtenir, sous forme de déterminant, le résultat de Téli- 
mination de deux inconnues entre trois équations, mérite assuré- 



i38 PREMIERE PARTIE. 

ment une citation, comme celle de Cajlej, quoiqu'elle soit aussi 
insuffisamment appujée. 

La notion de discriminant acquise pour les fonctions d'une 
variable peut être étendue dans deux sens très difi'érents. Le dis- 
criminant d'un sj'stème de m équations y, = o, /'^ = o, ..., f,n=^ o 
à m inconnues peut être défini comme la fonction sjmétrique des 
racines de ce système obtenu en multipliant les valeurs que prend 
le jacobien des fonctions /, , Z^, . ..,//« quand on y substitue ces 
racines. D'un autre coté, le discriminant d'une fonction homogène 
cp(:;,, z^i • • ., ^m) peut être défini comme le résultant des dérivées 
partielles du premier ordre. 

Une leçon est consacrée à l'extension, d'après Jacobi, au cas 
de plusieurs variables, du théorème classique d'Euler qu'exprime 
l'égalité 

où G,, z.,, . . ., z,i sont les racines supposées simples du polynôme 
f{x) et où M(^) est une fonction entière de degré n — 2 au plus. 

Enfin une exposition rapide de la théorie des caractéristiques 
de Kronecker et des relations qu'elle présente avec les formes qua- 
dratiques de M. Hermite, puis une leçon où sont résumées toutes 
les propositions essentielles de la théorie des équations linéaires, 
terminent ce premier fascicule. 

Le second fascicule contient une belle exposition de la théorie 
des équations algébriques, où les idées essentielles sont mises peu 
à peu en pleine lumière, et dans un ordre où elles semblent natu- 
relles. 

Pour ne pas interrompre cette exposition, M. Netto débute par 
établir, d'après M. Hilbert, la proposition que voici : Si une fonc- 
tion entière des variables .r, y, z, ..., (v; r/, /•,...,/ à coefficients 
entiers, est irréductible dans le domaine des nombres rationnels, 
on peut donner aux variables </,/•, . . . , t des valeurs entières telles 
que la fonction des variables x^y^ z, ..., n> ainsi obtenue soit 
elle-même irréductible dans le même domaine. La démonstration 
de cet important théorème, où interviennent quelques proposi- 
tions élémentaires de la théorie des fonctions, est d'un tout autre 
ordre d'idées que ce qui suit. 



COMPTKS RENDUS l'T ANALYSES. iSg 

Si la lliéorie des équations cycliques et des équation aljélienncs 
résulte aisément de la théorie de Galois, on peut dire aussi qu'elle 
prépare admirablement à l'étude de cette théorie, comme, aussi 
bien, elle en a préparé historiquement la naissance. L'ordre adopté 
par M. Netlo se justifie pleinement. Les équations abéliennes 
conduisent naturellement à parler des groupes abéliens, dont 
l'auteur développe les propriétés essentielles d'après les travaux 
de Schering et Kronecker, de MM. Frobenius, Stickelberger, 
Zeigmondj (invariants du groupe, représentation du groupe au 
moyen d'une base, indépendance des invariants et de la base 
choisie, rang du groupe, décomposition du groupe en fac- 
teurs, etc.). Ces propriétés sont établies d'une façon abstraite, 
indépendamment de la nature des éléments qui constituent le 
groupe abélien. L'auteur introduit maintenant la notion de sub- 
stitution 



relative à n variables indépendantes ^,, z^, ..., ^«, en se bor- 
nant aux propriétés nécessaires pour acquérir les notions de 
groupe symétrique, alterné, cyclique et les notions correspon- 
dantes de genre {Gatliing) symétrique, alterné, cyclique. Toute- 
fois, la notion de groupe ou de fonction cyclique est étendue 

(d'après Kronecker) au cas de 11^11^ ... n^, variables Zi.^i,^ /;.., 

en considérant les substitutions qui consistent à remplacer 

•2/j, + a,, /'; + «;, ... /i„ + a„) 

OÙ les indices h\ + a|, liy-\- «o, . . ., //^+ a,, doivent être réduits 
respectivement suivant les modules /«i, n^-, •••? /^t-; ce sont les 
substitutions que Cauchy nommait substitutions arithmétiques . 
Ces notions s'appliquent naturellement aux équations abéliennes. 
En faisant un pas de plus, on passe aux substitutions géomé- 
triques de Cauchy, qui consistent à remplacer, dans chaque va- 
riable z-h,,k. h^i l'indice /i^par le nombre cixh \-\-bxli-2-\- ■ ■ •-\-Cxli^> 
réduit suivant le module iix', on arrive ainsi à la notion de 
groupe géométrique, puis, en combinant les substitutions arith- 
métiques et géométriques, à la notion de groupe linéaire (homo- 



ilo nU-MIÈHH PARTIE. 

gène ou non), cl, plus pailiculièrcmenl, de groupe nu-tacvclique, 
(le fonction et d'ccpialion métacvclique. 

La notion de genre {Gattung) se trouve déjà en partie intro- 
duite : deux, leçons sont consacrées à la mettre en pleine lumière. 
Voici, tout d'abord, le genre de Galois : on remarquera le soin 
et la rigueur qu'a apportés M. Netto à montrer l'existence de 
fonctions qui changent de valeur par toute autre substitution que 
la substitution identique; puis viennent la formation d'une fonc- 
tion appartenant à un groupe donné, les fonctions conjuguées, la 
décomposition du groupe correspondant en <( complexes conju- 
gués » {Nebengruppen, de M. Weber), l'examen du cas où 
les genres conjugués appartiennent au même groupe, la démon- 
stration du fait que, pour /i >> 4, il n'y a pas de genre pour lequel 
il y ait plus de deux et moins de n valeurs conjuguées, etc., 
puis, dans une autre leçon, les propositions fondamentales rela- 
tives à la composition et à l'isomorpliisme. Notons l'épitliètc 
d' « autojugué )> par laquelle M. Netto propose de distinguer ces 
sous-groupes que l'on a appelés propres, disiingiK'S, inva- 
riants, normaux, monoty piques, caractéristiques, etc. 

Il arrive enfin à la théorie du groupe de Galois d'une équation 
donnée. Signalons, en dehors des propositions classiques, la dé- 
monstration, d'après M. Hilbert, de ce théorème : Si les coeffi- 
cients d'une équation appartiennent à un domaine de rationalité 
constitué par les nombres rationnels et les paramètres <, r, ..., q, 
on peut donner, et d'une infinité de manières, des valeurs en- 
tières à ces paramètres, telles que le groupe de Galois de l'équa- 
tion particulière ainsi obtenue, dans le domaine des nombres 
rationnels, soit le même que le groupe de Galois de l'équation 
proposée dans le premier domaine. En particulier, il y a une infi- 
nité d'équations à coefficients entiers qui n'ont aucune affection 
{^Affeckt^ Les propriétés d'une équation se traduisent dans les 
caractères de son groupe, tout d'abord dans sa transitivité ou son 
intransitivilé, dans sa primitivilé ou dans son imprimitivité, puis 
dans la possibilité de le réduire par l'adjonction de fonctions ra- 
tionnelles des racines de l'équation [résolvantes). 

Dans le premier Volume de ses Leçons, M. Netto avait traité 
de la réductibilité dans un domaine naturel [iovmé au moyen de 
nombres rationnels cl de paramètres variables quelconques). Il 



COMPTAS lU-NDUS I:T AXM.VSKS. iJi 

est mainlcnaiit nécessaire de traiter la uièine question dans un 
àamame algébrique formé par l'adjonction à un domaine naturel 
d'une racine d'une équation irréductihle dans ce domaine, c'est 
ce que permcllenl les reclierclies de Kronecker el de M. Kneser. 
Parmi les nomhres algébriques, les nombres radicaux, obtenus 
par l'extraction de racines portant sur un nombre rationnel, par 
l'adjonction de ces racines au domaine des nombres rationnels, 
l'extraction de nouvelles racines portant sur des nombres apparte- 
nant à ce nouveau domaine, elc, méritent une étude approfon- 
die, en vue de la théorie de la résolution des équations, théorie 
ipie l'auteur expose en utilisant principalement les recherches de 
Kronecker; après avoir exposé les propositions générales sur la 
résolution des équations par radicaux, celle, en particulier, qui 
concerne la composition de leur groupe, Fauteur traite des équa- 
tions résolubles de degré premier p, pour établir, d'après Kro- 
necker et M. ^\'^eber, la composition de leurs racines au moyen de 
racines d'une équation cvclique de degré /? — i ; il passe ensuite 
aux équations |)rimitives dont le degré est une puissance d'un 
nombre premier; il montre, en particulier, d'après M. Jordan, 
comment on peut former les tvpes généraux des équations pri- 
mitives résolubles de degré p'-. 

Les recherches de MM. Hôlder et Gegenbauer sur le cas irré- 
ductible forment une courte et intéressante digression, après la- 
quelle l'auteur traite avec détail de la recherche des points d'in- 
flexion d'une courbe du troisième degré. 

Les deux dernières leçons se rapportent aux équations du cin- 
quième degré, d'abord aux équations résolubles, pour lesquelles 
les fonctions métacvcliques appartiennent au domaine de ratio- 
nalité, à la formation d'une équation du sixième degré qui doit 
avoir une racine rationnelle pour que l'équalion du cinquième 
degré soit résoluble, aux recherches de MM. Selivanof et Me 
Clinlock, puis à l'équation générale du cinquième degré, aux 
diverses équations à un paramètre auxquelles on peut la ramener 
(Bring-Jerrard, Brioschi, Klein-Gordan, etc.), au théorème de 
Galois sur le groupe de l'équation modulaire relative à la trans- 
formation d'ordre premier /?, lorsqu'on adjoint l'irrationnelle 



\/. 



^i) 2 li . au théorème de Jacobi sur les équations au multi- 



,4a' PREMIÈRE PARTIE. 

plicaleur, à la mélhode de résolution de M. Hermite, à celles de 
Kroneckcr et de Brlosclii. Enfin, dans les dernières pages, 
M. Netto montre, d'après M. Gordan, que les équations de degré 
supérieur au quatrième n'ont pas de résolvante à un paramètre. 
La démonstration même lui donne l'occasion d'établir le théorème 
bien connu de M. Liiroth sur les courbes uuicursales. 

Nous n'avons pu, dans la brève analyse qui précède, que donner 
une idée imparfaite de la richesse des matières traitées par M. Netto. 
La publication de son Livre rendra assurément les meilleurs ser- 
vices : elle a suivi de près la publication du beau Traité de 
M. Weber; ces deux Ouvrages, conçus à des points de vue très 
différents, ne font nullement double emploi, et ils contribueront, 
l'un et l'autre, à développer le goût de l'Algèbre. 



MELANGES. 

SUR UNE CLASSE D'ÉQUATIONS DE LAPLACE; 
Par m. g. TZITZÉICA. 

1. Lorsqu'il s'agit de trouver des solutions c,, :^o, ..., z,i de 
l'équation 

d-z dz , dz 

(1) -——=«— -+-6—, 
ox ay dx oy 

de manière que z'^ -\- z'i -\- . . . -{- z^^ en soit aussi une solution, on 
est conduit à chercher des fonctions c de jc et de y^ telles que les 
équations (i) et 
, ^ dz dz 

(2) -y T = ^> 

dx dy 

aient une solution commune. 

Il j a un cas particulièrement intéressant, c'est quand le sys- 
tème des équations (i) et (2) est complet. Soit alors 

(3) z^f{x,y,m)-~ m', 



MÉLANGES. ,43 

Ja soliilion commune, m et m' étant des constantes; les fonctions 

^i=\f^if{x,y,'^i) + '(i (f = 1,2, ...,«), 

el z'\ -{- zl -\- , . . -^ zl sont des solutions de (i), p et y étant des 
constantes quelconques et les a des constantes dont la somme est 
nulle. 

Dans ce cas on a, entre les coefficients de (i), les relations 

ôx\a dy ) ôy\b dx } dx dy ^ ' 

et c est donné, à un facteur constant près, par 

\_ dc^ _ idb^ ^ i^ de _ \ da 

c dx ~ b dx " ' "c 'dy ~ 7idy~'^"' 



2. On tire de (4) 



à^^o?^ab 
— - — - — — hab, 
dx dy 



d'où l'on conclut que, par un choix convenable des variables indé- 
pendantes, l'on peut écrire 



ab= — 



t^n posant ensuite 



6=- '-* 



on aura, pour 1, l'équation 

dxdy dx\x—yj~^dy\x—y)~^' 

qui entre dans la classe de celles qui ont été étudiées par M. Cos- 
serat (Leçons de M. Darboux, Vol. IV, noie III). 

3. La solution (3) du système complet se trouve à l'aide de 
quadratures. En effet, il est aisé de voir que pour toute solution R 
commune à (1) et à (2) on a 

dx [c \dyj J dy i^c [dx ) J' 
On peut donc poser 
(5) a/dRy- dr b / dR\- dr 



c\dx / dx' c\dy/ dy 



i44 p IU-; M I f: u i-: i'a u tik. 

et l'on aura, pour la nouvelle fonction /•, les équations 

à- r — I <Jr àr _ i 

Ox Oy -lix — y y'- Ox ày ^(x — yf 

qu'on intègre immédiatement 



, , /(x -\- m) (y -^ m) 

r = log { / ^ '- -f- nii, 

x—y 



m et nif étant des constantes. On aura ensuite de (5) R par des 
(piadralures. 

•4. R étant toujours une solution du système complet, posons 

_ dW d£ âR àz 
dy Ox dx Oy 

On sait que u satisfera à une équation de Laplace, si :; satisfait 
à (i). Dans le cas particulier qui nous occupe, il est facile de vé- 
rifier que cette équation en u sera à invariants égaux 

d- u i dh Ou I Oh Ou 

Ox Oy II Oy Ox h Ox Oy ' 

en posant «= hv et en faisant tous les calculs on trouvera 

OxOy ~ !^|^x—yf' 

Réciproquement, à une solution de cette dernière équation, on 
jiourra faire correspondre une solution de (i). 



c { ) M p 1' !•; s i{ i; .\ I ) u s !■: i a n a i, v s i- s . 145 

COMI» TKS lU: M)l S 1: T VN VL^ SKS. 



l'UKKIIARDT (II.). — Ei.i.iiTiciiK Ki xcnoNrox. Un vol. iii-8"; xvr-37 '. p.. 

l,(M|)zii:. Veil el C'"-"; iNcji). 

Dans un court \ olunic. de moins de (|ualrc cenl.s payes. M. Burk- 
liai'dl a réussi à exposer les propriétés fonda men la le.s de la 
théorie des fonctions elliptiques, de façon que le lecteur soit en 
mesui^e de manier ces fonctions, qu'il en connaisse les propriétés 
essentielles et ait acquis des vues étendues sur les développements 
indéfinis que comporte leur théorie. Dans un Volume antérieur, 
Functioneniheorelische } oilesungen, il avait d'ailleurs très hien 
préparé le terrain, de manière à ne plus avoir qu'à appliquer les 
propositions générales de la théorie des fonctions. La concision 
qu'il a su observer, sans nuire en aucune façon à la clarté, n'en 
est pas moins très remarquable. Nul doute que le Livre de M. Burk- 
hardt ne contribue à développer la connaissance et le goût d'une 
théorie, dont les applications ne peuvent manquer de devenir de 
plus en plus nombreuses el intéressantes. 

Le point de départ de Tauteur est dans la représeiilalion sur 
une surface à deux feuillets de la racine carrée 

d'un polvnome du quatrième degré y( ;), à racines inégales; après 
avoir montré comment cette surface peut être ramenée à un tore, 
el transformée par un svstème convenable de coupures en une sur- 
face simplement connexe, il introduit la notion des inlégiales 
elliptiques, et, en particulier, de lintégrale de première espèce 






il établit, à peu près comme Briot et Bouquet, que si l'intégrale a 
la valeur ?/„ pour r = ^o, la limite supérieure z est une fonction 
régulière de n dans le voisinage de Uq. Il est clair que cette con- 
dition est nécessaire pour prouver que z peut être regardé comme 
une fonction univoque de «; mais elle n'est pas suffisante, ainsi 
Bull, des Sciences mathém., 2° série, t. XXIV. (Juin 1900.) 10 



i46 PU H. Ml EU H l'A HT 1 11. 

que M. Picard Ta lait oljservcr ici même, en donnant un moyen 
facile de combler la lacune de la démonsiralion de BrioL et Bou- 
quet. C'est ce que fait aussi M. Burkhardt en suivant une tout 
autre voie; il se borne, pour le moment, au cas où les quatre 
racines de /"(c) sont réelles, et montre alors comment la considé- 
ration de l'intégrale de première espèce permet la représentation 
conforme du demi-plan des z sur un rectangle; on acquiert du 
même coup la notion des modules de périodicité et l'exemple 
d'une fonction doublement périodique, avec des périodes spé- 
ciales, l'une réelle, l'autre purement imaginaire ; l'auteur explitpie 
pourquoi le mode de démonstration, fondé sur la syméti-ie de la 
figure, ne s'étend pas aux intégrales de première espèce relatives à 
un polynôme quelconque du quatrième degré ; dans ce cas général, 
le problème de l'inversion des intégrales de première espèce ne 
sera complètement résolu qu'après l'étude des fonctions elliptiques 
à périodes quelconques, fonctions dont l'introduction est toutefois 
légitimée par ce qui précède. 

Après avoir exposé les notions primordiales relatives aux 
périodes, au parallélogramme des périodes, à la non-existence de 
fonctions analytiques uniformes avant plus de deux périodes, 
Ar.Burkliardl expose les tbéorèmes de Liouville sur la non-existence 
de fonctions doublement périodiques entières, sur la somme des 
résidus, le nombre des pôles et des zéros, la relation entre leurs 
affixes; c'est du premier de ces tbéorèmes que sera déduit un peu 
plus tard le théorème de M. Hermite sur la décomposition en élé- 
ments simples; il est nécessaire auparavant d'introduire la fonc- 
tion qui fournira l'élément simple, la fonction Zu, par exemple. 
La fonction pu est définie par son développement en série à 
double entrée, qui met les pôles en évidence; la fonction ta s'ob- 
tient par intégration; l'équation différentielle que vérifie pu est 
déduite du premier théorème de Liouville. La fonction du est 
obtenue sous forme de produit doublement infini, en partant de la 
définition 

d\oga'u 



du 



= tu, ^'(o) 



Le produit doublement infini est transformé, au moyen de la 
.'ormulc dEider, en produit simplement infini. 



CU.MPTI'S UIÎNDUS KT AiNALVSIiS. 147 

M. BuikliardL Irallc eiism'lc de la représenlalion d'une fooclion 
doublement périodique comme quolicnl de produit de fonctions 3*; 
le cas parliculiei' ([u'exprinic la formiile 

j" ( «/ -t- (7 ) a* ( a — u ) 

1) u — I ) a = ; , 

r^- ri :f - a 

fournit les théorèmes d'addition relatifs aux fonctions pu, p' u, 
■iit, les propositions fondamentales concernant la multiplication. 
Après avoir établi les notations relatives aux fonctions o'^?/ et 
les formules qui résultent de leur introduction, en particulier les 
expressions des quantités (') ^ e^ — c^, le caractère des fonctions 
^^^-^^> les équations dillérentielles fiu'elles vérifient, après a\oir 

défini, comme cas particulier, les fonctions sn, en, dn, et démontré 
les théorèmes d'addition relatifs f\ ces fonctions, M. Burkhardt 
passe au théorème capital de jM. Hermite sur la formation des 
fonctions entières doublement périodiques de troisième espèce, en 
partant des équations lonctionnelles qui les définissent. Avant 
l'exposition de ce théorème, les relations avec le nombre des zéros, 
la somme des affixes des zéros et les constantes qui définissent 
les multiplicateurs sont obtenues par la considération des inté- 
erales 



.7 ^(u) J *(") 



prises le long du parallélogramme des périodes. 

L'importance et le rôle du théorème de M. Hermite pour lin- 
Irodiiction des fonctions 3? et la déduction de leurs propriétés, 
sont mis en pleine lumière. Les formules de passage des fonctions 3* 
aux fonctions ."^ sous la forme 

-> « = oT^ ' ^îi" — S 7 — i 



(') jSI. Burkliardt, de même que M. Study, adoplc, comme je l'ai fait avec 
M. Molk, la noialioii oj,, oj^, w, = — tij,-f-tij, poiiz' désigner les demi-périodes, et 
les nuiaiii^ns correspondantes pour tes racines carrées des différences des racines. 
Il avait toutefois pensé que nous avions cliangé, pour les quantités /., />', les 
notations de Jacobi, que nous avons scrupuleusement respectées, comme lui- 
même. Avec la meilleure grâce du monde, M. Burkhardt a reconnu que l'éton- 
nemcnt c|iril manifeste à cet égard dans sa préface n"est pas justilié. 



i48 



l'iU'MlKKH l'A 15 111-:. 



s'en <l(''(liiisciil iiiimc(li;il('inenl ; pmir conipléler ces rornuilcs, pour 
avoir I ('\|)iessioii des (|iiaiililés .:;j<_,_, (o ), il n'en faut jias moins 
pasNcr jiar la di'nionslralion, daillcins tacile et élevante, de l'iden- 
lil(' 



] [(>-'y^'0(> 

V = 1 

La relation 



,2)(, + ^o,_,^_2)_ 2 '1'''' 



lz\{o) = -?j,,i ())?:.( o)?;i{(>) 



est dédiiile de réqnalion aux dérivées partielles cpie vérifient les 
fonctions J^. Enfin les dernières pages de ce Chapitre se rap- 
portent aux propositions de M. Appell sur la décomposition en 
éléments simples des fonctions doublamenl périodiques de troi- 
sième espèce qui admettent des pôles. 

L'auteur aborde ensuite le problème de l'inversion dans sa 
généralité; il s'attache à en bien préciser le sens, de manière que 
le lecteur sachs bien à quel moment il a vraiment résolu l'inver- 
sion dune intégrale donnée. M. Burkhardt développe deux mé- 
thodes pour V parvenir; considérant l'intégrale de première espèce 

dz 



Jy X'J(Z. 



OÙ la limite inl'érieure est un j)oiiit arbitraire [_y, \'/{j') de la sur- 
face de iliemann, et ajant l'ormé une fonction p{u\w,, ^'^3)]^ dont 
les périodes coïncident avec les modules de périodicité de l'inté- 
grale, il montre c\ue pu est une fonction rationnelle de a: et de 
sJJX^') qi'i, pour x=y^ doit être infinie du second ordre, mais 
qui ne devient infinie nulle part ailleurs; d'autre part, le dévelop- 
pement de pu suivant les puissances de u ne doit contenir aucun 
terme indépendant de u] ces conditions permettent de déterminer 
algébriquement cette fonction et de parvenir ainsi à l'équation 
bien connue 

où 



p 






•X (x — y )'2 



CONJrTES KE.NDLS LI ANALYSES, 
puis aux rclalions 



' i9 



ICâr 



7( = )J 



/: 



f/z _ 



\fK^)- 



L'aulre mélliode repose sur ce que, eu prenaiiL |i(uir liiiiih; 
inférieure de l'inlégrale un point d'embi'antliement, on pcul 
ubleulr les valeurs de .r qui correspondent aux demi-périodes. 

Celte mélliode conduit aux relations de la forme 



\ 



X — ac] 



V 



( Xj — a.> ) ( ^0 — 3!o ) rj-i ( V ) 



«0 



(ao— ai)(ï3— «i) 2?i(v) 



relations donl M. Burkhardt donne d'ailleurs une déduction 



directe. Finalement, on a obtenu explicitement x et \j\x^^ et 
par conséquent, toute fonction de la surface de Riemann, comme 
fonction elliplique du premier ordre de u. 

Les formules relatives à la transformation linéaire sont établies 
d'une part pour les fonctions 3", d'autre part et directement pour 
les fonctions 37, sans toutefois entrer dans celte détermination du 
sii;iie qui dépend de tbéories arithmétiques; l'auteur montre en 
outre comment les formules relatives aux fonctions :^ permet- 
traient d'établir les formules de passage à la fonction -i. Il montre 
ciilin (|ue la modiliealion du sxstème de coupures de la surface de 
Uiemann revient à une transibrmation linéaire. 

Deux Chapitres importants pour les applications sont consacrés, 
l'une à la dégénérescence, l'autre àlélude des valeurs qui rendent 
la fonction ytu réelle, dans les deux cas où les invariants sont 
réels. 

Passant ensuite aux fonctions modulaires. ^1. Inirkhardl s'oc- 
cupe d'abord de la dépendance entre le rapport des périodes -. et 
le carré du module a, ainsi que des ligures, limitées par des demi- 
cercles (ou des demi-droites) normaux à l'axe des quantités 
réelles, qui représentent le jdan des ), sur le jiian des t: le carac- 
tère de la (onction /.(-r) d'être une fonction aulomorpb(\ leslaiil 
identique pour les transformations congrues sui\ant le module -i 
à la Iransforniation identique, admettant Taxe des quantités réelles 
comme (routière naturelle, est ainsi mis en ('■xidciicc. Les pro- 
priétés ties loiictions anaUtupie-- de ~ qui sont Av-^ (onctions 



iH. ' PREMIKKE l'Airrii;. 

ralionnelles de )> s'apcrroivenl aisémenl : lellccsl la fonction ,1 (t); 
un domaine fondamental relatif à la fonction a(':') se décompose 
en six domaines fondamentaux relatifs à la fonction ,1 (t). Intro- 
duisant ensuite la notion de sous-groupe à indice fini du groupe 
modulaire, l'auteur montre conîment on peut faire correspondre 
à chaque tel sous-groupe un polvgone contenant nn point, et un 
e^eul, qui puisse èlre déduit, par une substitution du sous-groupe, 
d'un point arbitrairement choisi dans le demi-plan des t : de là 
résulte la notion de fonction modulaire relative au sous-groupe, 
en particulier de la fonction modulaire principale (ou de module 
principal), au moyen de laquelle toutes les autres s'expriment 
rationnellement. Les sous-groupes de congruences, formés de 
substitutions telles que deux éléments correspondants soient 
congrus suivant un module entier «, fournissent un exemple 
simple, qui trouve une application immédiate dans le problème 
de la division s|x'ciale (division des périodes) et dans le problème 
de la transformation spéciale. 

L'auteur traite explicitement le cas de la transformation qua- 
dratique, en raison de son utilité pour les calculs numériques; il 
donne en terminant quehpies indications sur les fonctions modu- 
laires considérées comme fonctions inverses du quotient de deux 
Mitégrales d'une équation difTérentielle lint^'aire du second ordre, 
11 passe ensuite aux problèmes généraux de la transformation, de 
la division, pour montrer dans quel sens on |ieut dire que la 
(h'tcrmination d'une fonction elliptique aux périodes ('^wuo, , afOn) 
se déduit dune fonction elliptique aux périodes (2 W) , aw..,) par 
l'extraclioii d'une racine //?"""', et que la division de l'argument 
dépend de l'extraction de deux telles racines. Quelques pages 
sont consacrées, d'une pari au point de vue de Jacobi, pour la 
théorie de la transformation, de l'autre au problènie de la multi- 
plication complexe. 

Après avoir donné les renseignements essentiels pour le calcul 
numérique des fonctions et des intégrales eliiptifpies, rauteiir 
passe à l'étude de la lelation algébricpie qui lie deux fonctions 
elliptiques qui ont le même j^arallélogrammc des périodes : il 
examine en particulier le cas où ces deux fonctions dépendent 
rationnellement d'une même fonction elliptique; il traite ensuite 
des courbes dont les coordonnées s'ex[)rinicnt au moven des fonc- 



CO.Ml'THS ULxNDUS ET ANALVSKS. i3, 

lions clli|)li(|uc's, donne la nolion générale des courbes ellipLlques 
du n"""" ordre, de la courbe elliptique normale dans un espace 
à un nombre quelconque de dimensions, puis étudie particulière 
ment les courbes planes du troisième degré et les biquadraliques 
gaucbes de première espèce. 

Le théorème de M. Picard sur les équations différentiel^ 
linéaires à coefficients doublement ])ériodiques est développ 
pour le cas d'une équation du second ordre : les recherches de 
M. Hermite sur léquation de Lamé fournissent une belle appli- 
cation de ce théorème. 

Enfin le dernier Chapitre est consacré à l'étude du pendule 
sphéiique. J. ï. 



VOI.KMANN (P.). — EiNruiiRL.Nc; i\ nvs Stldiim dkii tiikoki:tisciii:n 

PllVSlK INSBKSONDERK IX D AS DER AN ALVrlSCHEX .MecUAMK. MIT EINER 
ElNLEITlNG IX DIE TUEORIE DER PHVS1KALISCI1EN ErKENNTNISS. Ull Vol. ill-S" 

\1v-370 p. Leipzig, Teubncr; 1900. 

Chacun sait qu'il n'est pas commode d'exposer clairement les 
débuts de la Mécanique analytique. 

On se tire bien souvent d'afi'aire en plaçant sous l'autorité de 
Galilée ou de Aewton de très vagues principes sur l'égalité de 
ceci et de cela, et sur l'indépendance de quelque chose. On les lait 
précéder dun hypocrite u l'expérience prouve » au d'un plus 
honnête « nous admettrons que ». Puis, sans trop appuyer sur 
une démonstration tout juste aussi solide que les principes qui la 
soutiennent, on établit des formules algébriques, qui, celle fois-ci 
sont très nettes. Ces formules écrites, tout est sauvé. On n'est pb;- 
alors embarrassé pour en faire d'ingénieuses combinaisons ana- 
lytiques; les théorèmes se succèdent, et l'expérience est loujour 
là jjour « confirmer l'exactitude des principes par la vérification 
de leurs conséquences les plus éloignées ». 

Grâce à cette artificieuse exposition, on a masqué l'obscurit 
des jirincipes à l'élève peu attentif. On lui a donné un merveilleu:. 
instrument de travail, avec la manière de s'en servir, mais auss; 
a\ec le conseil presque explicite de ne pas lro[) discuter la (açoi 
dont on l'a conslniit devant lui. 



yn l'KliMIEKK l'AUI IK. 

[lest, du rcslc, consolant de penser que I eiiseignenicnl elassi(|ii<' 
de la Géométrie conduit prt'cisément au niênie résultat. 

Mais si un tel mode d'exposition est d'une incontestable utilité 
à ceux qui apprennent, il est permis de croire que ceux qui ont 
déjà appris auront quelque intérêt à cherclier ensuite à conq>rendre 
ce qu'ils croient savoir. 

Ils liront alors avec profit un livre comme celui de M. P. Volk- 
niann, où ils ])oiirront étudier une revision des principes et trouver 
ainsi l'occasion d'y réfléchir à leur tour, (^uant au mol Intiodtic- 
tion par lequel commence le titre de cet Ouvrage, il servira |)rin- 
cipalement à justifier la liberté des développements cl l'ordre mé-- 
thodique des matières. 

M. P. Volkmann nous dit d'abord avec quelque détail les règles 
logiques et les conventions suivant lesquelles on a coutume de 
raisonner en ces sortes de choses. Il précise de son mieux ce qu'il 
entendra dans la suite par axiome el principe, par hypothèse et 
postulat. C'est seulement après ces préliminaires qu'il aborde 
l'exposé de la Mécanique, statique et dynamique du point et des 
systèmes; hydrostatique et capillarité, et il termine par quelques 
mots sur les théorèmes synthétiques de d Alembert et d'Hamilton. 

L'ordre suivi et les idées générales rattachent l'exposition aux 
travaux classiques inaugurés par Newton. 

IMais l'Auteur montre une constante préoccupation d'éviter 
l'abstraction pure et il s'attache avec grand soin à montrer com- 
ment l'énoncé d'un princij)e découle de l'observation de la Nature. 
Il ne craint pas l'historique et n'hésite pas à rappeler le texte 
même des fondateurs pour tâcher de (aire comprendre leiii- 
pensée. 

Qu'on excuse une slaLislK|ue : L'op|)osilion entre 1 objectif cl le 
subjectif se rencontre dix-sej^t fois et la notion de postulat vingl- 
trois, mais il y a cinquante-cjuatre citations de Newton. 

D'un autre côté, chacun des principes est suivi de ce que l'Au- 
teur appelle « ses conséquences ». C'en est d'aljord la Iraduchon 
dans le langage de la Géomélrie analvlKpie; |)uis, immédiatement, 
(piehpies applications. Ces applicalKjns ne sont [)as quelconques. 
Souvent elles présentent un caractère hislori(|ue. C'est la chute 
des corps et le momement des pro|ecliles qui nous sont donnés 
comuK' aj)plications fies idées de Galilée; c'est la théorie du 



COMITES lUiNDLS El ANALYSES. i53 

mouvcnicnl des planèles (|tii suit l'exposé des idées de Newlon. 

Svslémaliqueiiienl enfui, ce sont des problèmes réels qui se 
troiivenl traités ou indiqués : iei la théorie du pendule, |)lus loin 
la théorie de la suspension bililaire et des appareils de torsion; 
plus lard, la gravitation à la surface de la terre. Et la préoccupation 
de l'objectivité est extrême : douze de ces questions sont étudiées 
au point de vue de la précision expérimentale. 

En délinitivc, ce livre contient des renseignements et des dis- 
cussions dun intérêt très réel. H tend à supprimer loule obscu- 
rité dans un exposé qui satlachc à suivre les enseignements de 
Galilée et de Newton. ^1. P. ^ olkmann a-t-il réussi à obtenir un 
résultat si désirable? 

Le lecteur en décidera. 11. Abuam am. 



DUDENSING (W.). — Ukbkr dil- dircu i:i.\k alu;i;.mi:im: iutKi<;i,iEDKiGE 

AL(ii;BR\ISCUK GlKICIIUM; DKFIMKIITE Fr.NKTIOX l ND IlIRi: nKDiaTVNG FUR 
niE AlFuiSUNG DER ALGEBRAISCIIEN GlEICUINGKN VON IIOIIEREM AI.S VIER- 

TEM Grade. Un vol. in-8", vin-57 |). Eeipziir, ïeubner. 1900. 

Outre des considérations générales dont les unes sont très 
justes et dont quelques autres prêteraient à discussion, le Ira\ail 
de ^I. Oudensing contient un résultat intéressant qui constitue 
une l)elle et sim[)le ap|)lication de la formule de Lagrange pour le 
dévelo|)pemenl en série des fonctions implicites. L'Auteur montre 
que les p -\- q racines de l'équation en x 

à ia([uelle il est bien facile de ramener n importe fjucile é(|ualion 
liinoine, sont données par le développement sui\anl : 



z / -»- [>■ 



■/ - V- K„i À. 'JL 



ou 1 011 suj)p()se 






( /. + ;ji ) 1 . 2 . ; 



i34 PREMIEKH l'AUTlE. 

el où les valeurs de a, [i, A, jj., s sont données par Tune ou Taulre 
des formules 

a = — I, p=j, À=/>, [-1=7' ï = '. 

a = — 1 , 3 = r, A = g, IX = p, -. — — I , 



ip-^ q)f>^1~\n-^'l 



I»' '!•' J 



IJ'I 
ou |)ar lune ou l'autre des formules 



\ 
a = -, 

y 


y 


I 
a = - > 

V 


^=i 



V=P-^1^ E = — I, 



SI 1 on a 






Parjni les recherelies anlérieures aux siennes et relatives au 
même sujet ou à des sujets voisins, M. Dudensing cite un jM('- 
inoire de A\estphal : Evolutlo radicntn œqualionum algcbrai- 
carum e ternis terminls constantiuni in séries infmitas Preis- 
schrift der philos. FacuUàt zu Gôttingen, i8oi), un Mémoire de 
M. A. Gebhardt : Wissenschafl licite Beigabe zutn Progranini 
des Nicolaigjmnasiums zu Leipzig, i8^o, enfin la Disserlatiou 
inaugurale de JM. von xMangoldt : Ueber die Darstellung der 
Wurzeln einer dreigliedrigen algebraischen Gleichnng dureh 
anendl. Reihen, Berlin, 1878, dissertation dont il n'a eu eon- 
naissanec qu'après l'impression de son propre travail el rpii con- 
tient des résultats équivalents aux siens, obtenus par une autre 
voie. 



IIOLDEU (O.). — Ansciiauxg und Diînkkn in deu Gijomktrik. Akademisciic 
Anlriltsvorlcsung gehalten am 9.9. Juli 1899: mil Zusiilzen, Annierkungcn 
und eincm Regisler. -b p. in-8". Leipzig, Tcubncr, 1900. 

Le sujet traité par M. ll<»lder est plutôt d'ordre philosophique 
rpi(^ d'ordre scicnlinfjuc : il ne peut toutefois manquer d'intéresser 



COAirïL'S lUiNDUS K T ANALVSIiS. 1 55 

vivement les nombreux i;('omèlres qui sont ([ueKjuc peu pliilo- 
sophes. L'auteur étudie d'abord ces concepts qui sont la malièrc 
même de la Géométrie, les axiomes ou posluhtts qui j)ermeltenL 
de raisonner sur ces concepts, fl oppose à la do('trine de Rant, 
qui place dans l'intuition « pure » la source de toutes nos con- 
naissances géométriques, la doctrine empirique, vers laquelle il 
incline manifestement. Ce n'est pas ici le lieu de cherclier si la 
théorie de l'évolution et de l'hérédité ne permet pas d'établir un 
lien entre ces doctrines opposées et d'autre part si l'intuition, 
même pure, n'est pas très variable d'un individu à l'autre et ne se 
modifie pas profondément par l'habilude de la réllexion géomé- 
trique. Est-elle la même chez celui qui n'a l'habitude que de la 
Géométrie euclidienne ou chez celui qui s'est familiarisé avec les 
concepts et les méthodes de la Géométrie non-euclidienne? chez 
les Géomètres d'un siècle el ceux d'un autre siècle ? Quoi qu'il en 
soit, M. Holder s'occupe ensuite des démonstrations géométriques 
et se livre à une analyse très pénétrante de la démonstration clas- 
sique du théorème sur la somme des angles d'un triangle, en 
admettant le postulalum d'Euclide. Cette démonstration ne lui 
paraît |)as procéder suivant les règles de la logique classique; 
Vinluition v intervient à chaque instant, dans la façon même 
dont on voit la figure; et c'est celte vue elle-même (|ui permet 
d'appliquer les théorèmes ou les postulats, en sorte que les déduc- 
tions géométriques seraient une suite d'expériences idéales 
{Gedanke?i-experinienl). Souvent l'intuition permet de porter 
un jugement immédiat; telle est celte affirmation : deux bissec- 
trices d'un triangle se coupent en un point intérieur au triangle; 
il faut au contraire un raisonnement pour prouver que la troisième 
bissectrice j)asse par ce point. M. Holder estime aussi que le 
raisonnement géométrique, fait sur une figure spéciale, est dans 
une certaine mesure un raisonnement par analogie. Souvent, 
quelque partie d'une démonstration, regardée comme intuitive, 
repose sur quelque axiome qui peut être formulé, mais que l'on 
néglige d'habitude : tel est l'axiome signalé par M. Hilbert 
{Axiome der Anordnung) : Si A, B, C, D sont des points d'une 
droite, si B est entre A et D, C entre B et D, B est enirc A et 
C entre A et D. Le [)rcmicr théorème sur l'égalité des triangles 
n'est pas susceptible d'une dénionslralion proprement dite, il a le 
caractère d'un axiome. 



150 l'RILMlEUI': l'AiniIÎ. 

Pour reconiiailre celles des |)i'opos!Llons de la Géométrie (jui 
onl un loi caraclère, pour éviler d'avoir recours à l'intuition dans 
le courant d'une démonstration, sans le savoir, il faudrait ne plus 
raisonner sur des lij^ures, mais sur de purs symboles qui repré- 
senteraient les éléments f;éométi-iques, comme ils représentent les 
nombres dans l'Alj^èlHe. I^es conclusions ainsi obtenues, même 
si elles ne sout pas d'accord avec l'intuition, n'en sont pas moins 
les conclusions certaines des suppositions d'où on les a tirées. 
Cette méthode est très différente de la méthode d'iuvenlion ordi- 
nairement suivie en Géométrie, méthode où l'intuition, l'analogie, 
l'observation, l'induction jouent un rôle essentiel. Tout cela est 
incoutcstable ; il me semble toutefois qu'une autre c[uestion se 
pose. Sans doute le seul moyen d'éliminer l'intuition des raison- 
nements géométriques est de raisonner sur de purs svndjoles, 
soit que l'on crée, comme le veut par exemple M. Peano, un 
sy^mbolisme spécial, soit que l'on raisonne, comme ont fait 
quelques-uns des géomètres qui ont obtenu des résultats essentiels 
dans la science de l'espace, avec les symboles de l'analyse, en 
utilisant les ressources de l'analyse; de cette façon, on est assuré 
que les conclusions sont identiques aux prémisses, f|u'elies ne 
sont qu'une transformation des données : aucun élément étranger 
n'a pu s'introduire subrepticement dans le cours de cette trans- 
lormation : les données seules restent soumises à la critique phi- 
losophique. Si celte méthode est la seule qui soit siu'e, il n'en 
résulte pas qu'elle soit la seule possible et ceux cpii estiment que 
l'intuition n'est que le résultat d'une longue habitude, peut-être 
d'une habitude ancesirale, sont enclins à se demander si rinliiilion 
ne peut se modifier, chez les individus eux-mêmes, par les habi- 
tudes auxquelles ils se soumettent, et si cette intuition acquise 
ne peut permettre à quelques géomètres de ]:)oursuivre hardiment 
cl utilement leurs recherches dans un domaine soumis à d'autres 
lois que l'espace ordinaire, tout en conservant les habitudes du 
raisonnement géomélri(pic. Au kantien qui demandera ce (pi'<'st 
une « intuition acquise », je ne vois pas d'autre ré|)onsc à faire 
que de demander en retour ce fju'est une intuition (( pure )>. Les 
termes philosophiques ne peuvent jamais êtie entendus qu'à demi. 

Le coiicej)t de {)roportionnalité a vraisernblablcmcnl son origine 
dans rcxislencc des fi"ures scml.)lables : c'est au contraire sur la 



Mfil.ANGHS. 15; 

llu^orie des |)ro|)orlions. présculéc d'ime Aiçoii \iaiiiiciil scietili- 
li([ue, quiiuclide fonde l'exislencc des (îmires scndjlaldes. L"e\|)<i- 
silion de la lhéoi-ie d'Eiiclide, la notion de rapport fournissent à 
M. Ilolder l'occasion de remarques in léressanles ; la notion des 
aires égales (aire du cer-cle, méthode d'exhanslion) lui |)ermel 
d'insister sur le rôle en Géométrie des démonstrations indirectes 
(par l'absurde). Il termine son opuscule, dont il n'est pas une 
page qui ne donne beaucoup à penser, |)ai- (piebpies indica- 
tions relatives à la Mécanique. Les notes et éclaircissements, 
renvois bibliographiques, tiennent deux fois plus de place que le 
« discours » lui-même. Plusieurs de ces notes sont étendues et 
mériteraient qu'on s'v arrêtât; mais nous n'avons pas d'autre pré- 
tention ici que de signaler le travail de M. Hôlder. Mentionnons 
toutefois le juste tribut d'éloges qu'il juu'e, à plusieurs reprises, 
auv belles recherches que M. Hilbert a récemment publiées 
(Grundlagen der Géométrie, Festscluift ziir Feierder Eiiihiil- 
l un g des Gauss-U eber-DenIcmals, 1899). J. T. 



MELANGES. 



SUR LES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE DÉVELOPPABLE DONT 
LES TANGENTES RENCONTRENT UNE COURBE DONNÉE; 

Pau m. Ch. MICHEL. 



^L Darboux, dans le Chapitre de sa Théorie générale des sur- 
faces (ju'il consacre aux congruences de courbes (Tome IL), est 
conduit à énoncer le résultat suivant, comme cas particulier d'un 
problème général : 

La détermination de toutes les courbes, tracées sur une déve- 
loppable (A), dont les tangentes vont rencontrer une courbe 
donnée quelconque (C), dépend de l'intégration d' une équa- 
tion de Riccati. 

Voici une démonstration synlhéli(|ue de celte [)ropositioii . Dé- 



i58 PHEMIÈKE PARTIE. 

signons |)ar (W) rarèlc de rebroussemcnl de la développable (A), 
par A un point de cette courbe dont la position esl fixée par la 
donnée d'un paramètre variable cpielconque //, par exemple par 
la longueur de Tare de Tarèle de rebroussemenl, enfin, par AT 
la génératrice rectiligne de la développable tangente en A à 
l'arête (R). On déterminera une des courbes, tracées sur (A), dont 
les tangentes renconlrent ( C), si l'on connaît la dislance t' du 
point A au point M où AT rencontre la courbe, en fonction du 
paramètre it, qui fixe la position du point A. 

Considérons quatre courbes, T,, Fo, T3, F..,, solutions du pro- 
blème, et soient M,, Mo, M3, M-, les points où la génératrice AT 
lencontre ces courbes. Les tangentes en ces points aux quatre 
courbes sont dans le plan tangent à la développable (A) le long de 
la génératrice AT et passent par un même point, qui est le point 
de rencontre de ce plan tangent avec la courbe (C). La généra- 
trice A'T' de la développable (A), infiniment voisine de la géné- 
ratrice AT, rencontre les quatre courbes en quatre points M',, 
M!,, Mg et M',, infiniment voisins respectivement des quatre 
points Ml, Mo, M3 et M-,. Si l'on prend pour infiniment petit 
principal l'accroissement du |iaramèlre u et si l'on néglige les 
infiniment petits d'ordre supérieur au premier, les deux droites AT 
et A'T' se coupent et déterminent un ))lan fpii coïncide avec le 
plan tangent à la développable (A) le long de AT; les quatre 
droites ^I,]M', , Mo M!,, M3M3 et M, M', sont les tangentes aux. 
quatre courbes F,, Fo, F3 et F^ et vont passer, dans le plan tan- 
gent, par un même point de la courbe (C). 

Il en résulte que le rajiport anharmonique des quatre points M(, 
M2, M3 et M, sur la droite AT est égal à celui des quatre points M', , 
M,',, Mg et M', sur la droite A'T', à un infiniment petit d'ordre 
supérieur au premier près. En d'autres termes, la diflerentielle du 
rapport anharmonique des (juatre points M), Mo, jNla et Mj, situés 
sur la génératrice variable AT de la développable, est nulle. En 
intég^rant, on voit ainsi que le rappoit anharmonique des quatre 
points M., Mo, M3, Mi où une droite variable de la développable 
rencontre les quatre courbes F,, Fo, F3,ri est constant. Par suite, 
le rapport anharmonique des pai'amètres i',, t'a, ('3, r^ de ces 
points sur la génératrice est lui-même constant, et, d'après une 
propriété bien connue, le paramètre c qui fixe la position du 



BULLETIN lUBLKXiUAPIIIQUI-:. i5f, 

point M d'une courbe V ehercliée sur la généralriec de la déve- 
loppable qui passe parée point est rinL('i;rale générale d'une équa- 
tion de Kieeali. Le ihéorème de M. Darboux est établi. 

AI. Darbou\ donne de ce théorème une application importante, 
à laquelle il est aise de donner une forme géométrique. 

Supposons que la développable (A) soit l'enveloppe des plans 
normaux à la courbe (C). l^es courbes Y cherchées sont dans ce 
cas les développées de la courbe (C). Comme le remarque M. Dar- 
boux, on peut obtenir deux de ces courbes sans intégration : ce 
sont les arêtes de rebroussement v, et ''2 tles deux nappes de la 
développable circonscrite à la fois à la courbe (C) et au cercle de 
l'infini. Des propriétés de l'équation de Riccati il résulte que la 
développée la plus générale d'une courbe se détermine par une 
simple quadrature. Voici l'interprétation géométrique de ce ré- 
sidtal. De la démonstration précédente il suit que le rapport 
anharmonique des quatre normales à (C), en un point I variable 
de cette courbe, qui touchent quatre développées fixes de (C) a 
une valeur constante. En particulier, supposons que deux de 
ces quatre développées soient les arêtes de rebroussement y, etY2 
de la développable circonscrite à (C) et au cercle de l'infini. Les 
normales à (C) qui touchent ces deux courbes sont les droites 
isotropes menées par le point I, dans le plan normal à (C) en ce 
point. Mais, comme l'a montré Laguerre, le rapport anharmonique 
de quatre droites concourantes dans un plan, dont deux sont iso- 
tropes, s'exprime au moyen de l'angle des deux autres. On est 
donc conduit au théorème suivant, du à Joachimsthal : 

L'angle des tangentes menées d'un point variable d'une 
courbe à deux développées de cette courbe est constant. 

Le théorème de Joachimsthal est ainsi démontré géométrique- 
ment. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 

INeumann (C). — Die elektrisclien Krafte. Darlegung u. genaueve 
Betrachtung der von hen'orrag. Physi/cerii entwickelten matemat. 
Theorien. 2, (Schlu?*-) Tlil. : Ueber die ><in Jlcniinnn v. Ilelmhol/, 



iCo PHii.Mii: ur: pautii-. 

angeslollton Ljiit("r*ucliiiiii:(Mi. Gr. in-S", xx\V[i-i()> p. l-cipziii. Teiibiior 
I i m. 

Andover (H.). — Leçons élémentaires sin- la ihéorie des formes et 
ses applicalioiis gêoméiriques. Iii-(". 190 y. l'aris. Gallthier-^'illar=;. 
8 f.-. 

HvKKR ( W.-M.) — Exmnplex in A nalrticnl Cunics for Beginiiers. 
f)!) |). Loiidon, Bell. ■>. sh. (> d. 

lîVER ( K. ). — Die Kagelfuriktion ah Losiing einer Diff'crentialglei- 
chunp;. In-4", ^5 p. Berlin. IMayer et IMiiller. i m. >o pi. 

Caxtor (M.). — ]'orlesiinfren i'iber Geschichie (1er Moiliematih. 3 
(Scliluss-) Bd. \'oin J. 1668 bis znni .1. i7")8. ;{. Alilliij:. (Ir. in-S" avec 
70 fig. Lei|)zig, Teubner. li m. 

Forsyth (A.-R.). — Memoir on the Intégration of Partial Diff'eren- 
tial Equations of the second ordre in three independent J ariahles, 
fvhen an intermediary Intégral does not e.rist in gênerai. ^1-8°, 80 p. 
London, Dulau. 4 sii. 

From P/ii/os. Transactions. 1890, \'ol. 101. 

FiRLE (H.). — L'eber die Venrenditng des Faber'sc/ten Reclienstabes 
ziir Lôsiing quadratischer, kubischer und biquadratisclier Gleichun- 
gen. 1 Thl. ln-4". Berlin, Gaertner. i m. 

Gltjaiir (W.). — Die Diakaustik des Kreises. In-'|°, -^.H p. avec 
2 tableaux. Berlin, Gaertner. i m. 

Heux (K.). — Die Vektoren dcr Gescluvindigkeit und der Beschleu- 
nigung des Punkte^ und der geraden Linie. In-4", •zS p. Berlin, 
Gaertner. i m. 

Lafouge. — Essai synthétique sur la formation du système solaire. 
I'* l'artie : Formation du système. In-8", ix-238 p. Chàlons-sur-iMarne, 

iMaitin frrre?. 

LÉVY (M.). — Leçons sur la théorie des marées, professées au Col- 
lège de France. V^ Partie : Théories élémentaires; Formulaire pra- 
tique de prévisions des marées. \n-\". xii-^gS p. avec fig. Paris, Gauihicr- 
\illar?. I î fr. 



COMPTI-S il 11 NOUS ET ANALVSKS. i6i 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



BORTKEWITSCH (L. von). — Das Gesktz der kleinen Zahlex. Un vol. 
in-8°, vi-52 p. Leipzig, Tcubner; 1898. 

Cette courte brochure se rapporte à la statistique des événements 
rares, comme les suicides d'enfants (c'est un exemple discuté par 
l'auteur). Dans une pareille statistique, les rapports des nombres 
varient naturellement beaucoup, et il n'y a évidemment rien 
à tirer de pareils nombres pour les causes indépendantes du 
hasard qui produisent les phénomènes considérés : il en est tout 
autrement si l'on veut étudier la loi du hasard dans les données 
statistiques. L'auteur montre d'après quelle loi les événements de 
cette nature doivent se distribuer par année, la proportion des 
nombres d'années pour lesquelles l'événement doit se produireo, 
1,2,3,... lois : la concordance entre cette loi et les observations 
est remarquable. Cette étude, intéressante en elle-même, prend 
une portée notable par la façon dont elle se relie avec l'étude des 
probabilités variables, qu'il y a lieu, d'après M. Lexis, d'intro- 
duire dans les recherches statistiques, pour en faire cadrer les 
résultats avec la théorie du calcul des probabilités; la formule de 
Poisson (loi des grands nombres), où l'on regarde la probabilité 
comme constante, est, en effet, loin d'y suffire, sauf dans un petit 
nombre de cas : la théorie développée par M. von Bortkewitsch 
permet de réduire au minimum l'influence du changement de la 
probabilité. Il j a donc lieu de signaler un Travail qui ouvre peut- 
,être une voie pour une meilleure discussion des observations 
statistiques. 



PICARD ET SLMART. — Théorie des fonctions algéuriques de deux 
VARIABLES INDÉPENDANTES. T. II, premier fascicule. 

Dans le premier volume, les auteurs avaient développé cette 
théorie presque exclusivement au point de vue transcendant, c'est- 
à-dire au point de vue des intégrales de différentes natures atta- 
chées à une surface algébrique. Il n'en est plus de même du fasci- 

Bu/l. des Sciences nialhem., 2<= série, t. XXIV. (Juillet njoo.) ,, 



,iG'2 PIIEMIEUE PARTIE. 

cule actuel, presque entièrement consacré à une nouvelle Géométrie 
qu'où pourrait appeler la Géométrie des systèmes linéaires algé- 
briques. Cette théorie dont les fondements ont été posés par 
Noelher a pris tout récemment un développement considérable par 
suite des efforts de deux éminents géomètres italiens MM. Enri- 
ques et Gastelnuovo, qui sont arrivés à en tirer des résultats extrê- 
mement remarquables et dont certains sont même réellement 
merveilleux. C'est elle qui a conduit Noether à introduire le se- 
cond genre p'^^^ et (|ui, tout récemment, a amené IM. Enriques à 
considérer un nouvel invariant, le bigenre P n'existant que si le 
geni-e géométrique/:)^.- est nul, invariant qui, d'après les travaux 
de M. Gastelnuovo, a une importance capitale dans l'élude des 
surfaces unicursales. C'est aussi elle cjui a permis à M. Picard de 
.montrer que le nombre des intégrales doubles de seconde espèce 
attachées à une surface est toujours fini et est un invariant pour 
toutes les transformations birationnelles ; ce nombre ne semble 
pas, jusqu'à présent, être lié aux autres nombres déjà introduits 
dans cette théorie, de sorte qu'il vient allonger la liste des inva- 
riants d'une surface et accuser encore la différence profonde qui, 
d'après ce qu'on a vu dans le premier volume, existe entre le cas 
d'une seule variable et celui de deux variables. 

Bien que le sujet soit en pleine élaboration, puisqu'il est actuel- 
lement l'objet des travaux de toute une série de géomètres, les 
auteurs, par leur remarquable talent d'exposition, sont arrivés à 
nous présenter d'une façon très homogène ces théories si fécondes ; 
par des démonstrations intuitives ou des vérifications directes 
remplaçant souvent les longs calculs des Mémoires originaux, par 
l'emploi des notations symboliques si commodes de M. Enriques, 
ils nous conduisent sans grands efforts jusque dans leurs parties 
les plus abstraites, dépassant ainsi de beaucoup, à la grande satis- 
faction du lecteur, le but trop modeste qu'ils s'étaient proposé 
dans la Préface du premier volume et cjui était uniquement de 
donner une idée de l'état actuel de la science sur un sujet dont 
l'étude mérite de tenter l'effort de nombreux chercheurs. 

Chapitre I. — Théorème de Noetlicr relatif aux courbes et 
surfaces passant par l' intersection de deux autres. 

Le théorème de ÏNoether relatif aux courbes a pour but de recon- 



COMPTES lU-NDUS ET ANAI.VSKS. iG3 

naître, d'après la façon dont se comporte un pol^'nomc /{x, y) 
clans le voisinai^e de tout point commun aux deux courbes algé- 
briques o(.c, y) = o, '}(a:, y) = o, s'il est possible de mettre / 
sous la forme 

A et B étant deux polynômes. Après avoir traité cette question 
très importante pour la suite, les auteurs en font deux applica- 
tions, l'une relative à la recherche des fractions rationnelles -j^ 

de X ely restant finies pour tous les points à distance finie d'une 
courbe algébrique /(a:, y) = o, l'autre relative au théorème du 
reste de Brill et Noelher sur les adjointes d'ordre n d'une courbe 
algébrique. Passant alors au cas des surfaces, ils étendent le théo- 
rème de JNoelher, définissent les sur/aces sous-adjointes comme 
étant celles dont toutes les sections planes sont les adjointes des 
mêmes sections planes de la surface proposée, et montrent que le 
théorème du reste leur est applicable. 

Chapitre II. — La Géométrie sur une courbe algébrique. 
Considérons une série linéaire de courbes 

les à étant des polynômes entiers non liés àf(x, j) par une rela- 
tion identique de la forme 

les a étant des constantes et Ô un polynôme. 

Ces courbes définissent sur la courbe fixe y une série linéaire 
de groupes de points; nous la représentons par g^^, r étant sa di- 
mension et n, nombre de ceux de ces points qui varient avec les h, 
étant son degré. C'est à l'étude de ces séries linéaires o-^^ que le cha- 
pitre est entièrement consacré. Une notion capitale est alors celle 
de série linéaire complète; une série ^"^^ sera dite incomplète s'il 
existe une autre série g^^ telle que tout groupe de g'^^ soit un 
groupe de ^^/. Au moyen du théorème de Noetlier on montre que 
toute série ^^^ peut être engendrée par des adjointes et l'on en 
conclut ce théorème fondamental que si une série g''^ est incom- 
plète, il y a une seule série complète g'^l qui la contient totale^ 



i64 PREMIÈIU- l'AirriE. 

menl, ce qui permet de définir d'une façon précise le défaut /'— r 
de la série g''^; cette notion de défaut convenablement généralisée 
pour les courbes et surfaces jouera un rôle essentiel dans les cha- 
pitres suivants. 

De ces définitions et propriétés sont tirées alors de nombreuses 
conséquences relatives à l'addition, au degré et à la dimension des 
séries complètes et, en particulier, des séries spéciales engendrées 
par les adjointes d'ordre /i — 3 et de la série canonique engendrée 
par toutes ces adjointes, ce qui permet de retrouver sous une forme 
entièrement géométrique le théorème de Riemann-Roch ainsi que 
la loi de réciprocité de Brill et Noether. 

Les auteurs rattachent ensuite à cette notion de série linéaire 
complète celle de courbe normale, puis celle de série linéaire sur 
une courbe gauche, et en font l'application à la recherche du 
nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré donné 
passe par une courbe gauche donnée, question qu'ils avaient déjà 
traitée dans le premier volume en suivant une voie toute différente. 

Chapitre III. — Des systèmes linéaires de courbes dans un 
plan. 

Ce chapitre est consacré à l'étude des svstèmes linéaires formés 
par les courbes d'ordre n passant par certains /?om^5 bases et s'y 
comportant d'une façon déterminée. Si l'on prend toutes ces 
courbes, le système est complet, sinon il est incomplet. 

Soit kn le nombre des conditions exprimant qu'une courbe 
d'ordre n se comporte de la façon indiquée aux points bases; on 
montre que A« a une limite supérieure A" et qu'à partir d'une cer- 
taine valeur de Ai on a forcément A„ = A-; le système complet 
défini précédemment sera dit régulier si n est assez grand pour 
avoir kn=k\ dans le cas contraire, ce système sera àh irrégulier. 
Les systèmes réguliers possèdent cette propriété remarquable que, 
entre leur dimension r, leur degré D et le genre H de la courbe 
générale, existe la relation 

II -H r = D + I . 

Ayant ensuite défini la série caractéristique et le système 
adjoint d'un système linéaire donné et enfin la somme de deux 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i65 

systèmes linéaires de courbes, les atilctirs dénionlrent celle im- 
porlanle propriélé : tout système algébrique de courbes planes 
indécomposables tel que par /»• points arbitraires du plan passe 
toujours une courbe, et une seule, de ce système est un système 
linéaire. Ils lerminent le chapitre en étudiant les systèmes 
linéaires de courbes unicursales, en déterminant les surfaces dont 
toutes les sections planes sont unicursales, puis en définissant les 
involutions sur une courbe algébrique et montrant que toute 
involulion simple s'obtient par l'intersection de celte courbe avec 
un système linéaire de courbes. 

Chapitre IV. — Systèmes linéaires de surfaces, surfaces 
sous-adjointes et surfaces adjointes. 

C'est à partir de ce moment que les auteurs nous font aborder 
véritablement les surfaces, les chapilres précédents n'étant en 
réalité qu'une introduction nécessaire. Les systèmes linéaires de 
surfaces sont définis par eux comme les systèmes linéaires de 
courbes, mais au moyen de lignes bases et de points bases. Ils 
étudient spécialement le système linéaire de courbes, intersection 
d'un plan fixe avec le système de surfaces et, revenant sur la défi- 
nition des surfaces sous-adjoinles, montrent leur signification 
transcendante et prouvent que pour les définir on peut se borner 
à considérer des plans passant par une droite fixe arbitraire. 

A propos des surfaces adjointes définies au point de vue trans- 
cendant dans le premier volume, ils montrent qu'on peut les con- 
sidérer comme des sous-adjointes particulières et que le théorème, 
du reste, leur est encore applicable. La considération des dé- 
fauts (jifi des séries d'adjointes d'ordre h, défauts qui sont nuls à 
partir d'une certaine valeur de li, les conduit à l'égalité fondamen- 
tale de M. Enriques 

Pg— P"= -W/(, 

et à la démonslration de ce ihéorème de M. Castelnuovo que, 
si ciJ/«_3 et (o,„_2 sont nuls, la surface est régulière. 

CuAriTKE V. — Des systèmes linéaires de courbes sur une 
surface. 

MM. Picard et Simart avaient déjà introduit la considération de 



i66 rill-.MltlU' PARTIE. 

ces systèmes dans un des chapitres du premier volume, de sorte 
qu'au début du cliapilre actuel ils se bornent à rappeler succinc- 
tement ce qu'ils avaient déjà dit à ce moment et passent tout de 
suite à l'étude des courbes déterminées d'une façon unique par k 
points arbitraires; une question analogue a été traitée dans le cha- 
pitre III à propos des svstèmes de courbes planes, ici le résultat 
n'est plus tout à fait le même, c'est seulement si /,• >> i qu'on peut 
affirmer que la série est linéaire. 

Les auteurs reprennent ensuite l'étude des systèmes linéaires 
de courbes sur une surface d'après les idées et la marche du cha- 
pitre II, c'est-à-dire en les considérant comme généralisation, avec 
une dimension de plus, des systèmes linéaires de points sur une 
courbe plane. Nous retrouvons la génération au moyen des 
adjointes ou sous-adjointes, les séries complètes ou incomplètes, 
le théorème montrant que, si une série linéaire est incomplète, il 
y a une seule série complète la contenant totalement, et enfin les 
notions d'addition et de soustraction des svstèmes complets avec 
les développements nécessaires pour certains cas particulièrement 
délicats et l'inlroduction des notations symboliques de M. En- 
riques. 

Chapitre VI. — Du système adjoint à un système linéaire 
de courbes et du genre numérique. 

Les auteurs commencent par définir d'une façon précise le sys- 
tème sous-adjoint et le système adjoint à une série linéaire de 
courbes et montrent que le défaut de la série linéaire découpée 
sur la courbe générale d'un système jiar son système adjoint ])ré- 
sente un maximum cpii est un invaiiant de la surface; la démon- 
stration montre d'ailleurs c|ue ce maximum est précisément la 
somme So)^ qui figure dans la formule fondamentale de M. En- 
riques et de là résulte que le genre numérique pn '^st un invariant. 

Mais la méthode suivie pour démontrer ces propriétés suppose 
l'existence des adjointes d'ordre m — 4 et, par suite, qwe pg n'est 
pas nul; afin de lever cetle difficulté et aussi dans le but de mon- 
trer au leclcur une manière toute différente de traiter la question, 
les auteurs exposent tout au long la méthode exclusi\ement géo- 
métrique suivie j)ar M. iMiricpics et qui ne fait aucune hypolhèse 
sur la crandcur de p^. 

~ In 



r.()MI'Ti:S HKNDUS lîT ANALYSI':S. iH; 

L'élude (lu cas de Pi^^ o les conduit Loul naUirellemenl à délinir 
le nouvel invarianl de M. Enriques, le biaenie P. Supposons, j)ar 
exemple, rjue la surface y d'ordre n n'ait (|u"une li^aie double avec 
points triples, les surfaces d'ordre -mi — 8 ne contenant pas/ et 
admettant la courbe double comme ligne double découperont 
sur/uu svslème de courbes dont la dimension sera représentée 
par V — I, et P sera le bigenre. 

Le chapitre se termine par quelques remarques sur les surfaces 
réglées, en vue de démontrer que, même pour cette classe très 
particulière de surfaces à genre géométrique nul, le nombre p„ est 
encore un invarianl. 

Chapitre VIL — Sur les intégrales doubles de seconde 
espèce. 

Ce chapitre constitué par des recherches toutes récentes de 
M. Picard nous ramène aux considérations transcendantes. Les 
intégrales doubles de seconde espèce sont les intégrales de la 
forme 

qui deviennent infinies comme 

d\j d\ 



//( 



,dxdy, 
dx oy 



U et V étant des fractions rationnelles enx, )', ^ et les dérivées élan t. 
prises en tenant compte de /(x, y, ^)^o. 

La réduction de ces intégrales nécessite des calculs un peu longs 
et conduit au résultat suivant : 

Par la soustraction d\ine intégrale convenable de la forme 

toute intégrale de seconde espèce relative à une surface f à 
singularités ordinaires (ligne double avec points triples) se 
ramène à la forme 

P{x, y, z)dxdr 



f.r 



i68 PUEMIÈHE PARTIE. 

P(.2:, y, z) étant un polynôme qui s'annule pour la courbe 
double. 

C'est de celte réduction que résulte le fait que le degré du 
poljnouie P peut toujours être réduit à une valeur maxima p, 
c'est-à-dire que le nombre des intégrales de seconde espèce linéai- 
rement indépendantes est fini, et en établissant ensuite que la 
transformation birationnelle transforme une intégrale de seconde 
espèce en une nouvelle intégrale de seconde espèce on établit du 
même coup l'invariance du nombre p. Ce dernier chapitre se ter- 
mine par quelques exemjiles et l'indication d'une nouvelle manière 
de définir les intégrales de seconde espèce en faisant intervenir la 
considération des résidus des intégrales doubles. 

E. D. 



ENRIQUES (F.). — Questioni biguardanti la Geometkia elementare trat- 
TATE DA U. Amaldi, E. Barom, R. Bonola, B. Calo, g. Castelnuovo, a. 
CoNTi, E. Daniele, F. Emuqies, a. Giacomini, a. Guarducci, G. Vitale 
raccolte e coordinale da F. Enriques, coii ioTavolee4o figure, i vol. in-8", 
vii-532 p, Bologiia, Zaniclielli, igoo. 

Ce livre a été rédigé par onze collaborateurs; mais ce n'est 
nullement un recueil artificiel. On y sent une pensée directrice, 
on y reconnaît le travail de coordination et de composition; 
chacun des quatorze articles qui le constituent a son intérêt 
propre, mais un intérêt qui s'augmente de l'intérêt des articles 
qui l'encadrent. 

Les auteurs ont désiré agir sur l'enseignement élémentaire de 
la Géométrie, enseignement auquel ils attachent avec raison le 
])lus haut prix. Leur but est de mettre les maîtres qui sont chargés 
de cet enseignement au courant des travaux les plus profonds et 
les plus récents sur la matière; c'est aux maîtres que s'adresse 
leur livre ; sans doute, il tombera quelquefois entre les mains d'un 
élève curieux, déjà mûr pour la réflexion philosophique; avec 
quelle passion celui-ci s'en emparera! Il n'en saisira pas toutes 
les parties; n'importe! Je ne serais jias étonné si le trouble et 
l'émerveillement qu'il ne manquera })as de ressentir en le lisant 
décidaient de sa carrière et en faisaient un géomètre. 



COMPTIiS UI'NDUS JîT ANALYSES. 169 

Aii;^ ren>5éii;ncinents .scientifiques, les ailleurs ont joinlfjuelqucs 
conseils pédagoqiques très judicieux. Ils ont raison de vouloir 
que les maîtres rédécliJssent au fond des choses; ils ont raison en 
leur conseillant de rejeter de leur enseignement des subtilités qui 
fatigueraient leurs élèves sans profit, de ne pas entraîner ceux-ci 
trop lot dans l'épouvante de ces profondeurs où est descendue la 
pensée géométrique. Au reste, les auteurs sont des classiques, 
comme il sied à des Latins; ils ont gardé le culte d'Euclide : ils 
aiment la clarté et la beauté, mais ils n'en séparent pas la rigueur, 
ne craignent pas les choses subtiles et veulent aller au fond de leur 
propre pensée ; en quoi il n'est pas sur qu'ils s'éloignent de l'esprit 
de cette Grèce, dont M. Enriques parle avec tant d'enthousiasme. 

Outre la Préface, où il expose la genèse du livre et paye à ses 
collaborateurs les remercîmenls auxquels ils ont assurément' 
droit, M. Enriques a écrit deux articles dont le premier, Sur 
l'importance scientijîque et didactique des questions cjui se 
rapportent aux principes de la Géométrie, a un caractère nette- 
ment philosophique. Il j admet l'origine em|)irique des concepts 
fondamentaux de la Géométrie, origine distincte, d'après les re- 
cherches de Helmholtz, Wundt, KJein, suivant que ces concepts, 
se rapportent à la notion de continu, à la Géométrie métrique, à 
la Géométrie projective; si ces concepts revêtent un caractère 
apparent de nécessité, c'est que leur construction nous apparaît 
comme antérieure à tout acte conscient; mais leur origine empi- 
rique n'en entraîne pas moins leur contingence. Quoi qu'il en 
soit, il importe de faire bien explicitement la part des éléments 
qui doivent être regardés comme primitifs, et ])ar cela même 
indéfinissables, qui sont la matière même de la Géométrie, puis 
des postulats ou axiomes, et des raisonnements purement logi- 
ques, susceptibles d'être remplacés par des relations purement for- 
melles entre des symboles, relations f[ui peuvent être interprétées 
d'une façon ou d'une autre suivant la matière représentée parles 
symboles. 

L'exposition de la Géométrie sera ainsi parfaite si, d'une pari, 
elle est purement, symbolique, de manière qu'aucune intuition ne 
s'introduise subrepticement dans le cours d'une démonstration, 
si, d'autre part, les concepts primitifs étant posés, tous les autres 
concepts sont définis logiquement au movcn de ces concepts pri- 



I70 PHEMIËRK PARTIE. 

milifs, et sî tous les postulats sont absolument indépendants. 
Mais si un tel mode d'exposition est satisfaisant pour l'esprit, il 
doit être rejeté au point de vue didactique. D'une part, l'expo- 
sition abstraite et formelle, sur de purs symboles, serait extrê- 
mement fatigante; il importe toutefois que le maître, au moins, 
se rende compte de la possibilité d'une telle exposition; d'autre 
part la discussion de la dépendance ou de l'indépendance des 
postulats est évidemment hors de la portée des débutants; il n'y 
a pas d'inconvénient, pour la rigueur, à multiplier ces postulats, 
pourvu qu'ils soient parfaitement clairs et qu'on n'en omette 
aucun : ce qui est mauvais, c'est l'introduction tacite d'un pos- 
tulat dans le cours d'une démonstration. 

M. Ugo Amaldi a écrit un article sur les concepts de droite et 
de plan. Il rappelle et discute les diverses définitions qui ont été 
proposées, depuis Euclide, en insistant comme il convenait sur 
le point de vue de Boljai et de Lobatschefskij. Il insiste ensuite 
sur les postulats relatifs aux notions de contenu et de contenant 
d'une part et, d'autre part, à la succession de points sur une 
droite (Pasch, Peano, Veronese, etc.). La notion d'angle est 
l'objet d'une critique analogue. 

M. Alfredo Guarducci s'occupe de la congruence et du mou- 
vement. 11 note tout d'abord la différence essentielle entre l'égalité 
géométrique et l'identité logique. Rappelons à ce propos la forte 
expression de M. Whiteliead, dans son Algèbre universelle : 
« Toute équivalence renferme à la fois un truisme et un paradoxe, 
car elle exprime à la fois que le même est le même, et que le 
même est l'autre ('). » Pour en rester à l'égalité géométrique, 
elle se fonde, d'après Helmlioltz, sur le mouvement des corps 
solides; elle peut être aussi fondée sur un système de pos- 
ulats : l'auteur discute successivement les systèmes proposés par 
MM. Pasch, Veronese, Hilbert. 

M. Giuseppe Vitali traite de l'application du postulat de la 
continuité à la Géométrie élémentaire : c'est là que trouvent leur 
place les questions relatives à la divisibilité d'un segment ou d'un 
angle, à l'axiome d'Archimède, à la mesure, ..., et, d'un autre 
côté à l'intersection d'une droite et d'un cercle, ou de deux cercles. 

(') CoLTLUAT, lievue de Mathématique et de Morale, 1900. 



r.()MPTI-:S lU'NDUS KT ANALVSF'S. 171 

Un second article de M. Amakil esf, consacré à la théorie de 
l'équivalence, en particulier à réf|iiivalence des polygones. Après 
avoir rappelé la façon dont le sujet a été traité par Euclide, Le- 
gendre, Bolvai, I^obatcJiefskij, Duhamel, Faifofer, il insiste sur 
le postulat de de Zoit : Si Ton divise un poljgone en parties, d'une 
façon quelconque, si l'on supprime quelqu'une de ces parties, il 
est impossible de disposer les autres de manière à recouvrir le 
polygone », puis sur les démonstrations données par MM. Schur, 
Rausenherger, Gérard, Vcronese. Il traite ensuite des surfaces 
courbes, puis des polyèdres, pour lesquels il reprend le postulat 
de de Zolt qu'il établit pour le tétraèdre. Au point de vue didac- 
tique, M. Amaldi conseille d'admettre purement et simplement 
ce postulat. 

M. Roberto Bonola a consacré un important article (p. 142- 
222) à la théorie des parallèles et aux Géométries non-eucli- 
diennes. Les recherches sur le postulatum d'Euclide sont signalées 
d'abord dans l'ordre historique (Procolo, Nasir Eddin, Hofi'mann, 
Riccardi, Clavius, Borelli, Giordano da Bilonto, Wallis, Saccheri, 
Kiigel, Koestner, Lambert, Legendre). Les recherches des deux, 
derniers et celles de Saccheri sont particulièrement importantes : 
c'est à MM. Stâckel et Engel qu'on doit la publication des impor- 
tants travaux, de Lambert. Avec Gauss, dont le rôle est bien 
connu, avec Schweikart et Taurinus, qu'ont fait encore con- 
naître MM. Engel et Stâckel, se termine la période préparatoire; 
M. Bonola étudie ensuite l'œuvre de Lobalchefskij et de Bolyai, 
les recherches de Beltrami et de Minding sur la pseudo-sphère, le 
point de vue de Riemanu, les résultats dus à Helinholtz, à Sophus 
Lie, les relations (Cavley, Laguerre, Klein) entre la Géométrie 
projective et les Géométries non-euclidiennes. Après avoir insisté 
sur l'impossibilité de démontrer le postulatum d'Euclide, il 
résume les postulais et théorèmes fondamentaux jusqu'au point 
où les Géométries divergent, pour donner ensuite une rapide 
esquisse des trois rameaux qui sont logiquement possibles. 

Les sept précédents articles constituent dans le livre de ^L En- 
riques une première Partie, d'un caractère général et philoso- 
phique; les articles qui forment la seconde Partie se rapportent 
à la résolution des problèmes géomélriques. Tout d'abord, M. Et- 
tore Baroni a fort bien résumé, dans (juclqnes pages, les ol)Scr- 



i-i- PIIEMIÈIIE PARTIE. 

valions el niélhodes cssenliclles pour la recherche des lieux géo- 
inélriques et la résolution des problèmes élémentaires, li est 
d'ailleurs impossible de rien écrire sur ce sujet sans avoir devant 
la pensée le livre classicpie de M. Pelersen. 

M, Ermengildo Daniele s'est occupé de la Géométrie du compas; 
l'auteur, après avoir développé la solution des problèmes fon- 
dainentauv par la méthode de Mascheroni, montre, d'après 
]M. Adler, comment la théorie de l'inNcrsion permet de résoudre 
tous les problèmes euclidiens au moyen du seul compas. Signa- 
lons aussi la résolution approchée de cpielqiies problèmes célèbres 
(rectification de la circonférence du cercle, duplication du cube). 

M. Amedeo Glacomini a écrit un intéressant article sur la réso- 
lution des problèmes du premier et du second degré, au moven 
de la règle, du comjjas, de la règle à deux bords parallèles, de 
réc[uerre et de la fausse équerre, employés seuls ou simulta- 
néjucnt. 

M. Guido Castelnuovo reprend les mêmes questions, mais au 
point de vue analytique : Quelles sont les expressions que l'on 
peut construire au moyen d'instruments donnés? Le sujet est 
très intéressant par lui-même; il est traité avec une grande clarté, 
dune façon aussi élémentaire cpie possible. Plus d'un lecteur, si 
je ne me trompe, en lisant l'article de M. Castelnuovo, sera heu- 
leux de voir se j:»réciser ses idées sur plusieurs |)oints fonda- 
mentaux. L'auteur s'occupe d'abord des pi'oblèmes qui peuvent 
être résolus au moyen de la règle seule, suivant qu'on se donne 
deux parallèles, un parallélogramme, un carré, puis, se plaçant au 
point de vue de la Géométrie projective, montre comment, étant 
donnés quatre points dont trois peuvent être pris pour les som- 
mets d'un triangle de référence et le quatrième pour le point dont 
les coordonnées sont égales à l'unité, on peut construire, au moyen 
de la règle seule, les points dont les coordonnées sont des 
fonctions rationnelles à coefficients rationnels des coordonnées de 
points donnés et ceux-là seulement. La démonstration fait bien 
rassortir la nécessité, pour la solution des problèmes conq^orlant 
des notions métriques (paralléllsmes, valeurs de segments, angles, 
aires, ...) de ])oints ou de droites comportant des relations: 
métriques préélablies. ]M. Castelnuovo étudie ensuite les [)ro- 
blèmes (pu peuvent être résolus au moven de la règle et du 



CO.MPTIÎS RKNOUS in' ANALYSES. 173 

compas, (le la rrgic cl du Iransporlçiir de segments, de la règle 
et d'un cercle iixe, de la règle à deux, bords parallèles. 

Le second article de M. Enriques est relatif aux écpiations algé- 
briques résolubles au moyen d'une suite d'équations du second 
degré et à la construction des polygones réguliers. Pour la pre- 
mière question, il reprend, comme avait déjà fait M. Klein, dans 
ses Ausgewâlilte Fragen cler E lementav géométrie , la méthode 
de M. Pelersen. Le problème des polygones réguliers est re|)ris à 
partir des éléments et la méthode de Gauss est exposée d'une 
façon aussi simple que claire. 

M. Daniele a donné un second article sur la construction du 
polygone régulier de dix-sept cùtés; après avoir expliqué la 
résolution analytique du problème, il développe successivement 
la construction de Standt, qu'avait déjà rappelée M. Klein dans 
le livre qu'on vient de citer, construction où l'on ne se sert que 
d'un seul cercle, puis celle de J.-A. Serret, perfectionnée par 
M. Bachmann, enfm la construction par laquelle INL Gérard, 
répondant à un desideratum exprimé par M. Klein, résout le 
même problème, en se servant seulement du compas. 

M. Alberto Conti s'est occupé des problèmes du troisième 
■degré : duplication du cube et trisection de l'angle : il établit l'im- 
possibilité d'une solution au moyen de la règle et du compas et 
développe successivement les méthodes géométriques, fondées sur 
l'emploi de diverses courbes, les méthodes mécaniques, enfin les 
,solutions ap[)rochées. Il termine en montrant comment les pro- 
.blèmes du troisième degré se résolvent au moyen d'une parabole 
fixe et se ramènent à la trisection de l'angle. L'intérêt propre de 
ce sujet se double ici de l'intérêt historique. 

Enfin, M. Benedetto Calô traite des problèmes transcendants, 
en particulier de la quadrature du cercle. Après avoir fixé le sens 
des mots nombre algébrique, nombre transcendant et montré 
l'existence de nombres transcendants, il établit le théorème de 
Lindemann, en suivant la méthode de Weierstrass ; il décrit ensuite 
l'intégrateur d'Abdank-Abakanowicz, perfectionné par M. Cor- 
radi, donne une construction géométrique approchée de la lon- 
gueur de la circonférence du cercle, dit quelques mots des lunules 
quarrables, et termine par un résumé historique des recherches 
sur la quadrature du cercle. On voit que les matériaux rassemblés 



174 l' lUi M 1 Ë i\ lî rAiriiiL 

par i\I. Enriquos sont aussi riches qu'intércssanls, au point de vue 
scienlifujuc, philosophique, historique et pédagogique. Son livre 
exercera certainement une excellente, influence sur l'étude et 
l'enseignement de la Géométrie, influence qui, il faut l'espérer, 
ne sera pas bornée à l'Italie. 

J. T. 



MULLER (Félix). — V'ocabllaihe matukmatiqle français-allemand et 
ALLEMAND-FRANçvis, Contenant les termes tecliniques employés dans les 
.Malliémaliques pures el ap[)]iquées. Matuematisches Vokaiiiilaiiium fran- 

, zosiscn-DEUTSCii UNO deutsch-franzosisch e.nthaltend die Kunstals- 

DRUCKE AUS DER REINEN UND ANGEWANDTEN MATHEMATICK. ErStC HàiftC. 

Leipzig, Teubner, igoo, Paris, Gaulhier-Villars, i vol. in-S", i32 p. 

Voici lin Ouvrage dont l'utilité ne sera pas méconnue par les 
hommes de métier. L'auteur, qni le dédie au futur Congrès inter- 
national des Mathématiciens, peut être assuré qu'une fois ter- 
miné il rendra de réels services. Pour le moment, M. ftlûUer nous 
en donne seulement la première partie, le Dictionnaire français- 
allemand. C'est malheureusement celle des deux que des Fran- 
çais peuvent le moins juger. Il faut du temps pour apprécier le 
mérite de tels travaux. Nous devons dire cependant que nous 
avons déjà commencé à utiliser le Dictionnaire de M. F. Millier, 
et notre expérience personnelle lui a été entièrement favorable. 
Le nom et les travaux antérieurs de l'auteur nous donnaient à ce 
sujet la meilleure des garanties. 



TAir (P.'G.). — SciENTiFic Papers, vol. II. Cambridge University Press, 1900, 
I vol. in-4'', xiv-5oo p. 

L'année dernière, nous avons signalé l'apparition du premier 
Volume de cette importante Collection des Mémoires de M. Tait. 
Le second Volume, que nous avons le plaisir d'annoncer après 



MÉLANGES. i;'» 

un si courl intervalle, a été composé d'après les mêmes règles et 
sur le même plan que le premier. Il comprend une série d'articles 
et de notes s'étendant sur un espace de vingt années, depuis 1878 
jusqu'à 1898. L'auteur v rapproche tous les Mémoires sur le 
même sujet, en négligeant quelquefois ceux qui sont venus les 
premiers et feraient double emploi avec des Mémoires plus com- 
plets et plus récents. Nous signalerons en particulier une série 
de travaux sur la théorie cinétique des gaz. 

Au reste, le troisième Volume, qui couronnera cette impor- 
tante Collection, contiendra un Index général et une liste com- 
plète dos Mémoires de Fauteur, comprenant même ceux qui 
n'auront pas été reproduits dans la présente édition. 



MELANGES. 

SUR LE THÉORÈME DE FERMAT; 
Par m. J. PEHOTT. 

Le nombre p étant un premier impair, en inscrivant dans cha- 
cune des p cases rangées en ligne droite un des nombres 

I, 2, 3, . . ., a, 
où 

o < a </>, 

on obtiendra une certaine configuration, et en le faisant de toutes 
les manières possibles, on aura en tout aP configurations. Ce pro- 
blème est d'ailleurs exemplifié par des cadenas bien connus. 
Or, si l'on excepte les a configurations où un des nombres 

I, 2, 3, . . . , a 

figure dans toutes les cases, toutes les autres configurations 
peuvent être distribuées en un certain nombre h d'assemblages. 



176 rUEMlÈlUi P A UT II'. 

de sorte que loiilcs les p condgiiralions (l'un assemblage se 

réduisent à des permutations circulaires d'une d'entre elles ('). 

On aura donc 

a + Il p ^^ al' 

et, par suite, 

aP ES a (mo(l/>) 

ou, en divisant par a, 

ai'-^^ I {moûp). 

Joseph Peuott. 



Université Clark, WorccsLcr ( Massaciiusells), Klats-Unis d'Amérique. 



(') G. G\uss, Disijuisillones arithineiicœ, art. 41. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ,77 

C0M1>TI<:S RENDUS ET ANALYSES. 



LAURENT (H.). — L'klimination. — Un vol. de la collection Scientia; n" 7 
de la série Phjs. Mathématique ; -b p. in-8; Paris, Carré et Naud ; 1900. 

La jolie collection Scientia vient de s'enrichir d'un nouveau 
volume sur l'élimination, dû à M. Laurent. Dans deux Chapitres 
succincts, mais contenant beaucoup de laits, l'auteur traite suc- 
cessivement de l'élimination d'une inconnue entre deux équations, 
puis de Télimination en général. 

La théorie de l'élimination d'une inconnue est développée en 
parlant de la théorie des fonctions symétriques, dont M. Laurent 
rappelle d'abord les propositions fondamentales. La méthode de 
Bézout-Cauchj, en particulier, est exposée à ce point de vue d'une 
manière fort intéressante, qui ouvre un jour sur les relations 
qu'elle présente avec le théorème de Slurm et les recherches de 
M. Hermite sur ce théorème. Dans le cas général, c'est à la mé- 
thode de Bézout que l'auteur s'attache. Il développe aussi l'im- 
portant théorème de Jacobi sur la somme des valeurs que prend 
une fonction rationnelle de n variables x^, x., ..., x^, dont le 
dénominateur est le déterminant fonctionnel de n polynômes/,, 
72» •••, fn en X,, aro, ..., Xn, supposé.s respectivement des 
degrés /??,, m., . . ., m„, quand on j remplace les variables par 
les u. = /;;, m., . . . niu solutions 

3=1/, ajy, . . . , a„y (y = I, 2, . . . , (jL), 
supposées distinctes, des équations 

/i = o, /,=o, ..., f,^ = o. 

A ce théorème se rattachent directement diverses propositions 
concernant d'autres fonctions symétriques de ces solutions, en 
particulier l'éléganle formule qui exprime le produit des ^ va- 
leurs Dy que prend le déterminant fonctionnel quand on y rem- 
place .r,, .To, ...,Xn par a, y, a^y, . . ., a„y, sous forme du carré 
d'un déterminant. A ce même théorème de Jacobi se rattachent 
encore les intéressantes propriétés des fonctions que M. Laurent 

Bull, des Sciences mathcm., 2' série, t. XXIV. (Août 1900.) ,2 



17» PREMIÈRE PARTIE. 

nomme interpolaires et qui sont définies par régalité 

./ 1 1 ./ 1 2 • • • J \n 



/il f{, 

fj fi 

J II \ J ni 



fin 
fi 

J IL II 



OÙ Dy a la signification que l'on vient de dire et où les^y.^ sont des 
polynômes tels que l'on ait identiquement, en.r,, ^'o, . . ., x,ii 

/,. = ('.ri 



■^'ly )/,'■! +(-^2 

( /■ = I , '2 , . . . 



n; J = 1 , 2 , . . . , [i. ) . 



Ces fonctions, dans un cas très particulier, lui permettront un 
peu plus loin d'esquisser une méthode pour reconnaître si un 
polynôme à plusieurs variables est décomposable en un produit de 
deuK facteurs. 

Signalons encore les remarques sur la méthode de Labatie, la 
façon élégante dont est traitée l'élimination des variables cc^, 
X21 . . . 1 x,i entre des équations de la forme 



fl 






fn 



^n gn 



OÙ fi et gi sont les demi-dérivées partielles par rapport à ^/, de 
deux formes quadratiques données en a:,, x.^^ . . ., Xn-, puis l'étude 
des équations en 5 



1/7 



',y = I, 2, 



l'indication de la méthode de Liouville pour le développement en 
série des solutions de deux équations, l'application de cette mé- 
thode à l'élimination entre trois équations, enfin la forme sous 
laquelle l'auteur obtient la condition pour que deux équations 
transcendantes aient une solution commune dans une aire donnée. 
Dans un livre aussi court que doivent l'être ceux de la collec- 
tion Scientia, il est nécessaire de se limiter; M. Laurent n'a pu 
mettre autant de choses dans celui qu'il vient de publier qu'en 
condensant le style et en sacrifiant les détails, et l'on aurait mau- 
vaise grâce à lui reprocher ce dont il n'a point parlé. Il semble 
cependant que, à propos de la résolution de deux équations à 



COiMFTES IlENDUS lîT ANALYSES. ,;ç, 

deux inconnues 

il eût élé ulile de dire un mol du parli que l'on peut, lant pour 
établir le théorème sur le nombre de solutions que pour préciser 
le degré de mullipliciié d'une solution, tirer d'une substitution de 
la forme y= ux-hv, ou, si l'on veut, de la considération des 
équations tangentielles des points qui correspondent aux solutions, 
d'autant que cette méthode se généralise et a une grande portée; 
la façon dont il est question des solutions multiples risque de 
laisser dans l'esprit du lecteur inexpérimenté une idée peu exacte. 

11 était impossible d'entrer dans les détails que comporte une 
exposition rigoureuse de l'élimination de plusieurs inconnues entre 
])lusieurs équations et l'auteur a eu grandement raison de vouloir 
traiter ce sujet d'une façon large; il a eu d'ailleurs le soin de 
signaler à l'occasion les suppositions que l'on est amené à intro- 
duire dans les démonstrations; mais le lecteur aurait quelquefois 
besoin d'être averti pour savoir si ces suppositions ont ou n'ont 
pas de répercussion sur la vérité des théorèmes eux-mêmes. 

Ces légères critiques ne sont pas pour diminuer la valeur des 
services que ne manquera pas de rendre le petit livre de M. Lau- 
rent : il traite d'un sujet qui est de première importance; le lec- 
teur y trouvera des démonstrations élégantes et des vues nouvelles; 
si la brièveté de l'exposition l'obhge parfois à réfléchir, tout est 
pour le mieux. 

J. T. 



J. FITZ-PATRICK et Georges CHEVREL. - Exercices d'Arithmétiqle, 
ÉNONCÉS ET solutions; avGC une préface de ^l. J. Tannerv. Deuxième 
édition considérablement augmeniée et suivie d'exercices proposés, de 
notions et exercices d'Arilhmélique commerciale. Paris, Hermann, 1900. 

C'est avec un vif plaisir que nous enregislrons le succès du 
livre de MM. Fitz-Patrick et Chevrel, d'abord parce qu'il était 
légitimement dû aux auteurs, et aussi parce qu'il nous prouve que 
le goût de l'Arithmétique n'est pas encore perdu chez nous. 

Cette seconde édition se distingue de la première par des addi- 



i8o IMlEMIÈllIi PAUTIK. 

lions considérables sur lesquelles, seules, nous dirons ici quelques 
mois ('). Ces additions comportent d'abord une partie théorique 
divisée en six Chapitres et qui constitue un précis très clair 
d'Arithmétique commerciale. Les règles pratiques que l'on observe 
réellement pour le calcul des intérêts et la résolution des pro- 
blèmes d'escompte y sont exposées en détail; le dernier Chapitre 
en particulier est consacré à l'explication des opérations de 
bourse et de banque et à la résolution des problèmes réels que 
l'on peut se proposer à ce sujet. 

Ces divers Chapitres sont accompagnés chacun de nombreux 
énoncés d'exercices non résolus, nouveaux ou empruntés aux 
examens des Ecoles de commerce, des Ecoles professionnelles, 
de l'Enseignement primaire, etc. 

En même temps, et c'est ce qui achève de distinguer cette 
seconde édition de la première, les auteurs ont ajouté à leur 
œuvre primitive un nombre 1res considérable d'exercices sans 
solutions, classés par Chapitres eux-mêmes, comme les exercices 
du texte. 

C'est là une très heureuse addition, puisque, maintenant, 
l'élève ou le lecteur studieux trouvera dans ces exercices un 
aliment nouveau pour sa curiosité, et, grâce aux efforts qu'il devra 
s'imposer pour arriver à leur solution, pourra s'assimiler d'une 
façon parfaite les théories de l'Arithmétique et acquérir la sou- 
plesse d'esprit nécessaire pour leur application. 

H. A. 



STUllM (U.). — Eleme.nte der darstellende Géométrie. Zweite umgear- 
beitete und erweiterle Aufgabe. — Un vol. in-8", iv-iSj p., 7 pi. Leipzig, 
Teubner, 1900. 

L'enseignement de la Géométrie descriptive à l'étranger est 
souvent très différent de ce qu'il est en France; il n'est parfois 
que le prétexte à l'enseignement de la Géométrie pure, et le mode 



(') Pour le compte rendu de la i" édition, voir Bulletin, t. XVII (2' série), 

p. 25l. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. .81 

de reprcscnlalion dû à iMonge ne figure plus guère que cuinine 
un souvenir historique, que l'on conserve avec quelque piélé. 
parce qu'il a élé l'origine de très beaux développemeols lliéo- 
riques, mais aussi avec un peu de dédaiti, parce qu'il est très 
particulier. Chez nous il a élé, pendant longtemps, uu peu troj) 
exclusivement enseigné; mais l'habitude se répand de j)lus en 
plus, tout en lui laissant une place prépondérante, de l'éclairer 
])ar quelques idées générales, et, quand le sujet les y invite, les 
professeurs ne craignent plus, tout en enseignant la Géométrie 
descriptive, de faire quelques excursions du côté de la Géométrie 
pure. Le rôle prépondérant du mode de représentation que l'on 
doit à Monge est évidemment justifié par son caractère pratique. 
Les règlements récemment édictés en Prusse, pour les examens 
qui donnent accès aux fonctions de professeur, rangent la Géo- 
métrie descriptive dans les Malhématiques appliquées, avec la 
Mécanique technique et la Géodésie : c'est donc la Géométrie 
descriptive pratique que les candidats doivent étudier et c'csl dans 
ce sens qu'est efl'ectivement rédigé le Traité élémentaire que vient 
de publier M. R. Sturm, bien connu par ses beaux travaux de 
Géométrie synthétique. Ce Traité n'est d'ailleurs que la réédition 
d'un livre que l'auteur avait publié, alors qu'il enseignait à l'École 
technique de Darmstadt, et qui était natuiellement dirigé dans le 
même sens. Aussi son livre ressemble-t-il beaucoup plus aux 
Traités français que la plupart des livres étrangers sur le même 
sujet. Il traite à peu près des matières que l'on enseigne chez 
nous dans les classes de Mathématiques élémentaires supérieures. 
Le seul chapitre qui sorte du cadre de notre enseignement est 
celui qui se rapporte à l'Axonométrie : signalons à ce propos 
l'élégante démonstration du théorème de Pohike qui le termine. 
L'exposition est claire, sobre et condensée. Il n'y a guère d'autres 
digressions du côté de la Géométrie pure que celles qui concernent 
1 homologie et l'affinité; mais celles-là sont en quelque sorte iné- 
vitables et aucun lecteur ne les regrettera. J. T. 



IMIEMIKKH P A UT II-: 



EncVKLOPADIE DER ^IaTHEM.VTISCHEX WisSENSCHAFTEN Mir ElNSCHLlSS IIIRER 

ANWEXDUiNGEN. II''. Baiid, i" und 3"= Heft. Ausgegeben am loApril 1900, 
in-S", p. 161-399, Leipzig, Teubner, 1900. 

Le fascicule de l'Encyclopédie des Sciences Mathématiques dont 
nous annonçons ici la publication contient la suite de l'article de 
M. Brunel et des articles de MM. Painlevé, Vessiot, von Weber; 
nous reproduisons ci-dessous les titres de divers paragraphes : 



BRUNEL ( Intégrales définies ). 

Développement en série de logF. — La fonction ^i'{o.) =^ — 

— Calcul approché de r(a) pour de grandes valeurs de l'argu- 
ment. — La fonction 

r^(a) ^= logr(a) — (a )loga-!-a log(2':T), 

— Calcul de la fonction T. — La constante d'Euler. — Loga- 
rithme intégraL — Fonctions B. — Autres intégrales qui se ramè- 
nent à la fonction F. — Application des intégrales définies à la 
théorie des séries. — Nombres de Bernoulli. — Intégrales déter- 
minées particulières. — Sommes de Gauss. 



P. PAINLEVÉ (Équations différentielles ordinaires; existence des intégrales). 

Définitions et problèmes fondamentaux. — Etat de la théorie 
avant Cauchy. 

Méthode de Cauchy-Lipschitz. 

Principe de la méthode. — Généralisation par Lipschilz. — 
Détermination précise de l'intervalle de convergence. — Intégrale 



COMPTES lUiNUUS ET ANALYSES. iS} 

première d'un sjslème différentiel. — Applieation de lu mélliodc 
au domaine des nombres complexes. — Cas de quotients différen- 
tiels qui ne vérifient pas les conditions de Lipschilz. 

Méthode des approximations successives. 
Principes et résultats de la méthode. — Corollaires. 

Méthode du Calcul des limites. 

Principes et résultats de celte méthode. — Développement de 
la méthode. — Détermination univoque des intégrales par les 
conditions initiales. — Extension du domaine de convergence de 
la méthode. — Méthode de la variation des constantes. — Re- 
cherche des intégrales premières. 

Conditions initiales singulières non exceptionnelles. 

Valeurs initiales pour lesquelles quelques-unes des fonctions /"/ 
sont méromorphes et infinies. — Valeurs initiales qui sont pour 
quelques-unes des fonctions fi des valeurs de ramification algé- 
brique. — Systèmes différentiels algébriques. — Application aux 
équations du premier ordre. — Equations algébriques du premier 
ordre. — Comparaison avec la théorie des enveloppes. Historique. 

— Extension aux équations différentielles d'ordre quelconque. 

Conditions initiales exceptionnelles, pour les équations du 

premier ordre. 

Recherches de Rriot et Bouquet sur l'équation 

xy' = ax -^ by -^ ... ^ ^(-2^, J'); ^ ?= o. 

— Cas général, dans lequel y est méromorphe et de la forme 
pour loo. — Recherches de Picard. — Méthode de Poincaré. 
Compléments. — Application au domaine des nombres réels. — 
Recherches de Bendixson et Horn. 



i81 PHRMIEU1-: l'AiniK 



Conditions initiales exceptionnelles pour des systèmes diffé- 
rentiels quelconques. 

Théorème général de Poincaré. — Cotiiplémenls. — Délermi- 
nation de classes particulières d'intégrales dans les cas d'exception. 
— Cas général des coefficients différentiels méromorphes. — 
Application au domaine des nombres réels. Solutions asjmpto- 
tiques réelles. 



VESSIOT (Équations difîérentielles ordinaires; mélhodes élémentaires d'inté- 
gration). 

Problèmes fondamentaux. Définitions. — Coup d'oeil histo- 
rique. — Théories formelles d'intégration. — Introduclion de 
nouvelles variables. — Problèmes d'équivalence. — Théories 
rationnelles d'intégiation. 



Equations du premier ordre. 

Méthode de la séparation des variables. — Méthode du multi- 
plicateur d'EuIer. — Méthode de Lie. — Discussion. Comparai- 
son des transcendantes. Intégration algébrique. — Equations de 
Jacobi et de Riccali. — Equations non résolues; intégration par 
diflerentiation. — Interprétations géométriques. Usage des coor- 
données homosènes. 



Systèmes d équations du premier ordre; Théories générales. 

Svstèmes de multiplicateurs. — Multiplicateur de Jacobi. — 
Méthode de Lie; intégration de systèmes avec un groupe connu 
de transformations. — Intégration de systèmes dont on connaît 
les invariants différentiels et intégraux. — Systèmes de variations. 



COiMPTKS HIÎNDUS F.T ANALVSliS. i85 

Théories spéciales pour les équations du n'^"^"^ ordre. 

Méthode du multiplicateur d'Euler. — Cas de l'abaissement du 
degré. — Théorie de Lie. lù|uations qui admettent des groujDCS 
de transformations ponctuelles. Généralisations. — Equations 
non résolues. Types d'équations intégrables. 

Classes spéciales d'équations et de systèmes d'équations. 

L'équation linéaire du /i"™* ordre. — Concepts généraux ; sys- 
tème fondamental de solutions. — Equations à coefficients con- 
stants. Equations de Lagrange. Méthode de d'AIembert. — Equa- 
tions à second membre. Méthode de la variation des constantes. 
— Abaissement de l'ordre de l'équation. — Solutions communes 
à deux équations. — Equations avec un système fondamental 
donné. Méthodes symboliques. — Fonctions diflTérentielles ra- 
tionnelles des solutions d'un système fondamental. Fonctions 
invariantes. Transformation. — Equations associées. Equations 
adjointes. — Equations du second ordre. Systèmes linéaires. — 
Extension des théories précédentes aux systèmes d'équations li- 
néaires, — Systèmes de Lie et généralisations. DilTérenles défi- 
nitions des systèmes de Lie. Théorie de leur intégration. — Sys- 
tèmes les plus généraux à solutions fondamentales. Equations 
d'ordre supérieur avec des systèmes fondamentaux d'intégrales 
premières. Généralisation des systèmes de Lie. — Systèmes 
d'équations aux dérivées partielles à solutions fondamentales. — 
Classes diverses d'équations. 

Problèmes d'équivalence. 

Position du problème. Introduction des invariants difTérentiels. 
Méthodes générales. — Invariants des équations linéaires. — 
Invariants de différentes classes d'équations. 

Théories rationnelles d' intégration . 
Domaine de rationalité. — Irréductibilité. — Théorie ration- 



i8G PREMIÈRE PARTIE. 

nelle de l'intégration des équations linéaires. — Extension de la 
théorie aux systèmes de Lie. Tiiéorie de J. Drach pour des sys- 
tèmes quelconques d'équations du premier ordre. 



VON WEBER (Équations aux dérivées partielles). 



Propriétés générales des systèmes différentiels. 

Existence des solutions; systèmes passifs. — Systèmes de 
Mayer. — L'intégrale générale. — Intégrales particulières. — 
Intégrales singulières. — Intégrales intermédiaires. — Intégrales 
complètes. — Formes diverses d'un système différentiel général. 
— Généralisation de Lie du concept d'intégrale. Transformations 
des systèmes différentiels. 

Les équations aux dérivées partielles du premier ordre à une 

inconnue. 

L'équation aux dérivées partielles du premier ordre. — Le 
multiplicateur de Jacobi. — Systèmes complets. — Système 
d'équations aux diff'érentielles totales. — Méthodes d'intégration 
de Jacobi. — Les intégrales principales. — La transformation de 
Lie-Mayer. 

Le problème de Pfaff. 

Historique. Méthode de réduction de PfalT. — Méthode de 
Grassmann; le théorème fondamental. — Les équivalents inté- 
graux; la forme normale la plus générale. — Transformations 
d'une expression de Pfaff". — Méthodes de réduction de Clcbsch 
et de Lie. — Méthode de Frobenius. — La théorie des transfor- 
mations de contact comme cas spécial de la théorie du problème 
de PfafT. — L'identité de Jacobi et de Mayer. — Généralisation 
de la théorie de Frobenius. — Relations entre les expressions de 
PfafT et les transformations infinitésimales. 



COMPTES IIIÎNDUS iîT ANALYSES. 187 

Les équations aux dérivées partielles du premier ordre à une 
inconnue non linéaires. 

Méthodes de Lagrange et de Pfall\ — Méthode de Cauchj. — 
Première méthode de Jacobi. La théorie de Hamillon-Jacobi. — 
Variation des constantes; les courbes caractéristiques. — Inté- 
grales singulières. — Les bandes caractéristiques; représentation 
et classification des équations aux dérivées partielles du premier 
ordre. — Coordonnées homogènes d'un élément. — Seconde 
méthode de Jacobi. — Systèmes en involution. — Groupes de 
fonctions. — La théorie de Bàcklund. 

Equations différentielles d'ordre supérieur. 

Systèmes différentiels avec deux variables indépendantes. — 
Classification des équations aux dérivées partielles du second 
ordre d'après leurs caractéristiques du premier ordre. — Inté- 
grales premières d'une équation différentielle du second ordre. — 
Les caractéristiques d'ordre supérieur d'une équation aux dérivées 
partielles du second ordre. — Les caractéristiques de l'équation 
aux dérivées partielles du /i"-'™'^ ordre. — Relations entre deux 
équations aux dérivées partielles du second ordre. — Systèmes de 
Darboux; systèmes en involution. — Les théories d'intégration 
de Darboux-Lévy et leurs généralisations. — Systèmes différen- 
tiels du premier ordre avec plusieurs inconnues. — La méthode 
de Laplace et ses généralisations. — Application du concept de 
groupe aux équations différentielles. — Systèmes différentiels 
avec m variables indépendantes. — Les caractéristiques de 
l'équation aux dérivées partielles du /i'^™^ ordre. — Systèmes en 
involution avec une inconnue. — La généralisation de la théorie 
de Monge-Ampère. — Systèmes différentiels linéaires du premier 
ordre avec n inconnues. — Systèmes différentiels non linéaires 
avec n inconnues; systèmes normaux. — Systèmes d'équations 
dePfaff('). 

(') Nous venons de recevoir également le 5= fascicule du tome I. Il ne man- 
quera plus qu'un fascicule pour terminer le tome I. 



IMIEMIEUE PAUTIE. 



MeMOIRS PRESENTED TO THE CAMBRIDGE PhILOSOPHICVL SoCIETV OX THE 
OCCASION OF THE JUBILEE OF SIR GeoRGK GaURIEL StOKES, BarT, HoN. LL. D., 

HoN se. D. LucAsiAN Professor. Cambridge Universily Press, 1900, i vol. 
in-4° xocvui-447 p. avec 25 pi. 

Le Volume que nous présentons aujourd'hui à nos lecteurs 
doit être considéré comme étant le XVIIP des Transactions de la 
Société Pliilosophique de Cambridge [Cambridge Philoso- 
phical Society). 11 est publié en l'honneur de Sir George Stokes 
et contient en premier lieu le compte rendu des belles cérémo- 
nies par lesquelles l'Université de Cambridge a célébré, l'année 
dernière, le cinquantième anniversaire de la nomination de cet 
illustre savant dans la chaire Lucasienne, occupée par Newton. 
L'aj)pel que TUniversité de Cambridge avait adressé à tous les 
corps savants du monde entier avait partout reçu le meilleur 
accueil. D'Angleterre, d'Amérique, d'Allemagne, d'Italie, de 
France et de beaucoup d'autres pays étaient accourus de nom- 
breux savants désireux de s'associer à l'hommage que l'Univer- 
sité de Cambridge rendait à la carrière si belle, si homogène et 
si bien remplie de Sir G. -G. Stokes. Le Volume contient d'abord 
par ordre chronologique la liste des Universités, Académies, 
Collèges et Sociétés qui se sont fait représenter; il contient aussi 
le compte rendu de la séance dans laquelle des diplômes de 
docteur es sciences honoris causa ont été conférés à quelques 
uns des délégués présents : MAL Cornu, Darboux, Michelson, 
Miltag-Leffler, Quincke, Voigt. Ce compte rendu est suivi du 
bel article sur la théorie des ondes lumineuses et son inlluence 
sur la Physique moderne qu'a lu M. Cornu, chargé cette année 
de la Rede Lecture. C'est avec cet article que se termine le 
compte rendu proprement dit des fêtes du Jubilé. 

Le reste du Volume contient une série de Mémoires présentés 
par quelques-uns des délégués présents à la Société philoso- 
phique de Cambridge. Ce sont les suivants : 

I. On ihe analytical représentation of a viniform branch of a mono- 

genic funclion, par M. Mittag-Lefller, p. i-ii. 

II. Application of the Partition analysis to the «tucly of the properlics 



COMPTIÎS IMÎNDUS l'T ANALYSIÎS. i8y 

of auy System of Consécutive Integers, by Major P. -A. Mac 
Mahon, p. i2-3 i. 

III. Oa tlie Intégrais Systems of Diiïerential Equations, by Prof. A.- 

R. Forsylb, p. 35-90. 

IV. Ueber die Bedeulung der Constantes b des ^'an der Waal'schen 

Gesetzes, von Prof. Doltzmann und D"^ Macbe, p.gi-gS. 

V. On the solution of a Pair of simultaneous Linear DilTerential 

Equations wich occur in the Lunar Tlieory, by E.-W. Brown, 
p. 94-106. 

VI. • The periodogram of magnetic Declination as obstained from the 

records of the Greenwich Observatory during the years 1871- 
1895, by A. Schuster, loj-iSS. 

VII. Experiments on the Osciliatory Discharge of an Air Condenser, 

^\ith a Détermination of r, by O.-J. Lodge and R.-T. Glaze- 
brook, p. iSG-igO. 

VIII. The Geometry of Kepler and Newton, by G. Taylor, p. 197-219. 

IX. Sur les groupes continus, par II. Poincaré, p. -29.0-255. 

X. Contact transformations and Optics, by E.-O. Lovett, p. 256-2G8. 

XI. On a Class of Croups of Finite Order, by W. Burnside, 269-276. 

XII. On Green's Function for a Circular Disc, witht applications to 

Electrostalic Problems, by E.-W. Hobson, 277-291. 

XIII. Démonstration of Green's Formula for Electry Density near the 

verlex of a right cône, by II. -M. Macdonal, p. 292.-297. 

XIV. On the ElTects of Dilution, Température and other circon 

stances, on the Absorption Spectra of Solutions of Didymium 
und Erbiuni Salts, by G.-D. Liveing, p. 2g8-3i5. 

XV. The Echelon Spectroscop, by A. -A. Michelson, p. 3i6-323. 

XVI. On Minimal Surfaces, by H.-W. Richmond, p. 324-332. 

XVII. On quartic Surfaces which admit of Intégrais of the first kind of 

total Diflerentials, by A. Berry, 333-347. 

XVIII. An Electromagnetic Illustration of the Theory of Sélective Ab- 

sorption of Light by a Cas, by II. Lamb, p. 348-363. 

XIX. The propagation of Waves by Elastic Displacement along a Helical 

Wire, by A.-E.-II. Love, p. 364-374. 

XX. On the Construction of a Model showing the 27 Lines on a Cubic 

Surface, by H. -M. Taylor, p. 375-379. 

XXI. On the Dvnamics of a Svstcm of Elections or Ions : and on the 



igo PIIEMIÈIIE PAHTIR. 

Influence of a Alagnetic Field on Oplical Plienoniena, l)y J. 
Larmor, 380-407. 

XXFI. On ihe theory of Functions of several Coniplex \'ariables, by 
H. -F. Baker, p. 408-444. 

On le'volt, le B.ecueil est des plus variés, et l'hommaj^e rendu à 
Sir G. -G. Stokes lui vient des côtés les plus opposés. Le Volume 
est d'ailleurs orné d'un très beau portrait du savant auquel il est 
dédié; il contient également la reproduction de la face et du 
revers de la médaille qui lui a été offerte à l'occasion de son 
Jubilé. 



MELANGES. 

NOTE AU SUJET DE L'ARTICLE 
« SUR UNE RELATION GÉOMÉTRIQUE ENTRE DEUX COURBES », 

Publié, par I\I. i\.-J. HATZIDAKIS, à la page ^2 de ce Volume. 

L'auteur de l'article nous prie d'insérer la remarque suivante : 
« Le théorème exprimé par la formule (5') et son réciproque sont 
des cas particuliers d'une proposition qui se trouve dans une Note 
de M. G. Pirondini Sur les sur/aces rég/ées, insérée en 1897-98 
dans le t. XIII du Jornal de Scicncias mathematicas et astro- 
nomicas dirigé par ]M. F. -G. Teixeira. 

En effet M. Pirondini fait tourner les binormales d'une courbe L 
de l'angle 9, dans les plans normaux, et il démontre ensuite que la 
condition nécessaire et suffisante pour que la surface (S) engen- 
drée par les nouvelles positions des binormales soit la surface 
gauche des binormales d'une certaine courbe est exprimée par 

l'équation 

I sinO sinO /<:/0 
le p p2 \ds 

OÙ p et /■ désignent les rayons de courbure et de torsion et k une 
conslanle. » 



BULLETIN RIBLIOGRAPIIIQUl-. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften. N° 92. Iii-S". Leip- 
zig, Engelmann. Cart. i m. 40 pf. 

Contenu : Kanl's allgemeine Naturgeschichte uncl Théorie des Hiinmcls oder 
Vcisucli von der Verfassung und dem mechanischen L'rsprunge des ganzen 
Weltgebiiudes nach Newton'schen Grundsatzen abgehandelt. 1705. Herausge- 
geben von A. I. von Oettingen. Neue Aufl. i.5S p. 

ScniMPFF (E.). — Ziir Définition der Konvergenz der unendlichen 
Reihen und der unendlichen Produkte. — Melirfaclie Grenzgleich- 
ungen. — Grenzgleichungen period. Reihen. In-4", 3o p. Berlin, 
Mayer et Millier, i m. 

Bachmanx (P.). — Zahlentheorie und ï^ersuch einer Gesammtdar- 
stellung dieser Wissenschaft in ihren Haupttheilen. l*" Thl. a. u. d. T.: 
Die Arithmetik der quadrat. Fornien. 1*^ Abthlg., gr. in-8", xvi-668 p. 
Leipzig, Teubner. 18 m. 

BoREL (E.). — Leçons sur la théorie des fonctions. In-8", viii-i38 p. 
avec fig. Paris, Gauthier-Villars. 3 fr. 3o c. 

BouRLET (C.j. — Leçons de Trigonométrie rectiligne. In-S", xii-323 p. 
avec fig. Paris, Colin et G'^. 

MuRRAY (D.-A.). — An Elementary Course in tlie Intégral Calculus. 
In-ia, New- York. 10 sh. 6 d. 

OsTWALDS Klassiker der exakten Wissenschaften. N" 93. Leipzig, 
Engelmann. Relié, i m. 20 pf. 

Contenu : Leonbard Euler, drei Abhandiungen ûber Kartenprojection. 1777. 
Ilerausgeg. von A. Wangerin, avec 9 fig. 

Reye (Th.). — Lectures on the Geometry of Position. Traduit par 
T. -F. Holgate. Part 1. 111-8". London, ÎMacmillan. 10 sh. 

RiEMANN (B.). — Œuvres mathématiques. Traduit par L. Laugel. In-8. 
xxxv-453 p. avec fig. Paris, Gauthier-Villars. i4 fr. 

Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften. N° 96. Leipzig. 
Engelmann. Relié, 2 m. 4o pf. 

Contenu : Sir Isaac Newton's Oplik oder Abhandlung iiber Spiegelungen, 



tfja PIUÎMIÈIIE PAHTIR. 

Brechungen, Beugungcn und Farben des Lichtes. (1704.) Ilerausgegeben von 
\V. Abendrolh. 1'' volume avec un poi'trait de Newton et 46 fig- 

BuDiSAVUEViÉ (E. V.) u. MiKUTA (A.). — Leitfaden fi'ir der Unterricht 
in der hôheren Mathematik. 1'^ Bd. Grundzûge der Deterrninanten- 
Theorie u. der projectiven Géométrie. Analytifiche Géométrie. Gr. 
in-8% x-492 p. avec 108 fig. Wien, BrauniuUer. Relié, 8 m. 

Graf (J.-H.) u. Gubler (E.). — Einleitung in die Théorie der Bes 
sel'schen Funktionen. ( In 2 Heften.) 1* Heft : Die Bessel'sclie Funktion. 
1" Art. Gr. in-8", vi-142 p. avec fig. Bern, Wyss. 3 m. -20 pf. 

Kemmeu (G.). — Ueber die Verwandlung von Projektivitàten in Invo- 
lutionen u. von Reziprozilàten in Polarsysteme durch Anwendung von 
Projectivitâten. Dissert. Gr. in-8", 24 p. avec 2 planches. Darmstad, 
Winter'sche Buclidr. i m. 

TiiinD (J.-Â.). — Modem Geometry of the Point, Straight Line and 
Circle; an Elementary Treatise. In-8", 266 p. London, Blackwood. 
3 sh. 

Helmiiotz (H. V.). — Vorlesungen ûh. theoretische Physlk. Herausgeg. 
von A. Konig, O. Krigar-Menzel, F. Richarz, G. Runge. V Bd, 2'^ Abthlg. 
u. IIP Bd. In-S". Leipzig, Barih. 27 m. 

Contenu : I. 2. Vorlesungen iib. d. Dynamik discreter Massenpunkle. Hrsgeg. 
von 0. Krigar-IMenzel. x-38o p. avec 21 llg. i5 m. — III. Vorlesungen iiber die 
malliemat. Principien der Akustik. Hrsgeg. v. A. Kônig. x-266 p. avec 21 fig. 
12 m. 

Breuer (A.). — Elementar entwickelte Théorie und Praxis der Func- 
tionen einer complexen Variabelen in organischer Verbindung mit 
der Géométrie. Gr. in-S", vm-2o5 p. avec 84 fig. Wien, Daberkow. 5 m. 

Drach (J.). — Essai sur une théorie générale de l'intégration et sur 
la classification des transcendantes. In-4', i5o p. Paris, Gaulhier-Vil- 
lars. 

Floquet (G.). — Sur le mouvement d'un point ou d'un fil glissant 
sur un plan horizontal fixe lorsqu'on tient compte de la rotation de 
la Terre et du frottement. In-8°, 16 p. avec fig. Nancy, impr. Berger- 
Levrault et G'^. 

GoETTLER (J.). — Conforme Abbildung eines von confocalen, ellip- 
tischen und hyperbolisclien Kurven n^*^'' Ordnung begrenzten Fldchen- 
stiickes aufdie llalbebene. Gr. in-8", 34 p. avec 3 planches. Passau, Wald- 
bauer'sche Buchh. i m. 



(:O.MPTI-:S IIKNDUS KT ANALYSES. ifjj 

COMI>TKS H KM) Il S KT ANALYSES. 

Papers on meciianicai. and piivsical slbjkcts, by Dshoruc lu-vuoUls, 1'. H. S., 
jMem. Inst,. C. E., L. L. I)., Profcssor of Engineering in llio Owens (lollege, 
iind Ilonorarv follow of Qnecns' Collège, Cambridge. Ueprinleil froin varions 
Transactions and Jonrnals. Vol. I, i8Gç)-i88>.. Caml)ridge : at ti>c Univcr- 
sity Press. 1900. 

Ce premier Volume conlienl l\o Noies ou Mémoires j)nl)li('s 
de 1 8fi() à i88.i par ]M. Osborne neynolds dans divers recueils 
seienli(i(|ues inégalement répandus liors des lies Britanniques. 
Quelques extraits de IMémoires publiés intégralement plus tard, 
six courtes Noies d'intérêt [em|>oraire, et un Mi'moire de James 
Prescolt Joule, pxd)lié à j)art (vol. VI, 4" s., Mem. and Proc. of 
the Manchester Lit. and Plilloa. Soc.) sont seuls exceptés de la 
présente réimpression. 

Parmi les Mémoires rpii intéressent le plus les Physiciens et 
les Malliématiciens, je signalerai le n" 7^ : Destruction du son 
peu- le brouillard; les n"^ 10 et i22 : Réfraction du son d((ns 
l'atmosphère ; le n" 10 : Condensation des m(danges d'air et 
de vapeur su/' les sur/aces froides ; les n'" 11-1^ : Forces super- 
ficielles dues à l'évapoz-ation ; le n" ':23 : Forces dues aux 
échanges de chaleur entre une surface et un gaz; et surtout le 
très important Mémoire de 18^9 (n" 33) : O/i certain dimcn- 
sional properties of mat ter in the gascons state. 

Ce Mémoire est divisé en deux parti<:s. Dans la première l*artic, 
expérimentale, l'auteur étudie l'écoulement (transpiration) des 
gaz à travers l'écume de mer, par difTérence de pression et par 
difTérence de lempi'rature, et les radiomètres à vannes très petites. 
Le rôle du chemin moyen des molécules gazeuses, comparé aux 
dimensions des trous de l'écume de mer, du jjlàtre, etc., ou aux 
dimensions des vannes, est nettement mis en évidence par les 
variations de la pression d'inversion avec ces dimensions. Au- 
dessus de cette pression, le gaz se comporte comme à la pression 
atmosphérique, les courants généraux déterminent les phéno- 
mènes; au-dessous, le gaz se comporte comme au\ très basses 
pressions et, |)Our les inégalités de lenq^éiature, en parlicidiei-, 

Bull, des Sciences /)iatl/e/)i., 2" série, t. \\1\'. ( Si'pU'inljrc i|)iiu.) là 



194 PREMIÈRE PARTIE. 

les effets sont de sens opposé. Bien entendu, les deux modes 
d'action se combinent au voisinage de la pression d'inversion. La 
seconde Partie, théorique, est fort longue et pénible à lire; inté- 
ressante néanmoins. Maxwell a donné les équations générales dont 
dépend le phénomène, par une méthode à la fois rigoureuse et 
relativement rapide, mais qui n'appelle peut-être pas avec autant 
d'insistance l'attention du lecteur sur le rùle de l'allongement du 
chemin moyen aux basses pressions. 

Signalons encore le n" 18 : Sur le frottement de roulement, 
et toute une série de Mémoires sur le fonctionnement des hélices 
propulsives des navires et les troubles produits par les appels d'air 
dans l'hélice; enfin diverses Notes de Météorologie physique et 
de Capillarité. 

M. BRiLLOUIJN. 



PASCAL (E.). — Repeutorio ni Matematiciie superiori (definizioni, for- 
mole, TEOREJii, CEXNi BiBLioGRAFicî ). II, Geomcfrifi. Potit iii-i8°, Milan, 
Uh'ieo Hoepli, xvni-g^S p.; 1900. 

Nous avons déjà rendu compte dans le Bulletin de la première 
Partie de ce Répertoire, consacrée à l'Analyse supérieure. La Géo- 
métrie que nous avons à anaivser aujourd'hui est exécutée d'après 
le plan que nous avons déjà fait connaître et elle se recommande 
aussi par les qualités que nous avons déjà signalées. 

Le point essentiel de notre analyse sera donc l'indication des 
matières traitées dans ce nouveau Volume du savant professeur de 
l'Université de Pavie. Il se divise en vingt-deux Chapitres qui 
embrassent toutes les parties essentielles, toutes les méthodes de 
la Géométrie. Nous y voyons rappelées en premier lieu toutes les 
notions fondamentales qui se rattachent à la Géométrie projective 
et à la Géométrie analytique, les formes algébriques, les coniques 
et les quadriques, les courbes planes en général, puis les cubiques 
et les quartiques, les surfaces et les courbes dans l'espace, les sur- 
faces cubiques, du quatrième ordre et de degré supérieur. Un 
Chapitre est consacré à la Géométrie de la ligne droite dans l'es- 
jiace et à celle de la sj)hère. M. Pascal n'oublie pas non plus la 



COMPTES UIÎNDUS HT ANALYSES. ijjS 

lli('oiic des caracU'rlsliqiics et les recherches des gf'-oinrlres suil.i 
Géométrie énuinéralivc. Viennent ensuite les théories infinitési- 
males qui se rapportent aux courbes et aux surfaces : étude des 
contacts, des développées et des développantes, des lignes tracées 
sur les surfaces, de la courbure des surfaces, des systèmes triples 
orthogonaux et des congruences rectilignes. 1^'auteur considère les 
'principales générations et transformations métriques, surfaces de 
révolution, courbes spéciales, etc. 11 rappelle les principales pro- 
positions relatives kVAnalysis silus, à la lliéorie des polvèdres, 
à la connexion d'une surface de Riemann, à la Géométrie des hy- 
perspaces, ainsi qu'à la Géométrie non euclidienne. 

Le dernier Chapitre contient un rc'sumé des travaux récents re- 
latifs à la Géométrie du triangle et l'Ouvrage se termine par un 
index alphabétique des matières traitées dans le premier et le 
second A oiume. 

La confection d'un pareil résumé a du coûter bien des re- 
clierches à son auteur; en revanche, il en é-pargnera beaucoup à 
ceux qui en feront usage. C'est le meilleur éloge (pie l'on puisse 
en faire. 



SEIllŒT (J -A ). — CoLRs DE CALCUL DirrÉnicNTiiiL i;r intk(;u\l, j" cdilion 
accompap; '.ce d'une Note sur la théorie des ronclions elliptiques par 
M. Cil. llermit', t. I, Calcul difïcreiUiel, xin-6i8 p.; t. II, Calcul intéirral, 
xui-go7 p. 2 vol. in-8". Paris, Gaulhier-Villars, 1900. 

Il nous suffira évidemment de signaler cette cinquième édition 
de l'excellent Ouvrage de notre maître regretté. Nous avons 
assisté vers 18G4 aux premières leçons de Calcul infinitésimal 
que Serret a données à la Sorbonne; nous nous rappelons lin- 
fluence qu'elles ont eue sur l'enseignement et la faveur avec 
laquelle elles ont été accueillies. Cette faveur n'était pas le 
résultat d'un engouement passager; le succès qu'ont obtenu les 
leçons de Serret lorsqu'elles ont été réunies en volumes, les tra- 
ductions qui en ont été faites à l'étranger, les éditions successives 
que M. Gauthier-Villars a dû en publier, sont la meilleure preuve 



196 PREMIÈRE PARTIE. 

qu'elles répondaient, qu'elles ne cessaient pas de répondre à de 
réels besoins. La Science s'est enrichie, mais les fondements et 
les principes demeurent les mêmes. On les trouvera exposés 
avec clarté et méthode dans le jiréseiit Traité. 

G. D. 



MELANGES. 

DE L'INTÉGRATION DE L'ÉQUATION lu == e" SUR UNE SURFACE FERMÉE; 
Par m. r;MiLE PICARD. 

En exposant l'été dernier dans mon Cours mes recherches sur 
l'intégration de l'équation \u = e'' sur une surface fermée, j'ai 
été amené à reprendre mon Mémoire sur ce sujet (Journal de 
Math., 1893). Il m'a semblé que plusieurs points étaient trop 
sommairement indiqués, et c[ue le premier lemme fondamental 
sur lequel je m'appuie pouvait être présenté d'une manière 
beaucoup plus simple et plus précise; j'ai été aussi conduit à faire 
diverses remarques qui ne sont pas sans intérêt pour la théorie 
des équations aux dérivées partielles au point de vue où je me 
suis placé dans diverses recherches, (^e sont ces leçons que je me 
propose de résumer ici, en priant le lecteur de bien vouloir se 
reporter d'abord au Mémoire cité pour l'exposé général du pro- 
blème et pour ce qui concerne les points sur lesquels je n'avais 
aucune modification à apporter. 

1. Commençons par préciser la nature de certains points sin- 
guliers des intégrales de l'équation 

(i) lu = e", 

qui seront les seuls que nous aurons à considérer dans celte étude. 
En désignant par /• la distance du point (x^y) à l'origine, et ^3 
représentant une constante, posons 



.MKi,A\(;i:s. i(,; 

L\'m|ii;iI Kin |)r(''(u''dciilc dcvicnl alors 
(•2) \v = /-l^.e''. 

H esl facile (l(! voir, en |)ioc(''(IaiiL par appi'oximalions succes- 
sives, que si 

il exisle des intégiales de ré(jualion (-a) conlinues autour du 
point O et au point O lui-mêine. On prend à cet ellet un con- 
tour C suffisaninient petit autour de l'origine, et l'on considère 

les c(|uations successives 

Aro = ;•? 

Al-, — r'^.e"^ 



Al-',, = /-ri.e''"^. 



tous les r prenant une même succession de valeurs données sur le 
bord C. On établit sans peine que dans le cas où [j est siipéi-icur 
à — :>., et si le contour est suffisamment petit, la limite de v,{ donne 
une intégrale de (2) prenant les valeurs données sur C et continue 
même à Torigine. 

i2, H est intéressant de recbercher ce que deviennent les déri- 

dç <9(' , ,, . . ^^ . , . 

vees premières -— et -— a I origine. Un voit de suite au elles sont, 

comme r, continues à l'origine quand ,3 est supérieur à — i, mais 
il en est autrement si ^ est compris entre — i et — 2. 

Pour le voir, et nous rendre compte de la forme de r et de ses 
dérivées premières au voisinage de l'origine, prenons d'abord le 
cas très simple où le contour C serait circulaire et où les valeurs 
données seraient nulles. Dans ce cas, r ne dépend (|ue de ;•, et 
nous a\ons l'équation dillérentiellc ordinaire 

d'^v 1 dv r, 
dr^ r dr '^ 

(|ui |)eut encore s'écrire 

dr\ dr 



et, ])ar suile. 

di> 



' ~j~. — I '■!•''*" '.Ce//- -4- C (/•„3?=u). 



i()8 PIIILMIÈKIÎ l'AKTIE. 

Nous nous plaçons Loujours dans l'hvpollièsc ^i >> — 2; l'inlé- 
gralc du second membre a alors une valeur finie pour /■ = o. Par 

suite, /• -j- lend vers une valeur finie pour ;• = o. Je dis que celte 

valeur finie ne peut être que zéro. Soit en effet 

Si '-2(0) n'est pas nul, on d»'diiit de cette relation 

"dr 



?('-i) 






et, par suite, v serait infinie pour /• = o. On peut aller plus loin; 
on a, d'après ce qui précède, 



dv 
r 



Y= f r'^+'.e^'dr— f r'^+Ke^dr= Ç r'ii+Ke^dr; 
nous pouvons donc écrire 



di> , /'P+2 

/■ -7- = e" 



dr p + 2 

ç' étant la valeur de c pour une valeur comprise entre o et /•. 
Nous concluons de là que -j- est de la forme 

M restant finie pour r = o, et enfin f sera de la forme 
l'o-f- r?+-.Mi (Po étant une constante), 

M restant finie pour r = o. 

Ce que nous venons de trouver pour ce cas particulier est 
général. Les approximations successives montrent que, pour 
toutes les solutions trouvées au paragraphe précédent, les déri- 

. ,, dv dv , ,, . . 1 I /> 

vees partielles -— et -— sont autour de 1 ori<rine de la forme 

/•?+!. M 
et ç est de la forme 

M et !M) restant finies pour r = o. 



MÉLAiNGES. 199 

3. Nous vciiDiis (Je considérer le cas d'un point singulier à 
distance finie. On peut supposer le point singulier à rinfiui. II 

suffit de faire une inversion en posant 



X -^ ly = 



a7-r- ly 



L équation 
devient 



A» = e" 

0-u 0- Il I , ,, ,, ,,, 

1 T = -TT <^" ( /• - = 37 - -+■ V - ). 



Au lieu du point à rinlini dans le plan (x, y), nous avons le 
j)oint z-éfo dans le |)lan (.r', j/). En posant 

« = a logr'-t- r, 
l'éipiation précédente devient 

, -I- —7- =^ /■=<-^.e''. 
â.r i ôy i 

Donc, pour avoir un point singulier de la nature de ccu\ consi- 
dérés plus haut, il faudra que 

■X — 4 > — '^ û 11 y. >• 2 . 

-4. Envisageons maintenant, si elle existe, une intégrale de 

l'équation 

lu = e" 

ayant comme points singuliers du tvpe précédent n. points à 
distance finie O,, O^, . . ., 0„ correspondant aux coefficients [jj, 
^2, •••, i^//(,^/> — 2), et avec la condition supplémentaire rela- 
tive aux dérivées du premier ordre telle qu elle est exprimée 
au § 2. De plus, le point à l'infini est un point singulier de même 
nature, et il lui correspond l'exposant a envisagé au § 3. 

Il doit tout d'abord exister entre a et les 3 une inégalité néces- 
saire. Considérons, en effet, n petits cercles décrits autour de O,, 
Oo, ..., 0„ et un cercle d'un très grand rayon. Portons notre 
attention sur la portion du plan extérieure aux petits cercles et 
intérieure au grand cercle; de l'équation 



•j.on \'\\\iM\]']\\i: l'AiniR. 

on lire 



/ / A« r/.r (ly = j l e" dx dy > o, 



l'intégrale double étant élcncltie à l'aire envisagée. Par conséquent, 
(l'aj)rè.s la formule de Grccn, 

r du , 

J d7i'^'<''^ 

la dérivée étant prise dans le sens de la normale intérieure. Or on 
a, pour le voisinage de 0|, 

et -r- est de l'ordre de r^]^'^. Il en résulte de suite que, dans l'iné- 
dn ' ' 

galité précédente, la part des petites circonférences est repré- 
sentée par 

On voit aussi facilement que la part de la très grande circonfé- 
rence est 

et ron a, par suite. L'inégalité nécessaire que nous voulions 

obtenir 

a + |3,4-...-f- p„<o. 

Nous savons d'ailleurs que a >> 2, [^/^ — 2. 

5. Nous allons maintenant démontrer qu'// ne peut y avoir 
deux intégrales jouissant des propriétés indiquées. Supposons 
qu'il existe deux telles intégrales u et (^, et soit 

Il =. V -^ ]l. 

11 n'est tout d'abord pas possible que Ji soit constamment 
posilil", car de la relation 

on conclut, en envisageant le même contour (jue plus haut, 
/ / A// d.r dv ^ ("'{rJ' — 1) dx dy ^- o; 



M EL A NG II s. 
par consc([iieiit, 



/ 



dh , 

—j— as 
an 



l'égalité élanl exclue. 

Or ce résultat est impossible, car -.- clans le voisinage de 0< étant 

de Tordre de /f "^', l'intégrale du premier membre relative à chacune 
des circonférences O^ tend vers zéro, et il en est de même pour la 
grande circonférence pour une raison analogue. Donc la diffé- 
rence h ne peut être toujours positive. 

Démontrons en second lieu un lemme qui nous sera d'ailleurs 
très utile tout à l'heure. J'envisage un contour C contenant l'ori- 
gine, et l'équation 

(E) A/i = A(^,7)./-?.(e/'-,) (?>-'2), 

où A(a:, y) est une fonction positive et continue dans C. Je dis 
que si une intégrale k de cette équation partout continue dans G 
(avec la condition que les dérivées du premier ox'dre soient autour 
de l'origine de l'ordre de /•?+') prend surC des valeurs comprises 
entre — M et + M, on aura à V intérieur de C 

(3) 1/^|<M. 

Si le facteur /■? ne se trouvait pas dans le second membre de 
l'équation, la remarque serait immédiate, car une intégrale de 
l'équation n'aurait nulle part, dans C, ni maximum positif, ni mi- 
nimum négatif, mais ici cette conclusion pourrait cesser d'être 
exacte pour l'origine, et le raisonnement ne pourrait pas alors se 
terminer. Nous allons montrer d'abord que si h est nulle sur C, il 
est nécessairement nul dansC; on peut supposer (|ue A est toujours 
de même signe dans G (sinon on fractionnerait l'aire en plusieurs 
autres). Soit donc A >> o dans G; en intégrant entre G et un petit 
cercle F ayant l'origine pour centre, on a 

I I Mi.didy = f f\.n^.{e''—i)dxdj>o 

et par suite 

r dh , C dh , . . ,. . 

/ dli ^" ^ / d7i "^^ (égalité exclue), 

n représentant la normale intérieure à l'aire. La première inté- 

Bull. des Sciences mathcni., 2° série, t. .\Xl\'. (Sepleiubrc 1900,) i3. 



■202 IMlIîiMlEHK PAirnii;. 

grale est très petite, la seconde est positive ou nulle comme chacun 
de ces éléments : il y a donc contradiction. 

11 résulte de là qu'une intégrale de E positive sur C ne pourra 
pas devenir négative à l'intérieur, et que si l'on a pour deux inté- 
grales Jiy et ll-2 

hi > ho (sur C), 

il en sera de même à l'intérieur. Pour achever alors la démonstra- 
tion de l'inégalité (3), il suffit de considérer l'intégrale h^ de E 
prenant la valeur M sur C; A, sera toujours positif dans C, mais 

l'égalité 

A(/?i— M) = A./-P.(e/'— i) 

montre que Aj — M est négatif dans G. Or l'intégrale h prenant 
sur C des valeurs inférieures à M est, d'après ce que nous venons 
de dire, inférieure à /i< ; on a, par suite, 

A< A,<M; 

on démontrerait de même l'inégalité 

A > — M 

et IHriégalité (3) est établie. 

6. Arrivons maintenant à la démonstration du théorème énoncé 
au début du paragraphe précédent. Soit s une constante réelle 
quelconque comprise entre le maximum positif et le minimum 
négatif de A; il j aura nécessairement une succession de points 
formant une courbe continue pour laquelle 

h = z. 

En eflet, h a nécessairement, d'après ce qui a été dit plus haut, 
son maximum positif et son minimum négatif en un point singu- 
lier. Soit le maximum en O et le minimum en O' (O et O' sont 
deux des points singuliers 0|, Oo, • • ., 0,^ et oo). Sur toute ligne 
joignant O à O' il y a au moins un point où /i = £, et par suite 

nous avons une courbe 

/in- 
formée d'une ou plusieurs parties fermées. A l'intérieur d'une 
branche fermée de cette courbe h sera compris entre — £ et -H s; 
mais il est clair qu'ici, considérant le plan tout entier (où la sphère 



M f: LA NUE s. 7()3 

si Ton aime mieux), il n'y a pas lieu de dislinguer enlre inléricur 
et extérieur. Par suite h sera partoul compris entre — e et +£, 
ce fpii est évidemment impossible puisque s peut être pris aussi 
petit <pie l'on veul ; il faut donc que ]i soit ideuticpiemcnt nulle, 
et les solutions ti et r coïncident. 

7. 11 faut maintenant établir l'existence de la solution. Deux 
lemmes nous seront nécessaires. Le premier est le plus délicat; je 
l'expose d'abord dans le cas le plus simple. Soient deux inté- 
j^rales u et f de l'équation \u = e" sans singularités dans un con- 
tour C. On suppose que sur ce contour on ait, en valeurs relatives, 
V > G, u — (' > o. 

Alors, à l'intérieur du contour, on aura nécessairement 
i- > G'. u — (■ > o, 

G' étant une constante dépendant de G. Nous supposons mainte- 
nant de plus que l'on ait sur C 

nous voulons montrer qu'en un point A, intérieur à C, on aura 

u — V <i M^, 

q étant un nombre inférieur à an, dépendant en général de G et 
de la position de A, mais nullement de M. 

Pour établir ce résultat, considérons en posant 

IL — p = /t 
l'équation 

(4) b.h ^ e^{e'>-—\). 
Elle peut s'écrire 

(5) \h=z e^.e^''.h = c.h (o<0<i), 

C étant une fonction positive supérieure à e^' . Or il est immé- 
diat (') que pour une équation linéaire 

AA= ch (c > o), 
(') Considérons en cdet rinlégiale /(, de l'équalion 

A/i =: ck 

picniiiiL la valeur un sur le Ijurd ; clic prendra au point \ la valeur q plus petite 



•ioi PUEMIEUK PAiniE. 

si l'intégrale A, positive clans G, est sur C au plus éyale à M, on 

aura en un point A 

h<Mq (q<i); 

el pour une seconde é(|uation linéaire 

\/i=c'/t. (o < c'< c), 

la valeur de q sera supérieure à celle qui correspond à la première 
équation . 

Il suffit d'appli(|uer ce résultat à l'équation ( o) cjui n'est que 
l'équation (4), pour en déduire qu'en Aon aura 

q étant un nombre fixe inférieur à l'unité, pouvant dépendre seu- 
lement de G et de la position de A, mais nullement de M. Tel est 
le premier Icmme que nous voulions établir. 

8. Sous cette forme, ce lemme serait trop restreint. Nous 
devons l'étendre à des circonstances plus générales. Supposons 
que dans G il v ait un point singulier O (à l'origine par exemple) 
de la nature de ceux que nous avons seulement à considérer dans 

que runilé (c élant positive et non identiquement nulle). Soit h l'intégrale pre- 
nant sur C des valeurs entre o et M; on a 

A(/«,M — /() = c(/(iM — A)- 

Or /(,.M — h est pfisitif sur C, donc à l'intérieur on a 

h < /il M < Mq. 

Pour démontrer la seconde partie, il faut considérer les deux intégrales res- 
pectives A, et A'i des équations 

A/i, = c/(|, A/t', = c'/i'| (c'<Cc) 

prenant la valeur un sur le bord; on doit montrer que 

h\ > A, en A ). 

Il suffit d'écrire la relation 

A ( a; — A, ) = c' ( a; — a, ) -f- ( c' — c ) a, ; 

elle montre que A', — A, ne peut avoir un minimum négatif, car pour ce minimum 
le second membre serait négatif, tandis que le premier membre serait positif ou 
nul. Il en résulte que A', — A, est positif à l'intérieur de C. 



Mf'lLANCîKS. ioS 

nolro |)r()l)lcjnc. Kn posaiil 

,/ = 3Iogr-f-p (p> — 2) 
on a réiiiialioii 

C'est à celle c(|iialioii (|iie nous voulons rlcndic le IcMnini' élahli 
an parai;ra|)lie précédenl pour li/ r= e" . 

Nous considérons donc pour lécpialion (pie nous écrivons 
mainlenanl 

deux inlégrales a el v |)arlout conlinucsà linléricur de C, avant 

un point singulier à l'origine du tvpe (-onnu et satisfaisant aux 

diverses inégalités écrites au début du i; 7. On a, en posant 

toujours 

u — t' = A, 

Ih = /■?.e".(e/'— i). 

Traçons autour de l'origine un petit contour Y. En tout point 
intérieur à C et par conséquent sur Y (d'après le § o), h sera inté- 
rieur à M. Or l'équalion précédente peut s'écrire 

Donc, en un point A intérieur à C, on aura 

h<Mq. 

q étant une constante inféiieure à Tunilé, pouvant seulement 
dépendre de G, mais pas de IM. 

Au lieu de l'équation Af/ = /?.e", on peut envisager d'une 
manière plus générale l'équalion 

\u — ;-'^'/-'2- . . . /-^^''.e", 

/•|, /'2> • • •> ^'n désignant les distances du point {x^ y^ à 0|, . . ., 
0«, et l(î leninie garde le même énoncé. 

9. Passons au second lemme qui est immédiat. Soit léqualion 

Ai' = r't'i r'v>'- . . . r'i^" . e'', 
les points O,, 0_, O,, élanl coulcnus dans C Désignons par s 



2oG 1M{ i: M 1 1: Kl' l'AIMIi:. 

nii iioiiibic [)osilif li\c aussi [iclil (|ik' lOii voudra. Si les valeurs 
d'une intégrale r sont sur le eoiUour C inférieures en valeurs 
relalives à un nornhre convenable II, on aura dans l'aire 



c' désignanl la fonction liai-inoni<iuc prenant, sur C les valeurs 
données pour e, et r^ désignant une fonction positive infé- 
rieure à z. 

11 suftit de poser 

r = p' -4- X, 

d'où 

1 II ' 

 sera négatif; si v' est inférieur à II sur C, il en sera de même à 
l'intérieur. Donc, si H est assez petit en valeur relative, e'"' sera 
une quantité positive très petite, et l'on peut s'arranger, en pre- 
nant H assez petit relativement, de manière que 

i X |< £. 

(Jn peut donc bien poser 

<• = '''— rj (î>r, >o). 

iO. Ces lemmes posés, arrivons à la démonstration de Texistencc 
de la solution. Nous prenons deux cercles concentriques C et C 
de rayon R etR'(R >> R'), contenant à leur intérieur les points O,, 
O2, . • . , 0„. Le centre O de ces cercles est à l'origine et n'est pas 
un point singulier. 

Soit d'abord «, une intégrale de l'équation 

lu = e", 

prenant sur C une valeur constante H, et ayant les singulariic's 
données en 0|, O^., . . ., 0„. Si l'on jiose 

«1= pi lo -/•,-+-...-;- ,3 ,Jug /•„-(- Ui, 
on aura 

12 II 

U, prend sur C les valeurs 

II - fJ, loi; /•,-...- 3 Jnt;,-„. 



M KL ANGES. w- 

Si H csl assez, pelil cii valeur relative, en tlési^naiil \nn- 

les Ibncllons li;iriii()iii(|iies eonlimies dans Ç el prenant snr C les 

valeurs 

logri, lig''o \o'^r„. 

on pourra écrire d'après le second leninie 

L'i = 11 — 3, p, — . . . — ^„ p,j — ■/,, 

la lonclion r, ('lanl positive et moindre (|u'uii nondjre donné à 
l'avance s. On sait que Ion a 

O', étant le conjugué de 0| par rapport à C^, et r/, désignant la 
distance OO,. Nous avons donc 

«I = H -f- Jiilogri — . . .-f- [i^log/-,, — 3ipi — . . .— 3„p„ — T,. 

Sur C, «I prend certaines valeurs. Nous envisageons la fonc- 
tion t'i satisfaisant à 

At' = e'' 

continue en dehors de C, sauf à l'infini, où elle a la singularité 
correspondant au nombre a. En posant 

t'i = — a log /• -^ \ 1, 

nous avons 

AV, = /-->'. cV,. 

Sur C, V| prend la valeur de l'expression 

II -T- "ilog/'i -H. . .-7- 3„Iog /•„-!- a log/' — 3] pi — . . . — ^«p/j — f,- 
fjui peut s'écrire 

II -i- 3,Iog ^y-^ -f-...-^ ?«lf>S ^TîTv -^alog/— r,. 

Transformons cette expression en nous servant des considéra- 
lions géométriques suivantes. Soit le quotient 



<7,./- 



•2oS PREMIEKE PAiniE. 

Eu jM sur le cercle C de rayon K, ce (|uolicnl est éyal à riinilé. 
L'expression 

(0) log-^r 

est donc nulle pour tout point jM du cercle C. Soit K'= R — o le 
rajon du cercle C et un point M' sur C, il est très facile de voir 
cpie l'expression (6) prise pour le point M' peut se développer en 

série ordonnée suivant les puissances de .5 les coefficients étant 
eux-niènies des séries en - et dépendant naturellement de la posi- 
tion du point W sur C. Ce déveIo])peuient converge pour tt et 
suffisamment |)eLii; il commence par un terme en ? et de plus le 
coefficient de ^ qui est une série en ^r a comme premier terme — 1 . 
Soit donc en M' 

' / ^ '■' 7 ''^ 



R' _ 00^ 
° R ^ R ^ 2 VV- 







On a, 


d'autre part, 



Donc, on aura 






]t\ ('tant une série en - et ' qui ne renferme pas de terme con- 
stant. 

Ceci posé, nous pouvons donner à la valeur de \ , sur C la (orme 
suivante 

H H- ( ?i + . . .+ ?„) log|-' + 0^ ion/- -1- ^^ ï?, /m - r,. 
Donc, d'après le second lemme la valeur de \ , sur C sera 

II -h (p, -{-...+ p„) lo-^^ + a logR' -!-(;'-■/■;. 

7/ étant une (bnclion positive très petite si II a été pris assez 
[)elit en valeur rclati\e, et v' désignant une l'onction harmonique 



Mfif.ANGRS. 

iv'giilière à l"e\l<'ileur de (7, cl preiinnt sur C la valeur 



20f( 



(7) 



' ^3,A.-^v 



linfin sur (]. v, aura la valeur 



IV 



Or e' csl (le l'ordre de i^randeur de l'expression (-). Donc, 

si — est suflîsamment petit (o élan t une quanlih' finie (pielconque), 

et si II a été pris assez petit en \aleur relative, on j)eut aflirnier 
que le signe de 



R' 



■-^?")'oj.'-^ -+- '■'— '^Z 



est le si'^ne plus. À eause de 1 inégalilé 

a-t- ^1^-. ..-H [3„<o, 

car le ternie en jr a jiour coeilîeient 

— (a -r- fJ 1 -I- . . . -T- u„ ) . . 

Nous arrivons doue à riin|)ortante conclusion (jue l'i sur C est 
supérieur \\ H, c'est-à-dire à la valeur de U\ sur celle même courhe. 
On se sert des valeurs de ^'^ sur C pour former une fonction u-;> 
prenant les mêmes valeurs sur C. satisfaisant à 1 équation 

et ayant les singularités 0|, Oo, .. ., 0«. De u->, on passe à une 
fonction Co ; or, puisque 

"■>> «1 (sur G) 
il en résulle que 



et par suite 



'■2> ^"1 (sur C) 



t'2> *'i (sur G). 



Or on se sert de r^ pour former /^), toujours d aprrs le même 
mécanisme: on aura donc 

"3> "•> (sur G). 



2JO PIULMIKIU' PARTIE. 

Les Ui comme les Vi vont donc toujours en croissant, cl le pre- 
mier Icnime peut être appliqué sous la forme que nous lui avons 
donnée plus liaut(§ 8), car si l'on pose 

ou aura pour U/ l'iMpialion difiércutielle 

AU, = /•?'... /f.«.. 

Les Ui restant sur C supérieures à un nombre fixe, il en sera 

évidemment de même des U/ sur G. Il est clair, d'autre part, que 

l'on aura 

U,>U,-_i (siu-C). 

Toutes les conditions du lemme premier sont donc vérifiées et 
la démonstration s'achève aisément. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



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Contenu : G. I\ir( IiIkiIT, Vliliiiiulhingon iilici inecliaiusilie \\ iirnicllieoiie, llc- 
raiisircg. von M. l'hiiick. 4'^ s. 

— dasselbe. \r. 10:2. Ebendas. Cart. 2 ni. 4o |)f. 

Contenu : .i.-C. Maxwell, iil)çr pli\ sikalisrlie Krafllinicn. Ilerausyi-g. von L. 
Eulzinanii. i'\~ s. 



c o M p T lis w i<: NOUS \i r a n a lys p: s . .,.13 

COMriKS lîKiNDlJS KT ANALYSES. 



MOUGLN (l-:.), — Nouvi:lliî3 Txnuzs dk ^ogauitiimics a cinq DiicniALiïs l'oin 
LKs No.uauns KT LES Mii.Mîs TiuuoxoMKTitrQifKs. IMninclto fio 38 p. Laval, 
chez railleur: 1899. 

L'auLeur a su, par une disposilion ingénieuse, faire lenir en 
neuf |)ages, d'un format assez petit, les iogarillimes des nombres 
de I à loooo, avec cinq décimales, et en vingt-neuf pages les loga- 
ritlimes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de minute en 
minute pour tous les degrés du quadrant. Malgré la condensation, 
il n'est pas difficile de se retrouver dans celte Table; elle pourra, 
à cause de ses petites dimensions, rendre service à quelques per- 
sonnes, qui n'aiment point charger leurs poches. 



DHIIX (M.). — Die Lege.vdheschex Satze lber die Wixkelsl.mme in Diieuxic. 
Inaugiraldisseutatiox. 38 p. i:i-4; Leipzig, Teubner; 1900. 

Cette intéressante Dissertation inaugurale peut être regardée 
comme une illustration de la méthode et des principes développés 
par M. llilbert dans son beau Livre sur les fondements de la Géo- 
métrie (Festschri/i ziir Entkullung des Gauss-Webej- Denk- 
inals). 

On sait que Legendre a démontré les deux propositions sui- 
vantes : 

I" Dans un triangle la somme des trois angles ne peut dépasser 
deux droits. 

?." Si dans un triangle particulier la somme des trois angles est 
égale à deux droits, il en est de même de tout triangle. 

Sur quels axiomes reposent ces théorèmes? La démonstration 
de Legendre implique ce « postulat de continuité » que Ton désigne 
habituellement sous le nom à'axiome cV Archimède, axiome que 
l'on peut, dans le cas actuel, énoncer ainsi : 

Bull, des Sciences mat/iém., a-^ série, t. XXIV. (Octobre i.joo.) ,4 



•21 4 PUKMIÈUH PAUTIK. 

Soiei)l donnés sur une droite deux points A, B et soit A, un 
point situé sur cette droite; on construit les points Ao, A3, A^, . . ., 
tels que A, soit entre A et Ao, A2 entre A, et A3, A3 entre Ao 
et A^, . . . , et tels en outre que les segments AA,, A, Ao, A2A3, 
A3 A^; . . . soient égaux entre eux, il y aura toujours un point A„ 
tel que B se trouve entre A et A„. 

Si maintenant on constitue une Géométrie sans supposer l'axiome 
d'Archimède, que deviendront les théorèmes de Legendre? Telle 
est la question que traite M. Dehn. Il arrive au résultat suivant, 
qui ne manque pas d'intérêt : Le deuxième théorème subsiste, il 
ne s'appuie que sur les groupes d'axiomes désignés par M. Hd- 
bert sous les numéros i, 2, 4 ( Verkniipfang, Anordnung, Con- 
o-riicnz) et qui, bien entendu, ne comprennent pas le postulatum 
de la théorie des parallèles. Le premier théorème, au contraire, 
suppose essentiellement l'axiome d'Archimèdc et la preuve en est 
apportée par le développement d'une nouvelle Géométrie, qui en 
est indépendante et que M. Dehn (^yMAxiÀa <\e Nicht-Le gendre schc 
Géométrie. ''• ^• 



WALKER (G.). — Aberration and some other puori.ems connecte!) with 

THE ELECTROMVGNETIC ElELD, ONE OF TIIE TWO EsSAYS TO WIIICH THE AOAMS 
PlUZE WAS AWARDED IN 1899, IN THE UnIVERSITV OF CaMBUIDGE. Ull VOl. 

iii-8; 9G p. Cambridge UniversUy Press; lyoo. 

M. Gilbert-T. Walker se place au point de vue de la théorie 
électromagnétique de la lumière. A ce point de vue, l'étude de 
Vaberralioii n'est qu'un problème particulier dans l'étude de la 
propagation des ondes électromagnéliques. 

Toute la difficulté consiste à écv'we les équations générales du 
champ électromagnétique dans les milieux matériels en mouve- 
ment. C'est ce but que M. Walker se j)ropose dans la première 
partie de son travail. Il détermine ensuite, dans diverses hypo- 
thèses, les tensions dont le diélectrique est le siège. Il arrive, enfin, 
à l'application particulière qu'il avait en vue et montre que les 
équations générales rendent compte de toutes les particularités de 
l'aberration de la lumière, pourvu que l'on accepte l'hypothèse 



C U .M l' T H S U H N I ) U S M T A \ A L V S !• S . 2 , 5 

d'unc/;o/«,7:s«//o/. //?oA''c7//.,/,e de la matière sous l'influence d.i 
champ électromaonéh(,„e. Il n'en est pas de même, d'après 
M. Walker, s. l'on admet rp.e la polarisation de la matière est 
continue. Dans ce cas, il trouve des équations générales difFé- 
rentes, et les consérjucnces qu'il en tire ne sont pins conformes à 
1 expérience. 

Il J a là, je l'avoue, quelque chose d'assez surprenant. One la 
polarisation soit contùiue ou moléculaire, cela semble ne^pou- 
voir faire l'objet que d'une de ces hypothèses que M. Poincaré 
appelle indifférenles et qui ne peuvent intervenir dans les résul- 
tats, tant qu'on n'introduit aucune de ces hypothèses supplémen- 
taires que masque trop souvent le développement des calculs. 

Quoi qu'il en soit, après les travaux de Maxwell, de Hertz et de 
Lorentz il reste encore beaucoup à faire, et le Mémoire de 
M. Walker vient mettre en évidence, une fois de plus, toute l'obs- 
cunté de ces questions. H. Abraham. 



FRICKE (R.). _ KURZEFASSTE VORLESLNGEN UBER VERSCIIŒDEXE GeRIETE 
DER HOHEREN MXTHEMAT1K MIT BeRUCKSICHTIGUNG DER AnwenDUXGEX Vna^ 

Li-TiscH-FuxcTioxEXTnEORETiscHER Te.l. Mit loo in den Text gedruckten 
F.giiren. Un vol. ui-8- ix-5.o p. Leipzig, Teubner; ,900. 

Voici un livre qui pourra rendre de grands services à l'étudiant 
en Mathématiques qui vient de suivre un cours régulier de Calcul 
différentiel et intégral. A coup sûr, les livres qu'il est à même de 
l.re, qu.l lu. faudra lire pour développer ses connaissances en 
Analyse, ne manquent point; leur nombre et leur taille sont 
plutôt pour l'effrayer; il soupçonne déjà l'importance des sujets 
qui sont traités dans ces ouvrages, dont beaucoup sont excellents. 
Il n Ignore pas non plus l'existence des Collections mathéma- 
tiques et des Mémoires originaux, qu'il lui faudra aussi étudier 
un jour, et que ses maîtres n'ont pas manqué de lui vanter comme 
Il taut. lar où commencer et comment s'orienter? Comment 
acquérir une première idée des sujets les plus essentiels et des 
méthodes les plus utiles? 

M. K. Fricke a réuni, dans le volume que nous amnoncons. 



■A a) l'uiiMiEiii-: l'A II II E. 

quelques-uns de ces sujets, en se limilant d'une pari aux points 
vraiment rondamcntaus. et, d'autre part, en développant assez ces 
sujets pour que celui qui a lu sou livre soit capable d'aborder 
bon nombre d'applications; l'auleur a même eu soin (Tiudiquer 
(piel(|ues-unes de ces applications, et, quand il v avait lieu, d'in- 
troduire des tables numériques. 

Il a voulu s'adresser non seulement à ceux dont lobjet essentiel 
est d'accroître leurs connaissances matbématicpies, mais aussi bien 
à ceux des futurs ingénieurs ou pbvsiciens qui, tout en ayant en 
vue des réalités concrètes, savent que les Matliéniatiques cons- 
tituent nne arme indispensable pour l'élude ou la conquête de ces 
réalités. 

C'est peut-être même |)arce qu'il visait celte classe de lecteurs 
que M. Fricke a développé comme il le fait certains sujets qui, 
comme la théorie des (onctions d'une variable complexe, sont 
sans doute traités dans la plupart des cours qui ne s'adressent pas 
exclusivement à ceux qui n'ont en vue (jue les applications immé- 
diates. 

Aussi bien le choix des sujets était évidemment un peu arbitraire 
et l'auteur savait fort bien que quelques-uns de ceux qu'il a abordés 
sont, en fait, tantôt eflleurés, tantôt traités d'une façon assez appro- 
fondie dans tel cours ou dans tel autre, une année ou l'autre, ici 
ou là. Mais tous sont importants. En outre, M. Fricke a joint à 
chaque exposé des renseignements historiques et bibliogra- 
phiques, qui ne peuvent manquer d'intéresser le lecteur et de lui 
être utiles, s'il veut poursuivre ses études. 

Nous donnons ci-dessous la liste des sept chapitres qui com- 
posent le livre de M. Fricke : 

I. Séries de Fouricr. (p. i-23). — C'est à la démonstration 
de Dirichlet; pour la convergence, que l'auleur s'attache. Appli- 
cation à quelques fonctions définies numériquement^ ù la vibra- 
tion des cordes, à la conductibilité. 

II. Fondions sphériques et cylindriques, (p. i!\-'-jW — 
L'auteur prend pour point de départ la notion du potentiel et 
l'équation de Laplace. Il introduit les fonctions de Legendre et en 
développe les propriétés élémentaires, puis les fonctions sphé- 
riques générales d'ordre «, donne leur expression au moyen des 



CUMl'TKS KKNDLS Kl ANALYSES. m- 

foncllons correspondanles Vf, donne de» indications sur le déve- 
loppement en série d'une fonction suivant les fonctions splié- 
riques et sur les applications à l'électrostatique. Les fonctions 
cvlindriques sont ohlcnues comme cas limite des fonctions S[)lié- 
riques; elles sont a|)|)liquées, d"a])rès Bessel, a la résolution de 
l'équation de Keppicr. 

III. Fonctions cV une variable complexe, (p. -5-172). — La 
notion de représentation conforme est développée avec grand soin 
et est prise pour point de dé|)art. On trouve dans ce chapitre les 
théorèmes fondamentaux de Cauchj, les propositions essentielles 
sur les séries et produits infinis, la notion de continuation, la 
décomposition des fonctions entières en facteurs primaires, l'étude 
de la surface de Riemann à deux feuillets, etc. 

En passant, l'auteur dit quelques mots du mouvement d'un 
lluide incompressible dans un plan. 

IV. Fondions elliptiques. (1 -3-283). — L'auteur prend pour 
point de départ la notion de fonction doublement périodique, 
introduit les fonctions de Weierstrass, traite de la représentation 
conforme du plan des a au moyen de la fonction pu, de la repré- 
sentation conforme d'une surface de Riemann à deux feuillets et à 
quatre points d'embranchement au moyen de l'intégrale de pre- 
mière espèce, de l'inversion, de l'addition, des fonctions S?, des 
fonctions sn, en, dn, de la transformation linéaire, de la transfor- 
mation de Landen, du calcul numérique. 

V. Applications des fonctions elliptiques, (p. 284-337). — 
Polvgones de Poncelet. — Trigonométrie sphérique. — Lignes 
géodésiques sur l'ellipsoïde aplati. — Coordonnées elliptiques. 

— Applications à la théorie de la chaleur. — Pendule sphérique. 

— Rotation d'un corps solide autour d'un point fixe; mouvements 
à la Poinsot. 

VI. Equations linéaires à une inconnue, (p. 338-424). — 
Après avoir développé les points essentiels de la théorie de 
M. Fuchs, l'auteur traite des fonctions hvpergéométriques et, 
comme applications, des périodes de l'intégrale complète de pre- 
mière espèce (Legendre), puis des propriétés du quotient de deux 



2i8 PUEMIEUE I'AKIIL:. 

soliilions linéaireincnl indépendantes de l'équalion de Gauss, des 
belles reelierches de M. Schwarz sur ce sujet (rcpréscntalion d'un 
demi-plan sur un triangle formé d'arcs de cercle, etc.). La con- 
sidération des points irréguliers lui donne l'occasion de dire 
quelques mots des déterminants infinis. 

VII. Equations différentielles du premier ordre avec plu- 
sieurs inconnues. (425-5 1 4). — Après avoir établi les propriétés 
fondamentales des déterminants fonctionnels, l'auteur démontre 
le théorème d'existence pour les intégrales d'un système d'équa- 
tions différentielles du premier ordre, traite de l'équation linéaire 
aux dérivées partielles dont l'intégration équivaut à celle d'un 
tel système, des facteurs intégrants et des multiplicateurs d'un 
système d'équations différentielles simultanées, du principe du 
dernier multiplicateur, des svstèmes complets, des systèmes jaco- 
biens, des systèmes d'équations linéaires aux différentielles 
totales, des équations aux dérivées partielles du premier ordre, 
non linéaires, en insistant, pour les interprétations géométriques, 
sur le cas de deux variables indépendantes, enfin du théorème de 
Poisson et des équations différentielles de la Mécanique. 

J. T. 



SCHLÔMILCII (0.). — UiiBLXGSBUCH zuM Stldium Diîs noMKRiiN Analysis. 

ZWEITEU TkIL : AuFGABEN AUS DER IntEGRALRECHMJNG. VieRTE Al'KGABE 

BEARBEriET VON R. Henke. Uii vol. iii-8: VMi-448 p- Leipzig, Teubner; igou. 

Le recueil d'exercices do ]M. Schlomilcli est bien connu; il a 
certainement servi, dans tous les pays de langue allemande, à bien 
des générations d'étudiants, et partout ailleurs à la plupart des 
professeurs de Calcul différentiel et intégral qui avaient à donner 
des problèmes à leurs élèves. Dans notie svslème actuel d'examens, 
il répondrait fort bien à la préparation de l'épreuve pratique du 
certificat de Calcul différentiel et intégral. 

Il suffira de dire à ceux de nos lecteurs qui ne l'auraient pas eu 
entre les mains qu'il contient, outre le rappel des règles essen- 
lielles du C^alcul diOércnticl et intégra! (Intégrales indéfinies et 



COMPTI'IS UliNDUS Kl ANALYSES. 219 

définies, simples ou mulliples; recLificalion, quadraluro, coni|)la- 
nalion, oiibalure des courbes ou des surfaces; centres de gravilé, 
moments d'inertie; Ijpes d'équations difTérentielles du premier et 
du second ordre qui s'intègrent facilement), de nombreuses cl 
intéressantes applications de ces règles, applications qui sont, les 
unes traitées ex|jlicitement, les autres simplement indiquées. Elles 
sont graduées avec art, de manière à ne pas rebuter les commen- 
çants et à leur faire acquérir cette sûreté et cette habileté dans le 
calcul que l'on ne saurait priser trop haut. La plupart de ces appli- 
cations ont une origine géométrique et il n'est pas douteux que 
leur intérêt en soit augmenté. Les commençants en particulier se 
lassent volontiers des exercices qui semblent faits uniquement 
pour leur apprendre à appliquer les règles et, d'ailleurs, si simple 
que soit la mise en équation d'un problème de Géométrie, il y a 
toujours, dans cette mise en équation, un effort utile ; le choix 
des coordonnées ou des inconnues demande de la réflexion et, 
souvent, quelque ingéniosité. Il j aurait sans doute intérêt à intro- 
duire des exercices se rapportant à d'autres sciences concrètes, 
comme la Physique ou la Mécanique. Mais M. Henke, qui s'est 
chargé de la quatrième édition du livre de M. Schlomilch, a reculé 
devant un changement aussi considérable ; on peut ajouter que les 
lecteurs auxc[uels est destiné spécialement le livre n'ont pas, d'ordi- 
naire, les connaissances que nécessite la mise en équation de 
pareils problèmes, et que cette mise en équation demanderait 
souvent de longues et dcUicates explications. 

Outre les sujets que Ton vient d'énumérer rapidement, il con- 
vient de signaler les chapitres relatifs à la transformation des inté- 
grales définies en séries, ou réciproquement, à la recherche de 
valeurs moyennes, à la détermination de fonctions contenant des 
coefficients arbitraires qui s'approchent le plus possible d'une 
fonction donnée. 

Il me semble que, dans le paragraphe intitulé « Intégration durcli 
Rationalisierung )>, on aurait pu introduire utilement quelques 
notions très élémentaires sur les courbes unicursales; lorsque 
M. Schlomilch a publié son Uebangsbuch, il y a une trentaine 
d'années, il était très naturel que ces notions n'y figurassent pas. 
Mais quelques exercices, se rapportant à cette notion, trouve- 
raient aujourd'hui naturellement leur place. De même, dans les 



■170 l'IiHMIE Hli PARTI i:. 

chapilres où il esL question de surfaces, il semble qu'il ne soit 
pas nécessaire de se borner aux coordonnées rectangulaires, 
polaires ou cylindriques et que quelques indications discrètes 
relatives aux coordonnées curvilignes ne seraient pas déplacées. 
Il est 'certain que, grâce à ses qualités de fonds, au nombre, à 
l'intérêt, à l'élégance des questions qu'il contient, le livre de 
M. Sclilomiich restera encore longtemps classique, malgré les 
livres similaires ou analogues dont plusieurs sont fort recomman- 
dables, qui ont été publiés dans les différentes langues; il aura 
encore de nouvelles éditions, où il sera facile de combler ces 
lacunes. Cette quatrième édition, en tous cas, se recommande par 
les soins qn'y a apportés IM. Henke et par les améliorations de 
détail qu'il y a introduites. J. T. 



ANDOYER (II.). — LEÇONS slu la Tiiéoiuk di'S foilmi'S lï i.a Giio.MiVnun 

ANALYTIQUE SUPKRIEL lŒ, A l'lSAGE DES ÉTLnr\NTS DES FACULTÉS DES 

Sciences. T. I. Un vol. in-8; vi-5o8 p. Paris, Gaiitliier-Villars; 1900. 

Il est bien vraisemblable que Descartes a prévu l'influence que 
devait avoir sa mélhode des coordonnées sur le développement de 
l'Algèbre et de la Géométrie. Si puissant qu'ait été son génie, \\ 
aurait sans doute été étonné s'il avait su (pie cetle métbode don- 
nerait naissance un jour à une science nouvelle dont l'intérêt tien- 
drait en grande partie à la façon dont elle s'interprète dans l'espace, 
mais où la notion d'espace n'interviendrait |)lus que par une sorte 
de direction vague imposée à la suite des propositions, et la survi- 
vance de certains termes, analogues à ces organes des êtres vivants, 
(pii n'ont plus d'utilité, qui sont les témoins d'une de ces ori- 
gines lointaines que les naturalistes savent démêler, et les résidus 
d'une longue évolution. Je crois qiie M. Andojer rend un service 
signalé en donnant une exposition didactique de cetle science 
nouvelle, et en la séparant nettement de la Géométrie analjticpie 
propreinent dite, où la distinction entre le réel et l'imaginaire doit 
conserver toute sa force, où les équations se traduisent en figures 
v(''ritablcs. Sans doute, on ne peut enseigner aujourd'hui la Géo- 



COMPTIiS Ul'NDUS Kl" ANALYSES. 2-21 

Miélrie aiialvlique ssns parler des pro|)riélé.s invaiianles, mais il 
ne faut pas oublier que l'enseignement de la Géométrie analviiqiie, 
dans nos lycées, doit être une sorte d'enseignement de passage, 
qui conduise des éléiuetils aux parties plus élevées de la Science, 
en particulier aux applications géométricpies du Calcul dillérentiel 
et intégral, à la Mécanique rationnelle ou à l'Astronomie, en un 
mot aux oiqets essentiels de l'enseignement mathématique dans 
les hautes écoles techniques. Chemin faisant, il y a plus d une 
porte à ouvrir, plus d'une belle perspective à montrer, sans trop 
s'y engager. 

Le sujet développé par M. Andoyer appartient nettement à l'en- 
seignement su|)érieur; en raison même de son intérêt et des rela- 
tions étroites qu'il oflVe avec les matières traitées dans les classes 
de mathématiques spéciales, il devrait être développé dans 
quelques chaires magistrales. Mais il convient peut-être de com- 
bler les lacunes dans les livres avant de les combler dans l'ensei- 
gnement; le livre de M. Andoyer vient à son heure, et la publica- 
tion de ses leçons aulographiées, dont nous avons rendu compte 
ici-même (') l'avait fait désirer. 

La matière est très riche; elle sera traitée dans deux Volumes; 
le premier, que nous annonçons, contient deux Livres, la Géo- 
métrie binaire et la Géométrie ternaire. Ce mot de « Géométiie )> 
ne doit pas tromper, et, si on lit seulement les litres des chapi- 
tres, on verra bien qu'il s'agit essentiellement des propriétés des 
formes algébriques, ou plutôt de celles des propriétés de ces 
formes, qui, par leur caractère invariant, sont susceptil)les d'être 
interprétées dans l'espace à une ou à deux dimensions. Si l'auteur 
a conservé le mot « Géométrie » il a systématiquement banni les 
mots (' point, droite, courbe, etc. ». Au lieu de « point, ou de 
droite », il dit « élément », élément de première ou de seconde 
espèce; bien entendu l'élément de première espèce n'est pas néces- 
sairement le point, l'élément de seconde espèce n'est pas néces- 
sairement la droite; les qualificatifs « premier, second » indi- 
quent seulement le rôle que les « éléments » tiennent dans les 
équations; les éléments de seconde espèce, qu'il désigne par des 
lettres grecques, sont les coefficients d'une forme linéaire dont 



(') Voir Bulletin. \XII,. p. jd,. 



■m puii.MiÈUK PAirn i:. 

les variables sont les coordonnées d'un élément de première 
esjDèce, désignées j)ar des lettres romaines. De même M. Andojer 
ne parle pas de courbes, mais bien de séries d'éléments ; les pro- 
positions qu'il établit s'interpréteront donc indifléremment soit au 
})oint'de vue ponctuel, soit au point de vue tangenliel. 

I. Géométrie binaire. — Après quelques définitions relatives 
aux formes binaires et au groupe des substitutions linéaires, l'au- 
teur montre comment les invariants absolus d'un système véri- 
fient un système d'équations aux dérivées partielles, linéaires et 
homogènes, formant un système complet. La notion d'invariant 
absolu conduit ensuite naturellement à celle d'invariant au sens 
ordinaire du mot et, en se plaçant au point de vue analytique, 
l'existence d'un système fondamental d'invariants entiers, pour un 
système donné de formes, apparaît aisément. Quant au théorème 
de M. Gordan sur l'existence d'un système d'invariants entiers, 
dont tous les autres invariants soient des fonctions entières, il 
appartient à un tout autre ordre d'idées et M. xVndoyer se contente 
de l'énoncer. Ces notions fondamentales acquises, l'auteur traite 
des formations invariantes générales : d'abord des polaires, puis 
des invariants K etJ relatifs, les premiers à deux formes binairesy, 
•l portant, l'une sur des variables de première espèce .r,, x^-, 
l'autre sur des variables de seconde espèce ^,, ^o, les seconds à 
deux formes binaires /", g portant sur les mêmes variables Jc,, x^ 
et définis respectivement par les égalités svmboliques 

^J^ b J p^^ p^, (^ ^^^ ^^^ ^^^ ^^^ J 

OÙ P„ en général à la même signification que i . 2 . 3 .../«;/>,/>', " 
désignent les degrés. Les invariants J^{f, g), qui ne sont autres 
que les Uebersclùebungen de Clebscli et Gordan, permettent de 
former les systèmes complets d'invariants des formes binaires. 
FvL Andoyer s'occupe ensuite de l'invariant A relatif à q formes 
binaires semblables à une seule série de variables et contenant 
lui-même ces variables, dont l'évanouissement (identique) exprime 
que les q formes sont liées par une relation linéaire. 



eu MIT lis IU-:M)US ht ANAI,VSKS. ni 

Passant aux systèmes linéaires, c'est-à-dire aux systèmes com- 
posés uniquement de variables isolées et de formes linéaires, l'au- 
teur montre comment le rapport anliarmonique s'iniroduit comme 
invariant absolu pour un tel système; riniporlance de la notion 
du rapport anliarmonique apparaît immédiatement dans la forma- 
tion, en fonction des racines, des invariants dun système com- 
posé de variables et de formes à une seule série de variables. 

La formation du résultant de deux formes, la détermination des 
racines communes à ces deux formes sont présentées d'une façon 
très élégante. On remarquera en particulier la forme donnée aux 
conditious pour que q formes données et de même degré aient r ra- 
cines communes, obtenues par l'évanouissement identique d'un 
déterminant. 

L'auleur arrive maintenant à 1 élude spéciale des formes parti- 
culières les ])lus simples. C'est d'abord l'étude de la forme bili- 
néaire, bien justifiée par ce fait que ses propriétés sont celles de 
riiomograpliie, puis celle des systèmes quadratiques constitués 
au moyen de formes quadr;itiques et de variables, qui peuvent 
d'ailleurs tenir la place des formes linéaires données, enfin celle 
des formes cubique, biquadralique, quinliqtie, précédée des 
notions relatives à la forme canonique et à \ équation canoni- 
sante. Pour les formes cubique et biquadratique, l'auteur donne, 
outre les systèmes complets d'invariants, l'expression des racines 
sous forme invariante. Pour la forme quintique, il se borne à la 
(ormation des invariants, obtenus d'une façon 1res simple. 

La forme doublement quadratique est envisagée successivement 
dans le cas général, dans le cas où les deux séries de variables 
sont coïncidentes, dans le cas où elle est svmélricpie par rapport 
à ces deux séries de variables. 

Dans ce qui précède, l'auleur s'est attaché presque exclusi- 
vement, dans l'élude des formations invariantes des systèmes 
binaire, à la considération des formes à une seule série de 
variables, et c'est à ces formes qu'il a relié l'étude des quelques 
formes à deux séries de variables qu'il a voulu envisager; il con- 
sacre maintenant un chapitre à l'étude directe des formes à deux 
séries de variables. Considérant d'aboid deux telles formes 



2?.4 l'HHMlÉHl!; PAUTII-:. 

à deux séries de variables (^,, x-y), (j'i, J'2), '1 monlie commcnl 
l'élimination dey,, y., entre les équations /= o, ^- = o et l'éq na- 
tion obtenue en égalant à o une forme bilinéaire quelconque, 
conduit à une équation de degvé pq' -{- p' (/ par rapport nu\ coeffi- 
cicnts'de celte forme, équation dont le premier nombre se décom- 
pose en pq' -{- p' q facteurs linéaires par rapport à ces coefficients, 
et (pii fournit ainsi les couples communs à f el à g', en donnant 
simultanément les valeurs d'un même couple : cette même équa- 
tion fournit les fonctions s\mctriques fondamentales de ces 
coiq^ies. L'étude de ces pq' -h p' q couples, quand on regarde/ 
comme donnée et les coefficients de g comme variables, s'impose 
naturellement, coijime aussi celle du résultant R de trois formes 
f, g"^ /i, résultant dont l'évanouissement ex{)rime que ces trois 
formes ont un couple commun. 

Nous arrivons enfin à la Géomél/'ie métrique binaire qui 
forme le dernier chapitre du premier livre. L'introduction d'une 
forme quadratique (absolu de Fespace binaire) permet de définir 
la distance de deux éléments, puis le groupe des mouvements : 
à ce groupe correspondent des invariants absolus d'un système 
binaire quelconque, les invariants absolus métriques de ce 
svstème. 

IL Géométrie ternaire. — Les généralités relatives aux formes 
ternaires (définitions, substitutions linéaires, formations inva- 
riantes générales, systèmes linéaires...) peuvent être exposées très 
rapidement, grâce au soin que l'auteur a mis dans l'exposilion 
des notions correspondantes relatives aux formes binaires. Le 
chapitre relatif aux éléments communs à deux séries se trouve 
de même préparé par le chapitre du premier Livre relatif à la 
reclierche des couples communs à deux {"ormes (binaires) à deux 
séries de variables. Les éléments communs aux deux séries défi- 
nies par deux formes ternaires axv-, bxVi à une seide série de 
variables, s'obtiennent naturellement au moyen de la forme en ^,, 
;o, Çj décomposable en p>p' facteurs linéaires, qui résulte de l'éli- 
minalion de x,, x^, X3 entre les écpiations 

On étudie ensuite la fr.roii dont cc^ pp»' éléinenls communs dépen- 



CO.MPTIiS UIÎXDUS l'T AXALVSIÎS. 27.5 

dent de Vunc des lornies quand rantre est donnée, puis le résul- 
tant de trois formes, le discriminant d'une forme. Avec les élé- 
monls lan^(Mits à une série, les éléments inflcxionnels, stalion- 
naires, mulli])les d'une série, nous entrons au contraire dans un 
domaine vraiment nouveau qui n'a pas son analogue dans la Géo- 
métrie binaire. Les formules de UMiicker forment en (piel(|ue sorte 
la conclusion de cet intéressant Chapitre. Le suivant est intitulé : 
Générations diverses des séries ternaires. Il correspond, dans 
l'ordre d'idées où s'est placé l'auteur, aux leçons classiques de 
Géométrie analytique sur la recherclie des lieux géométriques et 
la théorie des enveloppes. On remarquera, au début, les vues 
générales exposées sur la théorie de l'élimination et la façon dont 
sont obtenus les degrés des séries et le nombre de leurs éléments 
multiples. Comme application, l'auteur étudie rapidement la hes- 
sienne, la steinérienne, la cajlejenne d'une courbe, ou, pour 
parler comme lui, d'une série donnée. 

Nous entrons maintenant dans l'étude des formes spéciales, 
d'abord de la forme bilinéaire, ou de l'homographie^ puis des 
formes quadratique, cubique, quartique. 

Les formes quadratiques forment l'objet de plusieurs chapitres. 
Voici d'abord les invariants du svstème constitué par une forme 
quadratique ternaire et les variables x, q, quelques identités fon- 
damentales, la formule générale de décomposition en carrés, la 
génération d'une série quadratique par une forme bilinéaire à 
deux séries de variables binaires (ou d'une conique par deux 
faisceaux homographi(jues), la série quadratique comme série 
rationnelle, et, en particulier, les conséquences qui se tirent de 
l'étude d'une relation symétrique entre les paramètres qui définis- 
sent deux éléments d'une telle série, deux points d'une conique, 
si l'on veut; puis, le svstème de deux formes quadratiques et 
les invariants de ce système, les diverses formes canoniques 
auxquelles on parvient suivant la nature des racines de l'équation 
du troisième degré qui est liée au système de deux formes quadra- 
tiques, l'étude spéciale des invariants les plus intéressants du sys- 
tème formé par les deux formes quadratiques et les variables x 
ou i, la formation du système complet de ces invariants, les inva- 
riants de fermeture (polygones de Poncelet), etc. 

Dans un chapitre précédent, ia forme bilinéaire a été étudiée 



■iiG PUEMIEKE l'AUTIE. 

au point de vue de l'homographie, et par eonscquent en regardant 
les deux séries de variables comme d'espèce différente; en suppo- 
sant que les deux séries de variables soient de même espèce, la 
forme bilinéaire, égalée à zéro, fait correspondre un élément de 
secon.de espèce à un élément de première espèce; elle définit une 
réciprocité. C'est à ce point de vue que M. Andoyer en reprend 
l'étude. 

La considération de deux formes bilinéaires donne lieu à une 
suite de recherches analogues à celles qui ont été faites pour un 
s^'stème de deux formes quadratiques; elle mène directement à 
l'étude de la correspondance quadratique l)irationnelle entre deux 
espaces distincts ou coïncidants. 

Un chapitre est consacré à l'élude géométrique du réseau de 
séries quadratiques, et en particulier au rôle du jacoblen. 

Pour ce qui est de la série cubique, l'auteur, après avoir montré 
comment, dans le cas où il n'y a pas d'élément cuspidal, la consi- 
dération des éléments inflexionnels conduit à la forme canonique, 
détermine les invariants fondamentaux du système formé par la 
forme cubique ternaire, les variables x et Ç, montre comment la 
connaissance des invariants fondamentaux d'une forme cubique 
permet d'effectuer simplement la réduction de cette forme à la 
forme canonique, établit les propriétés du faisceau constitué par 
une forme cubique et sa hessienne, et les propriétés générales les 
plus importantes des séries cubiques, déduites du fait qu'une série 
cubique est la jacobienne de trois réseaux de séries quadratiques; 
il traite de la proposition relative au neuvième élément commun à 
deux séries cubiques qui ont huit éléments communs, de la géné- 
ration d'une série cubique au moyen de deux faisceaux de séries 
linéaires et d'une forme doublement quadratique à deux séries de 
variables binaires. Les propriétés des séries cubiques rationnelles 
sont étudiées à part. 

L'étude générale d'une forme linéaire à la fois par rapport aux 
variables (x), (y), {^), comprend, en particulier, celle d'un 
réseau d'homographies ou de réciprocités entre des espaces coïn- 
cidants ou non, celle d'un réseau de séries quadratiques et celle 
d'une série cubique. Un chapitre est employé à établir quelques 
points essentiels de cette étude, qui pourrait donner lieu à de 
longs développements. 



COMl'TKS RENDUS I-T ANALYSES. ai; 

Une ?érie qiiarlique [leut sobloniren considérant un réseau 

de formes quadratiques A . y*2- fz- relatives aux variables (~r), en 
regardant les variables !■( ,'>-2, l'j comme appartenant à une série 
quadratique ^^o et en cherchant l'enveloppe de la série quadra- 
tique F. Chaque couple d éléments bitangents à une série quar- 
tiqtiey détermine une façon de représenter y* comme une enve- 
loppe de séries quadratiques et chacune de ces façons détermine 
six couples d'éléments bitangents. Les aS éléments bitangents à 
une quartique générale conduisent ainsi à 63 s\stèmes de séries 
quadratiques quadruplement tangentes à f. M. Andover donne 
explicitement le tableau correspondant des 63 systèmes de six 
couples d'éléments bitangents; ce tableau met en évidence un 
grand nombre de propriétés, en particulier des propriétés d'ali- 
gnement. 

Les séries quarliques sont ensuite réparties en classes suivant 
leurs singularités ou particularités. ^L Andover explique en détail 
comment, dans chaque cas, le tableau général doit être interprété, 
ce que deviennent les séries quadruplement tangentes, les svstèmes 
qui disparaissent ou qui se confondent et l'ordre de multiplicité 
de chacun deux. Cette étude longue et minutieuse, qui comporte 
une vingtaine de pages, est nécessaire pour donner une idée nette 
des séries quartiques. On peut d ailleurs en tirer nombre de 
résultats intéressants. D'autres propositions importantes résultent 
de divers modes de génération des séries quarliques, par 
exemple par lintersection de deux faisceaux de séries quadra- 
tiques qui se correspondent homographiquement. Enfin les quar- 
tiques rationnelles sont étudiés directement, comme telles. 

Les deux derniers chapitres se rapportent à la géométrie ter- 
naire, tout d'abord à la géométrie métrique ternaire générale, 
dans laquelle on suppose que le déterminant de la forme quadra- 
tique 

Fj:^= Fi,j-ï— . . .— aFï3.r,.r3. 

que l'on considère comme l'absolu de l'espace ternaire, n est pas 
nul. A cette forme correspond, pour les éléments de seconde 
espèce, une forme $«j = $,,;-—-.... qui n'est autre que l'adjointe 



128 IMULMIKIII': paiitiiî;. 

de F. M. Andover développe d'aliord les notions et les formules 
relatives à la distance de deux élémcnls de même espèce, à l'orien- 
lalion de l'espace ou d'un éléuient, fixée par le signe de y/D 
(où D est le déterminant de F), ce \/ — Fj^, ou de \J — <I>^;; il 
introduit ensuite les propositions concernant les mouvements et 
les invariants métriques; il définit les cercles comme des séries 
quadratiques doublement tangentes à l'ahsolu 

( a 1 .Tj -1- a.i Ti -+- ^3 .Ts )- -f- a'r F = o ; 

chaque cercle se décompose en deux séries orientées, ou plulùt 
composées d'élémenls orientés d'après le signe de y/ — F; la série 
tangenlielle coi'respondante fournit de même une série circulaire 
de seconde espèce, ou cycle, qui peut, lui aussi, être orienté. 
M. Andojer développe une suite de formules qui permettent de 
traiter un très grand nombre de problèmes, par exemple ceux qui 
concernent les cercles tangents; il traite ensuite des substitutions 
qui transforment un réseau de cercles avant un élément donné en 
un réseau de cercles ayant aussi un clément donné, puis des coor- 
données a,, «25 <^3i ^i d'un cercle, défini comme le cercle ortho- 
gonal à tous les cercles pour lesquels les coefficients ai, ao, «3, a* 
qui figurent dans l'équation générale ci-dessus vérifient la relation 
rt, a, -r ^2^2 -f- «a^f-s + «4 a., = o. Une courbe (ou série ternaire) 
peut alors être définie par une relation homogène entre les coor- 
données rtj, ao, «3, a.,, jointe à la relation qui exprime que le 
cercle de coordonnées «i, ao» <^f3-) tt\ ^ '^'ïi rayon nul. L auteur 
précise la signification d'une telle série ternaire orientée. Les 
séries orientées du second degré sont l'objet d'une intéressante 
étude. 

Enfin, dans le dernier chapitre, l'auteur expose les modifications 
que comportent les théories précédentes dans le cas où le déter- 
minant de l'absolu est nul. 

J. T. 



MELANGES. 229 



MELANGES. 



SUR UNE ÉQUATION LINÉAIRE AUX DÉRIVÉES PARTIELLES; 

Note dk M. Émilk COTTOX. 

I. Je donne, dans cette Noie, quelques résultats relatifs à 
l'équation 

a, |j, Y désignant des constantes. 

En adoptant la classification que j'ai proposée {Comptes rendus, 
3o novembre 1896; Annales de V Ecole normale^ 1900, p. 211) 
pour les équations linéaires aux dérivées partielles du second 
ordre, on voit que l'équation (1) est un type canonique (') des 

H 
équations à ds- euclidien, et à invariant -^ constant. 11 suffit, 

pour s'en assurer, de remarquer que les invariants Ii et A' de 
M. Darboux, relatifs à cette équation, sont égaux respectivement 
aux constantes a + y et [^H-y. Il est naturel de rapprocher les 
équations (i) des équations d'Euler et de Poisson, dont le ds- est 
à courbure constante (mais différente de zéro) et dont Tinva- 

H 
riant -— est aussi constant. 
v/a 

II. Soit (E) l'équation proposée, et 

...(E_2), (E_,), (E), (E,), (E,), ... 

celles qui en dérivent par l'application répétée de la méthode de 
Laplace. 

Toutes ces équations ont la forme (i), et si Ton désigne par a„, 
[j/>, Y/j les constantes iigurant dans (E^), on a y.^=za, [i^=rj, 
y/)= T-+-/>(2'-— i^), en supposant que l'on passe de (E^,) à (E^^,) 



(') On peut prendre un type canonique plus simple, mais moins sjmélrique 
avec une seule conslanle, comme Ta fait M. Lie. 

Bull, des Sciences mathém., >' série, t. WIV. (Octobre 1900.) i5 



23o PREMIERE PARTIE. 

par la siibslitution Zp^f = —■ + y.xZp. Les invariants //^, kp de 

(Ejo) sont donc égaux respectivement aux invariants h et k de (E) 
augmentés de/) (a — [3). On en déduit le résultat suivant : Pour 
que (E) soit intégrable par la méthode de Laplace, il faut que les 

nombres „— ^ — -, ^ ^- (dont la différence est éffale à i) soient 

P — a[3 — a^ ^ ' 

entiers. Soit p celui de ces entiers dont la valeur absolue est la 
plus petite, la suite de Laplace s'arrête à l'équation (E^); il est 
évident qu'elle ne peut être limitée que dans un seul sens. 

Dans le cas particulier où a ^ [3 l'équation (E) est identique à 
celles qui en dérivent par l'application de la méthode de Laplace, 
comme M. Darboux l'avait déjà remarqué. 

IIL En comparant les deux équations déduites de l'équation (i) : 
1" en effectuant la substitution z = e/'-^T+y-^o+^^', les lettres p, ^, 
/', s désignant des constantes; 2° en changeant x, y en x' -\- Xq, 
y' -hyo respectivement, on arrive au résultat suivant : 

Si o(x, y) est une solution quelconque de (1), on peut en 
déduire la solution plus générale 

g-aar„(j-j-„)-p.ro(a^-^o'cp(;r — Xq, y — yo), 

contenant deux constantes arbitraires Xo-,yo- 

Ce résultat est très important pour la suite; on le complète en 
observant que cp ( px, — ) ' p désignant une nouvelle constante, est 

encore une solution ('). 

IV. jNL Lie (/oc. cit.) a donné l'expression d'une solution de(i) 
dépendant de deux fonctions arbitraires. On obtient un résultat 
analogue, mais beaucoup plus précis, en intégrant l'équation (i) 
par la méthode de Riemann (-). 

l*our effectuer cette intégration, on cherche d'abord les solu- 



(') Ces divers points peuvent être déduits des résultats énoncés dans une Note 
aux Comptes rendus (5 avril 1897), ^'- ^^ ceux donnés antérieurement par 
1\I. Lie {Archiv fiir Mathematik; t. YI, 1882); on peut aussi les établir à l'aide 
des propriétés des invariants de M. Darboux. 

{"-) Voir le Chap. IV du Livre IV (t. H) des Leçons sur la Tliéorie des sur- 
faces de !\I. Darboux. 



MÉLANGES, .i3i 

lions de (i) de la forme «p(i), en posant t. = xy. Un calcul facile 
donne, pour déterminer cp, l'équation différentielle linéaire et 
homogène du second ordre : 

(2) /cp"-4- [(a -f- P)<-t- i] ca'-h (a^f — Y)o = o, 

qui est inlégrable par la méthode de Laplace, et qui admet une 
intégrale holomorphe dans tout le plan de la variable t. Soit o[l) 
cette intégrale, nous pouvons toujours supposer que c3(o) = i . 
Considérons alors la solution plus générale [voir n" IH) 

u{x, y; xo,yo)= e-a.î^o(r-ro'-8ro(^-^o'(p(6), 

où 9 =(x — •Co)(jK — J'o) ; il est évident que la fonction des quatre 
variables x^ jk> -^o? JKo ainsi obtenue possède les propriétés sui.- 
vantes : 
l '^ 

u{XQ,y; Xq, yo) = e ^ y« ;. 

— Ç (B.v„rfj- 

La fonction u(x, y, Xq, jKo) est donc bien celle qui intervient 
dans l'application de la méthode de Rieniann et qui permet 
d'obtenir l'expression de l'intégrale de (1) prenant, ainsi que l'une 
de ses dérivées premières, des valeurs données sur une ligne 
tracée dans le plan xOy. 

Tl est aisé de vérifier d'ailleurs que, quelle que soit la solution -j 
choisie pour l'équation (2), l'expression u[x,y] Xo^ya), formée 
comme précédemment, vérifie l'équation (i) ou son adjointe, sui- 
vant que l'on considère u comme fonction de x et i' ou de .ro et^o- 

L'équation (2) est réductible aux équations de Bessel dans le 
cas de a = [i, c'est-à-dire lorsque (i) a ses invariants égaux. L'ap- 
plication de la méthode de Riemann à ce cas particulier a déjà été 
faite par M. Boussin€sq (C«/c«/t/?^e^/T//, Partie complémentaire,, 
p. 418). 



23-2 PREMIÈRE PARTIE. 

En résumé, on voit bien que Tétude de l'équation (i) peut être 
faite, dans diverses directions, d une façon aussi complète que 
celle des équations d'Euler et de Poisson ('). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaflen. N" 103, iii-<S", 
Leipzig, Engelmann. Cart. i M. 60 Pf. 

Contenu : J.-L. Lagrange, Zuzatze zu Euler's Elciiicnten der Algebra Unbe- 
slimmle Analysis. Herausgeg. von H. ^^■cber. 171 p. 

LippMAXN (G.). — Unités électriques absolues. Leçons professées à la 
Sorbonne, rédigées par M. A. Bergel. In-S", ii--2/|4 p. avec fig. Paris, 
Carré et Naud. 

BucnHOLz (A.). — Ein Beitrog zur }[annigfaltigskeitslehre. Mannig- 
faltigkeiten, dereii Linicneleniente auf die Forni 



ds=f\l^\l=^ZdXl 

gebracht werden kônnen. Gr. in-8°, vi- 264 P- avec fig. Bonn, Cohen. 
7 M. 

Encycloi'.ediI': der inatheniatischen Wissenschaflen mit Einschluss 
ihrer Anwendungen . Herausgeg. v. H. Burkhardt u . AV. F. Meyer. 
\. Thl.: Reine Mathematik. 1. Bd.: Arithmetik u. Algebra. Red. von W.-F. 
Meyer. 2. Heft. gr. in-8". Leipzig, Teubner. 3 M. 40 Pf. 

Hagex (J.-G.). — Atlas stellaruni variabilium. (In o Serien). Séries I. 
gr. in-4", 44 P- avec 44 légendes et v p. texte. Berlin, Dames. In Leinw.- 
Alappe, Subscr.-Pr. 44 M., Einzelpreis. Si M. 80 Pf. 

Handwùrterblch der Astronomie, herausgegeben Aon W. Valentiner. 
17" édition, gr. in-8° avec fig. Breslau, Trewendt. 3 M. 60 Pf. 

Jaurksrericht der deutschen Mathematiker- Vereinigung. Herausgeg. 
von G. Hauch u. A. Gutzmer. 6^ volume, 2* cahier, gr. in-S", vi-iio p. 
Leipzig, Teubner. 4 M. 



(') Dauboux, Leçons, t. II, Livre IV, Chap. III. 



BULLETIN niULIOGKAlMilQUK. -233 

Contenu : S. Finsterwaldcr, Diegeometrisclic Grnundiugen der Ph()tof;ramnic- 
Irie, avec 19 fig. — S. Finsterwaldcr, Meciianische Bczieliungcii bci der Fliiclien- 
Deformation, avec 33 iig. — G. Bohlmann, Uebersichl iiber die wichtigsteii Lerh- 
biicher der Infinitcsimal-Rcchniing von Euler bis auf die heutige Zeil. 

Laussedat (A.). — Recherches sur les instruments^ les méthodes et le 
dessin topographiques. T. I : Aperçu historique sur les instruments et 
les méthodes ; la topographie dans tous les temps. In-8°, xi-45o p. avec fig. 
Paris, Gauthier- Villars. i5 fr. 

Martin' (W.-R.) — Treatise on Navigation and Nautical Astro- 
nomy. 3" édition, In-H", 446 p. London, Longmans. 18 sii. 

Sammllng der Aufgaben des Aufgaben-Repertoriums der ersten 
25 Bande der Zeitschrift f. mathemat. u. naturwiss. Unterricht, her- 
ausgeg. von J. C. V. HolTmann. gr. in-S", xii-3gg p. Leipzig, Teubner. 
Geb. 6 M. 

ScnAPER (H. V.). — Ueber die Théorie der Hadamard'schen Funk- 
tionen u. ihre Anwendung auf das Probleni der Primzahlen. Dissert, 
gr. in-8°, lx-68 p. (Gôttingen, Vandenhoeck et Ruprecht.) i M. 

Taylor ( F. -G.). — Introduction ta the Dijferential and Intégral 
Calculus and Differential Equations. In-8°, 692 p. London, Long- 
mans. 9 sh. 

P01NCARÉ (H ). — La Théorie de Maxwell et les oscillations hert- 
ziennes. In-8", 80 p. Chartres, inip. Durand. 

BiANCHi (L.). — Lezioni sulla Teoria délie funzioni di Variabile 
Complessa e délie funzioni ellitiche. In-8", 800 p. lith. Pise, Spoerri. 
I G M. 

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Thl.), gr. in-8", xvii-373 p. avec nombreuses figures. Leipzig., Veit et G'*. 
10 M.; relié 11 M. 

FoERSTER (W.). — Kalender und Uhren am Ende des JaJirhunderts. 
In-8°, 79 p. Braunschweig, Westermann. 1 M. 5o Pf. 

FouRREY (E.). — Récréations arithmétiques. In-8°, avec 106 fig. Paris, 
Nony et G''. 3 fr. 5oc. 

Franz (C). — Untersuchungen ûber die lineare homogène Diffe- 
reentialgleichung 2 Ordnung der Fuchs schen Klasse mit 3 im End- 
lichen gelegenen singuldren Stellen. (Dissert.) Gr. in-4'', 39 p. Berlin, 
Mayer et Muller. 2 M. 

Jahrrlch {Berliner astronomisches), fur 1901, mit Angaben fur die 



i34 PREiMIÉUE PARTIE. 

Oppositionen der Planeten i-436y". 1899. Herausgeg. von dem kOnigl. 
astronora. Rechen-Institut unter Leitung von J. Bauschinger. Gr. in-8", 
x-5oo et 25 p. Berlin, Diimmler. 12 M. 

Jahrbuch ûber die Fortschritte der Mathematik, begriinclet von G. 
Ohrtniann, herausgeg. von E. Lampe. 27 Bd. Jahrg. 1896. 3 (Schluss-) 
Heft. Gr. in-8". Berlin, G. Reimer. 12 M. 

LoxcHAMPS (G. de). — Cours de problèmes de Géométrie analytique 
t. III : Géométrie à trois dimensions. In-8°, xn-583 p. avec fig. Paris, Delà- 
grave. 

MiTTREit.yiy.GE's der mathematischen Gesellschaft zu Ha?nburg. 3. Bd. 
9. Heft. Redig. von Repsold, Schroder u. Busche. Gr. in-B". Leipzig, 
Teubner. i M. 

Tisserand (F.). — Leçons sur la détermination des orbites, professées 
à la Faculté des Sciences de Paris. In-4'', xiv-124 p. avec fig. Paris, Gau- 
thier-Villars. 8 fr. 5o c, 

Meyer (O.-E.). — Die kinetische Théorie der Gase, in elementarer 
Darstellung mit mathemat . Zusdtzen. 2* édition, 2® partie. In-8°. Breslau, 
Marusclike et Berendt. 7 M. 

DuRRiE (H.). — Das quadratisclie Reciprocitàtsgesetz im quadra- 
tischen Zahlkôrper mit der Classenzahl 1. Dissert., gr. in-B", ~5 p. 
Gottingen, Vandenhoeck et Ruprecht. i M. 20 Pf. 

Weber (H.). — Lehrbuch der Algebra. 2® édition, 2^ volume, gr. in-8", 
xvi-855 p. Braunschweig, Vieweg und Sohn. 12 INI.; relié i3 M. 60 Pf. 

Bouché-Leclercq (A.). — L'Astrologie grecque. In-S", xx-683 p. avec 
fig. Paris, Leroux. 

Caxtor (G.). — Sur les fondements de la théorie des ensembles trans- 
finis. Trad. de F. Marotte. In-8", 98 p. Paris, Hermann. 

Fischer (E.). — Ueber Potenzen mit imaginàren Exponenten. Bei- 
trdge z. mathemat. Unterrichte an hôhern Lehranstalten. In-4°, 25 p. 
Berlin, Gaerlner. i M. 

Genocchi (A.). — Differentialrechnung und Grundzûge der Inte- 
gralrechnung. Deutsch von G. Bohlmann u. A. Schepp. 2^ et dernier 
fascicule, gr. in-8°. Leipzig, Teubner. 5 M. (complet, relié, 12 M.). 

G0LDSCHEIDER (F.). — Ueber die Gauss'sche Osterformel. 1" partie, 
in-4°, 3o p. Berlin, Gaertner. i M. 

GoRLAXD A.). — Aristoteles und die Mathematik. Gr. in-8". viii-211 p. 
Marburg, Elwert. 4 M- 5o Pf. 



BULLETIN blBLlUGUAPllUjUlî. -ziJ 

Hamilton (Sir W.). — Eléments of Quaternions. 9." édition par C.-J. 
Joly. \o\. \, in-4". London, Longmans. ?a sli. 

Heigexmlller (R.)- — Elemente der Jiôheren Mathematik, zugleich 
ah Sammlung von Beispielen u. Aufgaben aies der analyt. Géométrie, 
Algeb. Analysis, Differential- u. Integralrechnung. i voL gr. iii-8", 
Mittweida, Polytechnische Buchhandig. 12 M.; relié, i3 M. jo Pf. 

ScHEiBNER (W.)- — Ueber die Differentialgleicliungen der Mondbe- 
wegung. in-8° 20 p. Leipzig, Teubner. 1 M. 5o Pf. 

Weissstein (J.)- — Die rationelle Mechanik. 2' volume : Dynaniik der 
Système; Statik u. Dynamik fiïissiger Kôrper. Gr. in-S", viii-255 p. avec 
3i fig. Wien, Braumiiller. 7 M. 

Barbauin (P.). — Notions complémentaires sur les courbes usuelles. 
Iii-S", 47 P- a<ec fig. Paris, Nony et G'^ 

Gamor (M.). — Vorlesungen ilber Geschichte der Mathematik. 2. Bd. 
J Haibbd. Von i20o-i55o. 2. Aufl. Gr. in-S", 480 p. avec gS fig. Leipzig, 
Teubner. i \ lAI. 

KoRX (A.). — Lehrbuch der Potentialtheorie. Allgemeine Théorie 
der Potentiale u. der Potentialfunctioncn im Baume. Gr. in-8° 
\1v-417 p. avec -4 fig. Berlin, Dummler. g M.; relié 10 M. 

Kronecker's (L.) Werke, herausgegeben auf Veranlassung der kgl. 
preuss. Akademie der Wissenschaften von K. Hensel. 3. Bd. i. Haibbd. 
Gr. in-4'', vii-473 p. Leipzig, Teubner. 36 M. 

Olbers ( w.). — Sein Leben und seine Werke. Im Auftrage der Nach- 
kommen herausgegeben von G. Schilling. Erganzungsband. In-S", iii-i6op. 
avec fig. et 1 planche. Berlin, Springer. 4 M. 

PiETZKER (F.). — Beitrâge zur Functionen-Lehre. Gr. in-8", v-64 p. 
avec 3 fig. Leipzig, Teubner. 2 "SX. 80 Pf. 

Veth (Rud.). — Ueber eine Verallgemeinerung der Gauss'schen Dif- 
ferential gleichung. In-4°. Basel, Schwabe. i ^L 60 Pf. 

Bernoilli (J.). — Wahrscheinlichkeitsrechnung {Ars conjectandi). 
( 1713.) 1. u. 2. Thl. Ubersetzt. u. herausgeg. von R. Haussner. In-8°, 162 p. 
avec I fig. Leipzig, Engelmann. Gart. 2 M. 5o Pf. 

— Dasselbe. 3. u. i. Thl. Brief an einen Freund ilber das Ballspiel (Jeu 
de paume). Uebers. u. herausgeg. von R. Haussner. In-8°, 172 p. avec 3 fig- 
Gart. 2 j\l. 70 Pf. 

Otswald's Ivlassiker d. exaktea Wissenschaften. N°' 107 et 108. 

DUPORCQ (E.j. — Premiers principes de Géométrie moderne. In-8", 
vii-160 p. Paris, Gauthier- V'iliars. 3 fr. 



■?:m\ p uk m I i: i\ e pahtik. 

Elclidis Opéra oinnia. Edd. J.-E. Heiberg et H. Menge. Suppl. : .\na- 
ritii in deceni libros priores eleinentorum Euclidis comtnentaru. Ex 
interpretatione Gherardi Cremonensis in codice Cracoviensi 569 ser- 
vata. Ed. M.Gurtze. In-8", xxix-SSg p. avec fig. Leipzig, Teubner. (i M. 

Feur (H.)- — Application de la méthode vectorielle de Grassmann 
à la Géométrie infinitésimale (tlièse). In-8°, 100 |). avec fig. Paris, Carré 
et Naud. 

Gkkberti, postea Silvestri II papae Opéra matJiematica (972-1003). 
Accédant aliorum opéra ad Gerberti libelli œslimandos intelligen- 
dosque necessaria per septem appendices distributa. C ollegit ad fidein 
codicum manuscriptorum partim iterum partim primuni éd., appa- 
ratii. critico instruxit, commentario auxit, figuris illuslravit N . Bub- 
nov. Gr. in-S" cxix-620 p. Berlin, Friedlânder und Solin. 24 M. 

Lebon (E.). — Histoire abrégée de l'Astronomie. Petit in-8°, avec 
iG portraits. Paris, Gautliier-Villars. 8 fr. 

D'OcAGNE (M.). — Traité de Nomo graphie. Théorie des abaques. Ap- 
plications pratiques. In-8'', xiv-480 p. avec 177 fig. et i planche. Paris, 
Gaulliier-Villars. 14 fr.; relie 17 fr. 

Pascal (E.). — Die Variationsrecltnung. Deutscli von A. Schepp_ 
Gr. in-8'', vi-146 p. Leipzig, Teubner. Relié 3 M. 60 Pf. 

D'Alembert. — Abhandlung iiber Dynamik, in welcher die Gesetze 
des Gleichgewichts u. der Bewegung der Kôrper auf die kleinmôg- 
lichste Zahl zurûckgefïihrt u. in neuer Weise abgeleitet werdeh, etc. 
(1743), avec 4 planches. In-8°, ^lo p. Leipzig, Engelmann. Cart. 3 Al. 60 Pf. 

Ostwald's Klassiker d. exakten ^^ issenschaflen. N° 106. 

Ja.mix ( J.). — Cours de Physique de r Ecole Polytechnique, -i," supplé- 
ment par E. Bouty : Progrès de l'électricité {Oscillations hertziennes ; 
Rayons cathodiques et Rayons A). In-8°, 207 p. avec fig. Paris, Gauthier- 
Villars. 3 fr. 5o c. 

BiANCHi (L.). — Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzione e délie 
equazioni algebriche seconda Galois. ln-8". Pisa, Spoerri. 10 I. 

CuRTZE (M.). — Nicolaus Coppernicus. Eine biographische Skizze. 
Avec portrait. In-8°, 84 p. Berlin, Herm. Paetel. 2 m. 

Sammlung popuiiirer Scliriften, herausgegeben von der Gesellschaft Urania zu 
Berlin. N° 54. 



COMPTIiS KKNDUS lîT ANALYSIÎS. 237 

COMPTAS KENDUS ET ANALYSES. 



SCHILLING (F.). — Ukukr du; Nomographie von M. D'Ocagne. Eine Einfuii- 
KUXG IN DIESES Gebiet. 1 vol. iii-S"; 47 P- Leipzig, Tciibncr; 1900. 

Ce petit livre est la reproduction d'une conférence faite par 
l'auteur à la Société mathématique de l'Université de Gœtlingue^ 
l'auteur y explique très bien les méthodes de la Nomographie cl 
en montre l'utilité; son exposition contribuera sans doute à popu- 
lariser ces méthodes; chacune est expliquée sur un exemple, de 
manière que le lecteur saisisse facilement ce qu'elle comporte de 
général et soit à même de traiter des exemples analogues. La 
plupart de ces exemples sont naturellement empruntés au livre 
de M. Maurice d'Ocagne; mais l'auteur a su les grouper et les 
présenter sous une forme heureuse et intéressante. Celui qui aura 
lu les courtes pages de M. Schilling sera orienté dans le sujet et 
n'aura aucune difficulté à chercher, s'il en a besoin, des rensei- 
gnements complémentaires dans le Traité de M. d'Ocagne. 



STUDNICKA (p.). — Prager Tychoniaxa zun bevorstehenden Sacllarfeier 

DER ErINNERUNG AN DAS VOR 3oo JaHREN ERFOLGTE AbLEBEN DES ReFOR- 

MATORS DER BEOBACHTENDEN ASTRONOMIE, TvcHo Brahe. 71 p. In-S"; Prague, 
Imprimerie de la Société royale des Sciences de Bohême, igoi. 

L'Auteur a consacré ces quelques pages à décrire pieusemenl 
les reliques de Tycho Brahe, malheureusement trop peu nom- 
breuses, qui subsistent à Prague. D'abord quelques manuscrits : 
un album dédié à son fils, où l'on trouve quelques fières sentences, 
et quelques dates intéressantes pour la vie de Tjcho; un manuel 
de Trigonométrie plane et sphérique; une Table de sinus sur par- 
chemin ; puis quelques livres de sa bibliothèque, en particulier 
les œuvres de Ptolémée, le De rcvolutionibus de Copernic anuoté 
de la main de Tycho ; un exemplaire àeV Astronomiainstaurata 

Bull, des Sciences rnathcni., ■?." série, t. XXIV. (Novembre 1900.) 16 



238 PREMIÈRE PARTIE. 

avec une dédicace nianuscrile, la Dialcclica de Ramiis; enfin le 
sexlanl dont se servait Tjcho Brahe et le tombeau de l'illustre 
astronome. La plaquette de M. Studnicka est ornée de plusieurs 
gravures et fac-similés. On j trouvera en particulier plusieurs 
porîrsits, dont un en couleurs. 



BOEIIM (K.). — ZUR I\Ti:C.RATION PARTlKLLi:a DlFFEUENSIALSYSTEME. 55 p. 

iii-S". Leipzig, Teubncr, 1900. 

Le Mémoire de M. Boehm, dédié à M. L. Konigsberger, est 
consacré à l'étude des séries entières, qui vérifient formellement 
un sjstème donné d'équations aux dérivées partielles. Sans doute, 
les résultats de cette étude n'acquièrent leur complète valeur que 
lorsque la convergence de ces séries est établie; elle ne mérite pas 
moins d'être poursuivie, tant pour son importance préliminaire 
que pour son intérêt propre; M. Boehm laisse systématiquement 
de côté tout ce qui concerne la convergence. 

L'auteur étudie d'abord le nombre de relations qui résultent 
du système donné d'équations pour la détermination des dérivées 
partielles d'ordre donné des fonctions inconnues; ce nombre est 
supérieur au nombre de dérivées quand le nombre d'équations est 
supérieur au nombre m de fonctions inconnues; il lui est inférieur 
dans le cas contraire, mais, dès que m est supérieur à un, ces rela- 
tions peuvent être incompatibles : les conditions pour qu'elles 
soient compatibles sont les conditions d' intégrabilité. 

S'occupant ensuite du cas (m= i) où il n'y a qu'une seule 
équation y = o avec une seule fonction inconnue, il distingue une 
des dérivées d'ordre le plus élevé qui figure dans le premier 
membre de cette équation, et précise sous quelles conditions et 
dans quel sens on peut dire que les équations obtenues en diffé- 
rentiant l'équation y = o par rapport aux variables indépendantes 
sont résolubles par rapport aux dérivées de la dérivée distinguée : 
de cette façon les éléments arbitraires qui figurent dans la série 
entière qui satisfait formellement à l'équation y= o sont net- 
tement spécifiés. 



CO-MPTKS RENDUS I-T ANALVSIiS. aj() 

Passant ensuite à un système de m équations à m fonctions 
inconnues, M. Bochm établit des conditions suffisantes sous les- 
quelles Jes équations obtenues par ladifférentiation des équations 
proposées sont de même résolubles par rapport aux dérivées d'un 
système de dérivées distinguées, sous lesquelles, par conséquent, 
on trouve encore des séries entières qui satisfont formellement au 
système proposé d'équations aux dérivées partielles. M"'" de 
Kowalevsky avait, dans son célèbre Mémoire inséré au Tome 80 
du Journal de C relie, donné de telles conditions suffisantes; 
mais celles auxquelles parvient M. Boelini sont plus simples, et la 
construction de ses séries, par exemple dans le cas d'une seule 
équation aux dérivées partielles avec une seule fonction inconnue, 
n'est pas soumise à certaines restrictions qu'impose M'°* de Kowa- 
levsky. 

On remarquera enfin comment, dans Tordre d'idées où s'est 
placé l'auteur, s'introduit la notion de point (initial) singulier par 
rapport à une dérivée partielle d'ordre maximum. 

J. T. 



SCHŒXFLIES (A.). — Die Extwickelung der Leure vox dex Plxktmax- 

MGFALTIGKEITEX. BeRICIIT, ERSTATTET DER DEUTSCHEX ^NIaTIIEMATISCHER- 

Vereixiguxg. — (2"^ cahier du 8"^ Volume du fahreshericht.) i vol. 
in-8°; si-1^1 p. Leipzig, Teubner, 1900. 

Nous avons eu l'occasion, à plusieurs reprises, de signaler 
l'intérêt et l'importance des Rapports publiés par la Deutsche 
Mathematiker-V ereinigung sur diverses branches des Mathé- 
matiques : celui-ci, qui est dû à M. Schœnflies et qui est relatif 
à la théorie des ensembles, ne sera pas moins bienvenu que ceux 
qui l'ont précédé. \ oici vingt ans que M. Cantor a fondé cette 
théorie et qu'il s'applique à la perfectionner; plusieurs mathéma- 
ticiens y ont apporté d'importantes contributions, d'autres l'ont 
rencontrée sur leur route et en ont fait d'heureuses applications; 
on ne peut plus contester ni sa portée philosophique, ni le rôle 
qu'elle doit tenir dans l'enseignement des principes de l'Analyse, 
ni les ressources qu'elle offre pour le développement général des 
Mathématiques; elle s'est montrée utile et, ainsi, le reproche 



24o PREMIER F. PARTIE. 

(lu'on a clé quelquefois lente de lui faire, d'èlre non seulement 
une construction paradoxale mais encore une construction arbi- 
traire, s'évanouit par l'épreuve du temps. Une exposition géné- 
rale, où les choses fussent mises dans un ordre logique, où l'on 
trouv^erait toutes les idées et toutes les références essentielles, où 
l'on montrerait les lacunes qui restent à combler, était éminem- 
ment désirable. Dans l'excellent Livre qu'il nous a donné sur celte 
théorie, M. Borel avait eu en vue les applications à l'étude des 
fonctions; il avait dû laisser de côté bien des points importants et 
n'avait pu développer ni l'histoire, ni la bibliographie du sujet. 

On s'attend naturellement à trouver l'une et l'autre dans le 
Pvapport de M. Schœnflies : l'histoire et la bibliographie d'un 
sujet sont l'essence même d'un Rapport : s'il est assez clairement 
l'édigé pour que le lecteur saisisse bien les définitions et les idées 
essentielles, qu'il ])uisse suivre le développement de celles-ci, s'il 
trouve en outre les renvois aux Mémoires et Livres qu'il devra 
lire s'il veut approfondir le sujet, il n'a rien à reprocher à 
l'auteur; mais M. Schœnflies a voulu davantage, il a voulu que 
le lecteur pût apprendre la théorie même dans son Livre et il 
en a démontré toutes les propositions fondamentales; il l'a fait 
d'une façon claire, concise et élégante. La plupart des Chapitres 
s'ouvrent par un exposé critique du sujet qui sera traité. Au 
lecteur, déjà orienté par cet intéressant exposé, M. Schœnflies 
a soin de montrer l'importance relative des propositions qu'il 
déduit; enfin les lacunes, là où elles subsistent, sont nettement 
indiquées. Son Livre ne peut manquer de rendre de très grands 
services. 

Il est divisé en trois sections : la théorie générale des ensembles 
infinis, la théorie des ensembles de points, les applications aux 
fonctions de variables réelles. 

L L'auteur développe d'abord la notion de puissance d'un 
ensemble infini, de son nombre cardinal si l'on veut. La question, 
non encore résolue, de savoir si les puissances ont le caractère 
des grandeurs, si les notions -<, = telles qu'elles ont été définies 
par M. Cantor, s'excluent, est nettement posée. M. Schœn- 
flies reproduit, après M. Borel, l'ingénieuse analyse par laquelle 
M. Bernslein a établi, comme M. Schroder l'a fait de son côté, 



COMPTlîS UliNDUS li T ANALVSKS. 24: 

que deux ensembles M, N sont équivalents lorsqu'une partie de M 
est équivalente à N et une partie de N équivalente à M. Un cha- 
j)itre est consacré aux. |)lus simples des ensembles non dénom- 
brables (continu à une dimension, nombres irrationnels, trans- 
cendants compris dans un intervalle donné; continu à plusieurs 
et à une infinité dénombrable de dimensions; ensemble des fonc- 
tions d'une variable réelle, des fonctions continues, des fonc- 
tions analytiques, etc.). L'auteur passe ensuite aux ensembles 
ordonnés, tels que de deux éléments appartenant a l'ensemble, 
l'un précède l'autre; il s'étend comme il convient sur l'impor- 
tante notion des ensembles bien ordonnés, pour lesquels tout 
ensemble partiel a un premier élément et sur la propriété essen- 
tielle de ces ensembles. En regardant comme semblables deux 
ensembles ordonnés dont on peut faire correspondre les éléments 
de manière que les éléments de l'un soient rangés dans le même 
ordre que les éléments correspondants de l'autre, en désignant 
par section d'un ensemble bien ordonné, relative à un élément 
de cet ensemble, l'ensemble (évidemment bien ordonné) des élé- 
ments qui précèdent cet élément, on peut affirmer que, étant 
donnés deux ensembles bien ordonnés, il y a l'un des deux qui 
est semblable à l'autre ou à une section de l'autre. A chaque 
ensemble bien ordonné correspond un nombre ordinal {Ord- 
nungszahl), et ces nombres ont le caractère des grandeurs. Aux 
ensembles finis bien ordonnés correspondent les numéros 1, 2, 
3,...; aux ensembles dénombrables bien ordonnés correspon- 
dent les nombres transfinis de M. Cantor : 



W , CO -(- I , W -f- 7 , ... 

w.'i, (jo.'jt -4-1. aj.'2-l->. 

w\ .... OJ- À H- WJ. -+- V, 



L'ensemble (transfini) des nombres finis constitue la première 
classe Z, de nombres, il est de la première puissance. L'ensemble 
des nombres qui correspondent aux ensembles bien ordonnés de 
la première puissance constitue la seconde classe de nombres; il 
est de la seconde puissance. L'ensemble des nombres qui corres- 
pondent aux ensembles bien ordonnés de la seconde puissance 
constitue la troisième classe de nombres, il est de la troisième 



iff.i PREMIÈRE PARTIE. 

puissance, etc. La question de savoir si tout ensemble déterminé 
peut être mis sous la forme d'un ensemble bien ordonné, si en 
particulier la puissance du continu fait partie de la sviite de puis- 
sances précédemment définie, reste à éclaircir. M. Schœnflies 
signale diverses applications intéressantes : par exemple le théo- 
rème de M. Vivanti sur le caractère dénombrable ou fini de len- 
semble des valeurs distinctes que prend une fonction analytique 
en un point de son domaine de convergence, celui de M. Volterra 
sur le nombre de points d'embranchement, etc. Il termine cette 
première section en développant les notions importantes que l'on 
doit à M. du Bois-Rejmond sur l'infinitude des fonctions, sur les 
rapports et les différences de ces notions avec la théorie de 
M. Cantor. 

II. Ce sont les ensembles de points que l'on a considérés tout 
d'abord; ils se sont présentés d'une façon nécessaire dans l'étude 
des fonctions et c'est à leur occasion que M. Cantor a commencé 
d'édifier sa théorie. Un tel ensemble conduit naturellement à la 
notion de point limite ou d'accumulation, puis à celle d'ensemble 
dérivé; l'emboîtement des dérivées successives d'un ensemble P 
amène l'introduction des nombres de seconde classe, des dérivées 
P**^^ dont l'indice est un nombre de seconde classe, de la dérivée 
p(0) formée par les points communs à toutes les dérivées dont 
l'indice est un nombre de première ou de seconde classe. La 
décomposition d'un ensemble infini P, de dérivée P', en deux 
ensembles P/, P„ dont le premier est isolé et le second formé des 
points limites de P' qui appartiennent à P, conduit aux notions 
d'ensemble /(^rmé (^abgeschlossen, parfait au sens de M. Jordan ), 
dense en soi, parfait (au sens de M. Cantor), suivant que l'on a 
Vg = P', P,= o ou que ces deux égalités ont lieu simultanément; 
puis, relativement au domaine de H où sont situés les points de P, 
aux notions d'ensemble dense partout, quand toute partie de H 
contient des points de P; d'ensemble dense nulle part en H, etc. 
La question de la puissance d'un ensemble de points n'est pas 
élucidée, puisque l'on ne connaît que des ensembles de points dé- 
nombrables, ou ayant la puissance du continu, et que l'on ignore 
s'il y a d'autres cas possibles. La considération des ensembles 
déri\és conduit toulclois à un résidtal im[)orlanl : si, en cflcl, la 



COMPTES HRNDUS KT ANALVSKS. 2.i i 

dérivée P' est dénombraljle, on parvient sûrement, par une suite 
finie ou dénonibrable d'opérations consistant à supprimer succes- 
sivement des ensembles isolés, à une première dérivée P^^^ qui est 
nulle, tandis que si P' n'est pas dénonibrable, on parvient par le 
même procédé à une première dérivée P^^^ qui est un ensemble 
parfait. Ce théorème donne la condition nécessaire et suffisante 
jiour qu'un ensemble /(^rme soit dénonibrable : un tel ensemble, 
s il n'est pas dénonibrable, 'a la puissance du continu; c'est le cas 
des ensembles parfaits. Outre ces propositions fondamentales, 
M. Scliœnflies développe les propositions relatives à la struclure 
d'un ensemble fermé, qui n'est dense nulle part relativement à un 
domaine H, propositions qu'ont mises en lumière les recherches 
de du Bois-Rejmond et de Harnack sur les ensembles linéaires, 
celles de M. Schœnflies lui-même, de MM. Vivanti et Baire sur 
les ensembles fermés dans le plan et dans l'espace. 

La notion relative au contenu d'un ensemble de points a donné 
lieu à d'importantes recherches dues à M. Cantor, à Hankel, du 
Bois-Reyniond, Harnack, à MM. \ehmann, Volterra, Peano, 
Jordan, Borel, etc., que développe ensuite M. Schœnflies. 

De nombreux exemples d'ensembles de points viennent, à la fin 
de cette section, illustrer les théories précédentes. 

m. Nous entrons maintenant dans les applications. 

Tout d'abord la théorie des ensembles a singulièrement con- 
tribué à élucider la notion de continuité, et en particulier ce qui 
touche à l'uniformité de la continuité. La représentation d'un 
ensemble sur un ensemble forme, comme l'a montré M. Jordan 
dans les premières pages de son Traité d' Analyse, un point de 
départ très naturel pour établir les principes de la théorie des fonc- 
tions. Signalons encore la construction d'une fonction continue 
au moyen de ses valeurs pour un ensemble dense partout des 
valeurs de la variable. Au même ordre d'idées appartient cette 
représentation uniforme et uniformément continue d'un ensemble 
dénombrable de points dense partout dans un carré sur un 
ensemble dénombrable de points dense partout sur un segment de 
droite, laquelle conduit à la représentation uniforme et continue 
de tous les points d'un carré sur tous les points d'un segment 
(PeanO; llilbert) : M. Schœnflies analvscavec soin cette représen- 



244 FUEMIÈUE PAUTIH. 

talion et montre comment elle fait correspondre aux points d'une 
portion de droite située dans le carré un ensemble de points du 
segment qui n'est dense nulle part. 11 passe ensuite aux fonctions 
ponctuellement discontinues, dont une remarque simple, due à 
M. Borel, permet d'éclairer la nature : il analyse les principaux 
résultats dus à du Bois-Reymond, à MM. Bettazzi, Brodén, Dini ; 
les recherches récentes de M. Baire sur les fonctions de deux 
variables, continues séparément par rapport à chacune des va- 
riables. En se bornant d'ailleurs aux fonctions monotones, c'est- 
à-dire qui ne croissent jamais ou qui ne décroissent jamais, il intro- 
duit, d'après du Bois-Rejmond, ces quatre fonctions auxquelles 
Scheeffer a donné le nom de dérivées supérieure ou inférieure, 
à gauche on à droite , eirésnme divers résultats intéressants sur la 
structure d'une fonction dont les dérivées se comportent d'une 
façon ou d'une autre aux points d'un ensemble dénombrable ou 
non. Il consacre ensuite un important chapitre à ces fonctions 
continues qui ont une infinité d'oscillations, et qui fournissent le 
plus grand nombre d'exemples de fonctions qui n'admettent nulle 
part de dérivées : elles peuvent toutefois en admettre pour cer- 
taines classes de points (Brodén) et même pour tous les points 
(Ropcke), bien qu'elles oscillent partout. M. Schœnflies a obtenu 
lui-même d'intéressants résultats sur l'ensemble des valeurs qui 
font acquérir à une fonction continue oscillatoire des maxima ou 
des minima. Passant aux intégrales définies simples et doubles, 
propres et impropres, l'auteur expose les principaux résultats 
obtenus sur ce sujet par Hankel, Harnack, par MM. Dini, Vol- 
terra, de la Vallée-Poussin, etc. C'est du Bois-Reymond qui, le 
premier, a observé la nécessité de soumettre à la critique le théo- 
rème fondamental du Calcul intégral, à savoir que si F(.r) admet 
la dérivée y(.r), inversement F(.r) résulte par intégration, à une 
constante près, puisque ce théorème devient illusoire quand la 
dérivée /(a;) n'est pas intégrable. Cette critique et celle des pro- 
positions connexes est développée dans l'avant-dernier chapitre. 
Dans le dernier chapitre, enfin, l'auteur traite de la convergence 
\les séries et des suites de fonctions. On y trouvera, outre le prin- 
cipe de la condensation des singularités de Hankel, l'étude des 
])oints où une série convergente cesse d'être uniformément con- 
vergente, la notion de fonction de convergence d'après M. Osgood ; 



la coiidillon donnc'îc par ce dernier, sous laf|iielle une série non 
uniforniénienl convergenLc est inlégrablc terme par terme; les 
recherches de M. Baire sur la représentation d'une fonction ponc- 
tuellement discontinue au moyen d'une série de fonctions conti- 
nues, l'étude des séries ponctuellement convergentes, etc. 

Nous avons essayé, dans l'analyse succincte qui précède, de 
donner rpielque idée, non des matières traitées par M. Schœn- 
flies, mais de la richesse, de la variété et de l'importance de ces 

matières. 

J. T. 



MELANGES. 



VALEURS ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES SÉRIES 

PROCÉDANT SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES ET POSITIVES 

D'UNE VARIABLE RÉELLE; 

Par m. Edouard LE ROV. 



1. Soit une séné entière 

(1) * /(^) = 



Je désigne par z une variable réelle et je suppose tous les coef- 
ficients c/.,i positifs. 

Si la série (i) converge dans tout intervalle, elle augmente indé- 
finiment quand z croît sans limite par valeurs positives. 

Si la série (i) possède nn intervalle de convergence fini, on 
ne restreint pas la généralité en supposant que c'est l'intervalle 

( — I, + i)- Si alors la série numérique Va„ est divergente, la 


série (i) augmente indéfiniment quand z tend vers i. 

Dans ces deux cas, je me propose de déterminer la valeur 
asymplotique dey(:;). 



46 IMUÙMIEUE PAUTIE. 

Les propositions que je vais établir peuvent être de quelque 
utilité pour la théorie des fonctions définies par un développement 
de Tajlor. Quelques-unes d'entre elles se présentent comme les 
réciproques de certains théorèmes démontrés par M. Darboux 
dans son Mémoire Sur V approximation des fonctions de très 
grands nombres. 

Je chercherai moins des résultats tj'ès généraux que des résultats 
simples permettant une étude facile des cas les plus usuels. 

2. Examinons d'abord le cas où les coefficients positifs a,, 
décroissent constamment et tendent vers zéro quand n augmente 
indéfiniment. 

J'écarte le cas où y.„ tendrait vers une limite A non nulle, parce 
qu'alors on aurait 



[i,i tendant cette fois vers zéro. 

11 suffit évidemment que les conditions indiquées soient rem- 
plies par les a„ à partir d'un certain rang. Mais, pour simpli- 
fier l'écriture, je les supposerai vérifiées dès le premier terme ay. 

Posons 

On peut toujours imaginer une fonction o(x) continue, posi- 
tive et croissante telle que cette égalité ait lieu à partir d'une 
certaine valeur de n : je suppose que ce soit à partir de n = o, ce 
qui ne diminue en rien la généralité. 

Soit 

Iim = o. 



r 



Alors la série (i) converge pour \z\ < (.Si l'intégrale 
est divergente, il en sera de même do la série 



MÉLANGES. 7,47 

en vertu d'un théorème de Cauchj. Dans ces conditions, le point 
z = I sera un point singulier de /(g) où cette fonction deviendra 
infinie. 

Proposons-nous de voir quelle est l'allure def(z-) quand z tend 
vers I par valeurs réelles et plus petites que i . 

Le théorème que je vais démontrer est la généralisation d'une 
remarque déjà faite par M. Appell dans le cas particulier où a„ a 
une valeur principale de la forme /{n~P ('). 

Posons 

z = e-^, 'i/(a") = e-?<^'-a-^, 

a étant réel et positif. Comparons la série 

à l'aire de la courbe 

r = 'i'(.r) 

qui est donnée par l'intégrale 

"0 

On trouve immédiatement, par un procédé classique (-), la double 
inégalité 

J</(;)<J--6(o). 

D'où l'égalité asjmptotique 

quand a tend vers zéi'o {^). On est ainsi ramené au calcul asym- 
ptotique d'une intégrale définie. 

Posons 

1 

I = / e-?'-r) cIt, 



(') Comptes rendus, tome LXXXVII, 187S. — Cf. Picard, lYaite cV Analyse. 
loinc I, p. 207-211. 

(-) Considération des rectangles de bases i et de hauteurs '^(/j) intérieurs et 
extérieurs à la courbe. 

(■^) En effet le rapport -:— j — tend vers zéro avec a, puisque le numérateur est 
une constante et que le dénominateur grandit indélinimcnl Donc — r-- tend 



248 PREMIÈRE PAUTII':. 

et formons le rapport 

J 

1* 
On a 



OL a. 

1 1 1 

1 



J3'où 



I J 

e I 



Donc, pour a très petit, J est du même ordre de grandeur 
cpie l. 

On peut aller plus loin dans la plupart des cas et montrer cpie % 

tend vers une limite finie et difTérente de zéro quand a tend vers 
zéro. Il suffit d'a})plicpier à ce rapport la règle de L'Hospilal. Si 
l'on pose 

a.r = y, a = - , 

le rapport des dérivées devient 

expression dont il est généralement facile de trouver la limite 
pour jj r= ce ( ' ). Soit, par exemple, 

a«=;^; (o<p<i). 

r\ 
(') I^ar exemple, si J7.i' (j;) esl une fonclion déci'oissantc, / g-- ?)-»(?/)(? j y (/^ 

(Iccroîl ea rcslanl supérieur à / e~s y dy et / ert?)-?'?/)^^^^^- dj- eroîl en 
reslanl inférieur à / c~yy dy, lorst|uc ["i augmente. 



MÉLANGES. 249 

La limite de -7 est alors Y (:>. — />), en sorte que l'on a 

-'^ ' {i — zy-i' 

Mais je n'insisterai pas sur ces calculs très faciles. 

Il est clair que, pour calculer I, on peut prendre telle limite 
inférieure d'intégration que l'on veut, pourvu qu'elle soit finie, 
puisqu'on peut toujours supprimer dans la série un nombre fini 
de termes. 

On peut aussi remplacer dans I l'expression e"?'^^ par une autre 
expression dont le rapport à la première tende vers \ quand x 
augmente indéfiniment. Soil, en effet, y (ip) une telle expression. 
Le rapport 



f 



y {x) dx 



a, d'après la règle de L'Hospilal, la même limite que le rapport 
des dérivées 



I 



c'est-à-dire i par hypotlièse. Ainsi, pour 

1.3.5 . .(in — 1) 

2t« = 1-~ ■ 

■2 . 4 • o . ■ • 2 /i 

r ( 2 a? -h I ) 



on pourrait prendre 



,-9;x) 



22^r2(a7-|- 1) 



et 



comme le montre l'emploi de la valeur asvmptotique bien connue 
de la fonction F. 
Enfin, on a 

■ = = M i- a-t-... + (— i)P ^±i-. a2/'+' + ... 

1 — z a <?^ — I a ■! I.?, ("2/? -+-2): 



•25o PUEJMIÈRE PARTIE, 

pour 

les coefficients B^ étant les nombres de BernouUi. Donc la diffc- 
rencç 

/ e-9'^^ dx — I e-^^^Uix 
tend vers zéro avec a. Par suite, on peut remplacer ï par 

r 



•1— = 

e-?f«' dx 



dans le calcul de la valeur asjmptotique de /(:;). 

Finalement, nous avons le théorème que voici. Soit a(.r) une 

fonction telle que 

!x,i= x{n). 

Soit (S (a:) une fonction dont la déri^'ée [^'(•^) "^^'^ telle que le 
rapport 

nx) 

cc{x) 

tende vers i quand x devient infini. La valeur asymptotique 
de f{z) pour z voisin de i est de la forme 



C^/'— !-^^ (C = const.), 



pourvu que les coefficients positifs a„ aillent en décroissant 
jusqu'à zéro quand n croit sans limite. 
On remarquera que l'on a 

ao-^ ai-l-...-l-a,,= / a ( .r j f/,r -f- C -t- £„ , 

C désignant une constante et £„ une quantité qui tend vers zéro 
quand n augmente indéfiniment (*). Donc la somme 

a,, -H a, -H ... -H a,, 



(') Poui- a„ — -, C est la constante d'Eulcr. 



MÉLANGES. 2M 

devient infinie avec n comme l'inlégrale 

/ a(r ) dx. 

• 

Por conséquent, /(^) augmente indéfiniment, quand :; tend 
vers I, de la même façon que la série des coefficients diverge. 
Bref, il y a une relation étroite entre la valeur principale de a„ 

60 

pour n infini, le mode de divergence de la série ^^-w et l'ordre 



d'infinitude de/(;;) pour ;: = I . 

Voici une série d'exemples où j'ai mis dans une première 
colonne les valeurs de a„ et dans une seconde les valeurs asjmpto- 
tiques correspondantes dey(^) (') 



nP 



{y-Z)^-P 



(o</)<i), 



Ln)i> 



(i-z) 



[^^] 



ip>o), 



II'/ " ' ' (l — Z]^-'7 

r 1 . 3 . j . . . ( -2 ;i — 01'' 

L 2 . 4 . (l . . . 2 /t J 



'- (0<p<-2), 



(.-.-) 



(Vf'hl = LL' P-ihl, q <l), 



['■"■' r 



1—7 



Les résultats resteraient d'ailleurs les mêmes si les expressions 
inscrites dans la première colonne étaient seulement les valeurs 
principales de a„. 



3. Soit maintenant 



a,, = ey* 



la fonction cp(x) étant continue, positive et croissante pour ^ >> o. 



(') A un multiplirateiir constant près. 



252 PREMIÈUE PARTIE. 

Je suppose encore 

o(n) 

lim„— » = o, 

n 

en sorte que l'intervalle de convergence de la série (i) est toujours 
l'intervalle ( — i, + i). Rien n'interdit de choisir cp(x) de telle 
manière que cette fonction possède des dérivées continues des 
deux premiers ordres : j'admets alors que o'(^) décroît et tend 
vers zéro, tandis que o" (^x) croît et tend vers zéro lorsque x aug- 
mente indéfiniment ('). Il suffit, bien entendu, que ces diverses 
conditions soient vérifiées à partir d'une certaine valeur de x : 
mais ce n'est pas restreindre la généralité que de les supposer 
remplies à partir de ^ =: o. 

Cela posé, soit 

z = e-* (a > o). 

L'ordonnée de la courbe 

d'abord croissante, puis décroissante, passe par un maximum 
égal à 

pour une valeur ^ de ^ telle que l'on ait 

Comparons la série 

/(z) = 4.(0) -4- J;(l) +.:.+ •!( /O -r-. . . 

à l'aire de cette courbe 

J _ / cï'ixi-ax^j^j^. 

Appelons p et /J + I les ent:iers immédiatement inférieur et supé- 
rieur à \. La considération des rectangles de bases i et de hau- 
teurs '^{11) intérieurs et extérieurs à la courbe donne de suite la 
double inéiralité 



J- j'^ 'h{x)dx<f{z)<i-^'h{p) + 'l{p^i). 



( ' ) On a donc '^'(ar) > o et <s" {x) <,o pour x^ 0. 



MÉLANGES. 253 

Or on a 

• /> 

D'autre pari, 

eçUO-cp(5)-(a:-?i?'(5) dx> j e 2 ^ dx. 
D'où 



V — 2Cp (O 

On voit par là que le produit 

augmente indéfiniment, quand a tend vers zéro et que, par suite, 
^ grandit au delà de toute limite. Donc les rapports 



I r' 

j / ^{a^)dx, 



J 

p 

tendent vers zéro. Par conséquent "^ "' tend vers i et l'on a 

comme au paragraphe précédent. 

Pour trouver l'ordre d'infinitude de J, je distinguerai deux cas. 

Soit d'abord 

a,, =. /i/>e-?(") {p>o), 

o{x) remplissant les mêmes conditions qu'au § 2. La série étudiée 
est alors d'ordre fini pour z = i [au sens de M. Hadamard (')]. 
Posons 



-/ 



e-^^x)xPdx. 



On verrait comme au § 2 que J et I sont du même ordre de gran- 
deur quand a tend vers zéro 



\< {<i-^r(p+2). 



( ' ) Thèse, page 70. 
Bull, des Sciences malhein., ■>■' série, l. WIV. (Novembre 1900.) 17 



■,M^ PREMIÈRE PAirriE. 

Il y a plus : la règle de L'Hospilal pourrait servir encore ici à 

montrer que -r tend en général vers une limite finie et non nulle. 

D'autre part, posons 

1 

On a 



h tendant vers - quand a tend vers zéro. Appliquons alors la règle 
de L'Hospilal au rapport 



Le rapport des dérivées est 






,e^— I 

o 



= cp( ^ +/i) = «( M + /tci'/-' -f-9/i) (o<e<i). 



Faisons tendre a vers zéro. Alors cp'( — \-^h] tend vers zéro et 
vers 1 . U ou 

6'« — I 

,. K 

Nous retrouvons donc le même résultat qu'au § 2 : f{^) est de 
l'ordre de K pour z voisin de i . 

On peut encore remplacer ici a„ par une expression asjmpto- 
tique et, d'une façon générale, toutes les remarques faites au 
paragraphe précédent demeurent applicables. 

Par exemple, si l'on a 

cc,i = — (p> o, q quelconque), 

(L«)'/ 

il vient 



(,-^)/'+i[^L-^]' 



MÉLANGES. 255 

C désignant une constante, car le rapport des deux (juantilés 



p^ r ""' dx 



tend vers i quand ^ augmente indéfiniment ('). Ainsi, pour 

a„= L/i!, 
on trouve 



/(c)c^C ' 



d'après la formule 

r(rt -f- 1) c^ n'^e-'^^'iT.n, 

qui donne 

L n ! oo nhn. 

De même, si l'on considère la série hjpergéométrique 



la formule 



donne 

et, par suite, 

pourvu que 



r(a-+-n)r(p + n) 



iy~> «a+p-Y-» 



r(«-M)r(Y4-n) 



/(-s)«^ 



(I — s)«+P-Y 

a 4- P > Y- 



Bref, on voit que, d'une façon générale, si f(z) est d'oi'dre Jini 
pour z- = 1, la partie principale de f{:) ne dépend que de la 
partie principale de a„. On obtient la partie principale de f{z) 
à un multiplicateur constant près en posant 



dans 1 expression 

I a„ da 



(') Cette règle s'applique si 3t„ est le n'*°" nombre premier ou son inverse, le 
nombre des nombres premiers inférieurs à n ou son inverse, etc. 



256 PREMIÈHE PARTIE. 

ou dans une expression asymploliquement équivalenle. 

Ona(') 

rn pn-\-\ 

a(a7) of^r < ao-h- «1 -+-. . .-I- a„< / a.{x)dx. 

D'où 






(x) dx 



pour 11 infini. Donc, ici encore, /(s) devient infini pour ^ = i de 
la même façon que la série des coefficients diverge. Mais nous 
allons voir que cela n'est plus vrai si/(x;) est d'ordre infini. 
Supposons, en effet, que l'on ait 



'h -. 



les \p étant tous positifs et la série 



définissant une fonction entière G(.27). On a 



Soit, par exemple, 

il vient 

d'où 






J = - e«; 



r I I •; — 

■^^"^'^T^ . — ^^ ' 

comme le montre un calcul facile. Ici f^~>^ est d'ordre infini 
pour ^ = I et l'on constate sans peine que les règles précédentes 
ne s'appliquent plus. 

Je vais indiquer une méthode pour traiter ce nouveau cas. 

( ' ) Je pose a„ = a(ra). 



MÉLANGES. 257 

4. Je poserai 

x-o"{x) = — 4'(^) 

et je supposerai la fonction 'l'{^) positive et indéfiniment crois- 
sante avec X. On verra que cette hypothèse est généralement 
réalisée dans les applications. 
Ecrivons 

J = J, -I- J, -+- .I3 = / g?(J)-xç(ï) dx-h I e9(.r)-xq)'(?) clx 

£ désignant un nombre positif fixe aussi petit que Ton voudra (') 
Nous allons étudier successivement J,, Jo et J3 lorsque ^ grandit 
indéfiniment. 

Occupons-nous d'abord de J^. On a 



E !— £) «^Sll 



?il-£) 



X étant compris entre x et q. Or d' [x) est négatif et décroît en 
valeur absolue quand x augmente. D'où 






Ïii+E) (-::li!ç„j^^,_^,, ^ ?(!+£) (:iz:lL'„"rï, 






Posons 



dans la première intégrale et 

dans la seconde. Il vient 

/ r— r^^'Sl^^^ 



5.\/-— "— 



<e^?'<?)-?(Ç'J,<4/_^,^ ^ r " ^ e->-^^. 



( ') Je rappelle que l'on a : 7. — 9' (S). 



258 PREMIÈRE PARTIE. 

Or 



V-'^^^'^-M' 



^,. / TL.V-^.J_ ^ ./^[^(I±0] 



Donc les limites d'intégration augmentent indéfiniment avec ^ et 

les deux intégrales tendent vers sJt:. 

Par conséquent, si l'on désigne par y) une quantité positive qui 
tend vers zéro quand ^ augmente indéfiniment, on peut écrire 



e étant aussi petit que l'on veut. 
Considérons maintenant J(. On a 

puisque le coefficient difTérentiel va en croissant lorsque x varie 
de o à Ç. Or, on trouve 

, Ji . I /rrrr -''■l'l^,(i-£)l 

o<-j-<-=- -/-j^CO^ ' 

en remplaçant J) par la limite supérieure qu'on vient de déter- 
miner et Jo par la limite inférieure qui a été calculée plus haut 
et en remarquant d'autre part que l'on a les inégalités 

.■(^-«=î) = -|^î<~*ii<pa (o<o<„, 
" '!'[î('-0]<iKÇ). 

d'après les hypothèses faites. On conclut de là que ^ t^nd vers 

zéro quand \ devient infini. Donc J, est d'ordre moindre que Jo. 
Donc enfin J, disparaît devant Jo dans le calcul de la valeur 
asjmptotique de J. 
Passons à J3. Soit 

Il vient 



, = / e<p('ï^)-"'-?'(|)nfr = / e-y —TTy — -^ ,, , 



iMÉLANGES. ^So 

Or X varie ici de ç(i 4- e) à l'infini. D'où, puisque -:>' décroiL, 

1,1 I 



Or 
Donc 



y- (o<0<i). 



?'(0-?'(^) ^'!'(ç) 

Par suite 

o< J3< ^^'.t^. — e?(^+^ï'-?'i+£'?''?'. 
Mais 

?(;-+-SO-f(« + 0?'(;)-?(;)-ç?'(0= ^%"(;-0^ç) (o<0<i). 

et 

Donc 

o<^< ,,^'--)^ -^.--5^, 

J'. £y/27:(i-7i)(i-s) v/j;(f) 

Ainsi -p tend aussi vers zéro, puisque "l'(i) augmente indéfiniment 

avec H, et par suite J3 peut être négligé devant J^. 

La conclusion qui résulte de tous ces calculs, c'est l'égalité 
asymptotique 

J (^ J,. 

Dans cette formule, î est un nombre positif quelconque. 
Or on a 



Mais 

?"[^(>-0] = ^1^(1-0] ^'-^)'>^'-^^'' 
_j?:ii^___jiiL(,^.)^<(i--o^ 

?"[^(>-^0]"<V[^(i-'01^^'^ ^^ ' "^' 
puisque d» est une fonction croissante. Donc 



26o PREMIÈRE PARTIE. 

Puisque e peut être choisi aussi petit que Ton veut, on conclut 
immédiatement de là que Ja et, par suite, J sont de l'ordre de 
grandeur de 

v/-?"(0 
On a même,, en général, 

e(p;|)-|cp'(e) 



J (^ /a - 



v/-?"(i)' 



comme on le verrait aisément en faisant d'abord croître ; indéfi- 
niment, puis tendre e vers zéro (' ). 

Pour avoir la valeur asymptotique de/"(c), il suffit maintenant 
de remplacer ç, dans l'expression asymptotique de J, par sa valeur 
tirée de l'équation 

?'(0 = ^ 

et de poser ensuite 
Soit, par exemple, 

'Xn=e"'' (o</)<i). 

Il vient 



A^)^\/ 



p('—p) 






Oi 



D'où 



2-/5 



P 

py-F 



^/ 2^ _J_/[\2-2,) n-p)(^) 

Mais le rapport 

I — z 
a 

tend vers i quand a tend vers zéro, et la différence 



a I — z 



(') Il suffit de poser ^ = jj 



V'^a) 



MÉLANGES. 261 

tend alors vers On peut done écrire, par exemple, 



/( 



I — z\ \ — z 



si p = -• En général on pourra facilement voir quelle est l'expres- 
sion asymptotique dey(:;) en fonction de 1 — :;. 

Les calculs seront quelquefois un peu plus compliqués. Soit, 
par exemple, 



On a 



O. 



/(^^^iv/q^''-'' 



>Ç>r' 



71 étant un nombre positif quelconque. Par suite, la valeur asymp- 
totique 

donne lieu aux inégalités 

/'^V'^'^l / ^- e.L2-La)=<' H < -i / e(i+r,i-(L2-Lar. 

Dans la pratique, de telles inégalités peuvent en général rendre 
les mêmes services que la valeur asymptotique exacte. 

5. Arrivons au cas oîi la série (i) définit une fonction entière 
de z. Soit 

La fonction 'f (.r) est supposée continue et positive pour ^ >> o, 
ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres; o et cp' croissent 
jusqu'à l'infini, cp" décroît jusqu'à zéro. On a par hypothèse 
encore 

X-o"(x) =: 4'(-^)) 

la fonction '}(^) étant positive et indéfiniment croissante avec x. 



■i62 PREiMIÈUE PARTIE. 

Enfin le rapport 

X 

devient infini avec x. 

Po.sons 

5 = e» (a>o). 

Des raisonnements tout semblables à ceux du § 3 montrent que 
l'on a 



f{z)or>}= 1 e'^x-t^^ix) dx 



quand a (et par suite z^ augmente indéfiniment. 

Cela étant, des calculs tout semblables à ceux du § 4 donnent 
l'égalité asymptotique 

J ^\J-ïr.. — , 
où l'on a 

?'(0 = «- 

Nous savons donc déterminer, dans ce nouveau cas aussi, la 
valeur asymptotique de /(-) lorsque z augmente indéfiniment 
par valeurs positives. J'ajoute que les diverses remarques faites 
aux paragraphes précédents s'appliquent encore ici niutatis mu- 
tandis. 

Voici un exemple 



On a ici ^ 

to{x) = phT{x -{- i). 

Or, on a, à des infiniment petits près. 



oa)=pLVa^i) = p{i-^'^L'^-pl+^h^7Z, 






D'où 






MÉLANGES. 263 

Mais la formule de Guderniann 

Lr(a-i-i) = (aH — )La — a -r- Lar 
\ 2/ 2 

I V' I 7 — I Y7 I 

H 7 (-...-!- 7 h . . . 

i2-^(a-f-n)- 2<7(7 -m) .AJ (a -I- n)7 



permet d'écrire 

a=: Le =/? Li -4- -^ , 

C tendant vers quand H devient infini. D'où 
2 ' 

1 c 

i5P = Ç e ? . 

Ainsi le rapport 

1 

J 

tend vers i et la différence 

1 

vers - quand ^ augmente indéfiniment. Par suite, on a 

Cette formule donne l'ordre de grandeur de f{~-) avec plus de 
précision que ne le feraient les inégalités établies par M. Hada- 
mard dans son Mémoire Sur les fonctions entières. 

De même, pour 

a„=e-'"' (!</>< 2), 
on trouve 

Et ainsi de suite. 

6. Occupons-nous enfin du cas oîi o"(x) croît indéfiniment 
avec X, la série (i) définissant toujours une fonction entière et les 
autres hypothèses restant aussi les mêmes. 

Si l'on pose 



264 PREMIERE PARTIE, 

on trouve encore 

avec 



lorsque a augmente indéfiniment. La démonstration est d'ailleurs 
absolument la même qu'au § 4. 

Cette formule nous permet déjà de calculer la valeur asjmplo- 
tique d'un grand nombre d'intégrales définies : problème qui se 
présente dans une foule de questions. 

Soit, par exemple, 

^(^x) = e^ ^= y. 

On a 

D'où, en appliquant la formule trouvée, 

r(a)c^a^^e-a4/— , 

résultat bien connu. 
Soit encore 

J= / e^'--"'dx (/?>2). 

11 vient 

Et ainsi de suite. 

Voyons dans ce cas quelle est la valeur asjmptotique de f{z) : 
nous allons voir que ce n'est plus J. 

Appelons/? et /:> + i les entiers qui comprennent ^ et posons 

R/;+i = 4/(yj H- i)-f- J>(/) 4-2)-l- 

On a 

R ''^ 

'Hp + ^ 
D'où 

7 = * 7« 



4/(/?-i-i) 

7 = 



MÉLANGES. 265 

9 élant compris entre o el i. Mais o' et d' croissent avec x. D'où 



7 = 



K 



tl(/)^-i) 



<?' 



7 = 



Le second membre lend vers i quand ç el, par suite, p aug- 
mentent indéfiniment. On peut donc écrire 

£ étant un infiniment petit quand \ est un infiniment grand. 
D'autre part, on a 

'^{x)dx -\- (!;(/? — i). 

Or 

1 r^'~' r'"' 

V7 : / ^{x)dx= / ex?'(Ç)-9U)+?(p-i)-(/;-i)ïi'(?)^^ 

ou bien 

,p—\ ^P—I , y (.r— p+11' 
'^ , , r'^ (.r-p-f-li;9'(;)-Ç(;7— 11] ç"|p-l4-9ljr-;)+l 



'!'(/> 






étant compris entre zéro et i. D'où 

^iP-^)Jo Jo ?(0-?(/^-0 

Or 

?'(0- ?'(/> — !) = (;— /'+!)?"[/' — i + >^(^ -/^ + 0]) 

1 étant compris entre zéro et i . D'où 

?'(;)- ?'(/>-0>?"(/J-i), 

et, par suite, 

I f'"' i 
-, / 4^ ( '^ ) d^ < — ;77 • 



On voit par là que le premier membre tend vers zéro quand ç el, 
par suite, p augmentent indéfiniment. On peut donc écrire 

■f\ étant infiniment petit avec j- • 



•266 PREMIÈRE PARTIE. 

En définitive 

expression qui se simplifie souvenL en se réduisant à l'un 
seulement de ses termes. Ce sont les plus grands termes de f{z) 
qui seuls influent ici. 

Soit, par exemple, 

o{x) = e^. 

11 vient 

p = E(La). 
Donc 

E(La) désignant la partie entière de La. 

7. Je terminerai en présentant quelques observations sur les 
résultats obtenus dans ce Mémoire. 

Des artifices de calcul très simples, sur lesquels il n'est pas utile 
d'insister, permettent aisément d'étendre le champ d'application 
des méthodes précédentes, par exemple en décomposant une 
série donnée en plusieurs autres qui rentrent chacune dans l'un 
des types étudiés. 

L'emploi des fonctions majorantes permet aussi d'employer les 
mêmes méthodes à la recherche de certaines inégalités asympto- 
tiques, lorsque les coefficients a„ et la variable z ne sont pas réels 
et positifs. » 

Enfin les mêmes raisonnements s'appliquent encore, comme on 
le verrait facilement, à d'autres types de séries, et même à des 
séries multiples. 

Soit, par exemple. 



f(z)^^<x(n)z¥"\ 



a(/i) remplissant les conditions du § 2 et <]>(/?) étant positif et 
croissant (*). Posons 

^ = e-a (a>o). 

(') Je suppose la série convergente pour |^| <i. 



MÉLANGES. 267 

On trouvera dans bien des cas l'égalité asymptolique 

• 
lorsque z tend vers i. Soit 

avec 

il viendra 

«-0 

intégrale qui sera souvent de l'un des types étudiés. On aura ainsi 
montré l'équivalence asjmptotique des deux séries 



et 




Tel est, par exemple, le cas pour les séries 

00 

1=- 



et 



1 -^ z"' 



quand z tend vers i . 

Voici un autre exemple, un peu différent, 



<'-)=. ^ r'(^î)iar. 



n-^-T-^-'S. 



1 
On trouve 

/(;:)c^r(^ + i) 

pour z infini. 



X- 



•268 PREMIÈRE PARTIE. 

De même, pour la série de Lambert 

on trouve, lorsque :; = e~^ tend vers i : 



Oi 



Par suite 



{ 



dx _ I 



L(^)c^ _L 



Et ainsi de suite. 

Il serait facile de mviltiplier ces exemples. Le lecteur verra sans 
peine quelles conditions doivent être remplies dans chaque cas. 

D'une façon générale, et je finirai par cette remarque, les 
méthodes exposées dans ce Mémoire sont surtout des méthodes 
pour le calcul asymptotique de certaines intégrales définies : elles 
s'appliquent à toutes les séries asymptotiquement équivalentes à 
une telle intégrale. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 

ExcvKLOPADiE der niatheniatischeti Wissenschaften mit Einschluss 
ihrer Amvendungen. Ilerausgeg. von II. Burkhardt und W.-F. Meyer. 
1. Thl. Reine Mathemalik. 2. Bd. Analyse. Redig. von II. Burivhardt. I Heft. 
Gr. in-8", i6o p. Leipzig, Teubner. 4o ni. 8o pf. 

IIandworterbuch der Astronomie, herausgeg. von \V. Valentiner. i8. 
Lfg. Gr. in-8", avec fig. Breslau, Trewendt. 3 M. 5o Pf. 

Jaiirbucii ûber die Fortscliritte der Mathemalik, begriindet von C. 
Ohrtmann, herausgeg. v. E. Lampe. 28. Bd. Jahrg. 1897. (In 3 Heften.; 
1. Ilefl. Gr. in-8", ii6 p. Berlin, G. Reimer. i3 M. 



COMPTIiS lUiNDUS KT ANAI.VSKS. ■iCh^ 

COMPTF.S IIKNDUS i: T ANAI.YSKS. 



CARL-FRIEDRICH GAUSS WERKE. — Achter Bvxd nERXusr.nr.rREX vox her 
K. GESEu.sriiAFT DER WissEXSCHAFTEiX zu GiJTTiXGEX. Lcipzig, Tcubiier; 
1900. 1 vol. iii-.i ; ^')S p. 

Lorsque, il y a aujdiirdMiul près de cinquante ans, la Société 
Rovale des Sciences de Cœllin^iie enlre])rit la publication des 
OEiivres de Gaiiss, les géomètres de tous les pays, en applaudis- 
sant à cette décision, attendirent avec impatience la réalisation 
d'un si noble et si utile projet. Gauss avait pour devise : Pauca 
sed matura. Aucun des écrits qui sont sortis de sa plume ne pré- 
sente la moindre trace d'imperfection. S'il est quelquefois difficile 
de découvrir pleinement les principes supérieurs qui le guident 
dans la démonstration de ses théorèmes, s'il est permis aussi de 
préférer quelquefois d'autres modes d'exposition à ceux qu'il a 
adoptés, il est impossible de ne pas admirer, en se plaçant au 
point de vue qu'il a choisi, la rigueur, la précision élégante, la 
profondeur qui sont les caractères constants et essentiels de ses 
écrits. On savait depuis longtemps, d'ailleurs, que ces écrits ne con- 
tenaient qu'une partie de ses découvertes; sa correspondance avec 
Schumacher, le savant directeur de l'observatoire dAltona, avait 
été publiée en 1860; grâce à elle, nous avions appris que Gauss 
avait profondément rétléchi sur les principes de la Géométrie ; que, 
bien avant Abel et Jacobi, il avait découvert, dans la théorie des 
fonctions elliptiques, les propositions fondamentales relatives à 
l'inversion qui ont illustré dès le début la carrière mathématique 
de ces deux grands géomètres, et l'on espérait que la publication 
de ses Œuvres complètes, confiée à un géomètre justement estimé, 
M. E. Schering, aurait le double avantage de remettre sous les 
yeux de tous des écrits devenus rares et de nous faire connaître en 
même temps la partie essentielle des travaux auxquels Gauss 
n'avait pas eu le temps de mettre la dernière main. 

Cette attente n'a pas été trompée par la publication des sept \o- 
lumes in-4° qui, de 1 860 à 1871, nous ont été donnés par M. Sche- 
ring. La partie des manuscrits inédits de Gauss qui nous a été 

Bull, des Sciences matlteni., ■>.' série, t. WIV. ( Décciulnc lyoo.) iS 



•i7o IMlUMli: HE PAUTIK. 

ainsi révélée a été accueillie avec grande faveur. Mieux connus el 
plus répandus grâce à leur réunion, les écrits de Gauss ont con- 
liiltué à former et à instruire les nouvelles générations d'étudiants 
de la Science mathématique. Mais depuis trente ans, bien des bran- 
dies de cette science, la géométrie non-euclidienne par exemple, 
dont Gauss avait reconnu toute l'imporlance et qu'il n'avait cessé 
d'approfondir, ont pris un développement extraordinaire; et il a 
semblé qu'il serait possible de tirer encore des papiers de Gauss 
bien des fragments nouveaux, de nature à mettre de plus en plus 
en lumière le génie du grand géomètre, de nature surtout à inté- 
resser tous ceux qui se préoccupent avec tant de raison de l'intro- 
duction et du développement des notions fondamentales dans la 
Science. C'est ainsi qu'après trente ans d'intervalle, la Société de 
Gœltingue a été conduite à reprendre et à poursuivre la publica- 
tion des œuvres de Gauss. A défaut de M. Schering qui avait pré- 
])aré cette continuation, mais que la mort aura empêché de la réa- 
liser, elle a confié la direction de ce travail à M. Félix Klein qui 
a su s'entourer d'une élite de collaborateurs dévoués et préparés 
à leur tâche. 

D'après le plan adopté par JM. Klein, il v aura lieu de compléter 
le Tome Yll qui terminait la première publication et d'ajouter trois 
nouveaux Volumes. 

Le Tome VII, en dehors de la réimpression déjà faite du TJieoria 
motus corporuin cœlestiiim, comprendra des morceaux étendus 
sur les perturbations en Astronomie. 

Le Tome Vlll, qui vient de paraître et que nous avons sous les 
yeux, renferme une série de morceaux inédits sur l'arithmétique, 
l'analyse et la géométrie. On y a fait figurer tous les fragments 
qui se rapportaient aux quatre premiers volumes déjà publiés; il 
contient en particulier tout ce que Ton a pu rassembler des tra- 
vaux de Gauss sur les fondements de la géométrie. 

Le Tome IX contiendra des compléments sur la physique mathé- 
matique, sur la géodésie et sur la triangulation du Hanovre, faite 
par Gauss. 

Enfin le Tome X nous apportera les renseignements bibliogra- 
phiques et des fragments de la correspondance. 

On voit assez par ces renseignements quelles sont l'étendue et 
l'imporlance du complément que l'on se propose d'ajouter aux 



COMPTAS RENDUS KT ANAI.YSHS. 9.71 

OEiivres (le Gauss. Nous serions Icnlé cependant de demander bien 
davantage. On nous promet seulement des fragments de la corres- 
j)ondance; nous la voudrions tout entière et rangée par ordre 
chronologique. C'est ainsi que procèdent aclucUenient les éditeurs 
des OEuvres de Iluvgens et de Descaries, pour le plus grand béné- 
fice de la science et de l'histoire. Ce qui a été déjà publié de la 
correspondance de Gauss avec des hommes tels que Sclmmacher, 
Bolyai, Bessel, Olbers, nous est un sûr garant que la publication 
intégrale réclamée par nous serait accueillie avec reconnaissance 
et rendrait les pbis grands services. Les génies tels que Gauss doi- 
vent avoir partout le premier rang; et les pièces qui les concer- 
nent ont leur place marquée dans le recueil de leurs œuvres com- 
plètes. Il ne nous semble pas impossible d'ailleurs de lever les 
objections que nous prévoyons et qui pourraient s'opposer à la 
publication intégrale; le succès même qui est assuré d'avance à 
cette publication permettrait sans doute de désintéresser les édi- 
teurs antérieurs dont nul ne songe à méconnaître les droits. 

Quoi qu'il advienne de la demande que nous adressons à 
M. Klein, on peut être assuré que, sous son impulsion à laquelle 
nous devons la publication si rapide de la Aoiivel/e Encyclo- 
pédie mathématique, les volumes nouveaux des OEuvres de 
Gauss seront bientôt entre nos mains. Nous allons analjser 
aujourd'hui le Tome VIII, qui se divise en deux parties d'inégale 
étendue : la première, de i56 pages, comprend des compléments 
analytiques se rajiportant aux trois premiers Volumes ; la seconde, 
de 3oo pages environ, sert de complément au quatrième Volume et 
se rapporte à la géométrie. Elle a été préparée par M. Stiickel. 

Les fragments qui composent la première section ont été rangés 
sous des titres divers. L'arithmétique et l'algèbre, l'analyse et la 
théorie des fonctions ont été mises en œuvre par M. Fricke; les 
sections relatives au calcul numérique et au calcul des probabi- 
lités ont été préparées par MM. Bôrsch et Kruger, de Postdam. 

Parmi les morceaux d'arithmétique, d'analyse et de théorie des 
fonctions, il faut signaler différentes recherches particulières 
relatives à la série de Lagrange, mais surtout la lettre mémorable 
du 8 décembre 181 1 dans laquelle Gauss, écrivant à Bessel, donne 
d'une manière complète la définition d'une intégrale prise entre 
des limites imaginaires. A la suite de celte lettre viennent des frag- 



271 



PIU'MIËUE PAUTIE. 



menls qui nu'rllenl aussi d'êlre signalés : ils se rapportent à l'in- 



légrale / —, — -^ — et à la fonction modulaire. 



/. 



Dans les fragments relatifs au calcul des probabilités, on a 
réuni un assez grand nombre de documents relatifs à la découverte 
de la méthode des moindres carrés dans laquelle Gauss s'est ren- 
contré avec Legendre. Dans une lettre à Olbers, datée de juil- 
let 1806, Gauss fait à ce sujet la remarque suivante : 

(( Es sclieint mein Schicksal zu sein, fast in allen meinen iheo- 
relischen Arbeilen mit Legendre zu concurriren. So in der 
hohern Arithmelik, in den Untersuchungen iiber transcendente 
Funclionen die mit der Rectification der Ellipse zusammen- 
liangen, bei den ersten Griinden der Géométrie und nun wieder 
liier. So ist z. b. aucli das von mir seit 1794 gebrauclite Princip, 
dass man, uni mehrere Grfjssen, die man niclit aile genau dar- 
stellen kann, am besten darzustellen, die Summe der Quadrate zu 
eiuem ^]inimum maclien musse, aucli in Legendres Werke 
gebraucht und recht wacker ausgefiihrt. » 

Nous aurons sans doute à revenir sur l'analyse et la théorie des 
fonctions; celte fois nous avons fait une étude plus particulière 
des morceaux relatifs à la géométrie. Nous avons plaisir à le recon- 
naître, ils justifient pleinement toutes les espérances que nous 
avions conçues. 

Nous noterons en premier lieu une série de lettres et de mor- 
ceaux détachés concernant le postulatum d'Euclide et cette 
théorie des parallèles que Gauss appelle quelque part (en fran- 
çais) la partie Jwnteuse des mathématiques. Nous voyons qu'il 
faudra, dans l'histoire de cette théorie, ajouter aux noms de 
Bolyai et de Lobatschefsky celui de F.-L. Wachter, qui fut 
en 1809 un des élèves de Gauss à l'Université de Gœttingue et 
aussi celui d'un professeur de droit à l'Université de Marbourg, 
Schweikart, qui, sans connaître les idées de Gauss, s'était élevé 
de lui-même en 1818 à la notion d'une géométrie non-euclidienne. 
En recevant des mains de son ancien élève Gerling un résumé du 
travail de Schweikart, Gauss s'empresse de répondre : 

« Die Notiz von Hrn Prof. Schweikart hat mir ungemein viel 
Vergniigen gemacht und ich bitte ihm darûber von mir recht viel 
Schuneszu sagen. Es ist mir fast ailes aus der Seele geschrieben. » 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 27^ 

Les fragmenls qui accompagnent celte section consacrée à la 
géométrie non-euclidienne se rap|)orlent aux sujets les plus variés. 
La raison en est facile à donner : Gauss s'iu'téressait à tout. Son 
biographe, Sartorius voii Wallershausen, nous apprend (pi'il se 
préoccupait saus cesse d'ouvrir des voies nouvelles à l'application 
des Malliéuiaticpies. 11 tenait registre de tout : de la date et du 
nombre des orages dans les diflérentes années, du nombre de |)as 
([ui séparaient l'observatoire, où il demeurait, de tous les endroits 
où il avait coutume de se rendre; de la durée de la vie, évaluée en 
jours, des hommes les plus remarquables et, plus particulière- 
ment, de ses amis décédés. Il ne dédaignait pas d'ailleurs de se 
mettre à la portée de ses correspondants, de les aider dans des 
travaux et dans des recherches qui |>ourraient paraître au-dessous 
de son génie. C'est ainsi que nous le vonojis indiquer à Gerling 
une méthode élégante et irréprochable pour démontrer une for- 
mule élémentaire de trigonométiie sphérique. Gerling s'occupe 
de la réimpression d'un Ouvrage classique de J^orenz et il ne 
craint pas de consulter Gauss sur les plus petits détails; Gauss lui 
rép»ond toujours avec beaucoup de bonté et d empressement. Nous 
signalerons plus particulièrement dans cette correspondance ce 
qui concerne la symétrie des polyèdres. Sur la déclaration de 
Gauss qu'il est vraiment fâcheux de faire appel à la méthode 
d'exhaustion pour démontrer l'égalité de volume de deux polyè- 
dres symétriques, Gerling lui communique une méthode toute 
semblable à celle que 1 on comiaîl |)Our les tiiangles S[)liérl(|ties, 
et Gauss, en lui faisant ses complimenls, a soin de bien dégager 
les principes sur lesquels elle rejjose ('). Gauss de son côté, sans 



(') Pour dc'iiionlrer que deux polyèdres symétriques sont équiviilerils, il suKiC 
évidemment d'établir la propusiLiou pour le létraédl-e. Or ta proposition devient 
cvidenle si l'on admet le volume de la pyramide; mais ce volume est toujours 
obtenu par la méthode d'exhaustion. 

Pour établir cette égalité de volumes de deux tétraèdres symétriques, sans uti- 
liser l'expression du volume du tétraèdre, Gerling décompose chaque tétraèdre en 
douze tétraèdres isoscèles qui ont pour sommet commun le centre de la sphère 
circonscrite au tétraèdre et ont pour bases les triangles isoscèles dans lesquels 
chaque face est décomposée par les trois rayons du cercle circonscrit à cette face 
par les trois rayons qui aboutissent à ses trois sommets. Chacune de ces douze 
pyramides, admettant un plan de symétrie, est supcrposabic à sa symétrique et^ 
par suite,, lui est équivalente. Cette équi\alencc s'étend évidemment au tétraèdre 



374 PUliMlEUIi PAiniF. 

faux amour-propre, ne craint pas d'avouer son ignorance sur des 
points de peu d'importance et de faire appel à l'érudition toujours 
empressée de ses correspondants. C'est ainsi cpi'il écrit à son ami 
Scliuinacher, tantôt pour lui demander s'il connaît une construc- 
tion élégante du centre de la conique déterminée par cinq points, 
tantôt pour réclamer des renseignements au sujet du théorème de 
Lexell relaiif au lieu des sommets des triangles sphériques de base 
donnée et de surface constante. Dans une autre lettre, nous re- 
marquons que Gauss parle à Schumacher de son ancien élève 
l\Jôbius, l'auteur du Calcul bavycentriqae, en des termes qui 
seront alh'-s au cœur de JNIuhius si, comme cela est à croirCj il en a 
reçu tôt ou tard communication. 

l^armi les questions résolues aujourd'hui dans nos traités élé- 
mentaires d'arpentage s'en trouve une qui a reçu le nom de 
problème de la carie et qui est aussi connue sous le nom àe pro- 
blème de Polhenot. Pothenot vivait du temps de Louis XIV; il a 
été professeur de mathématiques au Collège de France de i684 
juscju'à sa jnort survenue en 1732; il fut membre de notre Aca- 
démie des Sciences de 1682 jusqu'à iCpg, époque où il fut rave 
par suite d'une absence trop prolongée. Dans un Mémoire de 169*2 
inséré en 1700 au tome X des Mémoires de l'Académie des 
Sciences, il aborda et résolut ce problème de géographie pratique ; 
Trouver la position d'un lieu que l'on ne peut voir des principaux 
points où l'on observe. Par exemple, un navigateur, |)assant sur 
un éctieil caché par les hautes eaux, veut pouvoir le signaler à 
ceux qui le suivent^ Il suffit de viser trois points que l'on aperçoit, 
déjà rapportés sur la Carte de la contrée, et de mesurer les angles 
que font entre elles les trois lignes de visée. Si l'on a la bonne 
fortuite de ne pas se trouver sur le cercle passant par les trois 



dont le volume est la somme algébrique des volumes des douze pyramides. 
Celle démonstration est fort élégante, il est facile de voir que l'on pourrait 
éviter les pyramides négatives qui en troublent la netteté et exigent la considé- 
ration de plusieurs cas en substituant la sphère inscrite à la sphère circonscrite 
et en faisant la remarque que les solides à six faces admettant pour sommets les 
extréniilés de l'une des arêtes du tétraèdre, le centre de la sphère inscrite et les 
projections de ce centre sur les deux faces qui se coupent suivant l'arèle consi- 
dérée ont un plan de symétrie qui est le plan bissecteur du tricdre suivant celte 
arête et, par suite, sont superposables à leur symétrique. Le tétraèdre se trouve 
ainsi décomposé en six solides pareils dont les volumes sont toujours additifs. 



COMPTAS HIÎNDUS liT ANAI.VSIÎS. 275 

points et appelé cercle dangereux, le problème est déleriuiné et 
ne comporte qu'une solution. Si l'on est sur le cercle dangereux, 
lui-même, il en admet une infimlé. 

Tel est le |)roblèmc de Potlienol f[ue Ton devrait ap|)eler jilutùt 
le problème de Snellius; car Willebrord Snellius, à (|ui l'on doit 
la première méthode de mesure quel(|ue peu exacte du degré ter- 
restre, en avait donné l'énoncé et la solution dès i5i- dans son 
Eratoslhenes Batavus de terrœ ainbilus vera cjuantitatc. 11 
a été traité aussi par John Collins dans les Transactions Philo- 
sophiques de i6ji, d'après une question proposée |)ar Towtdey. 

Dans les fragmen Is que nous donne M. Stiickel, il n'y a pas moins 
d'une trentaine de |>ages consacrées à ce problème si simple que 
nos écoliers les moins avancés rés(»lvent sans giande difficulté. 
Comment se fait-il que Gauss s'en soit occupé avec tant de soin? 
comment se fait-il que, communi(piant à Gerling les plus essen- 
tiels de ses résultats, il lui recommande de les garder par devers 
lui; car il se réserve de les publier, le moment venu? On peut 
répondre à cette question en rappelant ce que nous avons déj;> 
dit : que Gauss ne traitail jamais à moitié les questions auxquelles 
peuvent s'applicjuer les mathématiques. C'est ainsi (|ue, dans son 
étude du problème de Pothenot, il examine complètement une 
(jueslion laissée de côté par tous les Auteurs : si les données du 
problème n'ont pas été empruntées à un exemple concret, si elles 
ont été choisies a priori et au hasard, le problème a-t-il encore 
une solution? A celle première raison il faut en ajouter une aulie, 
plus imporlanle et plus sérieuse : c'est fpie la solution de Gauss 
constituait rapjdication et, en (juelque sorte, rillustralion d une 
méthode générale à laquelle il ajoutait, à juste litre, beaucoup de 
j)rix : je veux parler de l'emploi des grandeurs complexes pour 
définir la situation des points en géométrie. Gauss n'a pas publié 
le Travail qu'il avait |)répaié sur ce sujet; il l'a négligé pour 
d'autres, sans doute plus impoiianls et plus difficiles; mais Bella- 
vites, Bellrami, Laguerre et bien d'autres géomètres, en se plaçant 
au même point de vue que lui. ont montré toule la féconditti du 
champ qu'il avait commencé a exj)lorer ('). 



(') .\u sujet de la reprcsentalion d'une irnai;inaire par un point du pliMV on 
pourra voir, dans la première partie du NOIuinc. un lliron.ine de nié»'ani«iuc que 



ajG PHEMJERE PARTIE. 

La soliilion du problème de Potlienot qui se trouve dans les 
fragments mis sous nos yeux par M. Stackel est distincte de celle à 
laquelle s'altacheiit nos traités élémentaires. Elle repose sur la 
considération de trois points remarquables qui ont reçu le nom de 
points de Collins ('). Nous n'y insisterons pas, mais nous remar- 
querons qu'en étudiant les conditions de possibilité du problème, 
le grand géomètre les rattache à une propriété du quadrilatère 
plan; il introduit la considération de ce triangle qui intervient 
dans toutes les démonstrations du théorème de Ptolémée et qui a 
pour côtés le produit des diagonales et les produits des côtés 
opposés du quadrilatère. C'est celui que, dans un travail déjà 
ancien s(ir tes relations entre les groupes de points, de plans 
et de sphères dans le plan et dans C espace, inséré en 1872 aux 
Annales de l' Ecole Normale nous avons étudié sous le nom de 
triangle invariable ^d^vce qu'en effet sa forme demeure invariable 
lorsqu'on soumet le quadrilatère, plan ou gauche, à une inver- 
sion d'ailleurs fpielconque. 

Gauss ne s'est pas borné à cette application restreinte des quan- 
tités complexes. Par une voie qui nous paraît aujourd'hui tout à 
fait naturelle, il les a appliquées non seulement à la géométrie du 
plan, mais aussi à celle île la sphère et à la théorie de la projection 
stéréographique, qui fournit, comme on sait, le mojen le plus élé- 
gant pour passer de la sphère au plan et ince versa. Ici, nous 
devons constater qu'il a connu une proposition du plus haut 



Gaiiss déduit de la considi^ralion des points-racines. II a fait le pieinier la rciiiaïque 
que, si l'on considère une équation algébrique 

/(■r) = o 

el si l'on place aux points racines de cette équation des masses éi;ales attirant en 
raison inverse de la distance un point matériel du plan, les points-racines de la 
dérivée seront les positions d'équilibre de ce point matériel. 

(') Si A, 13, C sont les trois points de la Carte et si M est le point à reporter, 
on connaît les angles que font entre eUes les trois droites MA, MB, IMC; le 
point M sera donc sur trois segments capables respectivement de ces angles et 
passant par deux des trois points A, B, C. Les points de Collins se construisent 
comme il suit : A', par exemple, est le point oii la droite MA coupe, en dehors 
de M, le cercle MBC. Kn introduisant les trois points A', B', C, Gauss présente 
sons la forme la plus élégante les propositions auxquelles il est parvenu : les 
triangles A'BC, AB'C, ABC sont directement semblables et ont pour angles ceux 
([uc font entre elles les trois droites MA, MB, MC. 



COMPTKS HHNDUS KT ANALYSES. 277 

înlérêt, fréquemment employée aujourd'hui en analyse, en méca- 
nique et en géométrie; nous voulons parler de la représentation 
d'une rotation finie (|uelcon(|ue par une substitution linéaire. Cette 
représentation n'est piis indi(|uée d'une manière explicite; elle ré- 
sulte clairement aujourd'hui des formules donnt'-es aux pages 354, 
355. Ajoutons d'ailleurs qu'à la page suivante nous voyons que 
Gauss avait trouvé dès 1819 la construction géométrique la plus 
simple et la plus élégante qui soit aujourd'hui connue pour la 
composition de deux rotations finies. 

Le chapitre suivant, intitulé Mutations de V espace, nous avait 
été signalé à l'avance par jNI. Klein. Gauss y considère sous le nom 
de mulalions tous les déj)]acements finis autour d'un point fixe 
suivis d'une homothétie dont le pôle est en ce point et il définit 
les mutations à l'aide de quatre paramètres. 

Ces quatre paramètres sont précisément ceux qui figurent 
aujourd'hui dans la composition d'un quaternion. Gauss appelle 
leur ensemble Y échelle de la mutalion. Il nous apprend comment 
on combine les mutations successives et il obtient ainsi des règles 
nécessairement identiques à celles que nous fournit maintenant la 
multiplication des deux quaternions correspondants; il remarque 
même que cette combinaison n'a pas la propriété d'être commu- 
tative. Tout cela est très intéressant, nous le reconnaissons volon- 
tiers avec M. Klein; nous nous permettrons toutefois de faire 
remarquer qu'il restait encore à faire un pas décisif avant de par- 
venir à ces trois unités fondamentales dont l'emploi constitue le 
caiactère essentiel de la théorie des quaternions, une des plus 
l)elles et des plus intéressantes découvertes de l'illustre géomètre 
anglais Hamilton. 

Nous dirons aussi un mot de quelques fragments incomplets, 
mais originaux, c[ui se rapportent à la géométrie de situation. 
Gauss y a abordé une question des plus difficiles : si l'on trace sur 
le plan une courbe fermée de forme plus ou moins complexe, fai- 
sant sur elle-même une ou plusieurs révolutions, elle pourra se 
couper elle-même et présenter des points doubles ou des nceiids 
en nombre plus ou moins grand. Gauss s'était proposé d'étudier 
les lois qui président à la distribution de ces nœuds. Il cberche 
d'abord quel sera leur nombre minimum quand le nombre des ré- 
volutions de la courbe sur elle-même sera donné; il cherche aussi 



•278 PUI-MIËlli' PAHTIlî. 

à reconnailre et à classer loiiles les combes qui ont un nombre 
déterminé de nœuds. Deux notations difTérentcs et des plus ingé- 
nieuses permettent de définir et de représenter, dans une certaine 
mesure., chaque trait fermé. Gauss nous donne même l'énuméra- 
tion complète de tons les traits ayant cinq nœuds au plus. Ces 
essais inachevés susciteront, il n'en faut pas douter, des recher- 
ches intéressantes. 

Nous arrivons, en terminant, à une dernière section ou 
M. Slackel a réuni les fragments de manuscrits qui se rapportent 
aux propriétés infinitésimales des surfaces courbes. On sait que 
Gauss a publié deux Mémoires véritablement fondamentaux sur 
cette belle théorie. Le premier, qui date de 1822, avait été envoyé 
à l'Académie de Copenhague, en réponse à une question de prix 
posée sans doute sur l'initiative de Schumacher. Il porte la devise 
bien justifiée : Ab his via slerniiiir ad majora, et a été, nous 
n'avons pas besoin de le dire, couronné par l'Académie. 11 a pour 
objet le problème des cartes géographiques. Cette belle question, 
que Lagrange avait résolue dans le cas des surfaces de révolution 
et à laquelle il avait consacié deux Mémoires dignes de son génie, 
se trouve abordée dans le Mémoire de Gauss pour une surface 
quelconcpie et résolue autant qu'elle peut l'être lorsqu'on s'en tient 
au cas général. Le second Mémoire, les Discjuisitlones générales 
circa superficies curvas, publié en 1828, celui qui contient les 
admirables propositions relatives à la courbure totale, aux lignes 
géodésiques, aux triangles géodésiques, est un des principaux 
titres de gloire de-. Gauss et demeure aujourd'hui encore l'intro- 
duction la plus parfaite et la plus utile aux études de géométrie 
infinitésimale. 

Les fragments reproduits par M. Stàckel ont pour nous le plus 
l)aut intérêt, parce qu'ils permettent de comprendre la genèse des 
découvertes de Gauss et de saisir en quelque sorte tous les états 
par lesquels elles ont passé avant de revêtir la forme définitive et 
un peu synthétique que l'auteur nous a seule livrée. INous voyons 
maintenant que Gauss a démontré son célèbre théorème relatif à 
l'invariabilité de la courbure totale dans une déformation de la 
surlace en choisissant tout d'abord sur la surface un svstème de 
coordonnées particulières, les coordonnées isothermes. 

Il a ensuite consacré un travail assez étendu à l'étude d'un clé- 



COMi'll'S lU'lNDUS \'/V ANAI.VSr-S. 273 

menl des [)liis iiiléressanls. Je veux parler de la courbure géodé- 
siqiie que Gauss appelle die Seilenl^runinuing. Gaiiss ne l'a plus 
employé dans la rédaclic^n délinilive de son travail, mais on sait 
que cet clément a reparu avec Ossian Bonnet et Lionville et cpi'il 
joue anjourd'luii le rôle le plus essentiel dans l'étude des couibes 
tracées sur les surfaces. Ce fragment sur la courbure géodésique 
nous dounc aussi le secret des artifices de calcul grâce auxtpiels 
Gaussa obtenu les formes particulièrement élégantes de l'écpiation 
difiérenlielle des lignes géodésirpies qui ngurent dans les Disqui- 
sitiones. Nous avons enfin une première rédaction de ces Disqui- 
sitioTies, dans laquelle Gauss commence par la théorie des courbes 
planes pour bien mettre en évidence les analogies qui l'ont con- 
duit à sa définition de la courbure totale d'une surface. Cette pre- 
mière rédaction contient également une démonstration du théo- 
rème relatif à la courbure totale d'un triangle géodésique, tout à 
fait distincte de celle rpii figure dans la rédaction à laquelle Gauss 
s'est définitivement arrêté. I^a publication de ces fragments éten- 
dus donnera lieu à un examen à la fois intéressant et utile. Dans 
tous les cas, lorsqu'on voit Gauss supprimer dans la suite de son 
travail les morceaux si im])ortanls que nous venons de citer, on 
ne peut l'accuser d'être de ceux dont la coutume est de ne rien 
laisser perdre. 

Les Disquisilioncs générales sont rédigées avec un soin 
extrême et une parfaite unité. 11 semble que Gauss y ait éliminé 
tous les éléments qui n'étaient pas nécessaires à la démonstration 
du théorème par lequel il terjnine son Mémoire, théorème qui 
constitue une généralisation si élégante et si utile tlu célèbre théo- 
rème de Legendre relatif aux triangles sphériques. Dans nos 
Leçons sur la théorie des surfaces, où nous avons commenté le 
Mémoire de Gauss, nous avons montré comment ux^ simple rap- 
prochement de deux systèmes de formules donnés |>ar le grand 
géomètre conduit sans elTort à la solution générale d'un problème 
important : formation de l'équation aux dérivées partielles des 
surfaces applicables sur une surface donnée. Un fragment repro- 
duit par M. Stiickel, et que M. Weingarten était le |)lus qualifié 
pour commenter, nous apprend que Gauss s'était occupé de celte 
belle question. La solution qu'il en propose repose sur des prin- 
cipes cachés et méritera (rêlre approfondie. 



28o l'RlLMlÈRIi: PAUTIE, 

Une dernière réflexion : dans une lettre à Scliumacher, où 
Gauss insiste sur les difficultés qu'il rencontre dans la rédaction 
de son travail et où il ex|H'inie son désir de lui donner une forme 
telle ut nihil ainpllus desiderari possit, ce sont ses propres 
expressions, il se plaint beaucoup de l'obligation où il est d'avoir 
à se détourner de ses recherches pour s'occuper de son cours. 
Voici comment il s'exprime à ce sujet : « Wenn ich meinen Kopf 
voll davon liabe, stellen Sie sich schvverlich vor, wie angreifend 
es manchmal fiir micli ist, vormittags nach einer schlallosen 
Nacht, die ich leider jetzt haufîg habe, mich mit Frische in die 
Sachen hineinzudenken die ich meinen Zuhorern vorzutragen 
habe, und nachher wieder mit Lebendigkeit gleich wieder in mei- 
nen Meditationen zu Hause zu sein. » 

V^oilà un passage dont Arago aurait tiré parti pour revenir sur 
les doléances qui lui étaient habituelles et pour demander que les 
savants ne fussent détournés de leurs travaux par aucune occupa- 
tion étrangère à leurs études. Je crois bien qu'Arago n'aurait, 
aujourd'hui comme de son temps, aucune chance d'être écouté. 
Dans tous les cas, tout le monde conviendra que, si l'on avait créé 
pour les savants quelques pensions ou sinécures, Gauss aurait eu 
tous les droits possibles à être pourvu le premier, et la Science 
n'j aurait rien perdu. G. D. 



WALHAS (L.). — Éléments d'Économie politique pure ou théorie de la 
RICHESSE sociale; 4'' édilion. i vol. iii-8"; xx-4oi p. Lausanne, Houge. Paris, 
Piclion ; 1900. 

<( L'économie politique pure, dit l'auteur, est essentiellement 
la théorie de la détermination des prix sous un régime hypo- 
thétique de libre concurrence absolue. L'ensemble de. toutes les 
choses, matérielles ou immatérielles, qui sont susceptibles d'avoir 
un prix, parce qu'elles sont rares^ c'est-à-dire à la fois utiles et 
limitées en quantité, forme la richesse sociale. C'est pourquoi 
l'économie politique ])ure est aussi la théorie de la richesse 
sociale. » 

On sait que M. Walras est un des premiers qui. après Cournot, 



COiMPTKS HRNDUS KT ANALVSI-S. 281 

ont su monlrcr l'iilllilé des consitléralions nialhémali(|iies dans 
l'économie poliliqiie ; si sur f|uelf|nes points il s'est rencontré 
avec des prédécesseurs dont il ignorait les Iravaux, ces poinls n'en 
sont sans doute que mieux établis et, par la persévérance de ses 
recherches, il a contribué puissamment à un mouvement scien- 
tifique dont l'importance, dans plusieurs pajs, ne peut plus être 
méconnue. 

Cette quatrième édition de son principal Ouvrage a un carac- 
tère définitif. Outre plusieurs améliorations de détail, l'auteur a 
introduit une théorie nouvelle de la monnaie : l'équation d'éga- 
lité de l'ofl're et de la demande de la monnaie, au lieu d'être 
posée empiriquement, « est déduite rationnellement d'équations 
d'échange et de satisfaction maxima en même temps que les 
équations d'égalité de l'ofTre et de la demande des capitaux 
circulants. » 

Voici le sommaire des sujets traités par M. Walras : Objet 
et divisions de l'économie politique et sociale. — Théorie 
de l'échange de deux marchandises entre elles. — Théorie de 
l'échange de plusieurs marchandises entre elles. — Théorie de 
la production. — Théorie de la capitalisation et du crédit. — 
Théorie de la circulation et de la monnaie. — Conditions et con- 
séquences du progrès économique. Critique des systèmes d'éco- 
nomie politique pure. — Des tarifs, du monopole et des impôts. 
— Théorie géométrique de la détermination des prix. — Obser- 
vations sur le principe de la théorie du prix de MM. Auspitz et 
Lieben. J. T. 



PKIARD (E.) — Sur le développement depuis un siècle de quelques 
THÉORIES FONDAMENTALES DANS l'Analyse MATHÉMATIQUE. Conférences faites 
à Clark-University (États-Unis). — Extrait de la Revue générale des Sciences 
des 3o janvier, i5 mars et 3o avril 1900. Un vol. in-8"; 91 p. Paris, 
A. Colin; 1900. 

Tous les mathématiciens ont lu, dans la Bévue générale des 
Sciences, les trois belles conférences que M. Emile Picard a faites 
Tan dernier à l'Université Clark (Massachusetts) et où il a retracé, 



-jHu rui< MiEUK PAirn i:. 

avec rautorilé el l'élévalion de pensée qui lui sont propres, le 
développement, pendant un siècle, de cpiclques-unes des idées les 
plus importantes des Mathématiques : il a su embrasser le présent 
et le passé, jeter même un regard vers Tavenir, en montrant ce 
qui restait à l'aire et quelle moisson on pouvait espérer. Une 
analyse de ces conférences, qu'il ne nous ap|)artiendrait pas de 
faire, serait oiseuse après la publicité et le retentissement qu'elles 
ont eus. Nous nous contentons de signaler leur |)ublication à part, 
dans un petit volume que chacun sera heureux de posséder et de 
relire. »■ 



FORSYTH (A.-R.)- — Theory of functions of a complex variable. — 
Second édition. Cambridge Unlversily Press; in- 4", xxiv-jS'i p. 1900. 

En 1893 nous rendions compte à nos lecteurs de l'Ouvrage que 
M. R. Forsyth venait de publier sur la théorie des fonctions. Nous 
donnions une analyse détaillée de ce consciencieux travail con- 
sacré à une des branches à la fois les plus récentes et les plus 
importantes des Sciences mathématiques. L'auteur nous y déve- 
loppait d'abord la théorie des fonctions uniformes ou multiformes 
suivant le point de vue de Cauchy et de Weierstrass. 11 nous 
donnait ensuite un exposé des méthodes de Riemann qui lui per- 
mettait de faire connaître à ses lecteurs les points essentiels de 
la théorie des fonctions abéliennes. L'ouvrage se terminait par 
une application des théorèmes généraux à l'étude du problèine de 
la représentation conforme et par un e\posé très instructif des 
éléments de cette théorie des groupes discontinus de substitu- 
tions et des fonctions fuchsiennes dont on doit la création et les 
principes essentiels à M. Poincaré. 

Comme il fallait s'y attendre, l'exposition systématique de 
M. Forsyth où se trouvaient mises en lumière et coordonnées une 
foule de théories éparses dans les Mémoires originaux a été 
accueillie avec grande faveur par les étudiants et les géomètres. 
La meilleure preuve que l'on puisse en donner, nous la trouvons 
dans cette édition nouvelle, succédant si rapidement à la première, 
que nous présente aujourd'liui M. Forsyth. 



COMPTl-S Kl' M) US I:T ANALVSI':S. .183 

Le plan de 1 Ouvrage est reslé le iiièinc; lauleur, bien ciileiidu, 
a mis à profil, comme il arrive toujours en cas pareil, les remarques, 
les critiques de détail qui lui ont été faites jjar ses amis ou par ses 
correspondants; mais il n"a rien cliangé d'essentiel, par exemple, 
à son exposition de la théorie des fonctions suivant le j^oint de 
vue de Caucliv et île A\ eierslrass. 

Dans l'exposé de la méthode de Riemann, au contraire, M. For- 
syth, sans rien modifier de la marche générale, a apporté des 
changements assez notables en un point important. ïNous voulons 
])arler du théorème célèbre par lequel Riemann a établi, en 
s'appuvant sur le principe de Dirichlet, l'existence de certaines 
classes de fonctions uniformes et continues dans toutes les 
régions de la surface, sauf le long des coupures où elles doivent 
avoir des modules de périodicité donnés. L'auteur, pour établir 
cette proposition, avait suivi la méthode de M. Schwarz ; cette 
partie de son exposition a été beaucoup modifiée et simplifiée. 

Dans son Ouvrage récent sur la théorie des équations différen- 
tielles, M. Forsvth avait reproduit tout un développement relatif 
à l'étude de ces équations différentielles qui ont été considérées 
par Briot et Bouquet et qui consistent en une simple relation algé- 
brique entre la fonction et sa dérivée. Pour celle raison, il a cru 
inutile de maintenir ici encore cette théorie, qui figurait dans la 
première édition de la Theory of fituctions et il la remplacée 
par une exposition des éléments de la théorie des substitutions 
biralionnelles et du théorème d'Abel. Ces additions avaient leur 
place naturellement indiquée dans une théorie des fonctions. 

Ces courtes remarques suffiront, croyons-nous, à nos lecteurs; 
elles leur montreront que l'Ouvrage de M. Forsyth doit continuer 
à rendre les plus grands services à la branche des Mathématiques 
dont il contient une excellente exposition. 



284 nu<Mif:nF. PAirrii:. 



MELANGES. 



SUR UNE TRANSFORMATION DE BÀCKLUND; 
Par m. J. CLAIRIN. 

L'une des transformations de Backlnnd les plus intéressantes 
est celTe qui a été indiquée d'abord par Lie et généralisée par 
M. Darboux et que l'on rencontre dans l'élude des surfaces à 
courbure totale constante : relativement au groupe des mouve- 
ments dans l'espace, il existe quatre invariants si l'on considère 
simultanément deux éléments du premier ordre (x, j', z-, p, q), 
(x',y, :■' , p' ^ 7'); en égalant ces invariants à des constantes on 
trouve les équations de la transformation dont il s'agit. 

Les grandes analogies qui existent entre le groupe des mouve- 
ments dans l'espace ordinaire et le groupe des mouvements dans 
l'espace non euclidien conduisent à penser que l'on peut trouver 
dans la géométrie non euclidienne une transformation analogue : 
il en est, en effet, ainsi comme on peut le montrer par une mé- 
thode toute semblable à celle de M. Darboux. 

Si l'équation de la quadrique fondamentale (S) est 

les équations de^Ia transformation que nous voulons considérer 

seront 

[j:r' -h yy' -\- zz' -h i]^ ^ ^ 



[ ,r^ -^ r -2 -f- 52 ^ , I [ ,r '-^ ^ j'2 -^ ^'2 -t- I ] 

[ P i.r - .T')-i-q(y—y)-(z — z\)y- 

I p- ^ Y" -f- ( />.!• -^- qy — z )- -h i \[ x-- -+-7'^ -4- z'- -+- I J 
[p'(.r' - ar)-^ <j' i.v' — .Y) — ( -■' — -)]- 



\x^^y^^z-^-^i\yp'-'^(/-'-^{p'x'^qy'—z'f-^\] 

\pp' ^ fjq' -^-{ pr -^ qy — z){p' x' ^ g' y — z')-^ \]^ 

|/>^ -t- q--^{px-^qy~zf-^ i\{iy-^-^q'-^-+-{p'x''^ ^'j' — -'.)'+lJ 



JL-, 



= / = 



OÙ A", m, /T, / désignent quatre constantes. Cesjéqualions défi- 
nissent une transformation de Backlund (0); un calcul facile 
montre en effet que les valeurs de /', 5, t qui correspondent à 



Mfil.ANGKS. 7.85 

rélémeiil j: =:j =z :. =: p := q =^ o doivenl salisfairc à l'(''<|ii;ilion 

(i — «2 — /, ' )(/■/ — s2 ) — ( n/ — /./«)(/• -(- < ) -M — /n2 — li = o; 

rt — ,s- cl /• -f- / sodL les valeurs pour l'élément origine des deux 
invariaiils dilTéreiiliels du second ordre I et J que possède le 
groupe des transformations projeclives qui laissent (S) inva- 
lianlc 



[.r^-;- r2-f- c^-i- i]"^ 



J = 



[yO-^H- q-' ^{ px -^ qy — z f + \]- 

1 
[-T'-i- r--t- j--f- 1]- 



{rt — s-^}. 



x\\(\-^q-)r — -ipqs -|- f n- y>2 ) / J [ .7-2 ^ yi ^ z'- -^ \\ 

— ( y ^qz)- r— >. [y — ^ -) (.r -i- pz ) .9 — ( .r ^ pz )- / J . 

Elanf doiitié \\n éléuieiil cpielconquc, il est toujours possible de 
le ramener à réiémeul origine par une transformation ày\ groupe 
considéré, |)ar conséquent la transformation (8) définit vin sys- 
tème de sui/aces qui sont h^s intégrales de l'équation 



(«) 



( I — /; - — /.- ; I — ( // / -i- km 1 .1 -T- I — m - — /- = o. 



Par une transformation de contact simple et c|ui est de tous 
j>oints analogue à la dilatation on peut toujours simplifier les 
équations de la transformation (0) et ramener /;< et /? à la valeur o. 
L'é(|uation (a) devient alors, en remplaçant I par sa valeur, 



(?) 



(1-/-=) 



( rt — x-^)( x-^ y'-f- z-~- \)- 



P- 



q--i-{px-y-qy — zf^iY 



li 



et définit les surfaces à courbure totale constante de la géométrie 
non euclidienne. 

Il existe donc pour ces surfaces des transformations qui se 
rapproclienl beaucoup de celles que Ton connaît dans le cas de la 
géométrie ordinaire. 

La théorie précédente n'est du reste pas sans application à la 
géométrie euclidienne : étant donnée nne surface, si 0', 0" sont les 
ravons de courbure principaux, /■ le ra\on vecteur et r/ la distance 
de l'origine au pl.an tangent, les intégrales de (J^) sont caraclé- 

Bu//. des Sciences nialhéni., 2' série, t. WIV. ( l)ocenil)io [900.) 19 



28G PREMIÈHi' PAHT1I<:. 

risées pat' la relal ion 

p' p" ( i -h d"^ y- -^ — (i + /-°)2=o, 
c 

c d<'sii;nant une nouvelle conslante. La reclierclie de ces surfaces 
est liée à la soliilion du problème suivant : Troui,'rr toutes les siw- 
faces dont l'élément linéaire peut être mis sous la forme 

I <^/«2 5. uda dv 'xv dv~ 



Cel élément linéaire convient au paiaboloïde 



- --(- ex'- -+-j>'' = o. 



SUR QUELQUES PRINCIPES ÉLÉMENTAIRES DE NOMOGRAPHIE ; 
Par m. iM. d'OCAGNR. 

]^es principes de Nomogiapliie qui sont le plus couramment 
applicables à la représentation cotée des équations à trois et à 
quatre vaiiables pourraient figurer, à litre d'utile application, 
dans les Cours élémentaires de Géométrie analytique ('). C'est à 
ce point de vue que nous en reprenons ici l'exposé, renvovant 
pour la tliéorie^générale au Traité (-) dans lequel nous avons 
envisagé le sujet avec toute l'ampleur qu'il comporte non seule- 
ment pour les équations à trois et à quatre variables, de beaucoup 
les plus fréquentes dans la j)ratique, mais encore pour les équa- 
tions à un nombre quelconque de variables. 



(') Sur rutiliU' d'une Iplle iuU-oduclion, voir ce qu'a dit M. J. Tanncry dans 
son analyse du Trailé cité ci-dessous (fiait, de.t Se. math., 2^ s., t. XXtlI, 
p. 176). 

(') Traité de iVortwgrap/iie (Paris, Gaulliicr-Viilars ; 1899). Cet ouvrage sera, 
dans la suite de cet article, désigné par les lettres T. N. Un résumé en a été 
donné, en langue allemande, par M. K. Schilling, I^rofesseur à l'Université de 
Giittingen, sous le titre : L'eue/- die Nomograpltie x'on M. d'Oeagne ( F^eipzig, 
Teubncr: igoo). 



M ÉLAN G lis. -28- 



I. — S^.STi.M^,s n iti it\ri ;\ rs c.otks. 

1. hJ léineiUs à une cote. — Si 1 on fimire sur un plan un svs- 
lème (JVlénicnls gconu'lriqiu's (léj^enclant A\\\\ |)iii'aruèUe, en 
inscrivant à colé tie chacun d'eux une colc égale à la valeur cor- 
respondanle de ce |)at;iincli'c. on ohlient un .uslr/ne d'élénien Is 
à une cote. 

Ces éléments [)Ourioiit èlre définis soit au moyen de coordon- 
nées poncluelles, par une équation de la lormc 

F(.r, y, 1 ) = o, 

soit au movcn de cooidoum'cs langenlielles par une ('(nialion tIe 

la fil II ne 

V i n, c, a) = o. 

Ils seront dits les éléments [y. ). Il est Ijien clair, d'ailleurs, que, 
|)rali(piemcnt, ces élénienls ne seront efleelivemenl (igurés (uie 
pour (pielques valeurs de a. choisies de prélérence en progression 
arillini(''tique, et même seulement enire certaines limites définies 
par les besoins de I application que I on a en \ue. 

Les coordonnées ponctuelles ,r eti' seront presque toujours des 
coordonnées cartésiennes rectangulaires, et les coordonnées tan- 
genlielles u et r des coordonnées parallèles ('). d'un emploi sen- 
siblement plus commode pour ce genre d'aj)plication que les coor- 
données |)liickériennes. 

On obtient les svsièmes d'éléments à une cote les j)liis simples 
en supposant léquaiion L = o linéaire soil en x et t, soit en a et 
r. Dans le premier cas. ou obtient un système de droites à une 
cote tangentes à une ligne qui est dite leur enveloppe ; dans le 
second, un système de points à une cote distribués sur une ligne 
cpii est dite leur support. L'enveloppe se réduit à un point, ou le 



(') Nous avons consacré en i884, dans les Nouvelles Annales, à ces coor- 
données une étude détaillée, reproduite ensuite dans notre brochure Coordon- 
nées parallèles et axiales (Paris, Gautliier-Villars; i885), tandis que M. K. 
Schweriug publiait sur le nièine sujet sa brochure : Théorie iind Anwendung 
der Linieneoordinaten (I.eipzig, Teubner; i88J)). Pour ce qui est indispensable 
aux applications noningrapliic|ues, voir : T. .\., p. laj. 



9.88 



nu<:.Mi(: UK i-autih. 



support à une droite, lorsque l'équation F = o ne renferme a que 
dans une certaine (onction par rapporta laquelle elle est linéaire, 
c'est-à-dire lorsqu'elle est de la forme 

F, et Fo étant des fonctions linéaires de x et )', ou de u el v 
seulement. 

Un système de points à une cote prend le nom cVrchcl/e recli- 
ligne ou (W'chelle curviligne suivant la nature de son supj»orl. 

!2. Poinls à deux cotes. — Un système d'éléments géonié- 
Iriques à deux païamèlres donnera de même un système cU élé- 
ments à deux cotes, lorsque ces éléments seront susceptibles 
d'un certain mode de (ii^iiralion sur un plan. Une telle figuration 
ne sera d'ailleurs généralement pas possible, comme il est facile 
de s'en rendre compte par la remarque que yoici : Si, donnant à 
l'un des paramètres une valeur lixe, on fait varier l'autre, on 
obtient un système d ('léincnts à une cote que l'on peut repré- 
senter sur un plan; mais, si l'on construit ainsi les systèmes cor- 
respondant aux diverses valeurs cpi'il convient d'attribuer an 
premier paramètre, ces divers systèmes, en se superposant, [>ro- 
duiront un enchevêtrement absolument inextricable, sauf dans les 
cas qui vont être examinés, et seulement dans ces cas. 

En premier lieu, si les éléments dont il s'agit sont des points, 
chacun des systèmes à une cote qui viennent d'être envisagés ne 
comprenant que des poinls situés sur un certain support, les 
divers supports correspondant aux yaleurs du premier paramètre 
pourront coexister sur un même plan, d'où la possibilité de repré- 
senter des /loi/its à deux cotes. 

Soit 

uf{y., x' ) -^ ç"i'(a, a') -(- 'l/('a. y.' ) = o, 

l'équation tangentielle délinissant ces points. Suivant qu'on donne 
à l'un des paramètres a ou a' une valeur fixe et que l'on iait varier 
l'autre, on obtient des poinls situés soit sur une ligne (a), soit 
sur une ligne (a'). Ces deux systèmes de lignes (a) el (a') for- 
ment un réseau dans lequel le point (a, a') est celui qui se trouve 
à la rencontre de la ligne (a) (^l de la ligne (a'). 



MfiLANGHS. •'.89 

3. Lignes condensées à deux cotes. — Lorsque les élémcnls 
(a, a') ne sont j)lns des |)oinls mais des lignes, ils ne peuvent 
coexister sur un mt'nie |»l;iii que dans le cas où les sjsLèmes d'élc- 
nienLs à une cule correspoiidaiil aux. diverses \aleurs altrihuées à 
l'un des deux paranièlres coïncident, aux cotes près. Celle cir- 
conslaiicc ne se |)roduil que si, dans l'équation qui définit les élé- 
ments considérés, les paramètres a et a' peuvent être réunis sous 
un même signe fonctionnel, cesl-à-dire si cette écpiation est de 

la forme 

¥[x,y, 0(a, a')] = o. 

En ell'et, tous les éléments (a, a') correspondant à des couples 
de valeurs de a et a', pour lesquels la fonction h[y., a') a une 
même i^aleur /, sont alors coïncidents, et l'ensemble de tous les 
éléments (7., v!) se réduit à un système d'éléments à une cote ( /), 
chacun de ces éléments (/) correspondant à une infinité de 
couples de valeurs de a et a'. Les éléments (a, a') sont alors dits 
condensés en les éléments (^). 

Comment, en ce cas, pourra-t-on figurer les divers couples de 
valeurs des paramètres a et a' correspondant à chaque élément (/)? 
Par le procédé bien simple que voici : A travers le faisceau des 
lignes [t) définies par l'équation (') 

F(^, r. = 0» 

traçons un faisceau de lignes absolument quelconques que nous 
faisons dépendre de l'un des deux paramètres, a par exemple, par 

une équation telle que 

ç(.r, y, a) = o. 

Si maintenant nous nous fixons une certaine valeur pour a' et 
si nous considérons tous les couples de valeurs correspondants 
de a et i résultant de l'équation 

0( a, a) = t, 
nous voyons que les points de rencontre des lignes (z) et (y.') cor- 

(') S'il s'agit d'élémenls définis en coortlonnécs tangcnliellcs on peut toujours, 
pour la solution de ce pi-obième, prendre leur cquation en coordonnées ponc- 
tuelles, déduite par le procédé que l'on connaît de leur équation langciUiclle. 



2go PIU-.MIKKE PAinili. 

rcspontlanlcs se Iroiiveront sur une ligne, doni l'é(|ualion 

<T^(-^,J', a') = o 

résulte de réliminalion de a cl t mire les liois dernières ('qua- 
tions écrites, et qui pourra èlre eolée au nioveu de la valeur 
choisie pour a'. En faisant varier eelle valeur de a', on obtiendra 
un faisceau de lignes (a') défini par la dernière équation et qui, 
joint ftu faisceau des lignes (a), choisi arbitrairement, fait con- 
naître les divers couples de cotes afférents aux lignes du sys- 
tème {t){fig. i). 

Fi g. .. 




L'ensemble des faisceaux (a) et (a') forme alors un réseau qui 
peut être dit le réseau de cotes du système (/), et nous \ovons 
qu'à chaque élément condensé {t) correspondent les couples de 
cotes de tous le^ points du réseau (a, a') par lesquels passe cet 
élément. 

Si les éléments condensés (^) sont des droites parallèles, leur 
ensemble, y con)pris leur réseau de cotes, constitue ce qu'on 
a[)pelle une échelle binaire. 

4. Droites à deux cotes, houbles <'nv<dopprs. — Aux élé- 
ments qui viennent d'êlre examinés se borneni ceux rjui sont 
susceptibles d'une représerjtahOii permanente sur un |)lan: mais, 
l'introduction de systèmes mobiles permet d'accroître le champ 
des élémenls à deux cotes utilisables dans la construction des 
abaques. On conçoit, en effet, que les éléments d'un système à 
deux cotes puissent être obtenus, en certains cas, soit |)ar les 
déplacements à deux jiaramèlres d'une même ligne tracée sur \\n 



MÉLANGI-S. 291 

|)l;iii mobile glissant sur le premier, soil |)ar les dcplaceiucnls à 
un |)aranièlre cFun système de lignes tracées sur un tel plan 
mobile, l^our nous borner au cas le plus siin|tle, en même temps 
que le plus intéressant au point de vue praticjue, il est bien clair 
que, si les éléments à deux cotes sont des droites, on pourra les 
engendrer tous au moyen d'une droite mobile. Toute la question 
est de déterminer la position de cette droite i)our un couple 
donné de valeurs des [laramètres correspondants. Soit donc 

3"/(a, y.' ) + jt'o(a, a' ) H- '\{'x, a') = o, 

l'équation d'une droite à deux cotes. Si, donnant à a une valeur 
fixe, on fait varier a', on obtient pour les droites correspondantes 
une enveloppe (|ui peut être cotée au moyen de la valeur clioisie 
pour a. En faisant varier celle valeur nous obtiendrons ainsi le 
système des enveloppes (a). Nous définirons de même le système 
des enveloppes (a'). La droite à deux cotes (a, a') sera alors 
une tangente commune aux enveloppes (a) et (a'). 

On voit que ce mode de détermination des droites à deux cotes 
est exactement corrélatif de celui qui a été envisagé au n" "1 pour 
les points à deux cotes. Seulement ici la droite (a, y') n'existe 
pas à l'étal permanent sur le tableau comme cela avait lieu pour 
le |)oint (a, a'); elle est définie par ses envelopiies (a) et (a'), et il 
faut, au moment où l'on en a besoin, mener à ces deux lignes une 
tangente commune (jui pourra être constituée par une droite 
tracée sur un transparent ou un fil tendu. 

11 est bien évident, a priori, que les modes de représcntalion 
fondés sur l'emploi d'éléments à deux cotes tous distincts [qui, 
pratiquement, ne seront, en général, que des points (n*" 2) ou des 
droites (n° 4)] auront bien plus de généralité que ceux qui ne 
font intervenir que des éléments condensés. 



II. — Types d'abaques a trois f.t a quatue vai;i ables. 

0. Abaques ponctuels à trois variables. — La relation de 
j)Osition la plus simple à établir entre trois lignes définies dans le 
domaine poncluel consiste en ce qu'elles passent par un même 
point. JJc là le Ivpc le [)lus génér<d dabarpu- ponctuel à trois 



■ic)i rREMlÈUI- TAIITIE. 

variables (7?,^ '2). Soient les trois systèmes de lignes à une cote 
délmis respectivement par les équations 

(i) F\i^,y, 3ti) = 0, 

(2) - Fo(x,y, a.,) = o, 

(3) F,ix,y,o:,) = o. 

Sij-rois lignes prises respectivement dans ces systèmes passent 

Fig. 2. 




par lin même point, les cotes correspondantes sont liées par 
l'équation '^ 

(E) <ï>(3:i, a., X3; = o 

obtenue par Télimination de x el y entre les trois équations cor- 
respondantes. 

Toute équation entre trois variables |)eut être ainsi représentée 
d'une infinité de façons. On voit, en effet, la dernière équation 
étant donnée, que l'on peut choisir arbitrairement deux des pré- 
cédentes, (i) et (2) par exemple; la troisième résulte alors de 
l'élimination de a, et y-, entre (i), (2) et('E). 

En particulier, on peut toujours constituer deux des svstèmes 
cotés au moven de droites et même tout simplement au moyen 
des droites x = y.i, y = y..^., qui définissent un quadrillage régu- 
lier à travers lequel sont tracées les courbes (^.3). Pratiquement, 



le choi-v des deux premiers svslttiies eslassiijelll à la condilion de 
conduire, par l'élirniualion indiquée ci-dcssns, à un Iroisirme 
système réel, el, d'autre part, ce choix sera guide par le souci 
d'avoir, dans les trois syslrmcs, les lignes cotées les plus simples 
possible. C'est là un des buts principaux de la Nomographie. Il 
est bien clair, en particulier, que chaque fois que l'on pourra se 
borner au seul em[)ioi de droites cotées, il n'y faudia pas manquer. 
Or, rien n'est plus facile que de former le type général des équa- 
tions représentables par trois systèmes de droites à une cote. Les 
équations (i), (2) et (3) ci-dessus prennent, en ellet, dans ce cas, 
la (orme 



(•') 
(2') 
(3') 



^/3(^3)-t-J"f3(2t3)-^'}3(3:3) = O. 



et l'équation (E) devient 



fd^i) 'îi{^-\) 'hi'^i) 

fii'^i) 92(3:2) 4^2 (^2) 
fi{<^z) ?3(23) ^zi-^z) 



Parmi les équations rentrant dans ce tvpe général, celles qui se 
rencontrent le plus souvent dans la pratique sont celles de la 
forme ( ' ) 

(E") /.(a,)/3(a3) + 02(a,)cp3ra3)-FJ/3(a3) = o. 

On voit (|u'on les représente au nioven des systèmes de droites 
à une cote 



(3") 



•?*=/i(3:r), 

V = 'f2(û:2), 

arfi ( «3) —7 cp3( a, ) -+- '1/3 ( ^3 ) 



Contentons-nous de remarquer ici qu'un abaque à droites 
cotées étant donné, on peut lui faire subir la transformation 
homographique la plus générale en conservant les cotes des 
diverses droites qui le constituent. Or, une telle transformation 



') Voir divers exemples de telles équalions : T. \.. Cliiip. II. :; II. 



294 l'IlHMlEHK PAKTIE. 

(lépcnclaiil, dans le |)laii, île liiiit [)aramèLres, on peiiL jiij;ci' 
a priori àe la sou[)lesse qu'elle intioduil dans la consliiiclion des 
abaques en permeltanl de leur donner les dispositions les plus 
avantageuses ( ' ). 

Observons d'autre part que, bien qd'en pratique il soit généra- 
lement facile de rattacher une équation donnée à un des tvpes 
gérkéraux ci-dessus, il y a intérêt à définir les caractères ana- 
lytiques auxquels on peut reconnaître a priori \a possibilité d'un 
tel rattachement. Celte question soulève des problèmes de |)ure 
Analyse qui ne man([ueiit ni d'intérêt ni de dilficullé (-). 

0. Ab(iq(ies tangenlicls à trois variables. — Corrélativement 
la relation de position la plus simple à établir entre trois lignes 
définies dans le domaine langentiel consiste en ce qu'elles soient 
tangentes à une même droite. 13e là le type le plus général 
d'abaque tangentiel à trois variables dont le principe peut être 
exposé au mojen des mêmes équations que celles qui viennent de 
nous servir pour les abaques [)Onctuels, à la seule dillérence près 
(jue les coordonnées cartésiennes x cV y y soient remplacées par 
des coordonnées parallèles u et w 

Moyennant cette substitution les équations (i), [:>.) et (3) ci- 
dessus définiront trois systèmes de lignes à une cote (v-i)? (^-2)5 
(as), et les cotes de trois de ces lignes seront liées par Técpia- 
tion (E) lorsque ces trois lignes seront tangentes à une même 
(lioilc. Il est, dès lors, nécessaire de recourir à une droite inobde. 
(\\ie. index ., pour se servir de raba(|ue. 

Remarquons en passant que de même que dans le cas d'un 
abaque ponctuel on peut toujours faire en sorte que deux des sys- 
tèmes cotés soient constitués par des droites, on peut ici faire en 
sorte qu'ils le soient par des points. Donc, toute équation à trois 
variables ai, a^,, 7.3, est représcntable par deux systèmes de points 
cotés (a, ) et (a^) et un svstème de courbes cotées {y-w)-, les vabnirs 
correspondantes de ces trois variables étant telles que la droite 
joignant les points cotés a, et a^ soit tangente à la courbe 
cotée a;j. 



(') T. N., Il"» -10 et :,0. 

(■-) r. N., ciuip. VI, § I. 



M f: LAN G ES. 



29^ 



La nricssitt' de rccoiiiir à Ifriiploi crime dniilc inohilc pour 
faire la locliire de ral)a(|iie semble, au |)remier abord, coii>liliier 
une infériorité aux aba(|iies langenliels par rapport aux al)af|ues 
poncliiels. Il n'en csl rien, comme on penl dés maintenant s'en 
convaincre par la senlc observation que voici : la détermination 
d'une droite par deux points cotés est allranchie de la possibilité 
d'erreur aflV-rcnte à la détermination d'un point par la rencontre 
de deux lignes cotées, et (jui tient à ce cpTen suivant ces deux 
lignes pour arriver au point où elles se croisent, on jieut, si l'on 
n'j prête pas une attention suflisanle, risfjuer de passer sur des 
lignes voisines appartenant aux faisceaux dont elles font partie. 
Celle cause d'erreur n'existe pas avec les points cotés, pour 
lesquels une cote ne s'applic|ue qu'à un seul points au heu tle 
s'étendre à toute une ligne. Notons encore ciue cette circonstance 
rend aussi bien plus facile l'interpolation à vue entre les élémculs 
cotés qui figurent elfectivement sur l'abaque. 

Ce double avantage s'accuse encore plus lorsque l'équalion à 
représenter est de la forme (E') ci-dessus [dont la l'orme (E") n'est 
qu'un cas particulier] parce qu'alors les trois systèmes d'éléments 
cotés, définis par les équations (i'), {'^')i (•>'), .où u et v rempla- 




cent X etj)', se réduisent à des systèmes de points à une cote entre 
lesquels, à l'aide de l'index, il suffit de prendre des alignements; 
d'où le nom cVahcfqacs à points aligni's {/ig. 3) ('). 



(') r. A".. Chap. m. 



296 PIU'MIÈIIK PAUÏIK. 

Ceux de ces abaques c|ul se rencontrent le plus fréquemmenl en 
pratique sont ceux qui s'appliquent aux équations de la forme (1:^") 
et que définissent les équations (i"), (2"), (3") oîi u et r rempla- 
cent X et r (' ). 

Si d'ailleurs on rapjiorte un tel abaque à des axes cartésiens, les 
équations qui définissent ses divers éléments cotés peuvent s'écrire, 
/éiant une longueur fi\e quelconcpie, 

(«i) ^ 



(^2) 



X = I 



x= l 

93(2:3)— ./s C3t:j) 



\y 03(a3)+/3(a3)' 

On trouvera, dans \a lie nui /que qui termine le numéro suivant, 
un nouvel argument en laveur des abaques langenliels. 

Observons encore ici que Tenqjloi de l'homographie la plus 
générale sera d'un grand secours pour donner à un aba([ue à 
points alignés la disposition la plus commode (-). 

T. Abaques à quatre variables. — Ponr passer des types 
d'abaques à trois variables qui viennent d'être définis à un type 
d'abaque à quatre variables, il suffit évidemment de remplacer un 
des systèmes d'éléments à une cote qui y interviennent par un 
système d'éléments à deu\ cotes. 

Ceci nous montre immédiatement ((u'un abaque à quatre 
variables sans rlénienL mobile, ne saurait comporler comme élé- 
ments à deux cotes que des éléments condensés. Nous avons vu, 
en effet, aux n°^ 3 et 4 qu'on ne peut, dans le domaine ponctuel, 
engendrer de systèmes d'éléments à deux cotes non condensés 
qu'au moyen d'éléments mobiles. Le n" !2 nous a bien montré 
qu'on pouvait, dans le domaine tangentiel, figurer sur l'abaque 



or. \.. Chap. III. § II et III, A. 

(') T. .y., n"' 60 et 62. L'n exemple d'appliiMlion parliciiliciciuenl rcni.uquaLIc 
se tiouve au n" {si. 



M f-: L A i\ G I-: s . 9.97 

des L'IéiiicnLs à deux coles dislincis loi-sqne ccy> éléiDeiils se rédui- 
saient à des points, mais il r('snlt(' du n" {') (|ue la lecture d'un 
abaque langentiel ne peut se faire (|u';iu uiovcu d'un index iiiohile. 
J^a conclusion ci-dessus est donc bien juslili{'('. 

Si nous reprenons le tvpe général des abjupies ponclucls à Irois 
variables (n"o) et si nous v remplaçons un des svslèines de lignes 
à une cote jiar un svslènie de lignes C()ndcns(''es à deux cotes, nous 
obtenons pour l'équalion à (juatrc variables ainsi représentée la 

forme 

F [ai, a.>, 0(a3, a^)] = o, 

cpii peut encore s'écrire 

o(a,, ao ) = 0(a;j, aj = o. 

(^omme on peut, dans la représentation d'une écjuation à trois 
variables, clioisir librement deux des systèmes de lignes cotées, 
on peut, en particulier, prendre, pour celui qui deviendra le sys- 
tème condensé à deux coles, un svstème de droites paialléles. On 
peut donc dire que toute équation à qualre variables du type ci- 
dessus est représenlable par un système de lignes à une cote tra- 
cées à travers le quadrillage formé par un système de parallèles à 
une cote et un svstèmes de parallèles condensées à deux cotes, 
c'est-à-dire une éclielle binaire. 

Pour avoir un mode plus général de représentation d'équations 
à quatre variables, il faut avoir recours à ceux des éléments dis- 
tincts à deux cotes dont l'emploi a été reconnu précédemment 
possible, et, plus particulièrement, à des droites à deux cotes. 

Considérons donc l'abaque le plus général constitué par deux 
svstèmes de lignes à une cote 

¥i{x,y, 7..) = o, 
et un svstème de droites distinctes à deux cotes 

Le résultat de l'élimination de x et y entre ces trois équations 
sera île la forme 

0(j(|. 'x.,)f{y.:i. y.'^) -{-■/( y. i. -x.,) '^( y.:i. H;) -i- 'l( ol-^. a, ) = o. 



9.(j8 



l'KK.Mli: l{E 1>AUTIK. 



Tel esl donc le Ivpo (J'é(|u;ilic)n ainsi roprt'senlaljlc. Il est 1res 
reniar([iial)le (|iic la j)lu|)arl des é(|iiaLions à cjiialre variables qui 
se renconlrent dans la pratique peuvent se ramener à ce tvpe-là. 

L'abaque correspondant comprendra, comme on voit, les quatre 
systèmes d'éléments à une cote (y-i), {y-^)-, {'^■s) ^l (^-4)1 ces deux 
derniers consliluant les doubles enveloppes des droiles à deux 
cotes (a.(, a.i), et l'usage de cet aba(|ue résulte de l'énoncé suivant : 
la tangente commune aux courbes cotées 7.^ et aj passe par le 
point de rencontre des courbes cotées a, et a^. 

Cet énoncé équivaut à celui-ci : la droite à deux cotes (a,, a.,) 
passe par le point à deux cotes (a,, a^). Et, sons celte forme, il 
montre (|ue, [yav transformation corrélative, ce mode de représen- 
tation se reproduit lui-même. Il esl d'ailleurs évident qu'en cher 
chant à réaliser la mè.ne extension que ci-dessus pour un abaque 
langi'Ptiel, ce qui se fait au mo\en des mêmes écpiations où u et v 
remplaccnUr et j', on aboutit au même résultat, à cette seule dillé- 
reéce près tpie c'est ici l'élément (7.;), a-,) (pii est un j)oint et l'élé- 
nienl (a,, a^) une droite. 

Le cas le |)liis inléressaiil pour la [>ratiqiie esl celui où les en\e- 

Fis. 4. 




loppes (a,) el (a^) des droites à deux cotes (a,, a^) se réduisent 
à (\e> j)oinls, c'est-à-dire où l'abacpie est à |)oints alignés ( n" 6), 



M r. LANGES. 



299 



]'nn (les trois svslùmes do points étant à (lcii\ coins (/?/.'•. /\). Dans 
ce cas, les équations des |)oinls à une cote (a,) el (ao) élanl, en 
coordonnées parallèles, 

tt/i(a,)-^-Po,(a,)^-4/,(a,) = 0, 

el celle des points à deux cotes (au, a.,) 

l'fi^s, Ki) -I- f'-?(a3, ai) -r- 'K^3, î'O = o, 
l'équation rejjrésentée est de la forme 



(0 



fii^i) 'fii^O '^(='i) 
fiiy-i) 'î-ii^i) '^2 («2) 

/las, ai) 'f(3!:., a;) ■^(«3, a.) 



Celles des équations rentrant dans ce Ivpe qui se rencontrent le 
plus fréquemment dans les a|)|)lications sont celles qui s'écri- 
vent (') 
(z) /i(^i)/(»3, Xi) H- o.2(y..i)o{ccz, a;) -{-'l(cc-i. a. ) = o, 

c'est-à-dire, d'a|iiès ce qui a été vu au n° G, qui expriment Tali- 
gnement des points 

\ ^ = — ^- 
b'=/.('^i). 



(oci) 

(«3, 2.) 



^ _ j '^i ît;.. ^i ) — /( '^.11 ^4 > 
~ o(a3, a.) -4- /(as, ai)' 

— J/(a.-i, Ki) 
' "' ~ 'fi '-«3, 'A) -+-/(«3, «i) 

D'ailleurs, pour former les éc|ualions des deux systèmes de 
lignes à une cote (ag) el (a,), dont l'ensemble constitue le ré- 
seau (as, a.,), il suffit, entre les deux dernières équations écrites, 
d'éliminer successivement a-, el 7.-^. 

L'abaque comprend alors, en outre des points à une cote (a,) 
el (ao), ces deux svstèmes de lignes à une cote et son mode 



(') r. A., n" 1-21 à 1-2G. 



!oo PlUi.MIKIU- l'AHTIK. 

(rcni]>l()i lienl dans renoncé suivant : l<i droite joignant les 
points cotés a, et 7.0 passe par le point de rencontre des li^^nes 
cotées a:t et y.,. 

Remarque . — Nous nous bornerons ici aux cqualions à f|iiatre 
variables, mais il est bien clair qu'on obtiendrait immédiatement 
des modes de représentation appbcables à des équations à cinq 
et à six variables en remplaçant, dans un Ijpe d abaque à trois 
variables, non pas seulement un des systèmes d éléments à une 
cote, mais deux, ou même les ti'ois, par des sjstèmes d'éléments 
à deux cotes. C est ici c|ue s'accusenl les avantages des abaques 
tangenliels sur les abaques ponctuels. Si. en edet, dans un abaque 
ponctuel constitué [)ar lentre-croisement de trois systèmes de 
droites à une cote, nous remplaçons chacun de ces trois syslèriies 
par un système de droites distinctes à deux cotes, il nous faudra, 
pour la lecture de cet abaque, faire usage de trois droites mo- 
biles indéj)endantes, ce qui est évidemment fort peu pratique, 
tandis que si, dans un abaque à |)oinls alignés, nous remplaçons 
chacun des trois s\sièmes de points à une cote par un système de 
points à deux cotes, il nous suffira toujours iVune seule droite 
mobile |)our faire la lecliire. 

lit. Ai'PLICATIOjN a L\ r.l'cSOLL'TIOK >OMO(;i!ArHIQL'E 

DES ÉQUATIONS AL«". ÉBIUQUES. 

8. Formes normales des équations algébriques. — L(;s ra- 
cines d'une équation algébrique du degré n en z dépendent des n 
coefficients de cette équation. Si donc on veut cflectuer la résolu- 
tion noniographique de cette équation dans le cas général, c'est- 
à-dire en supposant attribuées à ses coefficients des \aleurs 
quelconques, on doit la considérer comme liant entre elles n + i 
variables qui sont d'une jjart l'inconnue :;, de l'autre les n coeffi- 
cients. Mais on sait qu'il est possible, par des transformations 
n'exigeant (pie la résolution accessoire d'équations du jiremier ou 
du second degré, de ramener les équations d'un degré donné à 
certains types canoniques contenant un nombre moindre de coef- 
ficients. L"c\cnq)lc le plus simj^le et le plus classique est celui de 



MÉLANGES. 3oi 

rcqualion du Iroisiùinc degré 

x^ -+- nx--T-px 4- <7 = o, 

(jiii, parla Iransforniation 

, n 

X=X-y 

se ramène à la forme réduite 

x'^-hp'x' -h q' = o. 

Parmi les transfoi'malions de ce genre, la plus importante est celle 
de Tscliirnhausen au moven de laquelle, Bring, Jerrard, Brioschi 
et M. Klein ont obtenu pour l'équation du cinquième degré 
diverses formes normales ne renfermant plus qu'un seul para- 
mètre ('). Celte transformation permet notamment de ramener 
toute équation du septième degré à la forme normale 

qui ne renferme, avec l'inconnue z, que les seuls paramètres )., a, 
V, c'est-à-dire qui constitue, au point de vue qui nous occupe, 
une équation à quatre variables. 

D'une manière générale, toute équation algébrique réductible, 
par l'emploi des transformations dont il vient d'être question, à 
une forme normale ne contenant que deux ou trois paramètres, 
s'écrit alors soit 

(I) Zi-^XZ.+ ;jiZ3=o, 
soit 

(II) Zi-h ÀZ2+ [xZs-t- vZi= o, 

Z(, Z2, Z3, Z4 étant des polynômes en ^ à coefficients numé- 
riques. 

Il suffit, dès lors, de montrer comment les principes nomogra- 
phiques ci-dessus étudiés s'appliquent à ces types d'équations, 
respectivement à trois et à quatre variables, pour que l'abaque 
obtenu, joint aux transformations qui amènent l'équation à la 



(') Voir le Traite d'Algèbre supérieure de M. Weber, traduit par M. J. Griess, 
chap. VI. 

Bull, des Sciences mathe/n., 2' série, t. XXIV. (Décembre 1900.) ?.i> 




3o2 IMIEMIËHE PAHTIE. 

forme normale considérée, et qui elles-mêmes peuvent se traduire 
aisément en abaques, fournisse une solution complète des équa- 
tions correspondantes. 

9. Equations du type (I). — Si l'on fait correspondre les varia- 
bles \, u et ;; respectivement à a, , ao et a3, on voit immédiatement 
que l'équation (I) appartient au tvpe (E") du n" 5. Donc, d'après 
ce qui a été vu au n" 6, elle exprime l'alignement des trois points 

a) 



(^) 



Les points ().) et (a) forment deux échelles régulières ayant res- 
pectivement pour supports des parallèles à l'axe Oy; les points [z) 
sont distribués sur une courbe dont l'équation, si on la désirait, 
s'obtiendrait par l'élimination de z entre les deux dernières équa- 
tions écrites. 

Remarquons, en outre, d'une manière générale, qu'on peut 
toujours se borner, dans la construction de l'aljaque, aux points 
correspondant aux valeurs positives de z^ les valeurs absolues des 
racines négatives d'une équation pouvant être obtenues comme 
racines positives de la transformée en — z. 

Dans le type (I) en question rentrent immédiatement l'équa- 
tion générale du second degré, pour laquelle 

Zi = z- , Z.2 = z, Z3 = I, 

et l'équation réduite du troisième degré pour laquelle 
Zj = ^3, 7.1 = z Z3 = I. 

Les abaques correspondants, dont la construction est étudiée 
en détail dans les n°^ 79 et 81 du T. N., sont représentés à la fois 
sur \zjig. 80 de cet Ouvrage. 



MÉLANGES, 3<'j 

10. Équations du type (II). — Si l'on fait, de même, corres- 
pondre les variables \, u, v et :; rcspeclivement à a,, ao, a., el a,, 
on voit que l'équation (II) appartient au type (E') du n° 7. Elle 
exprime donc l'aligtiement des points 

( .r = — /, 

(X) 

i y = \^' 

( , y.,-z, 
•^ = ~ T^^Tz ; ' 

Les points (a) et(u) sont les mêmes que précédemment. Quant 
aux points (v, z), puisque leur x ne renfei'me pas v, on voit qu'ils 
sont donnés par un réseau dans lequel les éléments (5) sont des 
droites parallèles à Oy. Les courbes (v) qui, jointes à ces droites, 
constituent le réseau (v, z), peuvent d'ailleurs être considérées 
comme définies par les deux dernières équations écrites dans 
lesquelles :; serait pris comme paramètre de construction. 

On a, en particulier, de cette façon l'abaque de léqualion géné- 
rale du troisième degré en prenant 

z, = z\ z, = -^ Z3 = -. z. = i. 

L'abaque ainsi obtenu, étudié en détail au n" 123 du T. A., est 
représenté par \d.fig. i49 de cet Ouvrage. 

Pour l'équation du quatrième degré on peut, par une transfor- 
mation linéaire, amener le coefficient du terme en z^ à être égal 
à zéro ou un. Dans ce second cas, par exemple, l'abaque est 
obtenu lorsqu'on fait 

Zj = s» -f- .-î^, Z2 = ^-, Z3 = -. Zi = I. 

L'abaque correspondant, étudié au n" 126 du T. N ., est repré- 
senté par Xdijîg. I 5o de cet Ouvrage. Quant à la transformation 
linéaire amenant une équation quelconque du quatrième degré à 
la forme réduite ci-dessus, elle est traduite en abaque sur la 
fi ^ . 1 • J 1 . 



3o4 PUEMIÈHE PARTI K. 

Le mode de résolution nomographique envisagé ici s'étend, 
jusqu'à l'équalion du septième degré mise, grâce à la transforma- 
tion de Tschirnhausen, sous la forme indiquée au n° 8. Il suffît, 
en effet, de faire 

Cet exemple fait bien ressortir l'inléiêt qui s'altache à l'intro- 
duction d'éléments mobiles dans les abaques. Si l'on n'a pas 
recours à de tels éléments, on ne saurait obtenir d'abaques à plus 
de trois variables qu'au mojen de systèmes d'éléments condensés 
à deux cotes. De ce qui a été dit de ces éléments au n° 3, il ré- 
sulte qu'en ce cas la résolution de l'équation proposée doit néces- 
sairement se réduire à une suite d'opérations à deux paramètres; 
or, en ce qui concerne notamment l'équation du septième degré, 
une telle réduction doit, d'après M. Hilbert, pouvoir être démon- 
trée impossible ('); et l'on voit combien, au contraire, par la 
seule introduction d'une droite mobile, la résolution nomogra- 
phique d'une telle équation est devenue facile. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 

Jaiiresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung . Herausgeg. 
ini Auftrage des Vorstandes von G. Hauck u. A. Gutzmer. \. Bd. 2. Heft, 
gr. in-8°. Leipzig, Teubner. 8 m. 

Contenu : E. Czuber, die Entwickelung der Wahrscheinlichkcitstlieorie und 
ilirer Anwendungen. viii-279 p. 

LoEWY (M.) et PuiSEUX (P.). — Atlas photographique de la Lune, 
publié par l'Observatoire de Paris. 4* fascicule. In-4°, 68 p. Paris, impr. 
Nationale; librairie Gauthier- Villars. 



(') Communication faite au Congrès international des Mathématiciens de 1900 
(Probl. n" 13). Nous avons, dans une Note présentée à l'Académie des Sciences 
{Comptes rendus, t. CXXXI, p. 622) établi le résultat ci-dessus, à savoir que 
l'impossibilité énoncée par l'éminent Géomètre allemand ne peut s'appliquer 
qu'aux abaques sans élément mobile. 



BULLETIN BlBLlOGHAPlllQUIî. 3o5 

BunxsiDE (W.-S.) and Pwton (A.-W.). — Introduction to Détermi- 
nants; being a Chapter J'roin tlie theory of Equations. In-8°, London, 
Longmans. -jl sli. G d. 

— Theory of Equations. VoL \, 4* édition. In-S", Longtnans, g sh.6d. 

ExcvKLOPADiE der niathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer 
Anwendungen. Herausgeg. von H. Burkhardt u. W.-F. IVIeyer. 1. Thl.: 
Reine Mathematik. 2. Bd.: Arithnietik u. Algebra. Redig. von W.-F. 
Meyer. 3. Heft. Gr. in-8". Leipzig, Teubner. 3m. 8o pf. 

Jaiirbvch iiber die Fortschritte der Mathematik, begriindet von C. 
Ohitmann, herausgeg. von E. Lampe. 28. Bd. Jahrg. 1897. 2. Heft. Gr. in-8". 
Berlin, G. Reimer. 6 m. 

PiN'ET (H.). — Mémoire sur une nouielle méthode pour la résolution 
des équations numériques. In-4°, 47 P- Paris, Nony et G'". 

BiANCHC (L.). — Vorlesungen ûber Differential géométrie. Ueber- 
setzt von M. Lukat. 3^ livraison. Gr. in-8°. Leipzig, Teubner. 4 iw- (com- 
[)let 11 m. Go pf.). 

BRArXMUiiL (A. V.). — Vorlesurigen ïiber Geschichte der Trigono- 
métrie. 1. Thl. Von den allesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen. 
Gr. in-8°, vii-iGo p. avec 62 fig. Leijizig, Teubner. 9 m. 

Festschrift ^?//' i^eter der Ent/iûllung des Gauss-Weber-Denkmals 
in Gôttingen. Herausgegeben von dem Fest-Comité. (D. Hilbert : Grund- 
lagen der Géométrie. — E. Wiechert, Grundlagen der Electrody- 
namik.) Gr. in-8'', 92 et 112 p. avec fig. Leipzig, Teubner. 6 m. 

Gaiss (C.-F.) u. BoLYAi (W.). — Briefwechsel. Herausgeg. von F. Schmid 
u. P. Stâckel. Gr. in-4°, xiii-208 p. avec fig., planches, facsim. Leipzig, 
Teubner. Demi-reliure, 16 m. 

Haas (A.), — Lehrbuch der Integralrechnung. 1^ partie. Gr. in-8'', 
284 p- Stuttgart, ]Maier. 9 m. 

Klinkerfues (W.). — TheoretiscJie Astronomie. 2^ édition par von H. 
Buchholz. Gr. in-8°, xvii-goS p. avec fig. et portrait. Braunschweig, Vieweg 
und Sohn. 34 m., gebd. 36 m. 

PicoNE-GusMANO (A.). — Il metodo Gauss applicato alla compen- 
sazione degli errori nel rilevamento topografico. Vol. \. Melfi, 
Grieco. 6 1. 

RiEMAN.N (B.). — Elliptische Functionen. Vorlesungen. ÎMit Zusatzen 



3oG l'HEMIEUE rAHTIE. 

herausgeg. von H. Slahl. Gr. in-8°, viii-i44 P- avec fig. Leipzig, Teubner. 
5 m. 60 pf. 

Serret (J.-A.). — Lehrbuch der DiJJerential- und Integral-Rech- 
nM/i^.,Deutsch von A. Harnack. -2* édition, par G. Bohlniann. 2" vol. In- 
tegralrechng. Gr. in-8", xn-428 p- avec 55 fig. Leipzig, Teubner. 8 m. 

* Servant (M.). — Essai sur les séries divergentes (thèse). In-4'', 65 p. 
avec fig. Paris, Gauthier-Villars. 

Zeitschrift fiir Matheinatik u. Pliysik. SuppL zum 44- Jahig- Der 
Supplemente xiv. Leipzig, Teubner. 20 m. 

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portrait en héliograv., 2 planches et 55 fig. Herrn Hofrath Prof. Dr. M. Cantor 
zum 70. Geburtstagedargebracht von seinen Freunden, herausgeg. von M. Curtze 
u. S. Giinther. Gr. in-B", vni-687 p. 

ÂppEix (P.). — Les mouvements du roulement en Dynamique. Avec 
deux Notes de M. Hadamard. In- 16, 70 p. avec fig. Paris, Carré et Naud. 
2 fr. 

BoER (F. de). — Bekuopte élémentaire théorie der elliptische func- 
tié'n. In-8", Groningen, Wolters. 4 A- 5o c. 

Lampe (E.). — Die reine Mathematik in denJ. 1884-1889. Nebst Acten- 
stûcken zum Leben von Siegfried Aronhold, weil. Professor der iNIathe- 
matik (1860-1883) an der konigl. techn. Hochschule in Berlin. Avec por- 
trait. Gr. in-S", 48 p. Berlin, Ernst und Sohn. i m. 60 pf. 

Morgan (A. de). — Elementary illustrations of differential and 
intégral calculus. In-8°. London, Paul. 5 sh. 

Tallqvist (H.). — Grunderna af potential teorien. In-8°. Helsingfors. 
Hagelstam. 4 kr. 

Tannenberg (W. de). — Leçons nouvelles sur les applications géomé- 
triques du calcul différentiel. Gr. in-8°, 196 p. avec fig. Paris, Hermann. 

Verhaxdlungex der vont 3. bis 12. X 1898 in Stuttgart ahgehaltenen 
Conferenz der internationalen Erdmessung. Red. v. Ad. Hirsch. 
(Deutsch u. franzosisch). Gr. in-4°, 2 volumes, 682 et xxxv-454 p- avec fig. 
et 43 planches et cartes en couleurs. Berlin, G. Reimer. 12 m. 

Greaves (J.;. — Solutions to the Examples in a Treatise on Ele- 
mentary Hydrostatics. In-8". London, Claj'. 5 sh. 

MnvER (O.-E.). — Kinetic theory of gases. Elementary treatise nith 



nULLETIN niBLIOGIlAPHlQUE. 307 

mathemalical appendices. Transi, by R.-E. Baynes. In-8", ^901). London. 
Longmans. i5 sh. 

VoRREDES und Ei/ileitiiriffen zu klassisclten Werken der Mechanik. 
Galilei, Newton, d'Alembert, Lagrange, KirclihofT, Hertz, Helmholtz. 
Uebersetzt u. heraiisgeg. von Mitgliedern der Philosoph. Gescllschaft an 
der Universitat zu Wien. Gr. in-8", vn-ï47 P- Leipzig, PfefTer. 5 m. 

Publications de la Philos. Gescllschaft de l'Université de Vienne. T. II. 

Pearson (K.) and Leiî (Alice). — On the vibrations in the field round 
a tlieoretical Hertzian oscillator (From Philos. Trans. A. vol. 193). 
London, Dulau. 3 sh. 6 d. 

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Hochschiile zu Berlin. 2. lleft. Gr. in-4°. Munchcn, Oldenbourg. 2 m. 

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Reuleaux (F.). — Der Konstrukteur. Ein Handbucli zuni Gebrauch 
beim Maschinen-Entwerfen. 4. Aufl. 4. Abdr. Gr. in-8°, Lxxi-i 197 p. avec 
fig. sur bois. Braunschweig, Vieweg und Sohn. 25 m.; relié, 27 m. 

Davenport (G.-B.). — Statistical methods with spécial référence ta 
biological variation. New-York, John Wiley and Sons ; London, Chapman, 
and Hall, 1899, in-12, cart. i48 p. 

Bagnoli (E.). — Trattato délie corde nel circolo . Istrumenti descritti 
nel Trattato conipasso poligonale, Trisettore angolare, Trisettore sco- 
lastico, Trisettore econoniico, Quadrante calcolatore.Y{oma,E.Lœ:sc\ier. 
In-8", broché, 84 p. Xpl. 

E. B. — Geonietria rettilinea e curvilinea trattata con metodo 
preeuclidico. Roma, E. Lœscher. In-8°, broché, 293 p. avec atlas de 
XXIV pi. 

BoYER (J.). — Histoire des Mathématiques. In-8", 226 p. avec fig. et 
portraits. Paris, Carré et Naud. 5 fr. 

Gantor (M.). — Vorlesungen ûber Geschichte der Mathematik. T. II, 
i55o-i668, 2^ édition, Gr. in-8" avec 97 fig. Leipzig, Teubner. 12 m. 

Geer(P. van). — Leerbock der analytische meetkunde. T. II. In-8". 
Leiden, Sijthoff. 12 fl. 90 c. 

Jamet (V.). — Sur les surfaces enveloppes de sphères. In-4'', «8 p. 
IMarseille, impr. Bariatier. 



3o8 PREMIÈRE PARTIE. 

Pascal (E.). — Repertorio di maternatiche superiori. T. II. In-i6, 
Milano, Iloepli. 9 1. 5o c. 

RiQUiEH (C). — Sur le calcul inverse des dérivées. In-4", 60 p. Mar- 
seille, inipr. IJarlatier. 

SrURM (Cil.)- — Lehrbuch der Mechanik. Uebersetzt von Th. Gross. 
2* vol. Gr. in-8°, x\iu-4o3 p. Berlin, Calvary et G'". Relié, 9 m. 

Ostwald's Klassiker der exacten Wissenschaften. N° 109. In-8°, 
Leipzig, Engelmann. Cart. i ni. 80 pf. 

Contenu: k. R. Felici, Ueber die niathematische Théorie der elektrodynami- 
schen Induction. Uebersetzt von R. Dessau. Herausgeg. von E. Wiedemann. 
121 p. 

Massau (J.), professeur à l'Université de Gand. — Mémoire sur l'inté- 
gration graphique des équations aux dérivées partielles. Premier fas- 
cicule : Intégration fausse. Intégration pour les caractéristiques. 
Mouvement varié des eaux courantes. Mascaret. Grande Impr. et Auto- 
graphie F. Meyer, 1899. In-4" autographié, 144 p. 

DoLP (H.). — Aufgaben zur Differential- u. Inte gralrechnung nebst 
den Resultaten u. den zur Lôsung nôthigen theoretischen Erlâuter- 
ungen. 8. Auil., neu bearb. von E. Netto. Gr. in-8", iv-216 p. Giessen, 
Ricker. Relié, 4 m. 

Forsyth (A. -R.). — Tkeory of Differential Equations. Part 2. Vols 2,3. 
In-8", 758 p. London, Clay. uo sh. 

Olbers (WiLii.). — Sein Leben u. sein Werke. Im Auftrage der 
Nachkomnien, herausgeg. von G. Schilling. 2. Bd. 1. Abtheilg. Briefwechsel 
zwischen Olbers u. Gauss. In-8°, vii-767 p. Berlin, Springer. 16 m. 

Kelvin (Lord), professer of Natural Philosophy in the University of 
Glasgow, 1846-1899. — With Essai on his Scientijic Workh^j G. -F. Fitz- 
gerald. In-4°. London, Maclehose. 7 sh. 6 d. 

VoLKMANN (P.). — Einfilhrung in das Studium der theoretischen 
Physik, insbesondere in das der analytischen Mechanik, mit ein. Ein~ 
leitung in die Théorie der physikal. Erkenntniss. Yorlesungen. Gr. 
in-8", xvi-Sjo p. Leipzig, Teubner. i4 m. 



FIN DE LA PREMIERE PARTIE DU TOME XXIV. 



TABLI':S ^"'^ 



MATIÈRES ET NOMS D'AUTEURS. 

TO.Mi; XXIV; 1900, - PRCMIÉRli PARTIE. 



TABLIÎ ALPHABI-yriQUE 

DES MATIÈRES. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

l'ages. 
Andoyer (H.). — Leçons sur la Théorie des formes et la Géométrie 

analytique supérieure 220-22S 

Appell ( P.). — Les mouvements de roulement en Dynamique 8i-83 

Bœhm (K.). — Zur Intégration parlieller Differentialsysteme 23S-239 

BoREL (E.). — Leçons sur les fonctions entières 120-126 

BoRTKKWiTSCH (L. VON). — Das Gesetz der kleinen Zahlen 161 

Bouché-Leclercq (A.). — L'Astrologie grecque 37-41 

BoYER (Jacques). — Histoire des Mathématiques i32-i34 

Brocard (H.). — Notes de bibliographie des courbes géométriques, 

partie complémentaire 25-27 

Brunel. — Intégrales définies ( Encyclopiidie der math, ^^'issenschaften). 182 

BuRKHARDT (H.). — EUiptischc Functionen i45-i5i 

Cahen (E.). — Éléments de la théorie des nombres. Congruenccs. 

Formes quadratiques. Nombres incommensurables. Questions diverses. 113-117 
Cantor (Moritz) Festschrift. — Abhandiungen zur Geschichte der 

Mathematik 22-25 

Dehn (H.). — Die Legendre'schen Salze ûber die Winkelsumme in 

Dreieck. Inauguraldissertation 2i3-2i4 

DuDENSiXG (W.). — Ueber die durch eine allgemeine dreigliedrige 

algebraische Gleichung definierte Function und ihre Bedeutung fur 

die Auflosung der algebraischen Gleichungen von hôherem aïs vier- 

tem Grade i53-i54 

Engel (Friedrich) und Stackel (Paul). — Urkunden zur Geschichte 

der nicht Euklidischen Géométrie. — Lobatschefsky, zwei geometrische 
Bull, des Sciences matliém., 2' série, t. XXIV. (Décembre 1900.) 21 



3io PREMIËUE PARTIE. 

Pages. 
Abhandiunsrn. (" Partie, Die Ucbersetzung. j' Partie, Anmerkungen. 

I.obatsrhefskj's Leben vind Sciiriften 118-120 

Enriques (F.). — Questioni riguardanti la Geometria cleinentai-e trat- 
tate da U. Amaldi^ E. Baroni, R. Bonola, B. Calo, G. Castelnuovo, 
A. Conti, A. Guarducci, G. Vitaii 168- 1 74 

Fitz-Patrick et Cuevhkl (George). — F^xercices d'.Xrithmétique, 
énoncés et solutions 179-180 

Forsyth ( A.-R.). — Tlieory of functions of a complex variable 282-28.5 

'Fricke (R-)- — Fviirzcfasste Vorlesungcn iiber verschiedene Gebietc 
der hôheren Mathematik mit Bcriicksichtigung der Anwendungen. 
Analytisch-Fiinctionentheoretischer Teil ai5-2i8 

G.vuss (Carl-Friedrich ) Werke. — Achter Band 269-280 

IIoLDER (O.). — Anschauung iind Denken in der Géométrie i54-i57 

KiEPERT (L.)- — Grundriss der DifTerential- und Intcgralrechnung. 

II. Theil : Integralrcchnung 4i"4^ 

Laurent (H.). — L'élimination 177-179 

Leibniz. — Der Briefwechsel von Gottfricd Williehn Leibniz mit Mallie- 

matikern, lieraiisgegeben von C.-J. Gerhardt i5-22 

M.VNSION (P.). — Introduction à la théorie des déterminants avec de 
nombreux exercices à l'usage des établissements d'instruction mo- 
derne 68-69 

."NIansion (P.) — Eléments de la théorie des déterminants avec de nom- 
breux exercices 68-69 

ÎMoNGiN (E.). — Nouvelles Tables de logarithmes à cinq décimales pour 
les nombres et les lignes trigonométriques 2i3 

Muller (Félix). — Vocabulaire mathématique français-allemand et 
allemand-français, contenant les termes techniques employés dans 
les Mathématiques pures el appliquées 174 

Netto (E.). — Vorlesungen iiber Algcbra; zweiter Band i34-i42 

Painlevé (P.)- — Équations diflerentielles ordinaires; existence des 
intégrales ( Encyclopadie der mathem. Wissenschaften ) 183 

Pascal (E.). — Die Variationsrechnung. Autorisierte deutschc Aufgabe, 
von Adolf Schepp 37-28 

Pascal (ï^.). — Rcpertorio di MathematicKe superiori (definizioni, 
formole, teoremi, cenni bibliografici ) 194-195 

Picard (E.). — Sur le développement depuis un siècle de quelques 

théories fondamentales dans l'Analyse mathématique 281-282 

Picard et Simart. — Tnéorie des fonctions algébriques de deux va- 
riables indépendantes 161-168 

Rayleigh (John William Strutt, baron). — Scientific Papers 127-128 

Hebikre (A.). — Pages choisies des savants modernes, extraites de 

leurs œuvres 117-118 

Reynolds Osborne. — Papers on mechanical and physical subjects.... 193-194 

RuDio (F.). — Verhandlungen des ersten internalionalcn Alathematikcr- 

Kongresses in Zurich, vom 9. bis 1 1. August 1897 129-132 

Schilling (F.). — Ueber die Nomographie vom M. d'Ocagne. Eine Ein- 

fiihrung in dièses Gebiet 337 

ScHLôMiLCH (O.). — Uebungsbuch zum Studium des hoheren Analysis. 
Zweiter Theil. Aufgaben aus der Integralrcchnung. Vierle Aufgabe 
bearbeitet von R. Henkc 218-320 



TABLE DES NOMS DAUTEURS. 3ii 

l'airrs. 
ScHŒXFLiES (A.)- — Die Enlwickclung der Lehre von den Punklman- 

nigfaUigkeiten. Bericht, erslaltel der deutsclien Malhemaliker-Verci- 

nigung 239 -îA^ 

ScuRôDER ( Ernst ). — Algebpa der Logik 49"^^ 

SCHRoDER (Ernst). — Algebra und Logik der Relative 83-io-.! 

Seruet (J.-A.). — Cours de Calcul difl'érenliel et intégral 195-190 

Stahl (11). — Elliptische Functionen. Vorlesungen von Bernhard Rie- 

mann 9-i4 

Stokes (Sir George). — Memoirs presenled to the Cambridge IMiiloso- 

phical Society on the occasion of the Jubilee 1 88- 190 

Stolz (O.). — Grundziige der DifTerential- und Integralrechnung. Dritter 

Theil : Die Lehre von den Doppelintegralen 6-8 

Studnicka (F.). — Prager T3'choniana zur bevorstehenden Siicularfeier 

der Erinnerung an das vor 3oo Jahren erfolgte Ableben des Rcforn)a- 

tors der beobachtenden Astronomie Tjcho-Brahe 237-238 

Sturm ( R.). — Elemente der darstellende Géométrie 1&0-181 

Tait (P. -G.). — Scientifics Papers. Vol. II i74-'"3 

Tannenberg ( ^^^ de). — Sur les applications géométriques du Calcul 

différentiel 5-6 

Tchebyciief (P.-L.). — Œuvres. T. I 28-39 

Vessiot. — Équations diiïérentielles ordinaires; méthodes élémentaires 

d'intégration (Encyclopadie der mathem. Wissenschaften) 184-186 

VoLKMANN (P.). — Einfiihrung in das Studium der iheoretischen 

Physik insbesondere in das der analytischen Mcchanik, mit einer 

Einleitung in die Théorie der phA^sikalischen Erkenntniss i5i-i53 

Walker (G.). — Aberration and some other problems connected vvilh 

the electromagnetic field, one of the two Essays to wich the Adams 

Prize was awarded in 1899, in the University of Cambridge 2i4-2i5 

Walter (Alois). — Théorie der atmosphiirischen Strahlenbrechnung.. 8-9 
Walras (L.). — Éléments d'économie politique pure, ou théorie de la 

richesse sociale 280-281 

Weber (von). — Équations aux dérivées partielles (Encyclopadie der 

mathem. Wissenschaften) 186-187 

WoHLWiLL (E.mil). — Die Entdeckung der Parabelform der Wurflinie. 

Abhandiungen zur Geschichte der Mathematik 33-37 



MÉLANGES. 

BoREL (É.mile). — Sur les diviseurs numériques des polynômes 76-80 

Bulletin bibliographique 159-160,191-192, 210-212, 232-236, 263, 3o4-3o8 

Clairin ( J.). — Sur une transformation de Backlund 284-286 

Cotton (Emile). — Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.. 229-232 

Hatzloakis (N.-J.). — Sur une relation géométrique entre deux courbes. 4^-48 
Hatzidakis (N.-J.). — Note au sujet de l'article « Sur une relation 

géométrique entre deux courbes » 190 

Lerch. — Remarque sur une série de Fourier 102-112 

Le Roy (Edouard). — Valeurs asymptotiques de certaines séries, pro- 
cédant suivant les puissances entières et positives d'une variable réelle. 245-26S 



3i2 PREMIÈRE PARTIE. 

Page» 
LÉVY (.Maurice). — Discours prononcé aux funérailles de M. Joseph 

Bertrand ^9'"/^ 

Michel (Cu.). — Sur les courbes tracées sur une surface dévcloppable 

dont les tangentes rencontrent une courbe donnée ih-^-ibij 

OcAGNE (M. d'). — Sur quelques principes élémentaires de Nomogra- 

phie 386-3o') 

Perrot (J.). — Sur le théorème de Fermât i';5-J7G 

Picard (Emile). — Sur une formule de Weiestrass 3o-32 

Picard (Émilk). — De l'intégration de l'équation Au — e", sur une 

surface fermée tgG-aio 

TziTZÉiCA (G.). — Sur une classe d'équations de Laplace i')2-i44 



FIN DE LA TABLE DE LA PREMIERE PARTIE DU TOME XXISV 



38260 Paris. — Imprimerie GAUTHIER-VILLARS, quai des Grands-Augustins, Sa. 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



AVIS. 

Toulos les commimicalions doivent être adressées à M. Dnrlmux, Membre 
de rrnstiliit. rue Gav-Liissac, ]('), Paris. 



lunLiuTiiÈouii: DE Li:c()Li<: des hautes études, 

l'UBLIKE SOUS LES AUSPICKS DU MIMSTKIU-: I)K LINSTHUCTION l'LBMQUi:. 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES, 

UÉDIGÉ PAU MM. GASTON DAKBOUX Eï JULES TANNEUV, 

AVEC L* COLI.ADOnAIIOS IlE 

MM. r:II. ANDUK, BOUGAIF.FF, RROCARD, DRUNIÎL, 

GOUnS.A.T, en. IIENUY, g. KŒNIGS, LAISANT, LAMl'i;, LESPIAULT, MANSION, MOI.K, 

POKROVSKY, RADAU, RAYET, RAFFY, 

S. RINDI, SAUVAGE, SCIIOUTE. V. TANNKRY, ED. AVEYR, ZEUTIIEN, ETC., 

Sous la direction de la Commission des Hautes Études. 

Pi;itMC\nO\ FOXDliE ex 1870 I'AU .)IM. g. DAIlItOtX ET J. llo'lEL 
ET CONTI.NUÉE DE 1876 A 1886 PAU -MM. G. DAKKOUX, J. IIOUEL ET J. TAN.NEUV. 



DEUXIEME SÉRIE. 
TOME XXIV. — ANNÉE 1900. 

(TOMF, XXXV DE LA COLLECTION.) 



SECONDE PARTIE. 




PARIS, 

GAUTIIIliR-VILLAHS, IMPIUMEUU-LIBHAIKE 

DU UUnEAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE PO L YT EC H >' IQ U E, 
Quai des Grands-Aiigustins, 55. 

1900 



BULLKTIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



SECOADE rVRTlE. 



S 



REVUE DES PUBLICATIONS ACADÉMIQUES 
ET PÉRIODIQUES. 

SITZUNGSBEIUCHTE der Koniglich preussischen Akadehie dek Wissen- 

SCHAFTEN ZU BeOMN ('). 

1*=' semestre 1897. 

Planck (^Max). — Sardes phénomènes de rayonnement qui sont 
irréversibles. Premier article. (07-68). 

Si l'on admet l'universalité du principe de la conservation de l'énergie, il faut 
nécessairement que l'on admette aussi que tous les phénomènes peuvent être 
envisagés comme résultant d'actions dites conservatrices. L'explication que 
l'on donne actuellement d'un grand nombre de phénomènes, en admettant l'exis- 
tence de forces de frottement, de forces résultant de chocs de corps imparfaite- 
ment élastiques, de forces de résistance à la conductibilité galvanique et autres 
forces qui ne sont pas conservatrices, n'est donc que provisoire et il convient 
de chercher à la remplacer par une autre, dans laquelle au lieu de forces non 
conservatrices, ne vérifiant pas par elles-mêmes le principe de la conservation de 
l'énergie, on n'introduirait que des forces conservatrices. 

D"autre part, le principe de l'augmentation de l'entropie nous apprend que 
tous les changements ayant lieu dans la INature ont toujours lieu d'une façon 
irréversible, que tous les systèmes limités, entièrement isolés du dehors, ten- 
dent toujours vers un état stationnaire, de sorte que l'on est également amené 
à chercher à expliquer ces changements en introduisant des actions conserva- 
trices convenablement choisies. 

Il semble très difficile de résoudre et même d'aborder la solution de ces pro- 
blèmes, même dans des cas très particuliers. On a bien cherché à donner une 



(') Noir Bulletin, seconde Partie, p. i: 189g. 



6 SKCONDE l'AHTIK. 

théorie du frolteiiient des gaz, par exemple, en se plaçant au point de vue de 
la tlicoric cinétique des gaz, mais il semble acquis aujourd'hui qu'une telle 
théorie du frottement des gaz ne saurait être ainsi établie d'une façon rigou- 
reuse qu'à condition d'adjoindre une nouvelle hypothèse à celles qui servent de 
base à la théorie cinétique des gaz. 

Dans ces conditions, il y a un grand intérêt à donner la solution d'un de ces 
problèmes, quelque spécial qu'il soit. 

M.PIanck envisage à cet cfl'et un résonateur électrique rectiligne, situé dans le 
vide, qui, excité d'une certaine façon, oscille et exerce à son tour une action sur 
les ondes qui l'ont excité; les longueurs d'ondes sont supposées très grandes et 
l'amortissement très petit: on fait abstraction des frottements intérieurs et des 
résistances à la conductibilité. 

M. Planck démontre que, dans l'espace indéfini, l'action du résonateur sur 
les ondes est irréversible, et qu'elle l'est également, au moins pendant un cer- 
tain temps, dans un espace limité. Le phénomène envisagé sexpliquant par des 
actions conservatrices, M. Planck a donc donné un exemple d'un phénomène ir- 
réversible déterminé, pouvant être envisage comme résultant d'actions conser- 
vatrices. 

Kœnigsberger (L.). — Sur les inouveiiienls cacl]('s et sur les pro- 
blèmes incomplets, (i 58-1-8). 

1. Soient p^, p.,, . . ., p^, q^, q^, .. , q^ les p -h s paramètres indépendants 
dont dépend le pf)tentiel cinétique H d'un sjstème. Les é(|ualions dilTérentielles 
du mouvement de ce système, analogues à celles de Lagrange (voir Bulletin, 
]i. lii de la seconde Partie; 1899) peuvent se mettre sous la forme 

d_ ôn^ ô\\ , . _ ., 

dt Op\. Ùp^ '' ;'••••, 1 



d dll >jl[ _ ^ 

dt dq'^ Oq, ^'' 



On suppose que, dans ces équatit)ns, H est une fnncliiMi (|uclcon(|uc donnée 
de /?,, ...,/>, j?\, . . ., />', Yu • • •» f/r^i q'f, • ■ -i qi ne dépendant pas de t expli- 
citement. 

Il s'agit d'étudier les difft'rents cas où, par suite de la forme particulière 
donnée à la fonction 11, on peut réduire les équations précédentes à un nombre 
moindre d'équations du même type. 

On montre d'abord que, quand les seconds membres P,, P^, . . ., P des pre- 
mières de ces équations sont nuls, la condition nécessaire et suffisante pour 
que les premiers membres de ces p premières équations puissent se mettre 
sous la forme de dérivées totales prises par rapport à /, e>t que la fonction II 
soit de la forme 

II := J}\ (<>, -[- p., lù.. -f- . . . -i- /?' Wj 

■+- "[Vr 7. 7,» 7>- 7'r •••> 7'- P\- P\ /'J. 



IlEVUE DES PLIîMCATlONS. 7 

où Wp (.).„ ..., u, désignent des fondions quelconques de />,, p., .., p., q^, 
q^, ..., q^ salisfaisanl à tics équations de ia forme 

-: L./-,, ;•;, 

tlp,:. Opi-, 

dans lesquelles les seconds membres C;-,, ;;, sont des constantes telles que l'on ait 

(■./•„,-, = -C,.,. ,.,, 

cl où Çl désigne une fonction arbitraire de «7,, ..., 7,, 7,, .... 7^, p\, .. . //. 
S'il en est ainsi, nu déduit des premières équations de Lagrauge les re- 
lations 

OÙ /ti, /t, /(j désignent des ronstantes d'intégration. 

Pour que l'on puisse éliminer les paramétres/?,, p.^, ..., /^^ entre ces p équa- 
tions et les 5 dernières équations analogues à celles de Lagrange, il faut que 
les paramètres />[, p^, ..., p^, ou que les dérivées />,, />!,, ..., /?,' de ces para- 
mètres ne figurent pas dans les p équations. 

Examinons successivement ces deux cas. 

La condition nécessaire et suffisante pour que les paramètres p^, p^. ..., p^ 
ne figurent pas dans les p équations que Ion vient d'écrire est que les constantes 
Cr,,rj soient toutes nulles. Dans ce cas, les sr dernières équations analogues à 
celles de Lagrange se transforment en 

(.s- = i. .. ..., z), 

m 'l'I ^ '"I < 

oii r 

les crochets devant indiquer que l'on a remplacé, dans les quantités entre 
crochets,/)',,/»!,, ..., p[ par leurs valeurs en fonction de 7,, 7.,, ..., 7^, 7',, 
q\, .^ . , 7' tirées des éqn;itions 

i)il , ()9. , <)a. 

ôp, op.. <)p,^ 

La détermination des paramètres 7,, q,_, ..., 7^ en fonction de / dépend donc 
de (7 équations qui ont encore une forme analogue à celle des équations de La- 
grange, mais dans lesquelles la fonction H est remplacée par la fonction K. Le 
type dont linlerprélalion a donné naissance aux mouvements cachés d'Ilelm- 
holtz et de Hertz, est donc le seul que l'on obtienne en envisageant le premier 
des deux cas que nous examinons. 

Dans le second cas, bornons-nous à envisager l'hypothèse où l'on aurait = ^^ 
a = I. On voit alors que la condition nécessaire et suffisante pour que les pre-" 
miers membres des deux [>remières équations analogues à celles de F-agrange, 
écrites plus haut, puissent être mis sous la forme de dérivées totales, prises 





d 
dt 




'h. 


a posé 









SIiCONDE PARTIE. 

par rapport à ^, de fonctions de /?,, /?2, q, q', est que la fonction H soit de la 
forme 

II .^- p,[ w, H- ?, 1 + pA^"!-^ '-Pî ]^?+f/ I [-J^ (fPi + J^ f'/'^J. 

où w/et Wj désignent des fonctions quelconques de /?,, /^j, <7 telles que l'on ait 

Op. ~ dpC 

et où cp, tpi, es, désignent des fonctions quelconques de q et g''. Supposons que 
l'on exprime /?,, />n en fonction de </, q' au moyen des relations 

f91I f)H 

-7— = o, ^T— = o, 
()/?, dp. 

et que l'on en déduise les expressions de /?',, p\; si l'on remplace ensuite, dans 
la troisième équation analogue à celles de Lagrange, />,, p\, p^, p\ par les 
expressions ainsi obtenues, celte équation se transforme en 

dt àq' dq ~ ^' 
011 l'on a posé pour abréger 

'^ = V IW^'^ ^J ''^ -^ '' '^^'^ + ^('7' <? )' 

4^ désignant une fonction arbitraire de q. 

2. Il peut encore se présenter trois cas où les équations analogues à celles de 
Lagrange se réduisent, par suite de la forme particulière donnée à la fonc- 
tion H, à un nombre moindre d'équations du même type. 

On montre d'abord que la condition nécessaire et suffisante pour que dans les p 
premières équations envisagées ne figurent ni les paramètres /?,, p., . . ., p , ni 
leurs dérivées //, , p'.,, ..., p' , est que la fonction H soit de la forme 

P P P 

" = ^ ^ '■r,!iP'rP'8+ y^ P'd^S-^ ^S] 
i—i = 1 Ô=I 



r^N„ 



P 



r, = l ' ' ' r - i 

où R|, R,, ..., R , T,, T;, ..., T^ et U désignent des fonctions quelconques de 
^1, <7;, . . ., q^, q\, (jr,, . . ., q' tandis que N,, N,, . . ., IN désignent des fonc- 
tions de p,, p., •..,/?,. ^p q., ■■•, q„ cboisies arbitrairement parmi celles 
pour lesquelles on a 

dp,-. àpr, ' 

c, p r, ;, , . ., c^_, j. désignent des constantes arbitraires telles que l'on ait 



REVUE DES PUBLICATIONS. y 

Pour que de même les paramètres /?,, /?,> ■••> P^i ^^ leurs dcriM-cs p\, 
p\, . ■ ■ , p' ne figurenl pas dans les a dernières équations envisagées, analogues 
à celles de Lagranî^c, il faut et il suffit que, dans l'expression précédente de H, 
les R^ soient de la forme 

K,î= l^L^^'i-t- l^^.^^'j -•-•••+ l^.T,i'7^' (5 = 1,2, ...,p), 

et que les T,. soient de la forme 

T.= T,,9',4-T,^,^^-i-...--T,^,^;^c,, (/• = !, 2 0), 

où c,, Cj, . . -,0^ sont des constantes et les R,^, R, j, . . ., R,,^, T,^, To ^, . . ., T, ^ 
des fonctions de q^, q^, ..., q„ choisies arbitrairement par celles pour les- 
quelles on a 

(S = ), 2, ..., p; £ = i, 2, ..., a;/' = i, 2, ..., p; 5 = 1, 2, ..., c). 
Lorsque Ion est dans ce cas, on peut éliminer les dérivées secondes p\, 
pl^ ...,/?" entre les p -)- a équations analogues à celles de Lagrange, et l'on 
obtient alors, comme résultat de cette élimination, les s équations du même 
type 

où l'on a posé pour abréger 

K = U+ ^ V q'i\ [C,,R,,^-C,,R,,-h...+ Cj,R,JR,„H-... 



-^ [ C,j R,, + C,, n.„-^. . . -h C„ R,j ] R,,j j 

p ^ 

- y) C.J [ R ,^ rf^, + R,., rf<7: H- • • • + R.;x dq, ] , 
a= 1 

C,, C,, ..., C, et C,,, C;|, ..., C,, désignant des constantes arbitraires telles 
que l'on ait 

C,t= C;.,., (i = 1, 2, ..., p; A- = 1, 2, ..., p). 

On montre ensuite que la condition nécessaire et suffisante pour que les 
p premières équations analogues à celles de Lagrange ne dépendent ni de /?'|, 
p"„, ...,/?" ni de /?!, p^, ..., p^, et que les c dernières équations analogues à 
relies de Lagrange ne dépendent pas de /?,, p^, ...,/?^, est que la fonction H 
soit de la forme 

-^ 1 '// 7 Ly^; ^'' - ,)^; ^^ -^ • ■ -^ ;^ ^v 



o SECONDE PAKTIE. 

où Cp C;, ..., C, désignent des constantes; w,, i,k, ..., w^, 6 des fonctions 
quelconques de q^, g.,, ..., q^, q\, q'„, ..., q'^\ <^|, <!>., ..., <I>^ des fonctions 
quelconques de (7,, 7^, ..., q^\ enfin fl,, îîj, ..., 9.^ des fonctions de /?,, 
p^, ..., /?,, 7,, ^2) • • • ; 7s choisies arbitrairement parmi celles pour lesquelles 
on a 

5/^"^"'^'" ('■ = '''' •••'p;^ = ''^' •••'?). 

où c, ,, c, 2, ..., r^ , sont des constantes, d'ailleurs arbitraires. 

S'il en est ainsi, les premières des p + a équations analogues à celles de 
Lagrange se réduisent à celles-ci : 

(/• = 1, 2, ..., p), 
tandis que les z dernières peuvent se mettre sous la forme 

(5 == 1, -J, ..., 5), 

donc sous une forni» qui est encore analogue à celle de Lagrange. 

Si, pour simplifier, on se borne au cas où p et a sont égaux à 1, on montre 
enfin que la condition nécessaire et suffisante pour que la pi-emièi'e équa- 
tion analogue à celle de Lagrange ne contienne ni p' ni //' et que, en éli- 
minant p entre les deux équations analogues à celles de Lagrange. on ob- 
tienne encore une équation du même type, est que la fonction H soit de la 
forme 

\i ^-^.{p, q)p'-^ o{p, q. q'), 

où 9 et 'j;, désignent des fonctions arbitraires, la jjremirre tie p, q, q', la se- 
conde de p, q seulement. Si l'on pose 



K = [o] 



^■/[m"^'' 



où les croclicls indiquent c|uc l'on a remplacé p dans les expressions enUc 
crochets par sa valeur en fonction de q, q', la seconde équation de Lagrange 
peut se mettre sous la forme 

Si p et 5 ne sont pas égaux à i, on ol)licnt un théorème analogue. 

3. M. Kœnigsberger étudie ensuite de plus près le problème sui\ant, qui 
rentre dans le cas du n° 1, où la fonction II ne dépend pas de/?,, p.,, .... p,^. 

Soient M,, M,, -M;, trois points matériels de masses /«,, in^, ni^ et de coor- 
données .r,, _T|, z^\ .r.j, 1';, z.,\ Xy y.,, ;;,, par rapport au trièdre trirectangle 
lixc qui oriente l'espace. Supposons qu'il n'y ait qu'une équation de liaison 

-=. = ./'L'i^i- .''[• -^j- y-i-: -u- -Pj- .r.(' -J- 



RliVUli UliS PUBLICATIONS. n 

quil n"v ail [las de forces extérieures et (|ue lu fonction des forces inlérieures 

U( j;,. .>',, ;,, a-,, r,, -•., ^3- .v.i- ~.) 
soit donnée. Nous prciulrims pour paramètres les huit quantités o;,, >',, X2, y-.^ 

^11 •^3) y-it -^.i- 

Pour que le potentiel cinétique II = — T — U soit indépendant de ar, cl 
de r,, il faut d'une part (lue l'équation de liaison soit de la forme 

j, = ao^i-j- ^.)',-:- (o[j., j>'.,, -., X.,, y-.,, ^3], 

où a et 6 désignent des constantes, w une fonction quelconque ne dépendant 
que de o^^, j)';, ^2, ^3, Xn -".v ^'^î d'autre part, que U soit de la forme 

U = K[c,— «jc,— hy,. x.„ y., -=.,, x,, y^, -,,], 

ce qui implique que la direction de la force résultante donnée, appliquée au 

point n)atériel -M,, reste la même. dans l'espace. 

Les deux équations de Lagrange correspondant aux paramètres x^ et jKi se 

réduisent alors à 

. , , , f/'" 

{i-i-a-)x^-h aby^ '^'^'~"777' 

abx\ -\- {i -.- b-)y\= c. — ^"77' 

où c, et c, désignent des constantes dintégralion. Si l'on élimine o^J et j', entre 
ces deux équations et les six équations de Lagrangc correspondant aux para- 
mètres X.,, j'o, Z:,, x^, j'3, Zi, on obtient les six équations du même type 

d_ i)K _ ÔVi _ 
dt f)x\ ôx., 

d i)K d\\. _ 
dt ()y\ ()y.^ 

d ,)K r^ _ 
dt Oz^ ~ ôT, " "' 

où la fonction K est égale à 

Kr=— [T] — U — c,/»,[.r;] — c,;»,[r; J, 

les crocliets indiquant que l'on suppose que x[ et y[ sont remplacées par leurs 
valeurs en fonction de x^, y^. z.,, x^, y^, Zy 

i. Proposons-nous de reclierclier, en particulier, les conditions nécessaires 
et suffisantes pour que, dans le pi'oblèmc précédent, la fonction K qui remplace 
le potentiel cinétique H = — T — U dans celles des équations analogues à celles 
de Lagrangc qui corrcspundent aux paramètres x.^, j\_, z„, x.^, y^, z-^, soit de la 
forme 

K = — - I». C x'..- -- r'/- H- z'.- ) — - »r, ( x'^- -;- y'.- -r- ;',- ) — A\" ( /■, /•' ), 
où \\ désigne une fonction cjuclconquc de /• cl de /•', /•- étant égal à 

I- r {.r,— X,)--^.- (.)':: — .)'.;)' -H ( -, — Z.)-, 

et /•' (lé?ignant la déri>ée de /• prise par rapport à t. 



d r)K 
dt dx'^ 




d fM 

dt ôy. 




d ÔX'^ 
dt '()z\ 





2 SECONDE PARTIE. 

La solution de ce problème est comprise dans celle du problème du numéro 
précédent; West nécessairement de la forme 

et l'on voit aisément qu'il faut et suffit que, d'une part, l'équation de condi- 
tion soit de la forme 



/2{i-{-a-~i- b-) Cl — -— . 
z,^ax,-\-by,-^y -^ -^ '- I ^<s,ir)dr, 

où a et b désignent des constantes, et, d'autre part, que la fonction U soit de 
la forme 

U = a>[c,— «j;, — by„ /•], 

où 4> est d'ailleurs une fonction quelconque de ses deux arguments. 
Si l'on prend, en particulier, pour la fonction W, la fonction 



-"■.'•■)=^(-F> 



OÙ A" désigne une constante, l'expression de Iv se réduit au potentiel cinétique 
correspondant à la loi d'attraction de William Weber. Le dernier théorème 
entraîne alors>la proposition bien curieuse que voici et qui mettrait nettement 
en évidence, si elle ne l'était déjà autiement, l'importance de la notion de 
mouvement caché : 

« Pour que l'on puisse identifier le mouvement de deux points matériels 
libres M^ et Mj, s'attirant suivant la loi de William Weber, au mouvement de 
ces deux mêmes points s'attirant suivant la loi de Newton il suffit, sans changer 
leurs masses, de leur adjoindre un troisième point M, de masse quelconque 
donnée wz, (le point caché), et de supposer que ce troisième point M, soit assu 
jetti à se trouver à tout instant à une distance d'un plan fwe égale à 



\/' 



— - — - ri, 
"h 

r désignant toujours la distance des deux points envisagés AL et M,. » 

5. On démontre, de même, que la condition nécessaire et suffisante pour 
qu'un ensemble formé par trois points matériels soumis à deux liaisons bila- 
térales et sur lesquels n'agit aucune force extérieure, admette un potentiel ciné- 
tique indépendant de l'une des neuf coordonnées des trois points de l'ensemble, 
est, si Xi désigne cette coordonnée : d'une part, que les deux équations de con- 
dition soient de la forme 

y, = ax^-h V, ;, — bx^-'x- <1>, 

où a, b désignent des constantes et F, <I> des fonctions, d'ailleurs quelconques, 
ne dépendant que des coordonnées x.,, j%, :■„, x^, -)'.„ z^, et, d'autre part, que la 
fonction des forces intérieures soit de la forme 

U = /[j'i — «■^1. =, — Z*^i, X.,, y.„ z.,, .r,, y.j, z,], 

où / désigne une fonction quelconque de ses huit arguments. 

.Nous prendrons pour paramètres les sept variables indépendantes x^, x„, y... 



KEVUli DliS FUBLICAIIONS. i3 

^2, ^3) J)':i. -:). L'équation de Lagranue corrcsponclanl au paraniMrc x^ se ré- 
duit à 

où c désigne une conslaiile d'inlégration. Si l'on élimine x\ cnlie celte équa- 
tion et les six équations de Lagiange correspondant aux paramètres a;,, ^2,^2» 
^3> y^ ^3' °" obtient les six équations du même type 

d_ dli _ dK^ _ d_ dK _ dK _ 

dt dx\ ôx^ ' dt dx'j^ dx^ ' 

d dK^ _ÔK^ _ d i)\k ôK _ 

dt dy\ ôy._ ~ ' dt ày', Oy^^ ~~ 

Tt 'ùz^..~ 'ï)z..~^^' TTt àz'. ~ àz. " '^' 

où la fonction K est égale à 

K =_[T] — U — cni,[>r;], 

les crochets indiquant que l'on a remplacé x\ par sa valeur 

f/F , d<l' 
dt dt 



1 4- «- -h b- 
En particulier, pour que Iv soit de la forme 

K. = — /«2 ( -r':- + y'i + -î' ) — - "'3 {^7 +y? -^ ^•? ) — ^^ ( '■> '■' )t 

où W désigne une fonction quelconque de /• et de /•', qui est nécessairement 
de la forme 

il faut et il suffit que les fonctions F et *I> ne dépendent que de /• et soient 
égales à 



-a(i-Fa--f-6-) -fi {r)-hb<j2mtC'-(d--i-b-)'S:,{r) — {i-hd--i-b-):s1(r) ^ 
cmi{a-+ b-) 



b{i-\-a--hb-) '■>^{r) — a\/^2mlC- {a■-h b-)~„{r)— (t-t-a--f- 6-) »;(/•) 



J cmi{a--h b-) 

Si l'on prend pour W la fonction de \\ illiam Weber, 
ï»,/ ,^ m^m^/ r'-\ 

où k désigne une constante, auquel cas U se réduit à 

m, m, 3 
U = — ' — m.c-, 

r j 

on obtient un tlicorème analogue à celui du numéro précédent : 



li SlîCONDIi PAUTIK. 

« Pour que l'on puisse idenlificr le mouvemcnl tic deux jioiiils matériels 
libres iMo et j\I,, s'attirant suivant la loi de William Weber, au mouvement de 
ces deux mêmes points s'attirant suivant la loi de Newton il suffit, sans 
changer leurs masses, de leur adjoindre un troisième point M, de masse quel- 
conque donnée rn^ ( le point caché), et de le supposer lié aux précédents par la 
condition de se trouver à tout instant à des distances de deux plans fixes, 
perpendiculaires entre eux, respectivement égales à 






/• désignant toujours la dislance tles deux points envisagés Mn et Mj. » 
Von Bezold (H .). — ■ Sur la throrie du magnétisme terrestre. 

(4 14-449)- 

Avec deux cartes se rapportant aux variations diurnes du magnétisme 
terrestre. 

Rôntgeji (Jv.-C). — • Nouvelles observations sur les propriétés 
des rayons X. (ojG-oga). 

Fuchs (L.). — r.onlribution à la théorie des fonctions abéliennes. 

(6o8-G9.i). 

La dépendance des modules de périodicité de l'intégrale d'une fonction 
rationnelle d'un point analytique d'une surface de liiemanii, des coefficients 
de la fonction rationnelle d'une part, et d'autre part des coeflicients de l'équa- 
tion algébrique qui définit la surface de Riemann, ne peut être mise en pleine 
lumière que par l'étude des équations différentielles qui vérifient les modules 
de périodicité envisagés comme des fonctions de ces coefficients. 

Dans le tome 73 du Journal de Crelle, M. Fuchs a démontré que ces équa- 
tions diiïérentielles sont toujours linéaires, mais il s'est contenté d'indiquer 
sommairement leur mode de formation. Dans le tome 71 du même Journal il 
les a formées explicitement dans le cas des intégrales hyperelliptiques; dans 
le Mémoire actuel il se propose de montrer comment on peut les former dans 
le cas général d'une intégrale abélienue quelconque. 

Première solution. — Soit 

f 



I = I sdz 



une intégrale de première espèce correspondant à une surface de Riemann de 
genre p n'admettant que des points de ramification simples (z, s) correspondant 
aux valeurs 

où /., /,',, ..., /i„,_| sont des quantités indépendantes les unes des autres, l.r. 
cocflicicnl dillerentiel .v est délcrmini' par la ciMidilion de s'annuler en 



KKVUli UliS l'UlMJCA I IONS. i ■. 

( p — \ ) points an;ilyti(iiics arbitrairement fixés sur la surface de Miiniana envi- 
sagée, autres que les points de ramification de retlc surface. 

M. Fuclis démontre d'abord que, si tx désigne un quclcon([ue des nombres 
entiers plus petits que 2/?, il est impossible de déterminer a -+■ i quantités ^„, 
."î, [i.^. indépendantes de ;; et telles que l'expression 

Ti I-t-i h.. -(-3 

soit une fonction algébritjue de la variable z. Il en résulte que l'équation diiïé- 
renlielle que vérifient les modules de périodicité d'une intégrale abélienne de 
première espèce ne peut être d'ordre inférieur à 2/7. Elle ne peut d'ailleurs pas 
être irréductible et d'ordre supérieur à y.p {Journal de Crelle, t. 73); elle est 
donc nécessairement d'ordre 2p. On peut aussi dire ( Appkli. et Goursat, 
Théorie des fonctions algébriques, p. 338 ) que 

,)\ (ï-l àf'' I 

forment un système fondamental. 
Soit 

o'-m ^ <;-/'-' n ^ d-p--n 

r'2„_2 



dk-f ' =''^' dk-P-' '^-P— dk-P 



,+ 2,,n = o 



l'équation dilVérentielle que vérifie un module de périodicité quelconque n de 
l'intégrale I. En suivant un procédé analogue à celui qu'il avait développé dans 
le cas des intégrales hypcrelliptiques (Journal de Crelle, t. 71), M. Fuchs 
montre comment on peut former |3„, jil,, .... ^ij ;. ^l.p_|■ 
Désignons pour abréger par 

(A, !J^) 
la somme des résidus 

on particulier par (o, a) la somme des résidus 
les ip relations linéaires 

( A, 2 /> ) + ?,^,_, ( A, ■?.p-l)-r- ?.,,„. ( )., a/; - 2 ) + . . . 4- ?„ ( A. .. ) = o, 
(À = O, I, 2, .... 2p — 1) 

[•ermeltent alors d'évaluer les ip inconnues ^,„ ^,, ..., ?2,,-2i ?:,.-r 

M. Euclis montre d'ailleurs que l'on peut se contenter de calculer directe- 
ment pour ilia(|uc entier ;x plus petit ((ne '\j) — i, la somme des résidus 



(o. /) ) 



V 



-[S']^ 



t)n a, en effet, la rohtliun 



(,;,u) = --(o, :.,_i-^^(.. :x-^0+'--f-r-^77:;r^(-:- + ^) + 

~ (— OfCo. a-H Y). 



G SliCONDK PAUTIE. 

Deuxif'.nie solution. — Elle consiste à évaluer dircclenient lu fonction 
rationnelle R clo {s, z) à laquelle est égale l'expression 

et ce procédé est, lui aussi, analogue à un procédé déjà employé par M. Fuchs 
dans le cas particulier des intégrales hj perelliptiques {Journal de Crelle, t. 71). 
Cette fonction rationnelle R de (5, s) une fois connue, on déduit de la relation 

'■> ^ _ <= à-P-'s ^ d-P-'S ^ _ dR{s, z) 

''-r dk'-r ■ ''=/'-' dk-P-' "^ '■^-"-^ dk'-P- ^-- • • + i^o* - ^). 

(en comparant les développements de ses deux membres aux environs d'un 
même point z, d'ailleurs quelconque), les valeurs des rapports 



de ses divers coefficients. Observons en passant qu'il est avantageux {Journal 
de Crelle, t. 71 ) de développer les deux membres de la relation précédente, 
aux environs du point z = k. 

En intégrant les deux membres de cette même relation, le long d'une cou- 
pure quelconque et en désignant par II le module de périodicité correspondant, 
on obtient l'équation différentielle cherchée 

^^ d-i'U ^^ d-P-^n ^^ d-P'-n ^ 

^-P dk-P ^-P-' dk-P-' '-P'-dk-p-- '^" 

Troisième solution. — Nous n'avons plus besoin ici de l'hypothèse restric- 
tive faite au début des deux solutions précédentes. De plus, nous pouvons 
prendre pour la variable indépendante dont nous faisons dépendre les modules 
de périodicité, non plus nécessairement la valeur k de z correspondant à l'un 
des points de ramification de la surface de Riemann envisagée, mais, si nous le 
voulons, un paramétre quelconque \ figurant dans les coefficients de l'équation 
algébrique F = o entre s et ^ qui définit cette sui'face de Riemann dont la 
classe de fonctions algébriques correspondante dépend essentiellement. Si |j. est 
le degré de F envisagée comme fonction de .9, on a alors 

ds 

-7- = a„-t- a, S -H . . . -t- a... s^-\ 
oz ■ 

as 

^ = To-f- Yl*-'-----l-ïa-l«''" ' 

où «„, a,, . . . , a,^_,, Yj, y,, . . . , y^ , désignent des fonctions rationnelles de z que 
l'on sait former. On en déduit que, pour l — ï. 2, . . ., f*. — i, la quantité 

<^ 

est égale à la somme, d'une part de dérivées, prises par rapport à z, de fonc- 
tions rationnelles de (s, z). et d'autre part, d'une expression de la forme 



4M,.o-M;., + Mj;i-...= M'^^î]. 



UIÎVUI-: DHS PUBLICATIONS. 17 

(III M,,j, iM, ,, M, 2, ..., M; ,i_., ilésignciU des fondions rationnelles de z (dont 
quelques-unes peuvent être identiquement nulles), et où les accents i, 2, ..., 
[X — I, indiquent des dérivées d'ordres i, 2, ..., \x — i, prises par rapport à z. 
De ce qu'il existe, dans tous les cas, des quantités jî^, [i,, ..., jj, , indépen- 
dantes de z et telles que la somme 

puisse se mettre sous la forme de la dérivée, prise par rapport à z. d'une fonr- 
lion rationnelle de (s, z), on déduit donc que l'expression 

où l'on a posé pour abréger 

peut être mise sous la forme d'une dérivée, prise par rapport à .;, d'une fonc- 
tion rationnelle de {s,z). Or, les conditions nécessaires et suffisantes données 
par M. Ilumbert {Acta niatheinatica, t. X) pour qu'une fonction rationnelle 
quelconque de (5, z) puisse être mise sous la forme d'une dérivée, prise par 
rapport à z, d'une fonction rationnelle de (5, ;;), se réduisent, dans le cas actuel, 
à ce que les sommes des résidus des quantités 

4 ?o Po+?, Pi ^- ••-;-?,,?,,]:„., (m = i, 2,..., 2;;), 

où Ç,, Ç.j, ...jÇ, désignent un sjstème fondamental d'intégrales abéliennes, 
soient nulles. Ces 2/> équations de condition sont linéaires en p,, p,, ..., |3;,_,; 
elles permettent d'évaluer les rapports de ces 2/) -1- i inconnues. 

Mais alors l'intégration, le long d'une coupure quelconque, de ré(|uation 

o <. , o '^^ , ,0 d'fs ■ dW{s, z ) 

' " ' ' (^; ' -'' c/ç-/' ÔZ 

fournit immédiatement l'équation diflérenticllc 

qui vérifie les modules de périodicité 11 des intégrales abéliennes de première 
espèce, envisagés comme fonctions du paramètre \. 

L'ordre de cette équation dilTérentielle n'est pas nécessairement égal à 2/7; 
il peut être plus petit. On démontre que la condition nécessaire et suffisante 
pour que le sjstème 

forme un système fondamental, est que l'équation 

n?aPo+?,P, + .- •+?.?;,]= ^^^^^' 

où R désigne une fonction rationnelle quelconque de (5, z), ne puisse être 
Bull, des Sciences malhém., 2'" série, t. WIV. (Février 1000) H. 2 



r8 SECOiNDE PAHTIK. 

vérifiée par moins de . 

|JL + I = 2jO + I 

quanlités pu, pp ..., |2,^, inclépendanlcs de z. 
Supposons que 

^ dl d-l ()-;'-•! 

^' Dr w ■■■' ^)i^^ 

forment un système fondamental ; désignons alors par iï une intégrale ahciieniie 
quelconque ne devenant pas infinie logaritlimiquemcnt, et par T un module de 
périodicité quelconque de il. On démontre que T est une fonction linéaire 
liomogène (à coefficients indépendants de z, que l'on sait évaluer), d'un des 
modules de périodicité II de I et des dérivées de II d'ordres i, 2, ..., p — i, prises 
par rapport à ?. Nous dirons que T et II se correspondent. 

Si -r^ et ^— contiennent ? dans le même domaine de rationalité {Journal 

ut, oz 

de Crellc, t. 71, t. 73 et Sitzungsbericlite, 1888, p. 127a), T et II font partie 
de la même classe d'équations dill'érentielles linéaires liomogènes précédentes, 
formées en prenant \ comme variable. 

Pour en donner un exemple, supposons que \ etr, désignent deux paramètres 
essentiels, indépendants l'un de l'autre, figurant dans les coefficients de 
l'équation algébrique qui définit la surface de Riemann envisagée, et prenons 

pour £i la fonction 

01 r ils , 

on aura alors entre les modules de périodicité correspondants T et n la 
relation 

Il en résulte {Sitzungsberichte, 1888, p. 1278) que le groupe de substitu- 
tions appartenant à réc[uation différentielle des modules île périotlicilé de l'in- 
tégrale I ne varie pas d'une façon continue avec r,. 



2" semestre 1897. 

Bollzmann (L). — Sur des phénomènes de ravonncnient qui 
sont irréversibles. (660-662). 

Sans contester l'importance que peuvent avoir les formules établies par 
M. Planck dans trois Communications successives à l'Académie ( Sitzugsbe- 
ritchte, iSgô, 1896 et 1897) pour relier des expériences faites ou à faire avec 
des résonateurs électriques, et peut-être aussi pour l'étude de la dispersion de 
la lumière, M. Boltzmann déclare être en désaccord absolu avec M. IManck, 
quant aux conséquences que M. Planck a tirées de ses formules pour donner 
une explication de phénomènes irréversibles, ou même seulement pour repré- 
senter schématiquement ces phénomènes, au moyen d'actions conservatrices. 
Il ne trouve, en particulier, dans les déductions mathématiques de M. Planck, 
aucun résultat pouvant servir à représenter le rôle joué par l'entropie dans 
les phénomènes envisagés; or ce serait là ce qu'il faudrait trouver avant tout. 



lUiVUK I)i:S PIJHIJCATIONS. 19 

M. Iîi)lt/iiiaiiii cile de plus iiii f;iil (jui est en ((uiLrailif lion avec les résultais 
fihlcniis par M. l'Ianck. 

Eschenliagen {M-). — Sur des variations périodiques rapides du 
iiiagnélisnie terrestre, de faibles amplitudes. (G-S-686). Avec une 
carte. 

Plaiick [Max). — Sur des piiéuouiènes de ravoiinenient qui sont 
irréversibles (deuxième article), (ji'^-yij)- 

M. i'Iaiirk itipuml aux rriLi(|iios forniiiiécs par M. lîoltiuann sur le conlcnu 
(le son premier article. I^e fait rite par M. Holtmaiin et qui est en contradiction 
avec les résultats déduits ties formules de M. PlancU, concerne un cas siugulier 
(|ui est exclu a priori par les hypothèses faites par M. Planck au début de ses 
recherches. Ce cas singulier ne se présente d'ailleurs jamais d'une façon absolue 
dans la nature; (|uand il s'y piésente, c'est seulement d'une façon approchée, 
et alors le problème n'admet plus de solution déterminée tant (ju'on ne donne 
])as au résonateur envisagé certaines propriétés particulières. 

M. l'Ianck résume ensuite les recherches contenues dans son premier article. 
Aux environs immédiats du résonateur envisagé, les phénomènes électroma- 
gnéti(|ues dépendent d'une seule fonction F de t et de la distance r, vérifiant 
ré(|uali<jn aux ilérivées partielles 



^'1 
dt- 



f ~ /•- âr l' Or 1 ' 
dont l'intégrale générale est, comme on sait, 

où f el g désignent des fonctions arbitraires d'une seule variable. Ici f se 
rapporte aux ondes se propageant extérieurement, g aux ondes se propageant 
intérieurement. Or, les hypothèses sous les([uelles on étudie le problème per- 
mettent de montrer que la fonction g est constamment nulle ; sous ces hypo- 
thèses, le phénomène est donc irréversible. 

Cette déduction est rigoureuse ; il ne reste donc plus des critiques de M. Boltz- 
mann que celle concernant le granil nombre de questions se rapportant au 
même objet que le Mémoire de AI. Planck, et qui sont encore laissées sans 
réponse dans ce .Mémoire. M. Planck estime c|u'il j a peut-être plus de chance 
de résoudre ces questions en suivant une voie analogue à celle qu'il a suivie, 
dans un cas très particulier, dans son premier Mémoire, qu'en cherchant ù 
faire dépendre de l'état initial de l'univers les conditions sous lesquelles un 
phénomène actuel est irréversible. 

Von MangoUlt ijl-). — Déiiionslratioii de l'égalité d'Euler 

N 

lllll > = o. 

/.— 1 



:o SECOiNDii PAUllE. 

OÙ [Jl(/i) est égal à i quand k = i cl quand /i est le produit duti 
nombre pair de nombres premiers inégaux, tandis que \*-{k) est 
égal à — I lorsque k est le produit d'un nombre impair de 
nombres premiers inégaux, et que l^{k) est nul lorsque A" est 
divisible par le carré d'un nombre premier autre que i. (835- 
852). 

En s'appuyant sur ce que, comme Fa monlié ^lobius (Journal de Crelle. 
t. 9), la somme 

jmmi 

étendue à tous les diviseurs cl d'un entier positif quelconque plus grand que i, 
est toujours nulle, et sur ce que, comme l'a montré M. Lipschilz ( Comptes 
rendus, p. 949; 1879), la somme 

où \ n] désigne le plus grand entier contenu dans n, et v le plus grand 

entier contenu dans — > est égale à i, quel que soit le nombre positif n, M. Man- 

goldt reproduit la démonstration du théorème de M. Gram {Mémoires de 
l'Académie royale de Copenhague, 6' série, classe des Sciences, volume II) : 
Quel que soit le nombre posilif n^i, la valeur absolue de la somme 

["1 

y !^(/0 

n'est jamais plus grande que i. 
La relation bien connue 

m 






où L y représente le logarithme népérien de j p tandis que C désigne la 

constante d'EuIcr dont la valeur approchée est 0,57721 et 6 un nombre compris 
entre o et i, permet ensuite à M. Mangoldt d'établir que la valeur absolue de 
l'expression 

ne peut jamais dépasser le nombre 3 -t- C, quelle que soit la valeur positive 
plus grande ou égale à i que Ton dunne à n. 



Kl- VUE DES rUIUJCATIONS. -m 

Les propositions que nous venons d'énoncer, quelques-unes des relations 
dcinontrces par M. Mangoidt lui-nicmc dans son Mémoire : Sur le non)I)re de 
nombres premiers plus petits qu'un nombre entier donné {Journal de Crelle, 
t. lli) et les théorèmes importants sur la fonction ^(5) de Riemann démontrés 
par M. Iladamartl {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4° série, 
t. I\) et par .^1. de la Vallée-Poussin {Comptes rendus, p. l'iyO; 1896) ont 
permis à M. .Mangoidt d'établir en toute rigueur la relation 






l.m - 

qui sert de base à la démonstration de l'égalité d'Euler, relation dans Laquelle 
L« et Lk désignent les logarithmes népériens de n et de /.-. 

Il en résulte, en effet, immédiatement que si l'on fait croître n de +1 à +00, 
la limite supérieure d'indétermination de l'expression 

/■ = 1 

ne peut être négative, et que la limite inférieure d'indétermination de cette 
expression ne peut être positive. Et il en résulte aussi, par des considérations 
moins immédiates, que si l'on fait croître « de -i- i à -l-a:, la limite supérieure 
d'indétermination de la même expression ne peut être positive et que sa limite 
inférieure d'indétermination ne peut être négative. Il faut donc nécessairement 

que l'on ait 

(«1 

« = 



lim \ ^ \" ' = o. 



De celte égalité «m déduit, comme corollaire, que l'on a 

lim - y 'j-(/.) =0, 
"-{'^r ) 

et plus généralement que l'on a, quel que soit le nombre réel a^ — i. 



lim -^ y !!(/.) A'- 



On montrerait de même que l'on a la relation 



lim -4— y :j.(/0 la- =ro. 
11 = 00 nLn ^md 

{ /, = 1 ! 



Enfin, en envisageant, au lieu de la fonction discontinue ji.(/."), la fonction 
discontinue X(A) définie comme égale à -h 1 ou à — 1 suivant que le nombre 
de nombres premiers, autres que i, contenus dans l'entier k est pair ou impair, 
on montrerait aussi, en raisonnant toujours de la même façou, que l'on a des 



2u SIÎCONDI-: PAiniE. 

relations analoj,'iies, en parliciilier la relation 

/ ["1 I 

lini ! - y A(/.) =0, 

de sorte que pour tic grands nonilires entiers positifs N, il y a, dans l'inter- 
valle compris entre i et N, environ le même nombre d'entiers qui contiennent 
en facteur un nombre pair de nombres premiers que d'entiers qui en contiennent 
un nombre impair. 

L. Kœnigsbergei'. — Sur la représenlaliun de la force en jMéca- 
nique analytique. (885-()oo). 

Soit 

(/•„7-,, ..., /■','•> 7-2, /•,, ...,/•!/, ..., 7\, /•/,■, •••,'•/.■ ) 

une fonction quelconque de k variables i\,i\, ...,7\ et de leurs dérivées /•'.' 
r'^,*. . ., r'i^; r'[^r".^, ...,r"i.; ...; r\ ,'"'2^', ...,7-/|!' d'ordres i, 2, ..., v, prises par 
rapport à une variable indépendante t dont dépendent les variables /•,, i\, ..., i\. 
Convenons de désigner sous le non\ A& fonctions adjointes à la fonction F tout 
système de /.• fonctions quelconques / de la forme 

r dV dF_ dV_ cli\ d^ dV_ d_ dV_ cPjj ^ ^ 1 

L'' àr/ dr'i' " *' ^/î^' ^' dt di\' *"' dt '^'' dt- ' dt- âr-' * " J 
(j = I, 2, ..., A), 

telles que si l'on remplace ;•,, i^, ..., r\ par des fonctions arbitraires de para- 
mètres indépendants q^jÇ^i •••>?.!' '^s ;->- relations 

' / = 1 ' 

(où, dans les premiers membres, F est supposée exprimée en fonction de (7,, 
q,, . . . , q ), soient vérifiées. 

Des les débuts de la Mécanique rationnelle, on rencontre des fonctions ad- 
jointes de fonctions données. Ainsi, dans l'étude du mouvement d'un système 
de n points matériels libres, on démontre que les composantes X,-, Y-, Z-, de 
la force totale donnée appliquée au point matériel de coordonnées x^, y,, ^,, 



sont liées à l'énergie cinétique T = - \ ni ■ {x}' + y'i' -h z'i' ) du système par 
les relations 



d dT dT 



Y, 


d èT 

- dt dy'i 






_ d d'Y 


r)T 


Z; 


~ dtj^\ 


^ àz. 



T- :> (« = i,-< ••.,«); 



lUîVUK DIîS PUBLICATIONS. 23 

si les II points du syslèmc envisagé sont soumis à des liaisons bilatérales, indé- 
pendantes de t explicitement, on peut exprimer les 3n coordonnées x^, ...,-„ 
de ces n points en fonction d'un certain nombre îi de paramètres indépendants 
/7i, y,, ..., (7^; on a alors, comme il est aisé de le vérifier, les \i relations 



cl 


i)T 


^)T 




dt 


âq'j 


^ 






i = n 

(=1 


iï- 


dxi 



'àxj dq^ "^ \dt ày'i àyj âq^ "^ \dt àz'c àzj dq^\ 
(y=i,2, ...,;j.); 

les composantes X,, V,, Z. (t = i.2, .... n) des forces données appliquées aux 
n points de coordonnées x-, y-, z. {i — i, 2, ...,/i), sont donc des fonctions 
adjointes de l'énergie cinétique du système formé par ces n points, supposés 
libres ou soumis à des liaisons bilatérales, indépendantes de t explicitement. 
Si l'on désigne par U le potentiel des forces intérieures, d'ailleurs quelconques, 
appliquées aux points du système envisagé, et par II le potentiel cinétique de 
ce système, en sorte que 

H= — T — U, 

on vérifie, de même, aisément que l'on a 

d dVl m _'yi" JY_ d_ m , ^\ dx, 
~ dt à^j '^ dq^ ^ Zi W dt dx'i '^ OxJ dq^ 

"^ V dt d/i '^ OyJ dq. ^ \ dt dzi ^ àzj dq.\ 



(y = i,2, ...,:x); 



les expressions 



(JH _ ^ ^ ô\\ _ d^ à}}_ ^ _ il ^ 
ùx^ dt ()x'i' Oy, dt dy'i' àz^ dt ,)z'i 



{i = I, 2, .... n), 



sont donc des fonctions adjointes du potentiel cinétique H du système matériel 
envisagé. 

Si, plus généralement, on envisage le mouvement d'un système de n points 
soumis à des liaisons bilatérales quelconques, indépendantes de t explicitement, 
pour lequel ]e potentiel cinétique H soit une fonction quelconque donnée des 
on coordonnées des points du système et de leurs dérivées d'ordres 1,2, . . ., v, 
sans être nécessairement la somme de deux fonctions analogues à l'énergie 
cinétique T du système et au potentiel U de ses forces intérieures, on démontre 
que l'on a entre les dérivées du potentiel cinétique H prises par rapport aux 
OH coordonnées a;,,^',, x;,, ..., ^„, J'„, -„. des n points du système et celles 
prises par rapport aux jx paramètres indépendants ^,. q.^, .. , q.^ au moyen 



2/, SECONDE PAUTIE. 

desquels on peut exprimer ces 3n coordonnées, les ;x relations 

dq^ dt dq'j '^ dt' dq) " '^ ^ '' df ^^^j) 

■ - v"r— — — — — ^— (—iv'^i^i^ 

2j l<)x\ dt dx'i ^ dt- dx'i ■■■'*' dt' ^)x^■')\ dq^ 

j = 1 ' 

v" F— _ -^- — -^ ^ _ f _ nv :^ ilLl ^ 

■^Zj Ydy^ dt Oy'i '^ dt^- dyl '••"^^ ^' dt" oiy-"J ()g,. 

V"r':^— — — —— — \' ^' -^^ 1 ^"' 

"^^ L^ f^^ ()^:- ■^ c;^= (^^- ■ ■ ""^ ^ f^^" ()s';» J àq^ 

/ = 1 ' 

(7=1, 2, ...,[J.), 

en sorLe que les expressions 



m_ 


d dM 


d'- 


dH 


dx- 


dt dx'i 


^ dO 


dx'i 


ÔW 


d dl\ 


d"- 


d\\ 


àyi 


dt dy'i 


-^dt^ 


ày'i 


d\i 


d dll 


d' 


f)H 


dz. 


dt dz'i 


^dt^ 


dz'i 



, >. <<' 


i)\\ 


■+<-'>5F 


dx'i' 


-<-"•!= 


dW. 


-<-)■■ li 


dz'T 



sont, quelles que soient les liaisons bilatérales, indépendantes de t explici- 
tement, du système de n points que l'on envisage, des fonctions adjointes 
du potentiel cinétique H de ce système. 

L'objet du Mémoire de M. Kœnigsberger est de rechercher toutes les fonc- 
tions adjointes d'une fonction quelconque donnée 

F(/-„ ;•;, . .., /•';'), /•„ r\,..., /-w, ...,'•„ n„ . . ., ;-^*), 

où /•,, •..,'"/^* ont le sens précisé au début. Cette recherche comprend, comme 
cas particulier, celle de toutes les fonctions adjointes du potentiel cinétique H 
d'un système de points soumis à des liaisons bilatérales quelconques données 
indépendantes de t explicitement. 

Plaçons-nous d'abord dans le cas où F ne dépend que d'une fonction r 
d'un seul paramètre q^ et de sa dérivée /•' par rapport à t. M. Kœnigsberger 
montre que, dans ce cas, il existe une infinité de fonctions adjointes à F parmi 
lesquelles nous citerons les fonctions 

dF à^ _ ± à¥_ ."/^y .,^ f^ 

dr' dr dt dr'^ \ài'' ) àr àr'^ 

Plaçons-nous ensuite dans le cas où F est de la forme 

^i'\, r\,i\, r'.,), 

i\ et /•, désignant des fonctions quelconques d'un seul paramètre y, et /''j, /■; les 



llEVUli DliS PUBLICATIONS. ^5 

dérivées de ces fonctions prises par rapport à f. On a alors manifcsteiiienl 

dr[ dq dr\ dq ~ Oq' 

\di\ dtJFJdq "*" \<)r.. dt dr'J ôq ~ dq dt ùq'' 
de sorte que les expressions 

dr\ ' dr\ 

^ _ ^ EL ^_iL^ 
ôi\ dt dr\ di\ dt àr\ 

sont deux systèmes de fondions adjointes de F. -M. Kccnigsbcrger montre qu'il 
n'y en a pas d'autres. 

Le même théorème a lieu lorsque F est de la forme 

F(/-„ /•;, i\, /•',, ..., ;\, ;•;,.); 

il n'y a alors que deux systèmes de fonctions adjointes de F, à savoir 

c)F 

M. 

ÔF d c)V 
di\ dt àr'f. 

Plus généralement, il existe précisément v + i systèmes de fonctions 
adjointes à une fonction F de la forme 

F(''p r\, ..., /•,", f\, /■:,, ..., H;'', ..., /-j, /•;., .... r'^); 

ce sont les systèmes 

, {i = i, 2, . . ., A) ; 

d¥ V d fW 







ÔF 


dF 






^' 


dZ' ■■ 


dF 


d ÔF 


ÔF 


d dF 


à'\ 


dt àr\ ' 


()r. 


dt dr.. 



dr':'-^' 1 dt Or' 



àF^__2.É.^^hl^ÉFL v(v— 1)...3.2 ^ OF 

dr'. 7 dt dr". "^ 73 dt- dr^ —■■■ <,— U i . o . . . ( v — i ) 'dt' Or'.'' ' 



{i = 1, 2, ..., k); 

^,_ y, d' d 

dr- dt dr'. ' dt- dr". ••' ' ^ ^> dt' Or'." 



dF d dF d^- dF , d' dF , . _ , ^ 

'ô7.~7rtÂ^'^'Hr-'rh:'>~--'^^—^y7rr' 7^3^' (i-i, 2, ..., A). 



Ces lliéorèmes s'appliquent immédiatement au cas où l'on prend pour /•[, 
/•;, ..., r^. les coordonnées des points d'un système de n points soumis à des 
liaisons bilatérales ne dépendant pas de « explicitement, cl pour F le potentiel 
cinétique de cet ensemble. En particulier, dans le cas du mouvement d'un 
système de points matériels soumis à des liaisons bilatéi-ales ne dépendant pas 
de t explicitement, cas où le potentiel cinétique est de la forme II = — T — U, 



26 SlîCOxNDK PARTIE. 

où T désigne rénergie cinétique et U la fonction des forces intérieures appli- 
t|uées aux points (œ^, y,, z-) de ce s^'stéme, on voit donc que, sauf le système 
de fondions formé par les dérivées partielles du potentiel cinétique prises par 
rapport aux composantes x'., y'., z', suivant les axes coordonnés, des vitesses 
(lcs_« points du svstènie, il n'y a (\ii'iin seul système de /onctions adjointes 
au potentiel cinétique H du svstùinc de points matériels envisagé, savoir le 
système 

'iii_i^f^ ^_ii^ ^_il^ (•- 

i)x, dt dx.' dy, dt dy'.' 0: dt dz.' (' - i, 2, • • -, «), 

dont les éléments sont égaux aux composantes de forces appliquées aux 
n points matériels quand ces points sont libres de toute liaison. On peut ainsi 
rattacher la notion de forces appliquées aux points d'un système de points 
matériels à celle de fonction adjointe au potentiel cinétique de ce système. 

\Veber [II.). — Sur les équations diflérenlielles des déplacements 
éleclrolytiques. (936-946). 

Les équations dilTérentielles à l'étude desquelles .MM. Kolilrauscli et Planck 
ont ramené l'étude du mouvement des ions dans des éleclroljses sont des 
équations aux dérivées partielles qui ne sont pas linéaires. Dans certains cas 
particuliers très simples étudiés par M. Weber, elles ont une forme analogue 
à celle des équations aux dérivées partielles auxquelles se ramène l'étude de la 
propagation du son dans l'air. Ces dernières équations ont été, comme on sait, 
intégrées par Hicinann; M. Weber montre comment on peut de même intégrer 
les équations auxquelles il est parvenu et en déduire des solutions élégantes 
des problèmes posés. 

Schivarz (//.-.!.). — Sur les fonctions implicites. (948-954)- 

Soient 

.Vp J':, ..., y„, ^„ a:., ..., x„ 

ni -f- n variables réelles pouvant prendre chacune toutes les valeurs plus petites 
en valeur absolue qu'un nombre positif 5' convenablement choisi; ces valeurs 
forment un domaine que nous désignerons par (S'). Désignons aussi par 

/-/.(rn ;':: ••■• J',„, -^n ^-27 ■■-, ^„), ( A == l. 2, ..., m), 

ni fonctions réelles univoques continues de ni -h n variables y^, y.,, ...jX,, 
admettant des dérivées partielles du premier ordre par rapport à y,, y^, ..., y,,^ 
en chacun des points analytiques {yi, y^, ••, ^„) du domaine (0'), dérivées 
qui soient, elles aussi, des fonctions continues de yi, y2> ■•■, ■x,,; désignons 
par 



of-. 



, , , / À = 1 , 2 , .... /?i \ 

J l.'i.\./ \-> ./ .1 1 J ,n1 P .' n/) \ a = I, 2, . . ., m/ 



ces diverses dérivées, et posons 

- - > / A = I, 2, .... m \ 

«■/■JL = //J0' o^ • ••' 0) o, 0, . . ., 0), ; 



IlEVUH l)i:S PUBLICATIONS. ?,7 

convenons enfin de n'envisager que tles fondions/,, /^, •••)/,„'I"' ^u'inulent 
lorsiiiic les m-hn variables y^, y^_, . . ., y,„, 37, , x-,, . .., a:,, s'annulcnl siniulla- 
nénicnl et qui soionl telles que le déterminant 

D = la,,J, n^-^'^' 

I ^..* " \[J. = I, 2, ..., 

ait une valeur diiïércnte de zéro. 

.M. Scliwarz démontre que, sous ces restrictions, il existe, aux environs du 
point analytique a;, = o, ..., x„ — o, un domaine déterminé tel que, pour chacun 
des points de ce domaine, les m équations 

/i -- o. /: = O) • • • ' /„. = " 

soient identiquement vérifiées quand on y remplace j',, jj'^, •■•! J'm par les va- 
leurs que prennent, en ce point analytique, m fonctions univoijues, continues 
réelles Y,, V„, ..., Y„, des variables a;,, a;,, ..., x„. Ces fonctions V,, Vj, ..., Y„, 
des variables x^^x., ...,a7„, que M. Scliwarz détermine, sont d'ailleurs infini- 
ment petites lorsque les variables x^^ x., ..., a;,, sont elles-mêmes infiniment 
petites. 

Frobenius (G.). — Sur la représentation des groupes finis au 
moyen de substitutions linéaires. (994-1015). 

Nous dirons qu"un nombre fini de substitutions linéaires, de degré n, 

^i = «n.ri + «i2j'2 + ----l-«i„J'»' 

■^2= «2lJI'l + «:2j''2 +■ • •-*- '^2,..>'n) 






dont les déterminants 1 ('(,3 |, | ^c.a 1' ••■ sont dilTérents de zéro, forment un 
groupe H' de substitutions linéaires, Iorsqu"en composant deux quelconques de 
ces substitutions on obtient quelqu'une d'entre elles. Nous conviendrons de 
désij;ner, pour abi'éger, par (A), (B), ... les substitutions envisagées et de dé- 
signer aussi par les mêmes symboles (A), (B), ... les matrices cori-espondantes 
de degré n dont les n^ éléments sont les coefficients rt^,., li^,^, ... de ces substi- 
tutions. D'après cela, la matrice (C) = (A)(B) dont les /;- éléments c^j sont 
tbjnnés par les n- relations 

c„3= fl,^,6,3-T- rtj,2^,,j-)-. ..-(- a„„6„g, (a, ? = i, 2, ..., n), 

correspond à une substitution linéaire (C) faisant partie du groupe H' envisagé. 

Nous dirons que les substitutions ( A), (B), ... du groupe H', ou encore que 

les matrices correspondantes (A), (B), ... repicsenlcnt un groupe (]uelconquc 



)8 SECONDE PARTIE. 

donné II, lorsque l'on peut faire correspondre les clémenls A, B, . . . de ce 
groupe donné II aux matrices (A), (B), ..., de façon que le groupe H' soit 
isomorphe au groupe H, en sorte que l'élément AB de II corresponde à la ma- 
trice ( A)(I}) de H'. L'isomorphisme peut être méroédrique; dans ce cas, G dési- 
gnant le sous-groupe invariant de H formé par les éléments de H auxquels 
correspond l'élément principal (E) de H', le groupe 11' est isomorphe lioloédrique 

au groupe—- La substitution (E) de H' correspond à l'élément principal E 
(j 

de H; elle est la sulislitution identique de H'. 

Nous dirons aussi que la matrice 

( A ) j:.v + ( B ) jCb -1- . . • , 

dont les II' éléments sont les fonctions linéaires 

«aS'^A-f- ^a3^1i + - • • , (a, P =: I, 2, . . . , /i ) 

tl'un nombre de variables indépendantes Xa, Xu, ■■■ égal ù Vorclie du groupe 
donné II, appartient à ce groupe II. Nous désignerons par 1) le déterminant 
de cette matrice. 

Un groupe quelconque donné H peut être représenté de diverses manières. 
Supposons, en effet, qu'il soit représenté par les substitutions (A), (B), ... d'un 
groupe H' et désignons par (P) une substitution linéaire quelconque de degré n 
dont le déterminant ne soit pas nul; le groupe H sera encore représenté, par 
exemple, par les subslitulions 

(P)->(A)(P), (P)-'(B)(P), .... 

Nous dirons de deux quelconques des représentations d'un même groupe 
donné H qu'elles sont équivalentes et nous dirons aussi que toutes les repi'é- 
sentations de ce groupe H forment une classe de représentations équivalentes. 
A chaque représentation du groupe H correspond une matrice appartenant à 
ce groupe; nous dirons de ces diverses matrices qu'elles sont, elles aussi, 
équivalentes et forment une classe de matrices équivalentes. 

Désignons par (-) le déterminant du groupe II ('); soit 

= */'.!.(. <pf:... 

où <I», <!>,, ïl>2, ... désignent les facteurs premiers de et/, /j, /;, ... les degrés 
de ces facteurs premiers. Envisageons une représentation déterminée du 
groupe H et la matrice correspondante appartenant à H ; le déterminant D de 
cette matrice est nécessairement contenu en facteur dans une puissance de 6 
convenablement choisie; en d'autres termes, D est de la forme 

D = <I>^ *I>f " <I>-^- . . . 

où s, S|, Sn, ... sont des entiers positifs ou nuis. 

Lorsque l'un de ces nombres est égal à i et que tous les autres sont nuls, on 
dit que la représentation envisagée du groupe H est primitive. Ainsi, à une 



(') Voir le compte rendu des Sitziuigsbericlile de 1896; Bulletin, lî^gg. 
seconde partie, p. afj. 



HEVUli DIÎS PUBLICATIONS. 29 

i"0|)ii;>cnlal inii |iii m il ivc d'un i;ron|)C II C()ncs|ic>iiil une matrice app;i itcnaiil à 
ce groupe II, donl le déleriiiiiianl I> est l'gai à iiti lachiif picriiior du dclermi- 
nant du groupe H. 

Il est bien remarquable qu'à chaque facteur premier du déterminant d'un 
groupe quelconque donné corresponde une représentation primitive de ce groupe 
au moyen de substitutions linéaires entre un nombre de variables indépen- 
dantes />/-ec/.se/»eH^ égal au degré du (acteur piemicr envisagé de 0, et n'en 
correspond qu'«/ie seule (au choix des variables indépendantes prés). M. Fro- 
benius rappelle que ce théorème appartient à .M. Molien ('). 

AI. Frobenius montre ensuite que l'on peut toujours trouver, parmi les 
matrices d'une classe de matrices équivalentes appartenant à un groupe II, une 
matrice dont le déterminant D se décompose en un produit de /-j-/,-4-/24-... 
déterminants D,, D,, ..., c'est-à-dire en un produit d'autant de déterminants 
qu'il y a de facteurs premiers (distincts ou non) dans le déterminant du 
groupe H; les déterminants D,, D,, ... ne peuvent d'ailleurs être décomposés 
davantage. Les matrices dont les déterminants sont D,, D,, ... font partie de 
la classe de matrices équivalentes à D et appartiennent donc toutes au 
groupe H. 

Les caractères du groupe H, étudiés par M. Frobenius dans un précédent 
Mémoire, ne permettent pas d'eiïectuer cette décomposition du déterminant D 
d'une des matrices de la classe appartenant au groupe H, en ses facteurs irré- 
ductibles D,, D,, ...; ils permettent toutefois de décomposer ce déterminant D 
en facteurs A,, A.,, ... respectivement égaux aux puissances des divers facteurs 
premiers du déterminant du groupe, indiquées par les degrés de ces facteurs 
premiers. Deux quelconques des facteurs A,, A,, ... obtenus au mojen des 
caractères du groupe H sont donc premiers relatifs. Il y a d'ailleurs précisé- 
ment autant de facteurs A qu'il y a de caractères dans le groupe envisagé H. 

On peut toujours s'arranger de façon que les matrices dont les déterminants 
sont égaux au même facteur du déterminant d'un groupe II d'ordre h 
soient identiques; les éléments de toutes les matrices partielles dont les déter- 
minants sont égaux aux divers facteurs de sont alors h variables indépen- 
dantes. De la matrice ayant pour déterminant le facteur <l», par exemple, de D, 
on peut alors déduire h substitutions linéaires qui forment un groupe iso- 
morphe à H; risomorpliisme peut d'ailleurs être méroédrique. 

C'est en s'appuyant sur quelques théorèmes bien curieux sur les détcrniinants 
dont les éléments sont des variables indépendantes que M. Frobenius est par- 
venu à ce dernier résultat. INous allons énoncer ces théorèmes : 

Soient x^^{ii, jî = i, 2, ..., «), n- variables indépendantes et X la matrice, 
de degré «, dont les éléments sont ces n- variables rangées dans un ordre dé- 
terminé. Désignons par X' la matrice conjuguée de X obtenue en transposant 
les lignes et les colonnes de X. Soient, d'auti-e part. A, B deux matrices dont 
les éléments sont des constantes telles que les déterminants de ces deux ma- 
trices soient différents de zéro; désignons par k le produit des déterminants des 
deux matrices A, B. Les deux matrices AXB, AX'B ont alors toutes deux pour 
déterminant le produit de k par le déterminant j X | de la matrice X, et dans 
chacune de ces deux matrices AXB, AX'B, les éléments sont des fonctions 



(') Comparez Mathematische Annalen, t. XLI, p. 12 '| et Sitzungsberichte der 
Naturforscher-Gesellschaft zu Dorpat. iS;)-;, p. 2.59. 



3o SlvCONDI': l'Ain 1 H. 

liiuMires de //'- vnriiihlcs indc'pcnthuUes j^^^^. M. l'robciiius (léinniilrc que, inver- 
sement, si les éiéinenls d'une matrice X sont des viiriubles indépendantes, et 
si Y désigne une matrice dont les éléments sont tles fonctions linéaires de ces 
variables indépendantes et dont le déterminant | Y ] ne did'ère du déter- 
minant |X| de la matrice X que par un facteur constant dill'érent de zéro, Y est 
nécessairement de l'une des deux formes AXB ou AX'Ii, A et B désignant deux 
matrices dont les éléments sont des constantes. Lorsque le degré de X est plus 
gi-and que i, une seule de ces tieiix alternatives est possible et les matrices A, B 
sont déterminées à un facteur numérique près. Si, en outre, les fonctions ca- 
ractéristiques des matrices X et Y sont égales, Y est nécessairement soit de la 
forme A\A~', soit de la forme AX'V^'. Lorsque l'on restreint rindépendance 
des variables x,^.^ par la supposition J?j^o= a^g,^, les théorèmes précédenls ont 
encore lieu; on démontre, en elfet, que si les éléments 

-^V/ï ( ? i 3t ; a, fl = I , -j , . . . , 71 ) 

d'une matrice S3'mélrique X sont des variables indépendantes, et si Y désigne 
une matrice symétrique dont les éléments sont des fonctions linéaires de ces 
variables indépendantes et dont le déterminant | Y | ne diffère du déter- 
minant I X I de la matrice X que par un fadeur constant (non nul), Y est 
nécessairement de la forme VXA', où A désigne une matrice à éléments 
constants, iléterminée au signe près, et A' la matrice conjuguée de A; si, en outre, 
les fonctions caractéristiques de X et Y sont égales, A est une matrice ortho- 
gonale. 

Les représentations priinitives d'un groupe donné H, par des substitutions 
formant un groupe H', mettent à nouveau en évidence l'importance des rela- 
tions obtenues par i\L Frobenius dans un précédent Alémoire, au moyen 
desquelles il a appris à calculer les caractères d'un groupe donné et, par suite, 
les coefficients des fadeurs premiers du déterminant de ce groupe. La voie dans 
laquelle ^L Dedekind avait engagé 1\L Frobenius à pénétrer se révèle ainsi 
couinie particulièrement féconde. 

JioUzinann (L.). — Sur les |)liénomènes de ravonnement qui sont 
irréversibles (second article). (ioi()-i oi 8). 

.M. Boitzmann re|irend, en la précisant, sa critique du Mémoire de AL Planck, 
critique à laiiuelle AL Planck avait répondu dans un article analysé plus haut. 
AL Boitzmann ne conteste pas l'utilité de recherches ayant pour objet de dé- 
couvrir un théorème, analogue à celui de Tentropie, qui concernerait les phé- 
nomènes de rayonnement; il croit que ce théorème doit exister, et il ne pour- 
rait que se réjouir de voir les recherches de AL Planck aboutir à sa découverte. 
Ce ne sont pas les calculs de AL Planck, dont il a jamais contesté l'exactitude, 
mais bien l'affirmation de AL Planck qu'il n'existe pas d'autres phénomènes 
naturels irréversibles que ceux engendrés par des forces conservatrices. Tout 
dépend, d'a[)rès AL Boitzmann, des conditions sous lesquelles on établit les 
théories servant à expliquer les phénomènes naturels, et il en donne des 
exemples. 11 éiuiinère ensuite quelques scrupules et réflexions que lui suggère 
la théorie de AL Planck et indique, entre autres, une contradiction entre cette 
théorie et l'idée émise par AI. Poincaré, d'après laquelle on ne saurait déduire 
des équations dillèrenticlles de la Alécanique rationnelle la descri|)tion de phé- 
nomènes iri'éversiblcs. 



U lîVUK DIÎS IMJ m. ICA 11 ON S. 3i 

l'IdiicL [A/aj'.). — Sur les nlnMionirncs de ra\ oiiiiciiioiit (|ui sont 
irréversibles (troisième iirlicle). (i 12:4-1 ^4^)). 

Désignons par F un point, source d'un rayonnement cleclroinagnéliquc dont 
la durée soit déterminée; supposons que ce point ne contienne qu'une quantité 
/inie d'énergie, de sorte qu'il y ait, quand le rayonnement est libre, un amor- 
tissement fini, quoique petit, de ses oscillations; supposons aussi que le point P 
soil contenu dans un espace vide, limité par des surfaces parfaitement rédé- 
chissanles, de dimensions très grandes par rapport aux longueurs d'ondes de 
ses oscillations propres. 

Si, à un instant déterminé t = t^, on donne l'amplitude et la phase des oscil- 
lations de la source P, ainsi que la répartition des forces électriques et magné- 
tiques dans tout le champ environnant, le phénomène que voici aura nécessai- 
rement lieu pour t '> t,, : d'une part,' la source P perdra, par émission, de son 
énergie et il en résultera donc un amortissement de ses oscillations; d'autre 
part, la source P verra son énergie augmenter par absorption de l'énergie 
provenant de toutes les ondes qui, venant de toutes les directions, passent en P 
et agissent sur la source P comme sur un résonateur. Mais l'énergie totale 
de tout le système ne change pas, car il ne se consomme d'énergie ni sur les 
miroirs parfaits qui limitent l'espace envisagé, ni dans le résonateur. 

Pour étudier le phénomène de plus près, M. Planck suppose que l'espace vide 
est une sphère au centre de laquelle se trouve le résonateur P et que, dans le 
vide envisagé, les ondes sont, quel que soit t, des ondes sphériques. En sup- 
posant alors que le coefficient d'amortissement du résonateur, le rapport des 
dimensions linéaires du résonateur aux longueurs d'ondes de ses oscillations 
propres et le rapport de ces longueurs d'ondes au rayon de la sphère creuse soient 
de petits nombres dont on puisse négliger les carrés, M. Planck obtient des équa- 
tions différentielles que l'on peut intégrer et qui correspondent au phénomène 
étudié, au degré d'approximation que l'on vient d'indiquer. Les intégrales de 
ces équations différentielles ne permettent toutefois pas d'obtenir la description 
du phénomène avec cette même approximation quel que soit t; en général, 
l'approximation diminue quand t augmente. Quoi qu'il en soit, en se bornant 
à un intervalle de temps limité (que l'on peut d'ailleurs prendre aussi grand 
que l'on veut, en choisissant des nombres suffisamment petits pour les i"apports 
dont on a négligé les carrés), on voit sur ces intégrales : 

1° Que le phénomène ne peut, en aucun cas, être renversé; 

•1° Que, sauf dans des cas d'exception bien caractérisés, il n'est pas possible 
que tout le système revienne à un état antérieur ou en différant très peu ; 

3° Que, sauf dans les même cas d'exception, les variations, par rapport au 
temps et au lieu, de l'intensité du rayonnement de l'énergie dans la partie du 
spectre sur laquelle peut agir le résonateur, se compensent nécessairement dans 
la suite des temps envisagés. 

Les phénomènes de rayonnement envisagés ont donc tous les caractères d'un 
phénomène irréversible, sauf dans des cas particuliers que rien n'cmpèche 
d'exclure. Il ne semble, d'ailleurs, pas difficile de montrer que les conditions 
initiales idéales sous lesquelles se produiraient ces cas particuliers ne sont 
jamais réalisées dans les phénomènes d'absorption et d'émission de rayons ca- 
lorifiques qui ont e(fcctivement lieu dans la nature 



3>. SECOxNDE PAKllE. 

Âfolien (T/i.). — Sur les invariants des groupes de substilulions 
linéaires, (i i Sa-i i56). 

M. Molicn moiiU'c comment les é([ualions cararléiisliqties des groupes de 
substiLutions linéaires permettent de trouver d'une façon relativement simple, 
le -nombre des représentations des variables d'un groupe de substitutions 
linéaires irréductible, par des fonctions entières homogènes des variables d'un 
groupe de substitutions isomorphe au premier. 

J. M. 



ANNALES DE LA Faculté des Sciences de Toulouse. 
Tome VIII; 189Î (i). 

Dahem (P-). — Les actions électrodynamiques et électromagné- 
tiques, 'iJ Partie. (A. \-oy). 

Suite du travail paru dans le Tome VII des Annales. L'auteur développe et 
généralise un certain nombre des résultats de ses Leçons sur l'Électricité et 
le Magnétisme, auxquelles il renvoie le lecteur. Le Mémoire comporte quatre 
Chapitres : l'induction électromagnétique et l'énergie électromagnétique; les 
forces électromagnétiques; l'analogie des courants et des aimants; l'aimantation 
par les courants. 

Casserai (E.). — Sur un théorème de M. Darboux et sur les 
congruences de droites. (B. 1-9). 

Ce théorème s'énonce ainsi : « Pour trouver la congruence la plus générale 
formée de coui-bes planes situées dans les plans tangents d'une surface (S) et 
qui sont les trajectoires orthogonales d'une famille de Lamé, on prendra l'une 
quelconque (S') des surfaces applicables sur (S) et l'on construira toutes les 
courbes (C) qui sont à l'intersection des plans tangents de (S') et d'une déve- 
loppable (A) circonscrite au cercle de l'inQni; si la surface (2') se déforme en 
entraînant les courbes (C), de manière à venir coïncider avec la surface pro- 
posée (S), la congruence des courbes (C) se transformera dans la congruence 
cherchée ». 

iM. Cosserat déduit ce théorème de l'étud. des congruences de droites distri- 
buées dans les plans tangents de (S). 

Cossei'al {E.). — Sur les congruences formées d'axes optiques et 
sur les surfaces à courbure totale constante. (C. i-3). 

A cluuiue jjoint M d'une surface (S) correspondent quatre axes optiques : 



C) Voir Bulletin, X\I,. p. i. 



HRVUK DES l'UBIJCATIONS. "î^ 

ce sont les axes des cylindres de révolution qui coupent le plan tani;ent en M 
à la surface suivant l'indicatrice de Dupin relative à ce point. L'auteur établit, 
pour les congruences formées par ces droites, les propositions suivantes : Si 
toutes CCS congruences sont formées de normales à une surface, la surface (£) 
est à courbure totale constante et réciproquement. 

Si les développables de l'une d'elles découpent sur (2) un réseau conjugué, 
(S) est à courbure totale constante et réciproquement. Si l'une de ces con- 
gruences est isotrope, les autres sont également isotropes et la surface (2) est 
une quadrique. 

Celte dernière proposition est la réciproque d'un théorème de M. Darboiix. 

Stoujf (A.). — Sur didéieiils points de la lliéoiie des fondions 
fuchsiennes. (D.i-20). 

La première Partie est relative à l'étude des groupes dont les substitutions 
peuvent être définies arithmétiquement ; elle forme la suite des .Mémoires pu- 
bliés par l'auteur sur ce sujet. 

Il examine ici des groupes fuclisiens à coefficients complexes, dérivant de 
périodes quelconques des racines ^'*°'«» de l'uniti', dans la formation desquels 
interviennent certaines substitutions linéaires de période (/? — i). La considé- 
lation des équations irréductibles du troisième et du quatrième degré à coeffi- 
cients entiers le conduit à des groupes de substitutions linéaires à coefficients 
complexes qui permettent une division régulière de l'espace en doubles pyra- 
mides triangulaires ou en octaèdres. 

La seconde Partie est destinée à rendre plus faciles à saisir certaines pro- 
priétés connues des fonctions modulaires; les principes de la théorie de la 
transformation y sont exposés à l'aide de la Géométrie de Lobatchefsky, en 
particulier pour les transformations du 5' et du ~' ordre. 

Cosserat (E.). — Sur la déformalion infinitésimale d'une surface 
flexible et inextensible et sur les congruences de droites. 
(E.1-46). 

Ce travail est en grande partie relatif à des problèmes qui se ramènent à 
celui, posé par M. Moutard, de la correspondance ponctuelle entre deux surfaces 
avec orthogonalité des éléments. 

L'auteur expose des résultats qui se rattachent surtout aux travaux de Hi- 
baucour et de AI. Bianchi et développe les propositions qu'il a énoncées dans 
les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (26 décembre 1*^92). 

La première Partie est consacrée presque entièrement au développement de 
certains points du Chap. XII du Mémoire sur la théorie générale des sur- 
faces courbes de Kibaucour. L'auteur calcule d'abord les variations premières 

des courbures — — -; et — -^ -, quand on passe d'une surface A à une surface 
rvK K K 

infiniment voisine .V. Dans le cas où la surface A', infiniment voisine de A, 

est applicable sur celte dernière si Ton néglige les infiniment petits d'ordre 

supérieur, la variation première de — est nulle : c'est la vérification d'un 
théorème classique de Gauss. 
Bull, des Sciences mathéni , :>' série, t. WIV. (Février n.,ou.j H. 3 



34 SliCONDE PAUTIH. 

M. Cossciat, adoptant la mélliode donnée par M. Darboux, qui consiste à rap- 
norler les deux surfaces A, A, au système conjugué commun, étudie ensuite la 
corespondance par plans tangents parallèles entre deux surfaces A et A, dans 
le ras où elle établit une représentation conforme de Tune des surfaces sur 
ranlre, c'est-à-dire le problème de M. Christoffel. Les considérations dont il 
fait tisage s'appliquent sans modifications essentielles à l'étude du problème de 
Bibaiicour : Quelles sont les enveloppes de sphères pour lesquelles la cor- 
respondance établie entre les deux nappes de l'enveloppe par les points de 
contact A, A, d'une même sphère, réalise une représentation conforme de 
l'une des nappes sur l'autre? En écartant les solutions qui répondent à des 
bypoibèses particulières [AA, passe par un point fixe, à distance finie ou non; 
les développables de la congruence engendrée par AA, sont confondues; ces dé- 
veloppables coupent (A) et (A,) suivant des lignes de longueur nulle], M. Cos- 
serat trouve les conditions, nécessaires et suffisantes, qui suivent : Les points 
focaux de AA, doivent être conjugués harmoniques par rapport à K et 
à A,; les développables de la congruence engendrée par AA, doivent dé- 
couper (A) et (A,) suivant des systèmes orthogonaux. 

Parmi les différentes formes que peut prendre une surface, quand on la dé- 
forme sans altérer la longueur des éléments linéaires, il y en a une pour la- 
quelle la courbure moyenne est maximum; c'est la forme limite de Ribaucour: 
M. Cosserat montre, en annulant la variation première de la courbure moyenne, 
que cette surface est isothermique. 

La seconde Partie traite du problème de la déformation infinitésimale d'une 
surface flexible et inextensible. L'auteur établit d'abord les liaisons classiques 
entre ce problème, la transformation par orlliogonalilé des éléments et la re- 
cherche des couples de surfaces applicables quand on donne le lieu des milieux 
des cordes qui joignent les points correspondants des deux surfaces du couple. 
Soient ensuite M,, M, les points correspondants de deux surfaces appli- 
cables (M,) et (M,), A le milieu du segment MiiM^; l'étude des congruences 
formées par les parallèles M, m,, M^ni, à '^ normale en A à la surface (A) 
conduit M. Cosserat à diverses propositions de Ribaucour dont il fait des 
a|)plirations au cas où (A) est à courbure totale constante et au cas où (A) 
est minima. Il établit les propriétés connues des congruences de Bibau- 
cour, formées, d'après M. Bianchi, par les parallèles menées aux différentes 
normales d'une surface (A) par les points correspondants d'une surface (a) 
qui lui correspond avec orthogonalité des éléments. Citons en particulier la 
proposition due à M. Guichard : « Toute congruence de Ribaucour découpe, 
par ses développables, sa surface moyenne (lieu des milieux des segments 
focaux) suivant un réseau conjugué », et aussi la suivante : « Toute con- 
gruence de Ribaucour admet pour représentation sphérique de ses développables 
celle des asymptotiques d'une surface ». 

La recherche des surfaces (a) qui correspondent à (A) avec orthogonalité 
des éléments linéaires conduit l'auteur à diverses propositions intéressantes dans 
les cas où (A) est une quadrique, une sphère ou une surface minima. Il expose 
ensuite la théorie des surfaces associées de M. Bianchi : couples de surfaces 
qui se correspondent par plans tangents parallèles de façon qu'aux asympto- 
tiques de l'une corresponde un réseau conjugué de l'autre. 

Il aborde enfin la recherche des couples de surfaces applicables en supposant 
connue la surface (A) enveloppe des plans perpendiculaires aux cordes qui joi- 
gnent les points corrcspoudniits, en Icuis milieux. Signalons un intéressant 



IIEVUIÎ DKS PU lUJ CATIONS. 35 

théorème de Ribaiicour dont M. Cosserat a développé diverses conséquences : 
« Soient deux couples (N,), (Nj) et (NJ), (M^) de surfaces applicables répon- 
dant à la même surface (A); désignons par B, B' les points où le plan tangent 
à (A) est rencontré par N^N, et N', N',; joignons N,B' et NJ B qui se coupent 
en N", N, B' et N^B (]ui se coupent en iS!,' ; les surfaces (Nj'), (N^') sont appli- 
cables l'une sur l'autre et les points correspondants Ps'J, Nj sont symétriques 
par rapport au plan tangent de (A) ». 

Bonasse (//.). — Etude des actions photographiques. (F. 1-5.2). 

Le Vavassear. — ■ Solution d'une question posée par M. Hermilc. 

(G. 1-3). 

L'intégrale elliptique de seconde espèce 

i = I /'' sn-^ dx 
peut s'écrire sous la forme 

J = K/.-=sn=(;, /.). 

^ étant compris entre les limites o et k. Cette quantité ; donne le maximum 

de la fonction - — -> comme le montre la relation de Jacobi 

&{x) 



on demande de la définir en fonction du module par une équation différen- 
tielle ( Ch. Hermite, Intermédiaire des Mathématiciens, n° 1; janvier 189')). 
L'équation différentielle demandée est 

_ [kHK — jy--h A'- J- ] [ J- — /■ - K^ ] [( K — J )- — /. '- K- ] ^ 
4 A-A:'2 [ KJ ( K — J ) ( /.■= tv — J )]^^ 

la fonction '; de A sera de la forme 

? = K/(A-) + Iv' =(/.■), 

les fonctions /et a étant données par des quadratures. 

Vessiot {£.). — Sur les systèmes d'équations dilTérentielies du 
premier ordre qui ont des systèmes fondamentaux d'intésTales. 
(H. 1-33). 

Il s'agit des systèmes 
(0 -^ =rf,{x,. ..., .r,,. t) (1 = I, ?., ..., n). 



3G SI<CONI)n PAiniE. 

pour lesquels l'intégrale générale peut se nietlre sous la forme 

(2 ) ar,. = «t, (j;,,, . . ., ^,„, a;,,, . . ., x ' Cj, . . ., c,. ) ( ^ = 1, 2, . . . , n) 

où a;,,, . . ., x,,,; . . .; x^,^, . . ., x^„ sont p intégrales particulières quelconques 
formant ce que l'on peut appeler un système fondamental, où c,, ..., c„ sont 
les constantes d'intégration, et où la forme des fonctions 4>; est indépendante 
du système fondamental d'intégrales qui y figure. M. Lie a, en elTet, remarqué 
{Comptes rendus, t. CXVI, p. i233) qu'à un sj'stème (i) correspondent parfois 
une infinité de systèmes de formules ( 2 ), le plus général dépendant de fonctions 
arbitraires. 

Dans le cas où il n'y a qu'un seul système de formules (2), M. Guldberg 
(Comptes rendus, t. CX.VI, p. 964) a montré qu'on peut appliquer aux sys- 
tèmes (i) la méthode employée par M. Vessiot pour une seule équation, le 
nombre p ne pouvant alors dépasser n + 2. M. Vessiot en a conclu ( Comptes 
rendus, t. CXVI, p. 1112) que ces systèmes appartiennent à la classe suivante : 

r 

(3) ^ = ^%{t)li,{^u---^-'^^u) {i = i, 2, ...,n), 

où les ç-i{x) sont les coefficients de /• transformations infinitésimales définis- 
sant un groupe fini continu de transformations 

n 

(4) x./= V^ç.(^„ ...,^J^ (y =1,2, ...,,•); 

i=l 

il propose de les nommer systèmes de Lie. M. Lie a en outre annoncé, dans la 
Note citée, que, dans le cas le plus général, la classe des systèmes (i) pos- 
sédant des systèmes fondamentaux d'intégrales se confond avec celle des 
systèmes de la forme (3). L'auteur commence par établir cette proposition. 
Soient ensuite 

( 5 ) x- = f^{x1, ..., x%\a^, ..., a_.) ( î = i , 2, n) 

les équations finies du groupe (4) correspondant au système, M. Vessiot 
montre qu'elles représentent l'intégrale générale du système (3) en y considé- 
rant a?J, ..., x% comme des constantes arbitraires, a,, ..., a,, comme des 
fonctions de t formant un système d'intégrales des équations 

r 

<^^ ^' =^9.(0 v(^n--->'^.) (A=., 2,. ..,,•), 

/ = i 

où les transformations infinitésimales 

/• 
(7) A,.F = ^ a,-a«„ ...,fl,.)^^- (y=i, 2, ...,/•) 

A = l 

constituent le groupe des paramètres de (4) Cette condition nécessaire est 
aussi suffisante. 



RKVUE DliS PUliLlCAÏIONS. 3; 

M. Vessiot conclut de là que si les équations finies du groupe (4) sont 
connues, l'intégralion du sj-stème (3) est équivalente à celle du système (6). 
Cette même hypothèse étant faite, il s'occupe de la réduction des systèmes 
de Lie aux systèmes linéaires 

Deux systèmes de Lie formés avec 1rs mêmes fonctions 6y(f) seront dits iso- 
morphes si les groupes correspondants sont à la fois isomorphes holoédriqiic- 
ment et rapportés isomorphiquement lun à l'autre. On peut alors supposer les 
écjuations finies de ces groupes écrites sous une forme telle qu'ils aient même 
groupe des paramétres. Les deux systèmes de Lie correspondent au même pro- 
blème d'intégration qui dépend donc seulement de la nature des 8y(f) et de la 
structure du groupe. 

En associant à tout groupe tel que (4) le groupe adjoint dont les transfor- 
mations infinitésimales 

/• r 

(8) ''^^•^^li ^^'^•'''dV (/'■ = '. 2,. ..,/•) 

sont linéaires et correspondent isomorphiquement aux X^/, on ramène l'inté- 
gration du système (3) à celle du système linéaire (9) 

/ X de, \^ „ , \^ 

(9) :rf7 = 2-^*^^^2-^'''^" 

A =1 1 ' < = 1 

si le groupe adjoint (8) est holoédriquement isomorphe au groupe (4). c'est- 
à-dire si le groupe (4) n'admet pas de transformation distinguée- 

Si le groupe (4) contient /•' transformations infinitésimales distinguées, le 
groupe adjoint n'est plus qu'à ;• — /•' paramètres et l'intégration du système (9) 
ne donne que r — r' intégrales distinctes de l'équation 



f+IV')A,/ = o; 



dt 

/ = ! 

Jes autres s'obtiennent par des quadratures. 

M. Vess^iot applique la théorie précédente au système 

dx dy dz 

qui se présente dans l'étude du mouvement d'un solide qui a un point fixe, la 
rotation instantanée ayant p, q, r pour composantes, et retrouve ainsi les ré- 
sultats de M. Darboux. Une autre application est relative à la recherche des 
trajectoires orthogonales d'une famille de sphères. 

La réduction des systèmes de Lie à des systèmes dont le groupe est simple 
{^systèmes simples) résulte de l'application de la théorie donnée par M. Lie 
pour l'intégration des systèmes complets qui admettent un groupe de transfor- 
mations. M. Vessiot montre ainsi que le seul problème fondamental à résoudre 
est le suivant : 



Intégrer l'équation 



^-.VW.. r.f^'-l 

; = 1 



^^•^)=j;-i^(- '-'-.. 



38 SliCONDIi FAUTlli. 

connaissant les iransforniations infinitésimales du groupe simple et sim- 
plement transitif qu'elle admet 



'^if= H^i-C^p •••"^-'')j^ (y=i,2, .. , r) 



La théorie de Galois. — L'auleur expose sous ce litre une théorie qui est 
l'extension aux systèmes de Lie de celle donnée par M. Picard pour les équa- 
tions difTérentielles linéaires. 

Cette dernière avait d'ailleurs été l'objet d'un beau travail de M. Vessiot 
{Annales de l'École Normale, 1892). 

Soit 

H 

(i) '■^=y^^,{t)\^,{x„ ...,x,,) {i=,,...,n) 



un système de Lie correspondant à un groupe simplement transitif dont on 
connaît les équations finies 

n 

(2) V=2^''^'^^<j!f: (y=>- •■•,«)• 



On peut toujours supposer que c'est un groupe des paramètres, de sorte que 
ses équations étant 

(3) x^ = f.{x], ..., x1,\a^, ..., aj {i^i,...,n), 
l'intégrale générale de (i) s'écrit 

(4) ^,=/,{c,, ••-, c„ I a;,, ..., j:„) (j = i, ...,/0, 

où iTp ...,^„est une intégrale particulière quelconque, constituant à elle 
seule un système fondamental. Ceci exige que les équations (4) soient réso- 
lubles par rapport aux constantes, c'est-à-dire que ^Tp ..,, ^„ n'annule pas le 
déterminant des î^^.,, les équations 



(5) ^-(/)=I^-(-)^ 



formant les transformations infinitésimales du groupe simplement transitif re- 
ciproque de (2), groupe dont les transformations finies sont les équations (4) 
où les deux systèmes de variables sont les x- et les X;. Ce groupe (5) joue ici 
le même rôle que le groupe des substitutions de n lettres dans la théorie de 
Galois. 

Les transformations infinitésimales de ( 5 ) qui n'altèrent pas une fonction 
donnée de x,, ..., jt,, et de leurs dérivées jusqu'à un ordre quelconque for- 
ment le groupe de cette fonction. Le groupe (5) a pour invariants les A dé- 



KKVUi' Diîs Pi'in.ic.v rioNS. 39 

finis par les équations 
II 

c'esl-à-dire les coefficienls du syslèine (i) el leurs dérivées. Il n'en admet pas 
d'auU-es fonctionnellemenl distincts des précédents. 

Si le groupe d'une fonction V se compose de « — v transformations infinité- 
simales, il a V invariants nouveaux indépendants V, V, ..., V""'; ii existe entre 
V et ses dérivées une relation 

cI>(V, V, ..., V')| A, A', ...) = 

identique par rapport aux x, x' , Toute fonction des intégrales admettant 

le groupe de V est une fonction de V et de ses dérivées (et des A et de leurs 
dérivées) qui s'obtient par des éliminations. 

Si l'on fixe un domaine de rationalité, à tout système tel que (i) corres- 
pond un sous-groupe G du groupe (5) tel que la condition nécessaire et siijji- 
sante pour qu'une fonction rationne/le des intégrales soit rationnelle est 
qu'elle admette toutes les transformations infinitésimales de G. Ce groupe G 
est dit groupe de Galois du système (i); on peut lui appliquer une méthode 
de réduction analogue à celle qu'a employée M. Vessiot pour les équations diffé- 
rentielles linéaires. L'auteur montre enfin qu'o« peut aussi ramener l'inté- 
gration du système (i) à celle d'un système de Lie dont le groupe est iso- 
morphe au groupe G. 

Legoux (J/.-.i.). — l-^lude sur les rnoiivemeiils relatifs. (I. 1-20). 

L'auteur se propose de montrer comment on peut, sans artifice de calcul, 
grâce à une interprétation convenable des divers termes qui composent la 
force vive totale d'un système en mouvement, appliquer sans difficulté les for- 
mules de Lagrange et de Jacobi à la solution des problèmes du mouvement 
relatif. Cette interprétation géométrique permet de calculée directement la 
force vive au moyen de variables quelconques; si l'on choisit, pour les va- 
riables g,- les paramètres indépendants qui fixent la position du système par 
rapport aux axes mobiles, les formules de Lagrange définiront le mouvement 
relatif. 

L'auteur s'occupe également de la question, traitée par Bour (Journal de 
Mathématiques, i863),qui a pour but de mettre les équations du mouvement 
relatif sous la forme canonique d'Hamilton; il établit à nouveau les résultats 
de Bour en appliquant au cas présent une remarque ingénieuse de M. Bertrand 
pour la transformation des équations de Lagrange. Un grand nombre d'appli- 
cations justifient pratiquement ses observations. 

Stielljes (T.-/.). — Recherches sur les ("raclions conliiities. 

(J. 1-122). 

Ce travail terminé, dans le Tome L\ des .4«/ifl/e5^ sera analysé avec ce Tome. 



4o SECOND lî FAUTIE. 

Sauvdge (L.). — Théorie iiéiiérale des syslènies d'équations dif- 
férentielles linéaires et homogènes. (1-24) (Chap. I). 

Même observation que pour le travail j)récédent. 

Tome I\ : 189'j. 

Cosfserat {t!-). — Notice sur les travaux scientifiques de Thomas- 
Jean Slieltjes. (3-(34)- 

Analyse de 82 Notes ou Mémoires publiés par Stielljes dans divers Recueils, 
précédée d'une Notice biographique. 

Stieltjes ( T.-J.). — Recherches sur les fractions continues (^suite 
et fin). (A. 5-4 7) [Cf. Annales de Toulouse, VIIJ, J(i, 122)]. 

Le travail de M. Slieltjes est, d"aprcs M. Poincaré, qui en a rendu compte 
{Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CXIX, p. 63o), « un des 
» plus remarquables Mémoires d'Analyse qui aient été écrits dans ces dernières 
» années »; il mérite donc une analyse étendue. 

L'objet de ce travail est l'étude de la fraction continue 

1 : «, ^ -i- 1 :a^-\- i : ajC H- 1 : a^-f-. . ., 

où z est une variable complexe, tandis que les a sont réels et positifs. 

P [z) 
Soit ■ " la /i'^"' réduite, l'auteur clierche dans quel cas cette réduite tend 

vers une limite pour n == oc et quelle est la nature de cette limite considérée 
comme fonction de z. Les résultats sont très dilTérents suivant que la série 

(S) =«i^a,-h... 

est convei'geute ou divergente. 

L Plaçons-nous d'abord dans le premier cas ( 7 a„ est convergente j. On 

a pour toute valeur finie de z 

\xmï>,„{z)=p{z), \\mq,,,{z) = q{zy, 

et les quatre fonctions holomorphes p, q, />,, q^ satisfont à la relation 

Ces fondions, holomorphes dans tout le plan, sont de genre zéro et n'ont 
que des zéros simples placés sur la partie négative de l'axe réel. 

Les réduites d'ordre pair et d'ordre impair tendent chacune vers une limite, 
juais les deux limites sont dillércnlcs; elles peuvent aussi se mettre sous forme 



REVUE DES PUBLICATIONS. 4' 

d'une série tic fraclions simples 





= 


-4- A, 


-+- 


V-2 


-^.. 


/'■(-) 




v» . 


•'i 




V, 



q,{z) z --h8, z + 9, 

Aj. u.^, Vj, 0), élanl des nombres réels et positifs. 

II. Supposons la série (S) divergente : Les réduites d'ordre pair et d'ordre 
impair tendent vers la même limite F(j), pour toute valeur de z qui n'est pas 
réelle et négative. La fonction V{z) est analytique et holomorphe dans tout 
le plan, sauf la partie négative de Vaxe réel, qui doit être regardée comme 
une ligne singulière. Pour éclaircir la nature de cette ligne singulière, Stieltjes 
met la fonction F(^) sous la forme 






) du 



où^{ii) est une fonction réelle croissante, non analytique en général, qui 

varie de o à — Cette fonction '^{u) peut avoir des sauts brusques dans tout 
a, 

intervalle. La ligne singulière (o, — x) est en général un obstacle infranchis- 
sable à la continuation de la fonction F (5). 

Les résultats généraux du travail de Stieltjes étant indiqués, nous allons 
fixer les principales étapes de la vole qu'il a suivie pour les obtenir et signaler 
en passant quelques-uns des résultats accessoires. 

Après avoir indiqué le mode de formation des polynômes P„(-), Q„(^), 
Stieltjes s'occupe de la distribution relative des racines des équations 

P,.(-)=o, Q„(.-)=o. 

Il démontre que les racines de PjnC-) = o séparent celles de Q2„(-) = 0, et 
de même que les racines de P2„+i(s) = o séparent celles de Q2„+i(2) = o. Il 
résulte de là que dans les décompositions 



P"„(=^ 


M, 


M. 


^l. 






Z-i- X-, 


z -+- x„ 



les -M et les N sont positifs. 
Une extension- des propositions précédentes permet d'établir que la dérivée 

Ox. 
partielle ~- d'une racine x^ de l'équation Q„(5) = o, regardée comme 

fonction de a^, ne peut jamais être négative. 

Stieltjes considère ensuite le développement de la fraction continue suivant les 
puissances décroissantes de z, c'est-à-dire la série formelle 

(S,) £i;_£. ^^_^^.... 



42 SECONDE PAUTIE. 

où les c„ sont des fonctions rationnelles 
ayant égard aux expressions obtenues de 



où les c„ sont des fonctions rationnelles des a„ entièrement dclerminées. En 



n n 

1 

les c„ sont positifs et la forme quadratique 

7« — 1 

est définie et positive. Son déterminant est donc positif et l'on a, en faisant 
ni = 2, 

<. 1 



c"est-à-dire que -"— croit avec n. Ce rapport peut croître au delà de toute li- 
mite, et alors la série (Si) est toujours divergente, ou tendre vers une limite 7., 
et alors la série (S;) est convergente pour | ;: | > X. 

Stieltjes montre que, dans le premier cas, la plus grande racine de 
l'équation 

Q„(--) = o 

croit avec n au delà de toute limite, et dans le second cas, elle tend vers la 
limite "k. 

Comment reconnaitra-t-on si ""^' tend vers une limite finie ou croit au delà 

c„ 

de toute limite? Considérons les nombres 6„ = ; s'ils ne sont pas limités 

supérieurement, — ^^ croît au delà de toute limite; s'ils ont une limite supé- 

rieure l, le rapport -^^^ tend vers une limite finie qui ne peut surpasser 4^- 

L'auteur aborde alors l'étude de la fraction continue en faisant z = i. On 
trouve d'abord que les réduites d'ordre pair et d'ordre impair ont des limites 
finies 

limfl^=L„ limJ';i=L, L,^L. 

X2n+I Xi,. 

Si la série 7 a„ est divergente, l'une au moins des quantités Q,,,, Qî,,^, croît 
1 
au delà de toute limite; la relation 



Q2,.4.. Q2,, <.>.,. Q2„+> 

montre que Ion aura L, = L; la fraction continue est dite convergente. 



HEVUE DES PUBLICATIONS. 43 

Si la série > a„ est convergente, Q2,, et Q2„+, tendront vers des limites 
I 
finies, et l'on aura L, >L; la fraction continue est oscillante (Cf. Stern, 
Journal de C relie, t. 71 ). 

En donnant à x; une valeur réelle et positive x, il y aura oscillation ou con- 
vergence, suivant que la série 

a^x -{- a„-^ a^x + a!,-+- . . . 

est convergente ou divergente. 

Les mêmes raisonnements appliqués aux réduites 



et l'élude de la convergence des séries qui en résultent pour n ^= ce, conduisent 
alors aux propositions générales rappelées au début, dans le cas où z est com- 
plexe et a sa partie réelle positive. 

L'extension de ces résultats au cas où la partie réelle de ;: est négative 
exige de nouvelles recherches sur la théorie des fonctions; avant d'aborder ces 

00 

recherches, Stielljes traite, par une méthode particulière, le cas où la série > a„ 

1 
est convergente. 

Il montre les rapports de la question considérée avec le problème des 

moments : Considérons sur une droite indélinie OX une distribution de masses 

positives, la masse m^ étant concentrée à la distance ^. de l'origine; la 

somme \ "^i^f est appelée moment d'ordre k de la masse totale par rapport 

à l'origine. Supposons qu'on donne les moments des divers ordres c^ et qu'on 
recherche la distribution des masses; Stieltjes établit que si le problème est 
possible, c'est-à-dire si l'on peut déterminer les m et les ^ de façon à vérifier 
les équations 

la série -^ — —î -f- — 3 -H. . ., réduite en fraction continue, appartient au type 
étudié avec des valeurs positives des a-. Si la série X, «„ est convergente, il 
y a une infinité de solutions; deux d'entre elles sont données par les systèmes 

de masses (ix,., a.), (v., 6.) qui figurent dans -^ ^^ et ^ ," • Si la série V a„ 

q{z) q^{z) jL^ 

est divergente, il n'y a qu'une seule solution. 

Le théorème de théorie des fonctions qui permet à l'auteur d'étudier dans 
tous les cas la convergence des séries limites de 



i SECONDE PAllTIE. 

pour /? infini, est le suivant : Soient _/,( 2), •■■,/„{^)i ••• une suite de fonc- 
tions holornorphes dans un domaine S limité par un contour s; si le module 
de la somme /{-^■■■-^f„ admet une limite supérieure L indépendante de «, 
lorsque z est dans S ou sur j; si ensuite la série 



f^-) = yA(-) 



est uniformément convergente dans un cercle quelconque C enlièremenl inté- 
rieur à S, on peut affirmer qu'elle est uniformément convergente dans tout le 
domaine S, et y représente une fonction holomorphe. 

Il ne reste plus qu'à éclaircir la nature de la coupure formée par la partie 
négative de Taxe réel. L'auteur démontre d'une manière générale que l'on a 






<I>(u) étant une fonction croissante qui caractérise une certaine distiibulion de 
masses. Les relations 



:^ = / u''d't>{u) 
«^0 



montrent que cette fonction <I>(?<) donne une solution du problème des 
moments; dans le cas où la série 7 a„ est convergente, il y a une infinité de 

fonctions <i>; si la série ^ a„ est divergente, il n'y en a qu'une seule. Enfin, 
si le rapport -"^^ a pour limite À, on peut prendre '!>(«) constant à partir de 
u = "k el écrire 

Jo - + " 

Stielljes aborde ensuite l'étude de la convergence de la fraction continue qui 
provient de I intégrale / — — ^^ — -1 ou M'(w) est une fonction croissante 

quelconque. Il étudie divers cas où la fraction continue est oscillante, et ter- 
mine en développant des applications particulières. Indiquons encore ce résultat 
qu'«7 suffit de transformer la série de Stirling en fraction continue pour 
obtenir une expression convergente tant que la partie réelle de z est posi- 
tive. 

r / r- \ c ^1 ' • J I 11 ^^" ^'" ''^" 

Lacour (t.). — biir i équation de la chaleur -—r- -+- —^ = -— 
(B. I, 19). 

L"auteur étend à l'étjuation précédente quelques-uns des résultats donnés par 

M. Appcll pour l'équation — -:; =: -— (Journal de Mathématiques, if^ijj). 
Ox- Oy 



REVUE DES PUBLICATIONS. 43 

Il commence par recherchei' toutes les transformations réelles 

\ = o{x,y,z), \ = -:^{x, y, z), Z = y{x,r,z), 

qui n'allèrent pas la relation 

d' u r)- u du 
ox- oy dz 

à une Iransformatiiin orthogonale des coordonnées x. y prés, ces transforma- 
tions résultent de la composition des deux suivantes : 

M = eu, \ = px, V = pj , Z — p-c; 

Il forme ensuite le polynôme le plus général en x, y, z, homogène et de 
degré n en x,y, \'z, qui vérifie l'équation ùu = o, au moyen des polynômes de 
degré égal ou inférieur qui satisfont aux relations 

d-u du d- u du 

dx- dz dy- dz 

L'emploi de l'adjointe de Riemann le conduit à un théorème analogue à 
celui de Green, dont il fait une application intéressante à l'expression d'une 
solution u pour tous les points d'une tranche comprise entre deux plans paral- 
lèles z = a, z = b quand on la connaît sur la face z = a 

U ( X, y, 5, ) = , _ /_ — - / / U ( >M IJL, « ) e ï^r^.^VF) d\ d\x. 

Raffy {L.). — Quelques propriétés des surfaces harmoniques 

(C. I, 44). 

M. RafTy appelle ainsi les surfaces dont l'élément linéaire a la forme 
c?5== (U - \){du--^dv^-). 

Il part de la condition nécessaire et suffisante donnée par Massieu (Darboux, 
Leçons sur la Théorie des sur/aces, t. III, p. 3o) pour qu'un élément linéaire 
E du- + 2F du dv -h G dv- soit harmonique [ l'équation Ac = i dont dépend lu 
détermination des géodésiques doit admettre une intégrale quadratique 

6 = \.p-+ 1 Yipq -^ Cq-= const., 

dont le premier membre n'a pas de facteur linéaire commun avec A;: (le cas 
où, pour une valeur de la constante "K, lexpression 6 -i- X As est un carré con- 
duit à une surface applicable sur une surface de révolution)] pour établir que 
toute sur/ace harmonique dont les lignes d'égale courbure sont parallèles 
est applicable sur une sur/ace de révolution. 

La même méthode analytique le conduit également au théorème suivant : 



4() SIÎCONDIÎ PAUTIK. 

Si l'on écarte les surfaces qui ont un cône directeur isotrope, toutes les 
sur/aces réglées harmoniques sont applicables sur le plan ou sur les su/- 
faces de révolution, ou sur les quadriques. 

L'auteur se propose cnsuilc créludicr les intégrales linéaires et quadratiques 
de, réquation aux eercles géodésiques en appliquant la règle donnée par 
IM. Darboux {Leçons sur la Théorie des sur/aces, t. III, Liv. IV, Chap. YII). 
Pour les surfaces applicables sur les surfaces de révolution, l'équation aux 
cercles géodésiques admet une intégrale linéaire; la réciproque est vraie. 

Les seules surfaces réelles pour lesquelles l'équation aux cercles géodésiques 
admette une intégrale quadratique sont des surfaces harmoniques. M. Raffy 
ramène la détermination de leurs éléments linéaires à la résolution de l'équa- 
tion fonctionnelle 

( V + f,' ) (*' - F' ) + ? (*" - F" ) + T, (<I>" + F" ) = 2 (* F" - F «ï>" ) , 

où «ï> dépend du seul argument ^h- r, F du seul argument x — y. 

Il en signale deux solutions particulières, dont l'une formée par les surfaces 
à courbure totale constante comprend tous les cas où il existe à la fois une 
intégrale linéaire et une intégrale quadratique. 

Maillet (E.). — Sur quelques j)ropriétés des groiq^es de subsli- 
tulions d'ordre donné. (D. i, 22). 

La connaissance de l'ordre d'un groupe permet parfois d'obtenir des pro- 
priétés importantes de ce groupe; par exemple, M. Krobenius a montré 
que tout groupe d'ordre PxP2 ■ • • P,iP"'i o" les nombres premiers différents 
P\i ■■•iPn sont inférieurs k p, est résoluble. Réciproquement, des propriétés 
du groupe étant données, l'ordre du groupe doit satisfaire à certaines condi- 
tions; ainsi, quand/?"' est la plus haute puissance du facteur premier/) qui 
divise l'ordre g du groupe G, ce groupe renfermera au moins un groupe 
d'ordre />"', et l'on aura 

(i) g = P""'{^ + np), 

V étant premier avec p et /;"'v étant l'ordre du groupe formé des subslitiilions 
de G permutables à un sous-groupe d'ordre />"' (Sylow, Mathematische 
Annalen, t. V). 

M. Maillet donne un certain nombre de propositions relatives à cette double 
liaison et établit à nouveau un certain nombre de résultats déjà connus. 
Citons particulièrement les théorèmes suivants : 

L'ordre g d'un groupe G de classe N — u et de degré N divise le produit 

N{N — i)...(N — m)- 

Dans la formule de M. Sylow, si /n > i el n^Cp, G est composé et ne peut 
être primitif que s'il est linéaire et de degré p^. Si m est supérieur à 1 et si G 
contient une substitution d'ordre /?'", G ne peut être simple ou primitif que si n 
est au moins égal à />'"-'. 

Genty {E .). — Sur la déformation infinilésimale des surfaces. 

(E. I, I.). 

L'auteur élal)lil les équations du problème de la déformali(Hi inliniimiit 



IIKVUE DES PUBLICATIONS. 47 

petite cl les applique à la recherche des cas où celte déformalion conserve les 
lignes de courbure. Signalons le résultai suivant : Si une surface (A) admet 
pour représentation sphérique de ses lignes de courbure un réseau isothefmc, 
on pourra obtenir par de simples quadratures une déformalion infinitésimale 
de (A) conservant les lignes de courbure. 

] ossiot {E-)- — Sur quelques équations difTérenlielles ordinaires 
du second ordre (F. i, 2G). 

Ces équations sont celles dont l'inlégrale générale esl de la forme 

les rapports des c- étant les constantes d'intégration. Elles ont la forme 

(i) k{x' x" — ■2x''-)+ ^x" -\- Cxx'-h Dx' -+- P x^ -h Qx- -+- Kx ^ s = o, 

les coefficients étant liés par deux relations différentielles. Leur intégration se 
ramène à celle d'une équation linéaire du troisième ordre, car on peut toujours 
sans intégration déterminer une transformation 

v(Or + 5(0' 

qui donne, pour équation en y, l'équation dont dépendent les dérivées loga- 
rithmiques des intégrales d'une équation linéaire du troisième ordre. L'auteur 
montre comment l'intéfjralion de l'équation en y 

(2 ) y"-i- 3yy'-^y^-l- X ( O ( j' + r ) + IJ. ( Oj + '■' ( O == « 

se simplifie par la connaissance d'une ou de plusieurs solutions particulières. 

Ces réductions tiennent à ce que l'équation considérée possède des systèmes 
fondamentaux d'intégrales, l'intégrale générale s'exprimant, par des formules 
connues, au moyen de quatre intégrales particulières quelconques. 

Une seconde Partie est consacrée à la réduction des équations générales (i) 
à une forme canonique par l'emploi des transformations 

oi(t)y-4-^{t) 

et à la détermination sommaire des invariants: la méthode employée est celle 
dont Laguerre et Halphen se sont servis pour les équations linéaires. 
Les formes adoptées sont, dans le cas général, 

x" + 3 xx' ^- I .r^ + J .r -I- K = 0, 
et. dans les cas particuliers, 

x" -i- .) xx' -h x-^-h G x'' -f- Il =0, 
x" -+- E j7-'-f- F = o, 
x" -h x- -i- T = o. 



4R SECONDE PARTIE. 

Enfin M. Vcssiol traite dans la troisième Partie la question suivante : 

Reconnaître si une équation du second ordre peut s'abaisser au premier 
ordre par une transformation ^' = V{x', x)\ déterminer dans ce cas les 
fonctions F. 

Ces fonctions F sont, en général, fonctions d'une seule d'entre elles qu'on 
obtient sans intégration, ou par une quadrature si l'équation est de la forme 

x"=A{x, x')fi{t) + B{x, x'). 

Pour l'équation unique 

x" = x'^{t) -+■ x'-^ix), 

-« 

où 6 et ^ sont des fonctions quelconques, il y a une infinité de solutions 
distinctes; elles s'obtiennent par des quadratures. L'équation s'intègre d'ail- 
leurs elle-même par des quadratures. 

Landfriedt {E.). — Quelques recherches sur les fonctions ù 
multiplicateurs. (G. i, i8). 

Les fonctions à multiplicateurs ont été considérées par M. Appell {Journal 
de Math., i883; Acta mathematica, t. XIII), qui a mis en évidence l'analogie 
qui existe entre leur théorie et celle des fonctions algébriques rationnelles tas 
et z sur la surface de Riemann 

¥{s,z) = o. 

L'auteur se propose de faire ressortir cette analogie en traitant certaines ques- 
tions laissées de côté par M. Appell. 

Il débute par une démonstration de l'extension du théorème d'Abel aux 
fonctions à multiplicateurs, basée sur la seule définition de ces fonctions. Une 
définition du défaut et de Vexcés d'un système de pôles d'une fonction à mul- 
tiplicateurs lui permet d'étendre à ces fonctions la classilication donnée par 
M. Christoffel pour les intésrantes algébriques. Il donne enfin une formule 
générale pour représenter les fonctions qui appartiennent à la première ou à 
la seconde espèce dans la classification qu'il a adoptée. 

Sauvage (L.). — Tliéorie générale des systèmes d'équations dif- 
férentielles linéaires et homogènes. [Chap. Il, 111, IV, aS-ioo; 
Chap. V, VI, VII, 1-76 (suite et fin) {Cf. l. Vlll, i-a4)]. 

Le travail considérable de M. Sauvage est consacré à l'exposition des théories 
générales concernant les systèmes 

/ » s ^yi 

(A) ^^=«nr,+...-^«..J-,., 

en particulier de la théorie de M. Fuchs et des développements considérables 
qu'elle a reçus, auxquels sont attachés les noms de M.M. Thomé, Horn, Fro- 
beniiis. Fioqiiet, Picard, Kœnigsherger, etc. Il s'est proposé d'y mettre en 



%'' Po^à 



i{i:vL'i': i)i:s pimji.ications. ;., 

relier la llicone îles diviseurs elenii'iitaires «le W «mcisIim--. i|iii \ iiitPr\ icnt. 
comme on sait, de façon constante. 

Chapitre I. — On montre que si les rocfficients a du système 

dy 
dx 

sont holomorphes devant le voisinage de rorigine. on peut intégrer ce système 
par les séries. L'auteur a démontré la convergence de ces séries dans un tra- 
vail antérieur {Annales de l'École Normale, 1886). 

Définition des éléments d'une solution au delà^u cercle de convergence des 
séries. Systèmes fondamentaux. Théorème de Liouville : D = CeS^-'a'^". Solu- 
tion générale. Réduction qui correspond à la connaissance d'une solution. 

Chapitre II. — Exposé de la théorie des diviseurs élémentaires par la 
méthode de M. Darboux {Journal de Mathématiques. 1874 ). 

Chapitre III. — Extension, aux systèmes linéaires (A), de la théorie des 
points singuliers donnée par M. Fuchs pour une équation différentielle linéaire. 
En un point singulier, les diviseurs élémentaires du premier membre de l'équa- 
tion déterminante 

R(u))= o 

conduisent à un système fondamental particulier. Calcul, d'après M. Fuchs, des 
éléments de ce système fondamental. Examen des équations linéaires dont les 
intégrales sont racines d'une même équation algéitrique. 

Chapitre IV. — Forme des éléments dune solution au voisinage d'un point 
singulier. Examen des systèmes réguliers de la forme (B) : les éléments de 
leurs solutions sont composés linéairement d'expressions de la forme 

a:'"(.V„-i- A, logx +. . .— AJog'.r ), 

qui sont infinies d'ordre fini pour a: = o. 

Exposé du calcul complet de l'intégration des systèmes réguliers, d'après 
M. Horn {Matheniatische Annalen, \o\. X\\I\). 

Chapitre V. — Recherche des systèmes réguliers. Ils se rattachent par des 
substitutions simples aux systèmes (B). Application à l'équation dilTércntielle 
linéaire. 

Chapitre f'I. — Etude des systèmes linéaires (A) où les coefficients a sont 
des fonctions uniformes simplement périodiques, dont toutes les solutions sont 
uniformes. Extension des thécrèmes de M. Floquet au système (A). 

Étude, d'après M. Picard {Journal de Crelle, Bd 90). d'un système parti- 
culier à coefficients doublement périodiques. 

Chapitre VU. — Réduction des équations dilTérentielles algébriques à des 
équations du premier ordre. Recherches de M. Kœnigsberger {Lehrbuch der 
Théorie der Differentialgleichungen, Leipzig, G. Teubner; 1889). 

Théorie de M. Darboux pour l'utilisation des intégrales du système (\) dans 
la détermination de ses solutions {Comptes rendus, 1880). 
Bull, des Sciemes mathént., ?.' série, t. \\î^". (M;irs lOf»"-) H.^ 



5o Sl'CONDI': PAiniH. 

Principes de la lliL'oric des fonctions invaiianles des solutions du système (A), 
d'après M. Appell. 

Ce court exposé montre assez l'ctcndue et l'intérêt des questions traitées par 
M. Sauvage. Il est clair que la lecture de ce beau Travail s'impose à quiconque 
veut approfondir l'étude de rii)lé;,'ration des équations diiréreiitielles linéaires 
par les séries. 

J. D. 



Tmi: QUARTEHLY JOURNAL op i>riΠand applied Matiie.matics. Vol. XXX; 
1899 (•)• 

Dickson {L.). — Le premier groupe hypo-abélien généralisé. 

(.-.6). 

Ce Travail se rapporte au même ordre d'idées que le Mémoire de l'auteur : 
Un système triplement infini de groupes simples^ inséré dans le Volume pré- 
cédent du Quarterly Journal et qu'un Article qu'il vient de publier dans les 
Annals of Mnthematics; il étend au domaine de Galois d'ordre 2" les dévelop- 
pements donnés par M. Jordan dans son Traité des substitutions (p. 199-206) 
et relatifs au domaine des nombres entiers pris suivant le module 2. L'auteur 
y étudie un groupe de substitutions linéaires dont les coefficients et les indices 
sont des imaginaires de Galois. 

Mathews (G.). — Conditions pour qu'une relation du second 
degré par rapport à deux variables soit porislique (i6-iy). 

La relation P (x, y) = o étant supposée symétrique, on dit qu'il lui est as- 
socié un porisme du n''""' ordre, si en considérant la suite d'équations 

F{x„ x,J = o, F{x^, 0:3) =0, F{x„ x^) -o, ..., 

où a7j désigne une racine déterminée de l'équation du second degré, a:, une 
racine autre que x^, x^ une racine autre que x-^. . . ., x,^ est égal à 57, { Voir Hal- 
phen, Fonctions elliptiques, t. II, polygones de Poncelet). L'auteur parvient 
à une forme plus élégante des coefficients que celle donnée par Halphen. 

Scheppard ( W.). — Sur les relations entre les nombres de Ber- 
nouUi et d'Euler. (17-46). 

Signalons en particulier le développement 

f[b) =f{a)^ y/'(^) (^-«) - .7t/"(«) (^-«)' 



(') Voir Bulletin, t. XXIII;, p. i5G. 



UKVUK l)i:S l»l BI.ICATI()-\S. 5i 

oi'i les nom lues fiUicrs 

_ 2---+' ., . ,/ t i__ I _ \ 

sont les nombres (rKulcr et où les nombres entiers 

2-'+' / I 1 I \ 

sont liés simplement aux nombres de Bernoulii. L'auteur établit diverses rela- 
tions intéressantes entre ces nombres et les fonctions circulaires. 

LoK-elt {E.). — La lliéorie des perltirbalions el la théorie des 
transformalions de contact de Lie. (47-149)- 

Cet important Travail, rédigé sous l'inspiration directe de Sopbus Lie, con- 
tient un intéressant historique de la méthode des variations des constantes 
arbitraires depuis son introduction dans la Science, et montre la place de cette 
méthode dans la théorie des transformations de contact. 

Ce Mémoire est d'ailleurs d'un intérêt général et n'aborde pas les problèmes 
spéciaux de la ÎMécanique céleste. Il comprend cinq parties : 

1° La théorie des perturbations d'après Lagrange et Poisson; 

2° La théorie de Hamilton et Jacobi; 

3° La théorie des transformations de contact de Lie; 

4° Les Mémoires de Schering sur la théorie de Hamilton-Jacobi ; 

5° Le Mémoire de Lie sur la théorie des perturbations et la théorie des trans- 
formations de contact. 

Cette dernière partie contient l'analyse détaillée d'un Mémoire paru sous ce 
titre dans le second Volume des Archiv for Matheinatik og Naturvidenskab 
(Christiania, 1877). Elle peut être regardée comme une nouvelle rédaction, 
faite sous les jeux mêmes de l'illustre auteur, de ce Mémoire, dont elle rendra 
les résultats plus accessibles. On y trouvera, en particulier, l'étude de la trans- 
formation d'un système canonique dans un autre système canonique. 

Glaisher {J-). — Stir les restes des coeflicients binoniiaux rela- 
tivement à un module premier, (ijo-ioô). 

On trouvera, dans le présent Volume, trois Articles de M. Glaisher sur des 
sujets connexes. Dans les deux premiers, qui portent le titre ci-dessus, il donne 
un moyen simple, en supposant les nombres entiers n, /• écrits dans le système 
dont la base est le nombre premier /?, pour obtenir le reste par rapport au mo- 
dule p du coefficient (n)^ de x'' dans le développement de (n-^)'", pour re- 
connaître si ce coefficient est divisible par une puissance de /?, et pour obtenir 
le quotient. Il donne plusieurs applications et exemples. Dans le ti-oisième 
Article, intitulé Un théorème de congruence relatif à la somme de coeffi- 
cients binoniiaux, il établit la congruence 

-(«)r=(y);(m"cl/^), 
OÙ p est supposé premier, où j et /.■ ont une de> valeurs 1, .> /' — i- uù n 



52 SKCON'DI-: l'Ainii-:. 

est congru îij{iuoi\p — i), où le signe de sommation se rapporte aux valeurs 
de /• congrues à A(modp — i) qui sont supérieures à o et ne dépassent pas n. 
Enfin (/)j est supposé nul pour ky-j. Cette proposition, lorsque l'on suppose 
A' = jo — 1, est une conséquence naturelle du théorème de Standt sur les 
no-mbres de Bernoulli. I»ans le même Article, M. Glaisher donne une évalua- 
tion des sommes 

où p est un non)bre premier impair et où /• doit prendre des valeurs divisibles 
par p — I et telles que ( n)^ soit divisible par p. 

Willdnson {A.). — Sur le groupe Iransitif de subslilutions de 
24 lettres qui admet deux systèmes d'imprimitivité des degrés ^ 
et 4- (1 07-166). 

L'intérêt de ce groupe consiste en ce qu'il a deux systèmes de facteurs d'im- 
primitivité qui ne sont pas identiques {Cf. Jordan, Traite des substitutions, 
p. 35, 36). 

(ilaisher {J-)- — Sur les sommes des séries 1"+ 2" + . . . + :r", 
et i"— 2" + . . .±: x". (1G6-204). 

L'auteur a donné, dans le précédent Volume du Quarterly Journal, des 
formules générales pour l'évaluation de ces sommes; il applique ces formules 

au cas où les développements procèdent suivant les puissances de XH — > 

X--T-X., ou plus généralement de ^r -4- a, x'+ioix. Il rencontre, chemin fai- 
sant, un grand nombre de relations entre les coefficients. 

Jï a/Aer (G.). — Dispersion de la lumière par de petites parti- 
cules de matière. (204-220). 

Ce travail se rapporte aux recherches de Lord Rayleigh insérées dans le /'/(t- 
losophical Magazine d'août 1881. L'auteur y examine lefl'et d'une particule 
médiocrement conductrice. 

Brill (J.). — Suggestions en vue de la construction d'une théorie 
générale des systèmes d'équations pfafflennes. (221-242). 

L'auteur annonce un second iMémoire qui continuera et complétera celui-ci, 
qui est consacré à la classification des cas où le nombre des intégrales d'un 
système d'équations pfafflennes est moindre que le minimum normal et à la 
discussion de la forme des conditions pour qu'il en soit ainsi. La classification 
est exprimée par deux Tables, de formation simple, qui donnent, dans les diffé- 
rents cas, le nombre d'intégrales arbitraires et le nombre d'intégrales déter- 
minées; l'auteur est ainsi conduit à distinguer divers groupes de cas; dans le 
premier, par exemple, les n équations pfaffiennes contiennent au moins /i-f-i, 
au plus 2/1-1-1 variables. C'est ce premier groupe qu'étudie particulièrement 
M. Brill : il donnera ensuite des indications sur le passage du premier groupe 



IJEVUli DKS IMJBLICA I IONS. 53 

au second. U élablil, en se réservant de nioulrer plus lard qu'elles sont sul'li- 
santes, les conditions pour que le nombre des intégrales puisse être moindre 
que le minimum normal : la forme de ces conditions peut fournir, en effet, 
des renseignements sur la manière de procéder dans la théorie de l'intégration; 
elles sont bien connues dans le cas d'une seule équation pfaffienne; le but de 
M. Brill est de montrer l'analogie du cas général avec ce cas particulier. 
« Quelques mathématiciens, dit-il en terminant, ont exprimé l'opinion que la 
méthode de Jacobi-Clebsch ne peut pas être étendue au cas d'un système d'é- 
quations pfaffiennes. Je pense, cependant, que, par l'introduction d'amplifica- 
tions et de modifications nécessaires, on peut imaginer une méthode qui puisse 
être regardée comme une généralisation de la méthode de Jacobi-Clebsch et 
permette effectivement la discussion d'un système. J'espère même avoir fait, 
dans ce Mémoire, le premier pas dans la direction désirée.... » 

Miller (G.). — Sur les groupes d'opéi^alions dont l'ordre est 
moindre que 64 et ceux dont l'ordre est 2^', p étant un nombre 
premier. (243-26.^). 

L'auteur s'occupe plus particulièrement des groupes d'ordre '|'S. Il y en a 
cinquante-deux, dont cinq sont abéliens et un hamiltonien. Tous contiennent 
au moins un sous-groupe d'ordre 24, sauf deux. Chacun de ces deux groupes 
contient seize sous-groupes d'ordre 3 et un sous-groupe d'ordre 16. Dans 
dix-sept des cinquante-deux groupes d'ordre ^8, chaque sous-groupe d'ordre 
premier est conjugué de lui-même; dans vingt-cinq, il n'y a qu'un sous-groupe 
d'ordre 3, et plusieurs sous-groupes conjugués d'ordre 2; dans huit de ces 
groupes, il y a quatre sous-groupes conjugués d'ordre 3. Tous ces groupes, à 
l'exception de dix-huit, contiennent au moins un sous-groupe abélien d'ordre 2^. 
Dans douze groupes, ce sous groupe abélien est cyclique, etc. 

Outre cette étude des groupes d'ordre ^8, le travail de M. Miller contient 
une étude des groupes de degré 2/?^, où p est un nombre premier impair. 

Radford [E .). — Sur la soltition de certaines équations du sep- 
tième degré. (263-3o6). 

Il s'agit de la résolvante du septième degré de l'équation modulaire du luii- 
tième degré pour la transformation du septième ordre. Le Travail de M. Rad- 
ford est consacré à établir les résultats que M. Klein a déduits de la théorie 
des fonctions dans son Mémoire sur la transformation du septième ordre des 
fonctions elliptiques {Math. Annalen, t. \l\ ), où il donne la solution de l'é- 
quation modulaire au moyen de trois paramètres. M. Hadford obtient par des 
procédés algébricities la forme donnée par M. Klein à l'équation modulaire : il 
en déduit la résolvante du septième degré et exprime les sept racines au moyeu 
(tes trois paramètres de M. Klein. Il expose enfin la théorie du groupe de Galois 
de 16S substitutions relatif à celte équation. 

C/(f\v/ord(L.). — Démonstration du lliéoréme de Klein sur les 
tond tons de Lain(''. (3o--3i2). 

<;.• Iheorcuie a élé .•lalili par M. Kl. •in d.in- 1<- Tonie W UI d.- Mal/i. .!/(- 



f)î SliCOiNDE PARTI H. 

nalen : il concerne les solutions en Icrmcs finis de ['équalidii 

-— p = h{n{n -hi)pu-\- B], 

du- 
el la clislribution des racines des équations cii }')u obtenues en les égalant à 
zéro. 

Wliipple (/*•). — La stabilité dti mouvement de la bicyclette. 
(312-348). 

L'auteur signale l'existence de quatre vitesses critiques qui limitent les in- 
* tervalles de stabilité et d'instabilité dans le mouvement; il indique comment 
le cycliste doit se déplacer et se servir du guidon. 

Glaisher (J-)- — Sur les restes relatifs à /;"+' d'un coefficient bi- 
noniial divisible par/)". (349-36o). 

Glaislier (•/•). — Un théorème de congruence relatif aux sommes 
des coefficients binomiaiix. (36i-3<S3). 
Voir plus haut. 

Dickson (L.). — Simplicité du groupe abélien à deux couples 
d'indices dans le domaine de Galois d'ordre 2", /i >> i . (383- 
384). 

Complément au Mémoire : On a triply infinité System of simple groitps, 
publié dans le Tome précédent du Quarterly Journal. 

J. T. 



ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, pibliéks 

sous LES AUSPICES DU MINISTRE DE l'InSTRUCTION PUBLIQUE, PAR UN CoMITÉ 
DE RÉDACTION COMPOSÉ DE MM. LES MAÎTRES DE CONFERENCES DE l'ÉcOLE. 

Troisième série, t. XV, 1898 ('). 

Le Roy [E .). — Sur l'intégration des équations de la chaleur. 

(9-78). 

Nous analyserons ici lensenible de ce grand .Mémoire, dont la première 
Partie a été publiée dans le Volume précédent des Annales de l'École Normale 
et qui a été présenté comme thèse de doctorat à la Faculté des Sciences de 
Paris. 

La théorie analytique de la propagation de la chaleur soulève des problèmes 

(') Voir Bulletin, t. WIII,, p. 4s, 



IIKVUU DI'S l'UHIJCATIONS. 55 

deCalciil iiUcgral qu'il impoile d'cUidier alleiilivciueiil, parce qu'ils consliUionl 
le type le plus simple de ces intégralious sidiflicilcs et si peu connues que l'on 
rencontre à chaque pas dans les divers domaines de la Physique mathématique. 
Il s'agit de certaines équations aux dérivées partielles, telles que l'équation 
AV = o de Laplace et pour chacune desquelles il faut établir une proposition 
analogue au pi incipe de Dirirhlct. On voit que ces problèmes présentent de l'in- 
térêt, non seulement pour la Physique, mais encore et surtout pour l'Analyse 
pure, à cause de leur lien avec la théorie générale des fonctions. 

Préoccupés d'une idée qui régnait autrefois et d'après laquelle une intégration 
n'était réputée faite que si l'on parvenait à découvrir la forme explicite de la 
fonction inconnue, les géomètres par qui fut inaugurée la théorie de la chaleur 
ont toujours cherché à construire la solution d'un problème de Physique à l'aide 
d'une série de solutions simples jouant le rôle d'éléments analytiques qui est 
dévolu aux fonctions circulaires dans les séries de Fourier. Mais ce procédé, 
qui n'a donné de résultats précis que dans des cas très particuliers, ne parait 
pas devoir être conservé lorsqu'il s'agit des cas généraux où le corps étudié a 
une forme quelconque.il faut alors recourir à des méthodes plus compliquées, 
semblables à celles que MM. Sclnvarz, Neumann et Poincaré ont imaginées pour 
démontrer le principe de Dirichlet. On n'obtient de la sorte, il est vrai, que 
des théorèmes d'existence. Toutefois, il est possible de déduire de ces théorèmes 
eux-mêmes les séries que la méthode des solutions simples eût fait considérer 
a priori. Telles sont les deux conclusions à l'établissement desquelles est con- 
sacré le Mémoire de M. Le Hoy. 

Première Partie. — Les équations de l'équilibre thermique et la généra- 
lisation du principe de Dirichlet. 
Soit l'équation 

( I ) A\ -i- a -r h -r 1- c , - = / \ -^ ?, 

^ dx ôy ôz 

où a, 6, c, f, cp désignent des fonctions connues des coordonnées x, y, z. Si T 
est un domaine limité par une surface fermée S, on se propose de trouver une 
intégrale de (i), continue dans T et prenant sur S des valeurs données: c'est le 
problème de Dirichlet généralisé. Les principes de la théorie de la chaleur 
invitent à se borner au cas où adx -+■ bdy -^ cdz est une dillérentiellc 
exacte c?ix. 

Le problème admet-il plusieurs solutions? On reconnaît que non, si /2o 
dans T. Faisant la substitution V = aU et déterminant convenablement \ on 
étend cette conclusion à plusieurs autres cas. En particulier, si l'on prend 



)h ()c\ a"- -f- b"- 



l'équatiou (i) est ramené- à 

^'^ ^"^-"""[Arx-^ôj-^jz) 

et il suffit que l'on ait 

ôa ôb ()c \ n"- -^ b' -^ c- 



àx ()v ' i)z 



+ />o 



pour i|uc l'un |iuissc afllrnicr que le problème n.i (|u"unc seule sululi 



6 SECONDE FA FUIE. 

Si l'un ne fail aucune hypothèse sui- les coefficieals a, b, c, li, /, ç, la même 
proposition subsiste lorsque le volume de T est assez petit. 

Toutefois cette condition n'est pas nécessaire : on pourrait, par exemple, se 
contenter de supposer que le domaine Test compris entre deux plans parallèles 
d'écartement suffisamment petit. 

Ces divers théorèmes, déjà signalés en partie par M. Picard, sont établis, sans 
autres hypothèses que celles qui sont strictement nécessaires pour que le pro- 
blème posé ait un sens, à l'aide d'une remarque faite par M. Paraf dans sa thèse 
{Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 1892) et d'une méthode 
d'approximations successives qui jouera un grand rôle dans tout le Travail. 

Plus généralement, le problème de Dirichlet, étendu à l'équation non linéaire 
I 

... ,/ .. à\ â\ d\ 

AV = fix, y, z, \, —, —- , — 
\ àx dy âz 

ne comporte qu'une solution si / croît avec V. 

Il reste maintenant à démontrer l'existence effective d'une solution. 

On commence par l'équation linéaire (i). La méthode du balayage, indi- 
quée par M. Poincaré au sujet de l'équation de Laplace, peut être transformée 
de telle manière qu'elle serve à prouver simultanément le principe de Dirichlet 
et ses généralisations. M. Le Roy montre, en effet, en utilisant la réduction de 
l'équation signalée plus haut, que les méthodes d'approximations successives 
de M. Picard permettent d'obtenir, en toute rigueur, la solution du problème 
dans le cas où T est une sphère ou l'espace compris entre deux sphères con- 
centriques. Un théorème semblable à celui de Harnack est ensuite établi pour 
les fonctions qui vérifient (i), et l'on en conclut que l'on peut se borner, sans 
restreindre la généi-alité, à supposer que \' prend sur S les mêmes valeurs qu'un 
polynôme. Enfin, les inégalités fondamentales du balayage sont obtenues sans 
qu'on ait à faire intervenir les propriétés particulières du potentiel newtonien. 

La méthode de M. Poincaré est ainsi rendue générale et fournit, en fin de 
compte, la solution demandée. L'existence de celle-ci est donc prouvée pour 
un domaine T dont l'ordre de connexion est absolument quelconque, les va- 
leurs données sur S étant seulement astreintes à former une fonction continue 
et S pouvant présenter certaines singularités, par exemple des singularités^ 
saillantes. L'auteur termine en indiquant que la méthode ne réclamerait que 
peu de modifications pour s'appliquer à une équation linéaire irréductible, 
c'esl-a-dire non susceptible d'être ramenée à la forme (2), et qu'elle réussit 
aussi bien, qiiel que soit le nombre des variables indépendantes. 

Mi Le Roy passe ensuite à l'examen de l'équation non linéaire 

a d.v -r- b dy ^ c dz étant lonj<nirs une difTércnlielle exacte et / croissant 
avec \ . 

Il considère aussi l'équation 

(-,) AL-i-a-^ ^b ^c-^-=!if(U,x,y,z)-ho. 

Le domaine T ayant des dimensions quelconques, 31. Le Roy fait remarquer 
que la solution de ( '( ) peut être raiculéc, pour les petites valeuis rie la cou- 



lUiVUiî DES PUBLICATIONS. C 

staïUe ;, à l'aide des procédés d'approxiinalions successives de M. l'icard. Cela 
fait, on peut regarder U comme une fonclion de \, li(domorplie au voisinage 
de Ç =0. Une méthode de prolongement analytique permet de passer de ce cas 
à celui où Ç a une valeur positive quelconque. 11 suflit alors de prendre l = i 
pour obtenir l'intégrale de (3). 

Un cas particulier remarquable est celui de l'équation 

11] =A{x,y,z)e^ (A>o), 

dont on connaît le rôle important dans plusieurs problèmes de Géométrie et 
d'Analyse, notamment dans la théorie des fonctions fuchsiennes. 

Deuxième Partie. — Le problème de Dirichlet et les fonctions harmoniques 
fondamentales attachées à une surface fermée. 

La méthode du balayage rend certaine l'existence d'une solution du problème 
de Dirichlet. Mais la forme analytique de cette solution reste inconnue. Or, 
il serait vraiment insuffisant de se borner, dans une question aussi importante, 
à un simple théorème d'existence. Il faut donc voir si, le principe de Dirichlet 
étant établi, il ne deviendrait pas possible d'obtenir, a posteriori, une expres- 
sion analytique de la fonclion harmonique qui prend sur S des valeurs don- 
nées, par une série de fonctions harmoniques simples, d'après le procédé 
constamment employé en Physique mathéroalique. On l'avait déjà fait dans 
quelques cas particuliers, tels que ceux de la sphère et de l'ellipsoïde, traités 
respectivement par Laplace et par Lamé. Le but de cette seconde Partie est de 
généraliser ces résultats classiques. On y établit que la démonstration préa- 
lable des théorèmes d'existence permet de trouver comme conséquences les 
développements en séries de termes simples, par lesquels, si l'on adoptait 
les idées de Lamé, on chercherait à construire la solution du problème de 
Dirichlet. 

Pour arriver à cette conclusion, l'auteur définit certaines fonctions qu'il 
appelle fonctions harmoniques fondamentales attachées à la surface 
donnée S et dont voici la nature. Il existe un ensemble dénombrable de con- 
stantes positives non décroissantes 

%^, ?:. ?3, ••-, \, 

auxquelles correspondent les potentiels newtoniens de certaines couches simples 
de matière attirante répandue sur S, 

\V,. W... \V, W . ..., 

vérifiant les relations 

d\\ , dW 

-H- + -r-^+?,,W =" (sur S), 
dn- dn^ ' ' 

f\\^dz = i, f\\^,\\^d- = o iP'Aq)- 

•-S -^ S 

Pour établir l'existence de ces fonctions. M. Le \\(>\ dclerinine le potentiel 



58 SECOND I' l'Airnii. 

d'une simple couche, Icllo que 

dW dW 

dn- dn^ 

\ désignant une constante négative. Il est clair que ^Y est une fonction de ç. 
On trouve que c'est une fonction analytique de l, holomorphe en tout point, 
sauf aux points \^^ qui sont des pôles simples admettant comme résidus les 
fonctions fondamentales W . 

Si <P désigne une fonction continue ainsi que ses dérivées de tous les ordres 
sur S, on peut développer <P en une série procédant suivant les fonctions fon- 
4 damentales W . Cette série représente la fonction U harmonique à l'inté- 
rieur et à l'extérieur de S, qui prend sur S les valeurs <P. La solution du 
problème de Dirichlet, tant intérieur qu'extérieur, se trouve ainsi exprimée 
par un potentiel de simple couche, développable en série procédant suivant des 
termes simples. Cette conclusion s'étend au cas où <ï> est simplement continue: 
seulement la série n'est alors convergente qu'en tout point non situé sur S, 
mais sur S la série (bien que peut-être divergente) n'en représente pas moins 
'^, puisqu'elle permet de calculer cette fonction avec telle approximation que 
l'on veut, comme limite de la fonction harmonique envisagée. 

Ces résultats sont susceptibles de généralisation. D'autres fonctions fonda- 
mentales existent, qui vérifient sur S la relation 

fAV„ fA\ 

-r^-+- -r^ + ?. '-pw =0, 

dn- dn^ ' '' 

9 étant une fonction positive. Si 9 est proportionnelle à la densité de la couche 
électrique en équilibre sur S, on a la classe de fonctions fondamentales dite 
principale. Les fonctions de cette classe se réduisent aux fonctions de Laplacc 
dans le cas de la sphère et aux fonctions de Lamé dans le cas de l'ellipsoïde. 
En général, elles obéissent à la relation 

dW^, d\Y 

~d^=\^ a=const.>o), 

en partant de laquelle M. Poincaré avait essayé déjà d'obtenir des résultats 

analogues à ceux qui sont obtenus ici. 

La considération des fonctions fondamentales de la classe principale permet 

de perfectionner sur plus d'un point la théorie des fonctions harmoniques. On 

constate, par exemple, que la méthode de Neumann pour résoudre le problème 

de Dirichlet peut servir, sinon à établir Vexistence d'une solution, du moins à 

calculer cette solution, quel que soit Vordre de connexion de S. On arrive 

I - ,. • I • ,r .1 ^V d\ 

également a construire une fonction liarmonique V, telle que —, — ou -; — 

dn^ dn^ 

prenne sur S des valeurs données. Enfin I\l. Le Roy montre encore comment 

on parvient à ti-aiter un problème que soulève la théorie du magnétisme et 

qui consiste à déterminer une fonction harmonique V vérifiant sur S la 

relation 

d\ , d\ 

dn^ dn^ 

•^ désigniint une fniii'linn iloiinée et h une cciiïlaïUc positive. Le problème de 



lUiVLK DKS PUBLICATIONS. Sg 

IVi|iiiIibi<- llieriiiiciiic pouirail (Hrc uhcnilc de lu mètiK; façon dans le cas où il 
y a rayonnement; mais M. Le Roy le laisse de côté ici, ayanl déjà indiqué 
uilleiMS ( Comptes rendus, 1895 ) une solution rigoureuse. 

TaoïsiKME Paiîtie. — Le refroidissement des corps solides et le problème 
de Fourier. 

Le problème de Fourier consiste à construire une fonction V, continue 
dans T, vérifiant Téiiualion 

et se réduisant à des fonctions données, pour t = o dans T, et quel que soit 
t sur S. L'auteur démontre d'abord l'impossibilité de plusieurs solutions, puis 
l'existence eflfective d'une solution. 

Les seuls travaux antérieurs que l'on puisse citer étaient dus à M. Poincaré 
et relatifs à la méthode des solutions simples, M. Le Roy suit une marche toute 
différente. Au lieu d'éliminer des calculs la variable t qui représente le temps 
et de ramener ainsi l'intégration cherchée au développement d'une fonction de 
(x,y,z) en série d'une certaine forme, il démontre directement l'existence 
d'une solution du problème de Fourier, comme il a fait pour le problème de 
Dirichlet généralisé. Les séries de termes simples que ^L Poincaré considérait 
a priori ne sont d'ailleurs pas rejetées pour cela : elles se retrouvent à la fin, 
mais comme conséquences des théorèmes d'existence établis d'abord. 

Le premier point est de réduire le cas général à celui où les températures 
périphériques données sont constamment nulles. M. Le Roy y parvient en ti-ai- 
tant le cas intermédiaire d'un corps plongé dans la glace fondante, mais con- 
tenant à son intérieur des sources calorifiques. Ce cas lui-même est ramené au 
cas simple par une série de considérations où interviennent des méthodes d'ap- 
proximations successives et de prolongement analytique semblables à celles de 
la première Partie, ainsi que les propriétés des séries trigonométriques, de 
l'intégrale de Fourier et des développements de Taylor. L'emploi des fonctions 
de Bessel permet d'ailleurs d'achever la question en ce qui concerne la sphère 
ou l'espace compris entre deux sphères concentriques. 

Cela posé, une nouvelle transformation de la méthode du balayage, imitée de 
celle qui a servi dans la première Partie, permet de démontrer l'existence 
d'une solution dans le cas général. Les artifices employés sont trop divers pour 
être résumés. Qu'il suffise de dire que le raisonnement tout entier est fondé sur 
la remarque simple qui a conduit à affirmer l'impossibilité de plusieurs solu- 
tions. Ajoutons que l'on recueille ici le bénéfice des transformations apportées 
plus haut à la méthode du balayage : étant débarrassée de ce qui était propre 
à l'équation de Laplace, elle se trouve naturellement prête à recevoir de nou- 
velles généralisations. 

AL Le Roy termine en montrant comment la solution obtenue peut s'expri- 
mer par une série de termes simples procédant suivant les fonctions fonda- 
mentales U^, de M. Poincaré, qui sont nulles sur S et satisfont dans T à 
l'équation 

P ^1' V 



AU..-f-LU..= o. 



// suffit que la série SA^Up soit convergente, pour qu'elle représente 
effectivement la fonction arbitraire qui lui a donné naissance. On trouve 
d'ailleurs aisément des caractères de convergence. En tout cas, que la série soit 



Go SECONDE l'A H 11 E. 

tonvergente ou non, on peut construire une suite finie de fonctions L qui 
représente une fonction arbitraire, nulle sur S, avec telle approximation 
que l'on veut. En combinant les fonctions U aux fonctions W , on arrive à 
des conclusions plus générales encore. Ces diverses propositions peuvent être 
utiles dans bien des questions de Physique, notamment dans le problème des 
membranes vibrantes, que l'on réussit à résoudre en les utilisant, sinon exac- 
tement, du moins avec telle approximation que l'on veut. 

Les dernières pages du Mémoire sont consacrées à quelques indications 
rapides sur la possibilité d'appliquer les méthodes d'approximations succes- 
sives de M. Picard à l'étude des équations générales du régime variable pour 
^ un corps hétérogène, contenant à son intérieur des sources calorifiques et main- 
tenu à sa surface à des températures données, variables avec le temps. 

Guichard. — Sur les systèmes orthogonaux et les systèmes 
cycliques. (179-227). 

Suite du Mémoire dont les deux premiers Chapitres ont paru dans le Volume 
précédent du même Recueil (Chap. III et IV). 

Beiidon {J.). — Sur des systèmes d'équations aux dérivées par- 
tielles analogues aux équations du premier ordre. (229-242). 

L'objet de ce Travail est l'étude des systèmes d'équations aux dérivées par- 
tielles définissant une fonction z de n variables indépendantes x^, x^^ . . ., ^„_i, 
x^ et dont la solution dépend d'une fonction arbitraire de (n — i) arguments 

Le premier Chapitre est consacré au cas général. Si le système donné est 
d'ordre/), on peut toujours le rendre linéaire en formant les équations d'ordre 
(/>-+-i) qui s'en déduisent par différentiation : aussi l'auteur s'en tient-il aux 
systèmes linéaires. Il monti-e que l'on peut toujours donner à ces systèmes une 
forme normale qui met en évidence leurs analogies avec les équations du pre- 
mier ordre. Voici le résultat de son analyse : 

Si un système d'équations aux dérivées partielles linéaires d'ordre p 
définissant une fonction de n variables a une solution générale dépendant 
d'une fonction arbitraire de n — i arguments, on peut toujours mettre les 
équations qui le composent sous la forme 

«I ^a, ^, «; ... a,v + «: K, a, + , ... a,. "^ • • ■ -'" «„ K, a, . . «,.,., = '^a, ... a„. 

oii l on n posé 

'm ■■■'■m' 



dx'i . . . ÔX'-^n 
A|+ A,-l-.. .-H A„— /.-, 

«,, Gj, . . ., a„ étant des fonctions des variables indépendantes, de la fonc- 
tion z et de ses dérivées jusqu'à l'ordre p — i, qui restent les mêmes pour 
toutes les équations, et les Aa.,...a,^ étant des fonctions des mêmes arguments 
qui peuvent changer d'une équation à Vautre. 

Ce syslciHC |)Ojscdf tics ciiraiicrisliinic» i'i une ilimcn>ior». Si l'on se donne 



15 1'. vu H 1)1' S P i; 15 IJ CATIONS. f.r 

une niulliplicilc ponctuelle à n — i dimensions, on obtient, par îles équations 
(lifTérentielIes ordinaires, l'orientation des éléments d'ordre p — i des diffé- 
rentes surfaces intégrales qui contiennent cette multiplicité, et l'on engendre 
ensuite chacune de ces surfaces par les caractéristiques, à la façon habituelle. 

Le Chapitre se termine par l'indication de l'existence de multiplicités singu- 
lières. 

Le second Chapitre traite particulièrement des systèmes linéaires et du second 
ordre. On y trouve d'abord la démonstration du théorème suivant : 

Tout système linéaire d'équations aux dérivées partielles du second ordre 
définissant une fonction z de n variables x,, x^, ...,x„, dont la solution 
générale dépend d'une fonction arbitraire de (n — i) arguments peut être 
mis sous la forme 

où l'on a posé 



1 = 1 



UK'ec les conditions 



' dx-OXj 

a, = 'fi ( a, 5:,, . . .. a?„, z), 

a, = ?2 { ^, ^i< ■ ■ -, ^„, ^)> 
f 

«»-:= 'fn-lCa,^!, ...,X,„Z), 

L'auteur s'occupe ensuite des multiplicités intégrales. Se donnant une multi- 
plicité ponctuelle k n — i dimensions, savoir z et x^ en fonction de x,, x^, ..., 
j:„_,, il montre que l'orientation des éléments du premier ordre sur celte mul- 
tiplicité ne dépend que d'équations différentielles ordinaires. Les caractéris- 
tiques sont d'ailleurs 

_ dx^ _ dx^ d,^„-\ _ "^^ _ ^? 

"^ a, "" a. a„_, "" '^ "S" 

Les multiplicités singulières k n — i dimensions sont déterminées par les 
deux équations du premier ordre en z et x^ 

n—l n—\ 

— àx^ , x^ — dz 

. . . a -— ^ =0, '^ -h y a - — = o, 

J.^ f àx ^ Amà ^ ôx^ 

où a désigne ce que devient la fonction a^ quand on y remplace p^ par 

ôz dx„ 

résultat qui se trouve être indépendant de /?„. 

Les multiplicités singulières sont engendrées par les caractéristiques du 
système proposé : pour les obtenir, on considère une multiplicité d'éléments 
unis du premier ordre k{n — 2 ) dimensions, susceptibles de porter des éléments 
unis d'ordre /?, vérifiant le système étudié, et l'on fait passer une caractéris- 
tique par chaque élément de cette multiplicité. 



Ga secondiî PAirriK. 

Drnck (./.)• — Essai sur une lliéorie générale de linlégralion et 
sur la classification des Iranscendantes. (243-384)- 

Extrait de l'Introduction. — Nous avons tenté ici de fixer les traits essen- 
tiels de cette classification en nous bornant aux transcendantes les plus simples : 
celles qui vérifient des équations diflérenlielles algébriques et plus particuliè- 
rement des équations du premier ordre. 

Galois a réalisé, pour les nombres et les fonctions algébriques, la classifica- 
tion réclamée par Lacroix. 

Liouville a définitivement établi le caractère transcendant de certaines fonc- 
Tions simples. 

Une classe particulière de transcendantes, les intégrales de dilTérentielles al- 
gébriques et les fonctions qui s'y rattachent, a accaparé ensuite pendant long- 
temps l'attention des géomètres. C'est seulement de nos jours que l'étude des 
équations linéaires à coefficients rationnels ou algébriques a permis d'entrevoir 
pour les transcendantes qui vérifient ces équations, une classification ration- 
nelle. 

Jamais, d'ailleurs, le problème de Lacroix n'a élé posé d'une manière pré- 
cise, et c'est par là que nous avons dû commencer. 

Les recherches de Galois nous ont appris que les nombres algébriques ne 
sont jamais déterminés d'une manière unique par les relations algébriques 
entières à coefficients rationnels qu'ils vérifient. 

Un fait analogue s'est présenté dans l'étude des fonctions algébriques d'une 
variable, où son importance a été mise en évidence par Puiseux : en revenant 
à la détermination initiale de la variable, on ne retrouve pas nécessairement 
les déterminations initiales des diverses fonctions conjuguées; une certaine 
permutation s"est efiectuée sur ces déterminations et cette permutation est 
l'une de celles que donne la théorie de Galois. 

L'étude des transcendantes les plus simples, celle de la fonction logarith- 
mique, par exemple, amène aux mêmes conclusions. 

Toutes ces recherches avaient mis en évidence le rôle joué par l'ensemble 
des relations rationnelles vérifiées par les éléments que l'on étudie et leurs 
dérivées d'ordre quelconque, ou plutôt par les transformations qu'il est pos- 
sible de faire subir aux éléments sans altérer cet ensemble. Ces transformations 
formaient, d'ailleurs, toujours un groupe, puisque la succession de deux d'entre 
elles laissait évidemment l'ensemble inaltéré. 11 était, dès lors, tout naturel de 
chercher à étendre les résultats obtenus aux groupes les plus généraux que 
MAL Sophus Lie et Picard venaient de découvrir, dont les transformations 
pouvaient dépendre de fonctions arbitraires. AL Lie montrait que presque tous 
les cas d'abaissement qui s'étaient présentés jusqu'alors dans l'intégration des 
équations diflerentielles ordinaires résultent de l'existence de transformations, 
dépendant d'un nombre limité de paramètres, qui laissent invariables les équa- 
tions considérées. Ces transformations forment nécessairement un groupe. 

Malheureusement, les cas signalés par M. Lie élAx&nl to\i\o\\rs, particuliers : 
une équation did'érentielle ordinaire, d'ordre supérieur au premier, n'admet 
pas en général de groupe, au sens de M. Lie. Les équations linéaires aux 
dérivées partielles et les systèmes complets étudiés par M. Lie sont aussi très 
particuliers. La mèinc observation s'étend à plus forte raison aux équations 
d'ordre supérieur qui admettent des groupes. On peut donc affirmer que l'ap- 



UKVUli: DES PUBLICATIONS. (\3 

plication, indiquce par M. Lie, de sa théorie des groupes à l'inlégratio/i 
des équations n'est pas la véritable généralisation de la méthode employée 
par Galois pour les équations algébriques. 

Les travaux de M. Picard, sur les équalions difrércntielles linéaires, mon- 
traient la voie où il fallait s'engager pour parvenir à cette généralisation. 

Le succès de la méthode de Galois tient uniquement à la remarque suivante : 
on peut exprimer tous les éléments qui satisfont à l'équation que l'on étudie, 
comme /o/zc^ion déterminée d'un nombre limité d'entre eux, formant un sys- 
tème fondamental. Cela suffit pour permelti'e l'extension de la théorie de 
Galois. 

Soit un système d'équations aux dérivées partielles, définissant/) fondions 
^,, ^2) •• •) ^„ de n variables x^, x^_, . . ., x,,, et supposons que la solution géné- 
rale de ce système s'exprime d'une manière déterminée, toujours la même, 
à l'aide dun nombre fini r de solutions particulières quelconques, des variables 
et d'un nombre fini de constantes arbitraires €^,€2., .■.,c^ ou de fonctions arbi- 
traires ç,, 92' • • •) 9h d'arguments déterminés; nous dirons que les solutions du 
s^^stème dépendent d'un nombre limité /• d'éléments fondamentaux. Si l'on 
veut édifier une théorie complète de la détermination de =,, ^2» •••j-",>i '' ^^'• 
nécessaire de substituer à la i-echerche de la solution générale, celle, équiva- 
lente, de r solutions particulières formant un sjstème fondamental. 

Ce second problème dépend toujours de l'étude d'un groupe, qui joue, dans 
l'intégration du système, le même rôle que le groupe symétrique dans 
l'étude des équations algébriques ou le groupe linéaire et homogène dans 
l'étude des équations différentielles linéaires. 

Parmi les systèmes dont la solution dépend d'un nombre limité d'éléments 
fondamentaux, les plus importants sont formés par les équations linéaires aux 
dérivées partielles du premier ordre. Le groupe à considérer est, dans ce cas, 
un groupe de transformations ponctuelles. A toute écjualion 

à coefficients rationnels, dont Zi, z^_, ...,z^ forment un système fondamental 
de solutions, est attaché un groupe F, contenu dans le groupe ponctuel gé- 
néral r„ des transformations de z^, z^_, ...,^„, que nous appelons son groupe 
de rationalité et qui possède les propriétés : 

Tous les invariants rationnels de T, lorsqu'on étend les transformations en 
regardant les z comme des fonctions des « -t- i variables x, x,, ...^x^, s'ex- 
priment rationnellement à l'aide des x; 

Toute fonction des z qui s'exprime rationnellement à l'aide des x est une 
fonction de ces invariants différentiels. 

L'intégration de l'équation (i) se décompose donc en trois parties: 

1° Recherche des différents gi'oupes T qu'il y a lieu de considérer; 

■2" Détermination du groupe T qui correspond à une équation donnée; 

3° Étude des transformations du groupe T. 

La dernière étude conduit à fixer la nature des transcendantes z^, z^, ..., 
z^^ d'après la considération des relations rationnelles qui lient ces éléments 
aux variables et à leurs dérivées par rapport à ces variables. La classifi- 
cation obtenue concorde, par suite, avec celle à laquelle nous serions parvenus 
en partiint de ce dernier point de vue. 



6i SECOND li i'AUTIIÎ. 

i-, .'.rL'élude des équations non linéaires du premier ordir, ou plulùl de leurs 

^siritégrales complètes, se fait en suivant les mêmes principes que pour les équa- 
tions linéaires : elle fera l'objet d'un Mémoire spécial. Il convient d'observer 

-iiici qu'il est possible d'amener, par une transformation ponctuelle des variables 
ou une transformation de contact, toute équation, linéaire ou non, du premier 

: ' ordi-e, à une forme canonique tout intégrée. Cette observation avait été faite 
depuis longtemps par M. Lie; mais la détermination delà transformation étant 
identique à l'intégration de l'équation donnée, cela ne constituait qu'un simple 
déplacement de la question. Les théories que nous développons montrent que 
l'on peut fixer d'une manière précise la dijficulté de l'intégration, c'est-à- 
dire aussi celle qui consiste à trouver la transformation qui amène à la 
forme canonique. 

En étudiant le problème de Vintégration en général, il nous a été possible 

de définir ce que nous appelons Vintégration logique d'un sjstéme, qui est 

, au problème de Cauchy et aux autres problèmes plus ou moins précis qu'on 

^ s'est posé sur l'intégration ce qu'est la résolution algébrique des équations 

par la théorie de Galois à leur résolution numérique ou par approximation. 

Nous avons été amenés ainsi à définir d'une manière extrêmement précise 
tous les éléments du raisonnement et à partir de théorèmes généraux sur les 
fonctions dérivables pour déterminer et classer toutes les transcendantes du 
Calcul intégral, ou du moins celles que nous pouvons définir algébriquement. 

Les principaux théorèmes de la théorie des groupes, donnés par M. Lie, 
se sont ainsi trouvés établis d'une manière presque intuitive, par des mé- 
thodes qui en feront saisir la véritable importance. 

Signalons encore quelques indications générales sur le problème de l'inté- 
gration logique des systèmes différentiels quelconques et sur les formes les 
plus simples auxquelles on peut ramener de tels systèmes. En particulier, tout 
système différentiel devant définir p fonctions z^, z^, ■ . ., z de n variables 
ar,, x^, . . ..,x^ peut être ramené à un système d'équations du second ordre, 
à une seule fonction inconnue, en augmentant convenablement le nombre 
des variables. 

Les transcendantes qui sont liées à leurs dérivées et aux variables par des 
relations rationnelles se partagent donc en deux grandes classes, suivant qu'elles 
vérifient des équations qui sont toutes du premier ordre ou toutes du second 
ordre. 

La classe intermédiaire se ramène, en effet, à la seconde classe avec une ou 
plusieurs variables de moins, par l'introduction de transcendantes de la pre- 
mière classe. 

Le travail actuel est consacré presque exclusivement aux transcendantes de 
la première classe. 

Il n'existe d'ailleurs, à notre connaissance, aucune recherche relative aux 
transcendantes essentielles du second ordre, au point de vue auquel nous 
nous plaçons. 

Extrait de la conclusion. — Essayons maintenant de dégager quelques con- 
séquences positives des théories que nous avons indiquées. Si l'on considère 
d'abord la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles ou des sys- 
tèmes complets de telles équations, dont les coefficients sont rationnels, on Voit 
qu'en général les transcendantes z,, Zn, ...,z^, qui en constituent un sys- 
tème fondamental de solutions, sont des éléments inséparables. Toute ten- 



:)i'^. Fc^^-fù> . 



lîKVUI-: DHS nUlUJCATIONS. 65 

talivc faite imur déterminer un ou plusieurs d'entre eux sans (léleriiiincr les 
autres, n'a de sens que dans des cas particuliers, lorsfjuc le j;roupc de rationa- 
lité correspondant est imprimilif ou intransitif, et il nous semble que la seule 
manière régulière de faire l'intégration soit de déterminer le f;roupe de ratio- 
nalité. 

La même observation s'applique aux éléments qui définissent une intégrale 
complète d'une équation mm linéaire du premier ordic ou d'un système en 
involution. 

Les considérations qui nous ont servi jusqu'à présent trouvent encore leur 
application dans l'étutle d'un problème classique, le problème de Pfaff, qui, 
au point de vue des intégrations qu'il exige, ne parait pas non ])lus avoir 
jamais été traité d'une manière satisfaisante. 

Un grand nombre d'équations du second ordre ( il'unc manière précise toutes 
celles qui se ramènent au premier ordre ou s'intègrent par les méthodes de 
Monge, d'Ampère ou de M. Darboux) peuvent être traitées comme celles du 
premier. 

Pour une équation du second ordre quelconque, on ne connaît jusqu'à pré- 
sent aucune classe de solutions (dépendant de constantes ou de fonctions arbi- 
traires) dont on puisse préciser l'indétermination, c'est-à-dire pour lesquelles 
on connaisse la nature des opérations (formant nécessairement un groupe) qui 
permettent de passer d'une solution de la classe à une autre solution quel- 
conque de la classe. La recherche de ces classes est manifestement liée à celle 
des transformations, portant sur x, y, z, p, q, r, s, t, qui changent une équa- 
tion du second ordre donnée en une autre quelconque, par exemple en l'équa- 
tion S = o. Mais c'est là un sujet qui n'a pas encore été abordé. 

D'une manière générale, nous avons constaté que les éléments qui se pré- 
sentent dans la théorie des équations différentielles, faite au point de vue 
spécial auquel nous nous sommes placés, sont toujours indissolublement liés 
à d'autres, dont ils ne peuvent être distingués algébriquement. C'est l'arbi- 
traire qui subsiste dans leur définition algébrique, qui est la véritable mesure 
de leur transcendance. 

Nous avons vu également que le calcul des fonctions rationnelles de ces élé- 
ments et de leurs dérivées d'ordre quelconque rend manifestes, par les trans- 
formations qu'il admet en lui-même, leurs propriétés les plus importantes et 
donne, en particulier, pour des équations qui renferment des indélerminées, 
tous les cas possibles d'abaissement ou de dégénérescence. 

Les transcendantes que nous étudions ne sont en général pas uniformes. En 
partant d'un point de situation générale dans le champ des variables et en y 
revenant après avoir décrit des chemins fermés quelconques, on ne retrouvera 
pas les développements initiaux. 

Ajoutons enfin que la méthode qui nous a servi pour ébaucher la classifica- 
tion des transcendantes qui vérifient des équations diflerentielles algébriques a 
une portée beaucoup plus générale. Elle s'appliquera encore, sans modifications 
essentielles, à Vinlégration logique des équations aux différences finies, aux 
différences mêlées, et, en général, de toutes équations fonctionnelles, à con- 
dition de préciser convenablement le domaine de rationalité; il en résultera 
également une classification naturelle des transcendantes que l'on peut dcfînir 
algébriquement de cette manière. 

Bull, des Sciences matliém., a' série, t. WIV. ( \vril 1900.) R.5 



06 SliCONDE PAUTIi:. 

Mangeot {S.). — Sur Ja similitude et la symétrie de deux courbes 
ou surfaces algébriques. (385-392). 

Deux surfaces réelles ou imaginaires S,, S, de même ordre wi > 2, étant 
données par leurs équations 

f,{x, y, z) =0, f.,{x, y, z) z^o, 

en coordonnées rectangulaires, l'auteur désigne par 9i(^, y, z) cl -^^ix, y, z) 
les deux polynômes du second degré 

Y^ (m— i)! [d"'-^f^(x, y, z)T- (r= 1, 2), 






^ a ! ,3 ! y ! | r)x"- dy? âz: J ( a + ? -^ y = ,« _ r). 

Les deux équations 

9,(.r, y. z) = 0, -f.f.r. y. z) = o, 

représentent deux quadriques à centre F, et f^ qui sont deux surfaces respec- 
tivement covariantes des deux surfaces S, et S,. Ces deux quadriques sont ima- 
ginaires, à moins d'être réduites à un plan double, mais leurs axes sont, dans 
tous les cas, des droites réelles. 

Tout élément de symétrie, centre, axe ou plan de symétrie, que peut avoir la 
surface S,, doit être un élément de symétrie de la quadrique F,; M. Mangeot a 
établi cette propriété antérieurement {Annales de l'Ecole Normale; 1897) et 
l'a appliquée à la recherche des éléments de symétrie de la figni-e S,. Cette ques- 
tion n'est qu'un cas particulier du problème suivant, que l'auteur traite ici : 

Reconnailre si les deux surfaces S, et S^ sont symétriques l'une de l'autre 
par rapport à un point, ou par rapport à une droite, ou par rapport à un 
plan; et, en cas d' affirmative, déterminer cet élément. 

On peut d'abord ramener ce problème à la question précédente. On peut 
aussi le résoudre en substituant aux surfaces S, et S; leurs quadriques cova- 
riantes r, et Tj. 

D'une manière plus générale, l'auteur montre que la recherche des conditions 
d'homothétie, de similitude, d'égalité, de symétrie par rapport à un point, à une 
droite ou à un plan, de deux surfaces S, et S, peut être effectuée au moyen de 
leurs quadriques covariantes Ti et \\. 

On voit ainsi que deux courbes ou deux surfaces de même ordre étant don- 
nées par leurs équations, il est généralement possible de résoudre par de 
simples vérifications, sans introduire d'indéterminées auxiliaires, la question 
de savoir si ces deux figures ont entre elles l'une ou l'autre des six dépen- 
dances énumérées plus haut et de déterminer les constantes qui fixent cette 
dépendance. 

L'auteur fait ensuite connailre d'autres figures analogues aux quadriques co- 
variantes précédemment considérées, et que l'on peut utiliser de la même façon. 
Puis il étend ses recherches aux polynômes à plus de trois variables, et résout 
en particulier le problème suivant : 

Dans quel cas le polynôme /, ( x, j-, z t) peut-il se transformer dans 

le polynôme f^ix, y, z, ..., t) par une substitution orthogonale, homogène 
ou non. et quelle doit être cette substitution? 



REVUE DES PUBLICATIONS. f>7 

Dolbnia (./.). — Étude directe des intégrales abélienncs de 

genre un. (393-43o). 

L'objet de cette étude est d'effectuer, au moyen delà fonction elliptique pu 
de Weierstrass, l'inversion des trois seules intégrales de la forme 



/ 



dx 



V (vT — a )* ( J? — 6 )?. . . ( a: — p )"' 



qui soient du genre un, ainsi que de l'intégrale elliptique de première espèce, 
i" Considérant d'abord l'intégrale 



_ r' dx 



(0 ,,, 

<)-{x — c)- 

l'auteur établit directement que x est une fonction monodrome de u sur toute 
la surface de Riemann. 

Posant ensuite x — a = u » ;e qui change l'intégrale proposée en 



/: 



rf; 



il trouve 

,. 27 , a' + b' 

les invariants de pz ayant pour valeurs 

'a' — b' 



(2) 



2° Traitant ensuite la relation 

dx 



"~-I 



a V^(^ — «)"('^ — 6)^(X — C)' 



on reconnaît que x est une fonction monodrome de u sur toute la surface de 
Riemann. Par une transformation linéaire, on substitue à la relation de départ 
l'équation 



_ p d\ 



X)3 

d'où l'on déduit 

On pourrait aussi ramener l'équation proposée à la forme 

dx 



I 



'0 v/a7'(^ — a)-'' 
l'auteur montre que linversion de l'argument ; peut être opérée directement, 



68 SECONnK PARTIE. 

sans qu'on ail recours à la subslitulion préalable x ^ — qui a pour but de ra- 
mener tous les infinis de x en un seul point de la surface de Ricmann. 
3° La troisième intégrale considérée 

dx 

(3) 






[x — ay{x — by {x — c)= 

définit X comme fonction monodrome de u sur toute la surface de Riemann. 
Par la substitution x — c — —■> on ramène l'équation proposée à la forme 



dont l'inversion donne 



/ 



dy 



y=..^3«(4p3.-^), 



'., = G, 



"^^ 2'3« 

On pourrait aussi ramener l'équation de départ à la forme 

d\ 



i 



relalion dont on peut efTectuer l'inversion sans employer la substitution préa- 
lable £ — 3= -. 

■ y 

La même proposition est vraie de la relation 
•^ dl 



-l 



|3 V'(?-^)H5-?)=' 

qui est une autre forme de l'équation (3). 

Cette possibilité d'une inversion directe, indépendamment d'une substitution 

de la forme a; — a = — > est ensuite établie par l'auteur pour chacune des 

y 

intégrales (i), (2) et (3). 

La fin du Mémoire contient le détail des calculs à effectuer pour opérer, 
conformément à une indication donnée par Halphen ( Traite des fonctions 
elliptiques, t. I, p. i3i), l'inversion de l'intégrale 



/; 



dv 



v'J(r) 

sans résoudre l'équation J = o. On trouve^ainsi 

dt 



J ^'U' 



les invariants ayant pour valeurs respecti\cs 



UEVUE DES PUBLICATIONS. 69 

En rapprochant ce rcsulLat d'une transformation indiquée par l'auteur dans 
un Travail antérieur, on arrive à ce théorème : 

Étant donnée l'équation 

dv 



/7 



v^J (r ) 

d'où résulte par inversion 



r — r. = 



j.) z — pz^ 
si l'on effectue la substitution 

on obtient pour la nouvelle variable r, l'expression 

pZ — p{2zj' 

gui ne différée de celle de y — jKi Qu^ po-r la duplication de l'argument z^, 
les invariants g^ et g^ ayant les mêmes valeurs dans les deux cas. 

Von Mangoldt. — Démonstration de Téqtiation 7 ' , ^ o. 

1 
(431-454). (Traduit de l'allemand par M. Laugel.) 

Ce Mémoire ayant paru dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin 
(22 juillet 1897), nous ne ferons qu'en rappeler l'objet. 
La fonction numérique |x dont il s'agit ici est ainsi définie : 

;x == I pour A" = i; 

|j. = o lorsque k est divisible par un nombre carré; 

a = — I lorsque A" est composé d'un nombre impair de facteurs premiers diffé- 
rents; 
[i. = I lorsque A" est composé d'un nombre pair de facteurs premiers différents. 

Quant à la série considérée, elle renferme toutes les valeurs que prend 

l'expression — — pour des valeurs entières et positives de A', cl cela dans 

l'ordre où elles se présentent lorsque l'on remplace le successivement par 
tous les nombres de la série naturelle des entiers. 

Cette série est convergente et a pour somme zéro. Euler avait énoncé ce 
théorème sans l'appuyer de raisons convaincantes. L'auteur en donne une 
démonstration rigoureuse. 

Lacour [Ein.). — Sur une transformation de fonctions ellip- 
tiques qui correspondent à un module imaginaire. (455-462). 

I. La fonclion x — pu qui satisfait à l'équation 

dx ,- 

^ = \' \{x — e,){x — e,)yx — e.^ 



70 



SECONDE PAUÏIE. 



peut, lorsque les constantes e,, 63 sont imaginaires conjuguées et e.^ réelle, être 
avantageusement ramenée aux fonctions sn, en, dn, de module réel. A cet effet, 
on pose 

e^ — 63= p(cos(|i -1- I simli ), 

62 — e, = p(cos4' — jsini^). 

Si l'on a pris pourCi celle des racines conjuguées dans laquelle le coefficient 
de i est positif, l'angle 4' sera compris entre o et -;r, le facteur p étant essen- 
tiellement positif. On trouve ainsi 

r + cn(2«i/p) 

= e, -^ P ^ — 

|_ sn(2M^/'p) 

4, 
le module des fonctions sn et en étant égal à sin - • 



pu 



11. La formule précédente ramène la fonction pu, dans le cas du discrimi- 
nant négatif, à des fonctions elliptiques de module réel. INIais, d'autre part, on 
sait que cette fonction se ramène à la fonction sn{gu), le module A" et le mul- 
tiplicateur g étant ainsi définis 



/. = = 



En comparant les deux expressions correspondantes de pu, on obtient des 
formules de transformation, pour les fonctions elliptiques sn, en, dn, permct- 

tant de passer du module imaginaire A~ au module réel l = sin — • 

Voici ces relations, où s, c, d désignent les fonctions de module A et d'argu- 
ment u, tandis que 5,, c,, <rZ, désignent les fonctions de module / et 

,, u 

d argument — : 



l^Msd 4M-f/2-5- 4iM-r 4M2rf2-4-5-' 



le diviseur M est donné par l'équation 2M-= i sin^j;. 

III. La transformation précédente, pour passer du module imaginaire A" au 
module réel /, peut être définie par des relations linéaires entre les périodes K, 
l'K' de la fonction %ngu au module h et les périodes 






de la fonction sn U, au module réel /, savoir 



M 



L — ;L', 



/K' 

ir 



= L-hJL'. 



De ces relations on pourrait déduire à nouveau les formules trouvées plus 
haut pour 5,, c^, f/, . 



UEVUK l)l':S l'UlU.ICATIONS. 71 

Tckcbychef. — Sur les cx|)rcssions a|)j)rocliccs dune racine 
carrée de la variable, au mojen des fractions simples. (463-48o). 
(Traduit du russe ))ar M. Vassilief.) 

Ce Travail a été publié en 1.S89 dans les Mémoires de l' Académie de Saint- 
Pétersbourg (l. L\I, appendice I). 



COMPTES RENDUS iii<:i!do!mad\irks des séances de l'Académmî des Sciences. 
Tome CXXVF; 1S98 (i). 

Souslow. — ■ Sur la représentation conforme d'une surface sur 

une autre. (3o-3 i). 

Deux surfaces (S) et (S,), dont les éléments linéaires sont ds et ds^, étant 
représentées conformément l'une sur l'autre avec le module de similitude >., 
c'est-à-dire de telle sorte que l'on ait ds^^='kds, entre les courbures totales 
(K) et (K,) de ces surfaces aux points correspondants et la fonction X existe 
la relation 

K.= i,(K-A, logX), 

où le symbole A^ désigne le paramètre diiïércntiel du second ordre. 

Painlevé. — Sur la représentation des fonctions analjtiques uni- 
formes. (200-20a). 

Enoncés de théorèmes relatifs à la possibilité de représenter une fonction 
analytique, uniforme dans tout son domaine d'existence, par une série unique 
qui converge en tout point oi!i la fonction est holoniorphe, dans le cas général 
où l'ensemble (E) de ses points singuliers n'est pas énumérable. Le premier 
énoncé s'appliquant à toute expression analytique uniforme F(-) = P -(- i'Q 
propre à définir une ou plusieurs fonctions analytiques diiTcrenles dans divers 
domaines, peut se formuler ainsi : 

Toute expression analytique uniforme V {z) est représenlable par une 
série de fractions rationnelles, qui converge absolument et uniformément 
dans toute aire du plan où F{z) est holomorphe. 

Il existe une représentation par un produit infini. 

Toute expression analytique uniforme F(^) est représentable par un pro- 
duit infini 

(') Voir Bulletin, T. X\II[,. p. -h. 



7'2 SECONDE PAIITIIÏ. 

les L„, "SX ^^ sont des polynômes en z dont les zéros sont des zéros, des pôles 
ou des points singuliers de r(:;), et les II,, des fractions rationnelles dont 
les pôles sont des singularités {non polaires) de F. De plus, chaque zéro 
et chaque pôle de F ne figurent que dans un terme du produit. 

Slâckel (P-). — Sur la convergence des séries représentant les 
inlégralcs des équations diflerentielles. (2o3-2o5). 

Dans son Traité d'Analyse, M. Ficaril a comparé deux tliéoicmcs de 
Cauchy, relatifs à l'existence de l'intégrale de l'équalion difTérentieile 

suivant que les variables sont réelles ou complexes. Il a établi que l'on peut 
certainement fixer, pour le domaine de convergence de l'intégrale y, un 
champ plus grand que celui qu'assigne le théorème de Cauchy dans le cas 
des variables complexes. 

Guidé par cette curieuse proposition, M. Stiickcl reprend la démonstration 
classique du théorème de Caucliy en substituant aux inégalités sur lesquelles 
on la fonde d'autres inégalités qui conduisent à un rayon de convergence plus 
grand que celui de Caucli}', et parfois égal au véritable rayon de convergence 
de la série y. 

Horn (./.). — Sur les intégrales irrégulières des équations diffé- 
rentielles linéaires. (2o5-2o8). 

M. l'^uchs a fait en 1870 usage d'une méthode d'approximations successives 
pour obtenir un développement en série d'une intégrale d'une équation linéaire, 
valable pour tout point non singulier. Dans la présente Note, l'auteur indique 
le principe d'une modification qu'il a apportée à la méthode de M. Fuchs et 
qui lui a fourni un développement très favorable pour démontrer et appro- 
fondir les propriétés des intégrales irrégulières que M. Poincaré a étudiées, 
pour les équations à coefficients rationnels, au moyen de la transformation de 
Laplace. 

Riqiiicf. — Sur Tcxistence des intégrales d'un système partiel, 
déterminées par certaines conditions initiales. (208-210). 

FoucJié (jU.). — Sur les systèmes de surfaces triplement orthogo- 
nales où les surlaces d'une même famille admettent la même 
représentation s])liéiiquc de leurs lignes de courbure. (210- 

2l3). 

Dans un système de surfaces triplement orthogonales, si les surfaces 
d'une même famille ont la même représentation sphérique de leurs lignes 
de courbure, il en sera de même de celles des deux autres familles. 

Dans tout système pareil, l'axe de courbure de la trajectoire orthogo- 
nale des surfaces de l'une des familles correspondant au point M et la 
perpendiculaire à la droite qui joint les centres de courbure géodésique 



IlEVUE DES PUBLICATIONS. -3 

(les deux lignes de courbure de la sur/ace de cette famille qui passe au 
point iM sont deux directions conjuguées par rapport à cette sur/ace. 

Zeulhen [II. -G.). — Sur le (oiidcineni de la Géométrie projec- 
tive. (;ii3-2 I 5). 

LaïUcur a réussi à donner à la Géométrie projeclive un fondement nouveau, 
différent de celui de von Staudt. Comme unique postulat emprunté à l'intui- 
tion, il admet l'existence des surfaces gauches, avec la propriété sui- 
vante : 

La courbe d'intersection par un plan y tournant autour d'une génératrice 
non singulière C se compose de C et d'une courbe résidue rencontrant C en un 
point c qui se meut sur la génératrice fixe. La courbe résidue étant le lieu des 
traces des autres génératrices de la surface, la tangente en c à cette courbe sera 
la position limite de la droite du plan y qui rencontre à la fois C et deux 
auti-es génératrices tendant à coïncider avec elle. Par un choix convenable de 
la surface gauche, on peut obtenir que cette tangente passe par un point donné 
du plan y. 

StekloJ/' ( Jf .). — Sur le problème du refroidissement d'une barre 
hélérogèrte. (^210-218). 

Il s'agit d'intégrer l'équation 

— — r -+- [fc p{x) — q{x)\ = o {o <,a <.x < b) 

jointe aux conditions 

d\ dV 

—, « \ = O, -; 11\ = O. 

dx dx 

la première pour x = a, \n seconde pour x = b, les fonctions/? et «7 étant posi- 
tives, ainsi que les constantes k, h et H. La série classique 



(0 



ye-','U, f p{x)'ç{x)U,dx, 



où '^{x) est une fonction donnée, ne résout le problème que si elle est con- 
vergente pour t ^ o el représente bien la fonction '~>{x). C'est ce dont on n'a 
pu s'assurer que dans quelques cas particuliers. 

M. Stekloiï présente une solution rigoureuse de ce problème, sous cer- 
taines conditions, assez générales, par rapport à la fonction »(,r), fondée sur 
ce lemme : 

La série (i) représentera la fonction ■■s{x) toutes les fois qu'elle sera uni- 
formément convergente. 

Voici le résultat de son analyse : 

Si la fonction -^{x) est finie et continue, ainsi que ses dérivées des trois 
premiers ordres et si, en outre, elle satisfait pour x = a et x = b aux con- 
ditions imposées à V, elle sera représentée par la série (i). 



74 SECONDE PARTIE. 

Picard [Éni.). — Sur la réduction des inlégralcs doubles et sur 
un nouvel invariant dans la théorie des surfaces algébriques. 

(297-300). 

Dans une Communication précédente, M. Picard a défini ce qu'on devait 
entendre par intégrale double de seconde espèce relative à une surface algé- 
brique. Il indique aujourd'hui la marche à suivre pour établir l'existence d'un 
nombre invariant relatif à ces intégrales de seconde espèce, savoir le nombre p 
de celles de ces intégrales J dont aucune combinaison linéaire n'est de la 
forme 



<■' /AS* S '"■'''■•• 



ôy ) 



(P et Q étant des fonctions rationnelles de x, y, -), tandis que toute autre 
intégrale de seconde espèce est une combinaison linéaire des intégrales J, à un 
terme additif près, de la forme (i). 

A la fin de sa Note, M. Picard complète l'étude de la réduction élémentaire 
des intégrales abéliennes ordinaires, sous la forme qu'il lui a donnée dans son 
Traité d'Analyse (t. I) et dans sa Théorie des fondions algébriques de 
deux variables. 

Painlevé. — Sur le développement des fonctions uniformes ou 
liolomorphes dans un domaine quelconque. (3i8-32i). 

Après quelques propositions relatives à la représentation des fonctions liolo- 
morphes par des séries de polynômes et des produits infinis, ainsi que des 
fonctions uniformes à points singuliers isolés, l'auteur examine le cas général 
où l'ensemble E des valeurs exceptionnelles de la fonction F(^) est quel- 
conque. 

Si cet ensemble renferme des ensembles continus, il remplace chacun de ces 
ensembles par un de ses points, arbitrairement choisi. Soit s l'ensemble ainsi 
obtenu, ensemble qui est contenu dans E et qui peut renfermer des ensembles 
parfaits, mais non plus continus. La fonction F{z) est représentable dans 
tout son domaine d'existence D par une série 

^ ' ^ {z-aj'l,.{z-b„)1,. 

où P„ désigne un polynôme, </„ un entier positif, «„ et 6„ deux points 
de £. 

M. Painlevé examine ensuite le cas particulier où le domaine D est convexe. 
Il indique en terminant que certains de ses résultats peuvent être étendus aux 
fonctions de plusieurs variables. 

Borel (^Eni.). — Sur les types de croissance et sur les fonctions 
entières. (32 t-324). 

nésumé des recherches cfiectuées par l'auteur en vue de compléter la théorie 
des zéros des fonctions entières. 



HliVUK DliS l'UBlJCATlOiNS. 73 

Beudon {J .)■ — Sur des systèmes d'équations aux dérivées par- 
tielles analogues aux équations du premier ordre. (324-325). 

Il s'agil des systèmes définissaiil une (onction de n variables, à une fonction 
arbitraire près de n — i arguments. On peut les rendre linéaires et assigner 
leur forme générale en les supposant tels. Tout système tel admet des caracté- 
ristiques à une dimension. Si l'on se donne une multiplicité ponctuelle an — i 
dimensions, on obtient, par des équations différentielles ordinaires, l'orienta- 
tion des éléments d'ordre />—i des différentes surfaces intégrales qui con- 
tiennent cette multiplicité (/? étant l'ordre du système), et l'on engendre 
ensuite chacune de ces surfaces par les caractéristiques, à la façon habituelle. 

Painle^é. — Sur le développement des fonetions analytiques pour 
les valeurs réelles de variables. (385-388). 

L'auteur présente en la résumant la démonstration de cet énoncé : 
Si l'on désigne par F(^) une fonction quelconque holomorphe et de module 
inférieur à M (a:) dans chaque cercle de centre x et de rayon p(a;), x étant 
réel et compris entre a et 6 (a < 6), on peut calculer une suite de polynômes 

m(jr), it;.(^), ..., nL"'(:r) (« = 1,2,3,...), 

tels que la série 

y [F„n?'(^) + F;, ni.(:r) +. . .+ F^"^ nlr'(^)], 



où Fj, Fi), ..., Fo"' sont les valeurs de la fonction et de ses dérivées succes- 
sives pour un argument .r,, réel, donné entre a et b, converge absolument et 
uniformément vers F(a7) entre a et 6 et soit dérivable terme à terme indéfi- 
niment. 

Il indique ensuite lextension de ce résultat aux fonctions de plusieurs 
variables réelles. 

Beudon (•/•)• — Sur les systèmes d'équations aux dérivées par- 
tielles, analogues aux équations du premier ordre. (388-389). 

Forme générale et caractéristique du système linéaire de second ordre à 
quatre variables, dont la solution générale dépend d'une fonction arbitraire de 
deux arguments. 

DemouUn (A.). — Sur les relations entre les éléments infinité- 
simaux de deux figures homographiques ou eorrélatives. (Sqo- 
392). 

L'auteur établit les relations qui lient les courbures et les torsions de deux 
courbes homographiques ou corrélatives en leurs points homologues. 



76 SECONDE PAUTIE. 

Pellel (yi-)- — Sur les surfaces applicables sur une surface de 
révolullon. (392-394)" 

Pour que l'expression A.-{du--{- g dv-) soit l'élénicRt linéaire d'une surface 
de révolution, A et la courbure totale étant des fonctions de g, il faut et il 
suffit, quand g n'est pas une fonction de pu + cjv {p et rj constants), que g 
ait l'une des deux formes suivantes : 



_ n- cos- {mu + p) 



8 =- 



m''- co?,-{nv + q) ° cos- {ii v -h q) 

m. n, p, q étant des constantes. 

Huinberl (G.). — Sur la décomposition des fondions (-) en fac- 
teurs. (3c)4-397). 

Est A\ la fonction thêta d'ordre ni une fonction entière de deux variables qui 
vérifie les relations 

Q{u +\, v) = <d{u^ V), 

0(j/, t'-t-i) = &(u, v), 
Qiu-i-a. ç ^ b) = e-2 ""■-'•+<'•■ e{u,v), 

Q{U-i- b, V -i- C) = e-2'n'-"+,3' ( 11^ ç ), 

a' et |i' étant des constantes. Il est clair que le produit de deux fonctions 
d'ordres m et n est une fonction d'ordre ni -+- n. M. Humbert s'occupe de 
la question inverse : si une fonction se décompose en deux facteurs entiers, 
ces facteurs sont-ils nécessairement des fonctions 0, à des facteurs exponentiels 
près? 

La réponse est affirmative quand les périodes a, b, c sont choisies au hasard. 
Une exception ne peut se présenter que si les périodes a, b, c sont liées par 
une relation à coefficients entiers de la forme 

Aa + Bè + Cc + D(ac— 6=) + E = o. 

La quantité toujours positive 

A = B-— 4AC — 4DE 

est un invariant pour toutes les transformations du premier ordre; si A est 
un carré parfait, les fonctions considérées se réduisent aux fonctions ellip- 
tiques. 

L'auteur étudie le cas où A n'est pas carré parfait et donne l'interprétation 
géométrique des résultats obtenus. 

D'Ocagne {M.). — Sur la méthode nomographique la plus géné- 
rale résultant de la position relative de deux plans superposés. 

(397-400). 

Painlevê. — Sur le développement des fonctions réelles non ana- 
lytiques. (459-4G1). 



UEVUlî DES PUBLICATIONS. 77 

Voici le résultat général obtenu par l'auteur, qui l'énonce en se limitant à 
trois variables : 

Soit f{x,y,z) une fonction des variables réelles x, y, z qui, en chaque 
point d'un certain domaine A à trois dimensions, est continue et admet des 
dérivées partielles continues de tous les ordres : la fonction /{x, y, z) est déve- 
loppable en une série de polynômes, qui converge dans tout domaine intérieur 
à A et est dérivable terme à terme indéfiniment. 

Suivent diverses applications, en particulier aux fonctions analytiques d'une 
variable complexe et aux fonctions d'une variable réelle. 

Picard (Ém.). — Sur certains exemples singuliers d'approxi- 
mations successives. (497-000). 

M. Picard revient sur un exemple curieux d'approximations successives di- 
vergentes qu'il avait signalé antérieurement. L'équation 

où l'on suppose la fonction /" toujours positive et croissante avec y, possède 
une intégrale et une seule nulle pour x = a el x = b.Si l'on cherche à obtenir 
cette intégrale par approximations successives, en partant de y„= o, on recon- 
naît aisément que les y d'indices pairs et les y d'indices impairs forment 
deux suites convergentes qui peuvent avoir des limites différentes, ainsi que 
M. Picard l'avait montré par un exemple. Il avait, en outre, établi que, si les 
termes des deux suites tendent uniformément dans l'intervalle (a, b) vers 
leurs limites respectives v et u, celles-ci sont des fonctions de x satisfaisant 
aux équations simultanées 

et s'annulent toutes deux pour x = a el x = b. 

Dans la présente Note, il est démontré que l'hypothèse sur la convergence 
uniforme est réalisée effectivement. On y trouve aussi l'indication de divers 
sujets de recherches sur les approximations successives. 

Ilumbeit {G.). — Sur les fonctions abéliennes singulières. 

(:")o8-5io). 

L'auteur désigne ainsi les fonctions quadruplement périodiques de deux va- 
riables dont les périodes 

i o a b 

o 1 b c 
sont liées par une relation à coefficients entiers de la forme 
Aa-^B6-T-Cc-t- D{b-—ac) -^ E = o. 
Le déterminant toujours positif 

A = B=- 4AC- iDE 



7S SECONDE PAUTIE. 

étanl égal à l^h ou à l\h-hi, ses valeurs les plus simples sont i, 4) 5, 8 et 9; 
le cas A = I correspond à des fondions abéliennes dégénérées; A = 4 et A = 9 
donnent deux cas elliptiques bien connus. 

L'auteur étudie les hypothèses A = 5 et A = 8 avec leurs conséquences géo- 
métriques et donne le moyen de former les équations aux modules qui leur 
correspondent. 

Lémeray. — Sur quelques algorilhines généraux et sur l'itéra- 
tion. (5 10-5 12). 

Painlevé. — Sur les surfaces qui admettent un groupe infini dis- 
continu de transformations birationneiles. (5i2-5i5). 

L'auteur donne, après M. Humbert, un nouvel exemple, plus simple, de 
surface admettant, comme groupe de transformations birationneiles en elle- 
même, un groupe infini discontinu, savoir : 

4 *^ >?'i ^ .^T 



ky" — g2y- 

Il pose ensuite ce double problème, qu'il enseigne à résoudre : 
1° Déterminer toutes les surfaces dont les coordonnées sont des fonctions 
hyperelliptiques de deux paramètres {u,v), telles que, à un point de la sur- 
face, correspondent plusieurs couples {u,v) non congruents (ces couples se 
déduisant d'un d'entre eux par une transformation linéaire) ; 

2° Parmi ces surfaces, déterminer celles qui admettent un groupe infini dis- 
continu de transformations birationneiles. 

Bourlct {€.). — Sur l'itération. (583-585). 

Enoncé d'un théorème qui résout, théoriquement du moins, le problème de 
l'itération dans un cas très général : 

Soient o(z) une fonction de substitution et x un point limite tel que l'on 
ait, à la fois, 

I Cp'(^) I <I, I 'i'iX)-! I <I, 

9'(^) étant la dérivée de 9(5). Soient 

9,(z) = cp(^), cf,(^) = r[r,(^)], ••-. '•?,(-) --•?[r,,->(^)]- 
Quel que soit /.', la série 

^_^ y A-(/.--i)...(A--/>-4-i) 

^mà p ! 

x[.,(.)-f.„.,( = ) + '-i^V=(--)+--<-H 

est convergente dans un domaine convenablement choisi entourant le point 
limite x et définit, dans ce domaine, une fonction W{k,z), qui est l'itérative 



UIÎVUE DFÎS PUBLICATIONS. 79 

de »(-3), vérifiant les relations 

pour tout entier p positif ou négatif, et quels que soient />■ et A'. 

Poincarc (//.)• — Les fonctions fuchsiennes et l'équalion lu = e". 

(627-630).' 

On sait que si '^{x,y) est une fonction rationnelle de deux variables liées 
par une relation algébrique donnée /{x, y) = o, parmi les équations de la 
forme 

d-v , 

qui admettent des points singuliers donnes et de telle façon que la difTérence 
des racines de chaque équation fondamentale soit un entier donné, il y a tou- 
jours une équation engendrant des fonctions fuchsiennes. 

Une première démonstration de ce fait, donnée par MM. Ivlein et Poincaré, 
repose sur le principe de continuité. Plus tard, M. Picard a ramené la ques- 
tion à l'intégration de l'équation 

lu = e", 

et démontré l'intégrabilité de cette équation par une métlioile originale qui 
consiste à l'établir pour un domaine assez petit, puis à l'étendre au plan 
entier. 

Pour éviter ce détour, M. Poincaré a imaginé une démonstration nouvelle, 
qui s'applique au cas où le polygone fuchsiena des sommets sur le cercle fon- 
damental, cas qui met en défaut l'analyse de M. Picard. Après avoir exposé le 
principe de cette méthode, il indique la possibilité d'une autre démonstration 
rigoureuse, fondée sur le calcul des variations. 

Fontaneau. — Sur un cas particulier du mouvement des liquides, 
(63o-63i). 

L'auteur a introduit dans les équations de l'Hydrodynamique une fonction 
auxiliaire n définie par l'égalité 

n = L/?-F ;M,7-r-N/-, 

où/?, q, r désignent les composantes de la vitesse du liquide, L, AI, N celles 
du tourbillon. 

Il a traité le cas IT = o, c'est-à-dire où l'axe de la rotation élémentaire est 
partout perpendiculaire-à la direction de la vitesse. Puis, en généralisant son 
procédé, il a obtenu une méthode générale d'intégration des équations d'Euler, 
l'intégration étant entendue au sens que lui donnait Lagrange. 

Lindelof. — Sur la transformation d'Euler et la détermination 
des points singuliers d'une fonction définie par son développe- 
ment de Taylor. (632-634V 



8o SECONDE PARTIE. 

Étant donnée une série entièrc/(j;), convergente clans le cercle de rayon i, 
la transformation d'Euler consiste à poser 



M. Lindelof emploie le transformation plus générale 

X- = ■ — = ) 

où a est une constante réelle et positive. Il indique le parti qu'on en peut 
tirer pour déterminer les points singuliers situés sur le cercle de convergence 
âcf{x), et même parfois en dehors de ce cercle. Un exemple montre qu'on 
peut aussi, par ce mojen, établir plusieurs résultats antérieurement obtenus 
sur les conditions pour qu'un point donné du cercle de convergence soit sin- 
gulier. 

Boui'get {II-)- — Sur une extension de la méthode de Gauss. 

(634-636). 

Pour étendre aux intégrales doubles la méthode de Gauss, M. Appell a proposé 
de substituer à la fonction f qu'il s'agit d'intégrer un pol^'nome de degré p dé- 
terminé par la condition de prendre les mêmes valeurs que / en -f- — '■ 

points donnés dans le contour d'intégration et choisis de manière à rendre 
l'approximation maximum. 

M. Bourget étudie le cas où l'intégrale J est étendue au cercle x-+ y- = i et 
porte sur une fonction / holomorphe à l'intérieur de ce cercle. Il introduit deux 
polynômes P et Q de degré p &n x el y dont les p- racines communes soient in- 
térieures au cercle et substitue à la fonction / un polynôme -oi^Xjy) qui prend 
les mêmes valeurs /,, _/,, . . ., f 2 que / en tous les points communs aux deux 
courbes P = o. Q = 0. L'intégrale proposée J coïncide avec l'intégrale 

I = ffr{x,y) dx dy = A,/.-- A,/,-. . .+ \^.f^. 

jusqu'aux termes d'ordre /j — i cnx, y inclusivement; les constantes A^ dépen- 
dent seulement des points communs aux courbes P =; o, Q = o et nullement de 
la fonction /. 

Pour faire coïncider les deux intégrales J et I jusqu'aux termes d'ordre 
ip — I inclusivement, il faut prendre pour P et Q deux des polynômes U, 
de M. Hermile, savoir : 

p_ ,)p{x'-^y''-—i)r ^^ ^ ,),>{x' + y''-—i)P 



dxP " ihf 

L'auteur donne, en terminant, le tableau des points conmiuns à P = o, Q = o 
et des valeurs correspondantes des A, ainsi ilétcrminés, pour/> = 1,2, 3, 4- 

Marotte {F.). — Sur les délerniinations du groupe de rationa- 



UKVUI< DKS PUBLICATIONS. 8i 

lilé des ('quaLions din'éreiillelles linéaires du qiialrième ordre. 

(:i5-7.8). 

M. Picard a défini, pour toute équation diirér(MitieIie linéaire homogène, un 
groupe de transformations linéaires homogènes, qui joue un rôle essentiel dans 
le problème d'intégration. La détermination effective de ce groupe de ratio- 
nalité a beaucoup d'importance. M. Marotte indique un procédé pour faire cette 
détermination dans le cas des équations du quatrième ordre. 

Sophus Lie a montré que les groupes continus linéaires homogènes à quatre 
variables se répartissent en sept catégories, suivant la figure que 1|< groupe pro- 
jectif correspondant laisse invariable. AL Marotte caractérise les groupes de 
chaque catégorie par un invariant différentiel spécial, ce qui lui permet de 
partager les équations de quatrième ordre en sept catégories, suivant la nature 
de leur groupe de rationalité; en s'appuyant sur les travaux de M. Painlevé, 
on peut toujours, par un nombre fini d'opérations, reconnaître à quelle ca- 
tégorie appartient une équation linéaire donnée. 

L'auteur a montré précédemment qu'à tout point singulier d'une équation li- 
néaire est attaché un groupe de transformations linéaires dont les invariants sont 
méromorphes au voisinage du point singulier; ces groupes, pour l'équation du 
quatrième ordre, appartiennent à l'une des catégories mentionnées plus haut, 
de sorte qu'il y a sept catégories de points singuliers. Grâce aux méthodes 
de M. von Koch, on peut former, par des opérations arithmétiques, des 
fonctions transcendantes entières des coefficients de l'équation donnée, 
qui, égalées à zéro, expriment les conditions nécessaires et suffisantes 
pour qu'un point singulier soit d'une catégorie déterminée. 

Guichairl. — Sur les congruences conjuguées aux réseaux C. 

(718-721). 

Le Roux i^J .). — Sur ]es invariants des équations linéaires aux 
dérivées partielles à deux variables indépendantes. (721--23). 

De même que les équations du second ordre, les équations d'ordre supérieur 
admettent, dans certains cas, des intégrales particulières s'exprimant à l'aide 
d'une fonction arbitraire d'une variable caractéristique et des dérivées de cette 
fonction en nombre limité. 

Ces intégrales peuvent être déterminées par une suite de transformations 
analogues à celle de Laplace, et que l'auteur fait connaître. Mais lordre de 
l'équation transformée s'élève en général à chaque transformation. 

Les principales propriétés de l'équation, relativement à ses transformations, 
se reflètent dans une suite d'invariants analogues à ceux qui ont été introduits 
par M. Darboux pour le second ordre. M. Le Roux indique la loi déformation 
de ces invariants. 

Schlesinger {L.). — Sur un problème de Kieniann. (723-723). 

Dans un Mémoire posthume, Rieniann a posé le problème suivant : 

Etant donnés, dans le plan de la variable x, les a- -!- i points a^, . . ., a^, «^^,, 

traçons des coupures /, /^joignant les points a,, ...,«„. au point c/^^,. 

On'iemande n fonctions y,, y.,, .. ., y„ de x, qui se comportent régulièrement 
Bull, des Sciences mathém., ■?.- série, t. XIV. (.Mai 1900.; R.6 



82 SI<:(:0N1JE PAUTIE. 

|)our Imites les valeiii-s tle a-, excepté les points o^, (jiii suhissciil les substitu- 
tions linéaires données arbitrairement A,, Aj, ..., A^ quand x franchit les 
coupures /,, l^i •••, l^ ^^ H"'> ^^^ points o^, ne deviennent pas infinies d'un 
ordre infiniment grand. 

M. Schlesinger fait voir que ce problème, dont Ricmann ne dénionlre même 
pas- la possibilité, peut être résolu à l'aide des travaux de M. Poincaré sur les 
équations fuclisiennes. 

Perchol elEbert. — Sur certaines inléj^rales premières des équa- 
tions de la Dynamique à deux variables; application à un cas 
particulier du problème des trois corps. (^^aô-'-aS). 

Laurent [II.). — Sur la théorie des nombres premiers. (809-810). 

La fonction 



— I 



m(z) 



où l'entier z est supérieur à 4i se réduit à zéro ou à 1 suivant que z est com- 
posé ou premier; d'oii résulte un moyen de culculer la somme 



^m{z)f{z). 



f{z) désignant une fonction définie pour s > 4- O" arrive au même résultat 
par l'emploi de la formule de Fourier. 

Cette méltïode permet de trouver y^/ip',) en appelant p\, p'.^, ... les 

nombres premiers qui font partie d'une progression aritlimélique à termes en- 
tiers et de vérifier te tliéorème de Dirichlet relatif à ces nombres. 

Hadainard. — Les invariants intégraux et l'Optique. (81 1-8 12). 

M. Bruns a démontré que si un système optique fait correspondre à chaque 
point-objet un point-image unique, la correspondance ainsi réalisée ne peut 
être qu'une similitude. 

Par l'emploi des invariants intégraux de M. Poincaré, on prouve que le rap- 
port de similitude de l'image et de l'objet est nécessairement égal à i. 

Stouff [A'.). — Sur les lois de réciprocité. (8i2-8i4)- 

Iluniberl (G.). — Sur la transformation des fonctions abéliennes. 

(8.4-817). 
Une fonction abélienne de tieux variables ayant pour périodes normales 

i g h 

1 o /( <■'. 



KKVUI': l)i:S IHI H Lie AT IONS. 83 

ou plus brit'vemenl {g, /t, g'), on sujjpose 

S',>o. g\>'>, g-iê'i— /'i-'O' 

ou ^*i' o\ «ila"t 'es pai'lies imaginaires de g, h, g'. Le piobiémc de la trans- 
foimation (Hermite) consiste à trouver tous les systèmes (G, H, G') tels qu'une 
fonction abélienne quelconque, formée avec ces nouvelles périodes, s'exprime 
rationnellement à l'aide des fonctions abéliennes du système primitif (^, A, o-'). 

Si, au lieu d'être quelconques, les nombres g, h, g' et h-—gg' sont liés par 
une relation linéaire, il existe d'autres transformations que celles qu'a obtenues 
M. Hermite. 

En étudiant ces transformations singulières, l'auteur retrouve les fonctions 
intermédiaires singulières qu'il a introduites dans une Noie antérieure (voir 
ci-dessus). Il démontre que toute transformation singulière se ramène à une 
transformation ordinaire, précédée d'une certaine transformation singulière 
simple, qu'il défmit complètement. 

Suivent des applications aux correspondances entre surfaces de Kummer et 
entre courbes de genre 2. 

De Jonquières. — Solutions algébriques de diverses questions 
concernant les équations indéterminées du second degré à trois 
ternies. (SGS-Sji). 

L'auteur mentionne l'avantage des notations algébriques, quand il est pos- 
sible de les employer en ces matières. Il établit les deux théorèmes suivants : 

I. L'équalion 

(a=— 4)^-- 4y2 = ±, 

n'est pas résoluble en nombres entiers, sauf si a = 3. 

II. L'équation 

{d-—i)x-—!\y- = ±i 

n'est pas résoluble en nombres entiers. 

Grâce à ces propositions, .M. de Jonquières traite algébriquement cinq pro- 
blèmes relatifs à la résolution de l'équation 

dans des cas particuliers. 

IJumbert (G.). — Sur les transformations singulières des fonc- 
tions abéliennes. (882-884). 

Application des résultats de la Note précédente de l'auteur aux correspon- 
dances entre surfaces hyperellipliques. 

Baire (/?•)■ ~ Sur les fonctions discontinues développables en 
séries de fonctions continues. (884-887). 

Une fonction de deux variables réelles étant supposée co«<t«i/e /?a/- rapport 
à chacune d'elles, la succession des valeurs que celle fonction prend sur une 



84 SECONDE PARTIE. 

courbe continue peut être une fonction discontinue : quelle est exaclement la 
nature de cette Ibiiction? Telle est la question que M. Baire avait posée dans 
une Noie de novembre 1897. ï' énonce aujourd'hui un théorème qui résout com- 
plètement celte question, en même temps que d'autres problèmes un peu diffé- 
rents. En particulier, il définit toutes les fonctions discontinues susceptibles 
d'être représentées par des séries de fonctions continues. 

Au cours de son analyse est déterminée la condition nécessaire et suffi- 
sante pour qu'une fonction d'une variable réelle soit développable en série de 
polynômes. 

Kantor (S.). — Théorème fondamenlal sur les Iransformalions 
biralionnelles à coefficients entiers. (gi6-g/ig). 

On sait que les transformations biralionnelles homogènes du domaine ter- 
naire peuvent être décomposées ( Nôlher) en des transformations quadratiques. 
Mais il n'en est plus de même si l'on impose aux coefficienls des transforma- 
tions considérées la condition d'être des nombres entiers. I\I. Kantor a établi 
que toute transformation birationnelle arithmétique à trois variables homo- 
gènes peut être composée au moyen de facteurs primaires arithmétiques qui se 
répartissent entre seize types différents. 

Lémeray. — Sur certaines équations fonctionnelles linéaires. 

(9l9-95")- 

L'auteur indique les principaux résultais qu'il a obtenus en constituant une 
théorie du plus grand commun diviseur symbolique de plusieurs polynômes 
fonctionnels linéaires, tels que 

A„y(") -t- Al j("-') -(-. . . + A„_,yC') -h A„y ), 

où les A sont des fonctions de la variable x et où l'on désigne parj)'(') l'itérative 
d'ordre i de la fonction y = y") avec la convention y("- = x. 

De Joiiqiiières. — Sur un point de doctrine dans la théorie des 
formes quadratiques. (991-997)- 

Comparaison de la méthode de Gauss (Disquisitiones arithmeticœ, n° 195) 
avec la méthode mixte, inspirée de Lagrange, que Tauleur a suivie dans sa 
précédente Communication. 

Guichard (C). — Sur les congruences qui sont de plusieurs ma- 
nières des congruences K. (ioii-ioi3). 

Jahnke. — Nouvelles expressions des éléments d'un système or- 
thogonal par les fonctions thêta de deux arguments et leur 
application à la Dynamique. (ioi3-ioi6). 

L'auteur a obtenu, au moyen des fonctions thêta de deux arguments, de nou- 
veaux systèmes orthogonaux (jui fournissent les solutions de ccrlains problèmes 



KKVUli DIÎS PUBLICATIONS. 8> 

de Dynamique, tels que le inouvemeal d'un corps pesant aulour d'un poinl 
(ixe, le mouvement d'un solide duns un li(]uide, la rotation de corps solides 
liés l'un à l'autre (ce dernier résolu conipiclement par .M. Jalinke) et de divers 
autres probièiucs relatifs à la rotation et au mouvement dans un liquide. 

Eberl et Perchot. — Sur une transforma lion de l'équation d'Ha- 
millon. (101J-1019). 

Slekloff. — Sur un problème de la théorie analvlifjue de la cha- 
leur. (io:>2-i 020). 

De Jonquières. — Addition à une précédente Communication, 
concernant la théorie des formes quadratiques. (i07"-io83). 

L'auteur indique un nouvel avantage que présente, au point de vue de la 

simplicité des calculs dans la résolution des équations indéterminées de la 

forme 

nix- — ny- =z±i (m. 11 entiers positifs ), 

remploi de la méthode mixte qu'il préconise. 

Jidinkc. — Expressions des dérivées des fonctions thèla de deux 
arguments au moyen des carrés des fonctions ihèla. (io83-i o85). 

Les dérivées logarithmiques secondes des fonctions thêta de deux arguments 
s'expriment au moyen des carrés de ces fonctions. Des formules que l'auteur 
fait connaître découlent de nombreux résultats, antérieurement obtenus par 
M.M. Kônigsberger. Krause, Pascal et Berlolani. 

h/ause (/'/•)• — Sur les systèmes d'équations différentielles aux- 
quelles satisfont les fonctions quadruplement périodiques de 
seconde espèce. (1086-1088). 

Cosserat [Eui^\ et Fr.). — Sur les équations de la théorie de 
l'élasticité. (1089-1091). 

Les problèmes les plus simples de la théorie de l'élasticité consistent à déter- 
miner trois intégrales du système 

., rye . - (^^ . . <'>^ 

A, ?t + ç -— = 0, A, t^ -n i -— = o, A, (V -(- c -— = o, 
dx ôy ' (Jz 

satisfaisant à des conditions diverse^. Supposant que ?/, i', ir prennent à la 
frontière des valeurs données, MM. Cosserat ont fait une étude approfondie de ces 
fonctions en les considérant comme des fonctions du paramètre \ qui peut être 
soit réel, soit complexe. On embrasse ainsi tous les travaux déjà faits sur la 
question, en particulier ceux de M. Lauricella, et ceux des divers géomètres 
qui se sont occupés du problème de la sphère, dans le cas où les déplacements 
Sont donnés à la frontière. 



86 SUCUNDli PAUTIE. 

Hait. — Expression des coefficienls de la jnarée au moyen d'une 
somme de termes périodiques, (i i i i-i i i6). 

Picard [Em.). — Sur la réduction des intégrales doubles de 
fonctions algébriques, (i 1 16-1 i i ^). 

Étant donnée une surface d'ordre m 

f{x, y, z) =0 

et une intégrale double relative à cette surface 

'yi(x, y, z) dx dy 



ff- 



/-: 



où M est un polynôme entier en x, y, z, le degré de ce polynôme peut être ra- 
mené au degré 2/n — 4- On peut même pousser la réduction plus loin et 
abaisser le degré de M jusqu'au plus grand entier /)„ pour lequel l'inégalité 

(/? + i)(/JH-2)(/> -h 3) _ (p — m^i)(p — m-^3)(p — ni^l,) 
3 6 



{p ->r m — 1 ) m {m — i ) 



n'est pas vérifiée. 



Jalinkc. — Sur le mouvement d'un corps grave de révolution sus- 
pendu par un point de son axe. (i 126-1 129). 

Casserai [Eug. et Fr.). — Sur les fonctions potentielles de la 
théorie de l'élasticité, (i 129-1 ^^'^)- 

Les auteurs font ressortir la saisissante analogie qui existe entre l'équation 
de Laplace et le système 

A, M + 5 -— = o, A., i^ + Ç — - = o, .i., tv + t -7- = o. 

Ox ' ây - Oz 

Les solutions de ce système qui offrent le plus d'intérêt sont données pour ç 
quelconque par la formule 

^^ ^^ \r^ d_ /dUj 6>V,. d\\, \ 

' 2 [ ? ( i — I ) -)- 2 {■ — i] àx\dx ây ôz J 

et deux autres semblables où 

'•'= {x — aY-^ {y — b)--h{z~c)- 

et où U,, V,., \\\ sont des solutions de l'équation de Laplace, homogènes en 
X — a, y — b, z — c, dérivant de la seule solution (u', v', »•') que l'on obtient 
en prenant 

U, V, W, /.- , .-5(2^4-3) 



HKVUK DKS PUBLICATIONS. 87 

A, n. C éLaiil des consiaïUes lubitraires. Celle fonction dirigée {n', i»', w)juue 
d'ailleurs dans la théorie de l'élaslicilc un rôle extièmeiiienl irnpoilaiil. 

Les fonctions dirigées (U, V, W) <iue ^\^^. Cosscîiat introduisent sont sus- 
ceptibles de nombreuses applications, relatives notamment à la notion de force 
en un point : on peut substituer à une force en un point, situé à l'intérieur 
d'une sphère, des forces sur la surlac c ([iii doniioiit à l'extérieur le même dé- 
placement; on a ainsi l'analogue de l'une des propositions sur lesquelles repose 
la méthode du balayage de M. Poincaré. On peut aussi écrire presque intuiti- 
vement l'extension de l'équation fonctionnelle de Robin. 

Guichard. — Sur les congriiences rectilignes. (i i83-i 18;")). 

l*(iinlevé[P.). — Sur les é(|iialions diflérenlielies ilu second ordre 
à points critiques fixes, (i i85-i 188). 

L'auteur aborde le problème difficile qui consiste 'a former toutes les équa- 
tions du second ordre à points critiques fixes, du tj'pe 

y" = 9iy\ r> ■=- •^)' 

où p est rationnel en y', y, z et où z est lié à y par une relation algébrique 
dépendant de x. Il établit que toute équation de cette espèce se ramène algé- 
briquement à l'un ou l'autre de six types déterminés, type qui doit avoir 
ses points critiques fixes. 

t)n effel les équalions les plus générales de ces types n'ont pas leiu's points 
critiques fixes. 

La méthode de M. Painlevé s'applique d'ailleurs aux é(|Uiitions plus générales 

i'ir", y', r, ^) = o 

dont le premier menil)re est un polynôme entier en y", y\ y dépendant de la 
variable x. 

Mcdolaglii. — Sur les groupes qui se présentent dans la généra- 
lisation des fonctions analytiques. (1188-1 iQo). 

Il s'agit des groupes que représentent les systèmes d'équations aux dérivées 
partielles par lesquels iM. Picard généralise la théorie des fonctions d'une va- 
riable complexe. L'auteur donne la condition nécessaire et suffisante pour qu'on 
groupe continu transitif soit semblable à un groupe de Picard: ensuite il étend 
la méthode de AL Picard à tous les groupes continus. 

Painlevé . — Sur la déterniinalion explicite des écpialions dilTé- 
renlielles du second ordre à points critiques (ixes. (i329-i332). 

Des six types {voir ci dessus) auxquels M. Painlevé a ramené les équations 
considérées, les quatre derniers ont fait l'objet d'une élude complète de sa 
part. L'auteur donne donc la forme explicite des équations appartenant à ces 
types, qui ont leurs points critiques fixes. Leurs singularités mobiles sont ou 
des pôles, ou des points essentiels. Une équation du second ordre étant 
donnée, on peut reconnaître algébriquement si elle est réductible à l'un des 
types .linsi déterminés. 



88 SIXUNDIÎ PAKTlIi. 

Goursat. — Sur la lliéorie générale des caraclérisllques des équa- 
tions aux dérivées partielles. (i332-i335). 

L'auteur associe à toute équation d'ordre n à /• variables F = o une forme I 
liomogène d'ordre « à /• variables auxiliaires ç,, déjà rencontrée par .M. Forsyth, 
qui lui fournit la condition d'existence d'une famille de caractéristiques 
d'ordre n à une dimension: l'existence de ces caractéristiques est donc excep- 
tionnelle. (L'équation du troisième ordre dont dépend la recherche des 
systèmes orthogonaux en admet.) 

Si F = o admet de telles caractéristiques, on peut aussi considérer la suite 
des valeurs ([ue prennent le long de l'une d'elles les dérivées d'ordre n ^ i, et 
délînir ainsi des caractéristiques d'ordre n-hi-, qui dépendent de fonctions 
arbitraires. Mais si ces équations présentent des combinaisons intégrables, on 
peut s'en servir pour l'intégration de F = o comme dans la méthode de iMonge 
ou dans celle de M. Darboux. 

Ces Considérations s'étendent aux systèmes d'équations simultanées entre 
plusieurs fonctions. 

Les formes I interviennent aussi dans la détermination des conditions 
nécessaires pour que l'intégrale générale d'un système de deux équations 
tl'orche n 

F = o, U = C 

à une seule fonction inconnue et à /• variables indépendantes dépende de 
(n — i) fonctions arbitraires de ( /• — i) variables. 

Guldbeig (A.). — Sur les équations aux différentielles totales. 

(i335-i338). 

L'auteur commence par donner les conditions nécessaires et suffisantes pour 
rintégrabilité de l'équation aux dilTéreutielles totales du second ordre 

( 1 ) d-z — A dx- -!- B dy- 4- C dz- -i- 2 D dx dy -1- 2 E dx dz -i~ 2 F dy dz = o. 

Ces conditions étant supposées vérifiées, l'intégration se ramène à celle d'un 
ystème d'équations différentielles ordinaires. 
Deux intégrales intermédiaires complètement intégrables 

(2) w, (x, r, z, dx, dy, dz) = o, w^(x, y, z, dx, dy, dz) = o 

de l'équation (i) étant trouvées, une surface intégrale de l'équation (i) se dé- 
termine par élimination. 

Etant données deux équations complètement intégrables, telles que (2), et 
qui, par dilTérentiation, conduisent à la même équation aux différentielles 
totales du second ordre, toute équation aux différentielles totales du premier 
ordre compléleincnt intéurable 

F(cO|. (1).,) = o 

s'intègre sans intcgration. 

Picard [B! m.). — Sur l'impossibilité de certaines séries de groupes 
de points sur une surface algébrique. (1 383-1 386). 



lu: vui<: DKS i'I.blications. 89 

l)('iiioiisli;i( iiMi (le ce tlicnrt'inc : 

Il n'existe puiiit, sur une suit'ace algébrique, de séries de groupes de n points, 
(lépendanl de iii paramèlies et correspondant uniforhicnient à des fonctions 
abéliennes (non dégénérescentes) de an variables, si ce n'est pour les surfaces 
liypeiellipli(|ucs (« = i). 

Duporcq. — Sur la correspondance qiiatlralique cl rationnelle de 
deux figures planes, et sur un déplacement reniarcpiable. (i4<>3- 
i4o6). 

Dans le mode de correspondance considéré, la donnée de cinq couples de 
points conjugués en détermine un sixième; la donnée de six couples détermine, 
en général, une infinité de couples de points conjugués, qui se correspondent 
sur deux cubiques. De là résulte, en particulier, la proposition suivante : 

Si un plan P se déplace dans l'espace de sorte que cinq de ses points restent 
sur des sphères dont les centres appartiennent à un plan fixe P', il existera 
dans le plan P un sixième point jouissant de la même propriété. 

Miller {G.- A.). — Sur les groupes liamillouiens. (i4o6-i4o8). 

Propriétés des groupes (non abéliens) dont tous les sous-groupes sont inva- 
riants. 

Picard {Ém.). — Quelques remarques relatives aux périodes des 
intégrales doubles et aux cycles à deux dimensions dans les sur- 
faces algébriques. (i45^-i459). 

L'auteur montre par un exemple simple les difficultés auxquelles prête la 
distinction en plusieurs catégories des périodes des intégrales doubles : dans le 
cas des surfaces unicursales, les périodes de certaines intégrales doubles, que 
leur origine ferait regarder comme cycliques, se présentent comme des périodes 
polaires. 

Suivent quelques observations relatives à la connexion à deux dimensions 
dans les surfaces algébriques et en particulier sur la détermination du nombie 
entier p., que M. Picanl a introduit dans la théorie de ces surfaces. 

Gaichard. — Sur les surlaces minima. (148^-1489)- 

Krause {M.). — Sur les systèmes d'équations dilTérenlielles aux- 
quels satisfont les fonctions quadruplement périodiques de 
seconde espèce. (i489-i49'^). 

Gaichard . — Sur les surfaces à courbure totale constante. (io56- 

i558). 

l{i([Ui('r. — Sur la forme que prend, |)ar la siqjpression de cer- 



90 SECONDE l'AllTlR. 

lains ternies, un développement en série entière, (i 558-i56o). 

Désignant par x, y, ... des variables indépendantes en nombre quelconque, 
et par x„, jk„, ... des valeurs initiales attribuées à ces variables, l'auteur 
considère un développement, entier en x — J7„, y — y,,, ... à coefficients tous 
arbitraires, sous la seule restriction de la convergence. Il étudie ce que 
devient ce développement, par la suppression de certains de ses termes, ce qui 
lui permet, dans le problème général de l'intégration d'un système différentiel, 
(\e fixer l'économie des fonctions {ou constantes) en nombre fini, dont la 
connaissance équivaut à celle des déterminations initiales, sans recourir, 
comme il le faisait jusqu'ici, à une réduction progressive au premier ordre. 

(luicliarcL — Sur les surfaces à courbure totale constante. (i6i<)- 
1618). 

L'auteur montre que la déformation des quadriques de révolution à centre 
et celle de la sphère sont deux problèmes équivalents. 

De plus, si l'on déforme une telle quadrique, au point d'intersection d'une 
droite isotrope, fixe dans le plan de son équaleur, avec le plan tangent corres- 
pond sur le plan langent de toute surlace applicable un point qui décrit une 
surface ayant même représentation spbérique de ses lignes de courbure qu'une 
surface à courbure totale constante. 

De là résulte une transformation nouvelle de ces dernières surfaces. 

hraitse {M-)- — Sur les systèmes d'équations dillerentielles aux- 
quelles satisfont les fonctions quadruplement périodiques de 
seconde espèce. (iGi8-iC)2i). 

Baife (/?.). — Sur les fonctions discontinues qui se rattachent 
aux fonctions continues. (1621-1623). 

L'auteur convient de dire qu'une fonction /(a;) est la limite de la suite de 
fonctions /i (.r), /^(.r), . . ., f^^{x), ... dans un certain champ de variation 
de X, si, pour toute valeur Xf^ appartenant à ce champ, la suite des quantités 
.f\{^a)j fii^o)^ ■ • -1 fni^a)t ■•• 1 pour limite f{x^). Il dit aussi que les 
fonctions continues forment la classe o, et les fonctions discontinues, limites 
de fonctions continues, la classe t. 

Une fonction de la classe i est représenlable par une série convergente de 
fonctions continues, même de polynômes. 

Plus généralement une fonction sera de classe n si elle est la limite d'une 
suite de fonctions appartenant aux classes o, i, ..., {n — 1), sans appartenir 
elle-même à aucune de ces classes. Une telle fonction, s'il en existe, pourra se 
représenter par une série multiple d'ordre n, dont les termes seront des poly- 
nômes. 

L'auteur indique une condition nécessaire pour qu'une fonction soit de 
classe 2. 

Painlevc. — Sur les équations dillerentielles du second ordre à 
points critiqties (ixes. (i()()--i joo). 



|{KVUE DES l'UBLlCA riONS. gi 

Les équations, à points critiques fixes, de la forme 

y"-= \\{y', y, x), 

où W est rationnel en y', algébrique en y, rationnel en x, forment, cumme l'a 
montré l'auteur, six classes distinctes. M. Paiolevé a déjà déterminé explici- 
tement toutes les équations des quatre dernières classes. Il fait présentement 
(onnailre toutes celles de la première classe, c'est-à-dire toutes celles 
(]i!i rentrent dans le tj'pe 

y" = {ax -+- b)y' -+- Ay3+ ^y-+ Cy -f- D, 

où a, b. A, B, C. D sont des fonctions analytiques de x. Celles de ces équations 
qui ne sont pas réductibles aux équations connues, sont réductibles algébri- 
(|uetiieut au type 

y" = :xy^ ^ y^- + ?,7.xy ^ X, 

où a désigne une constante numérique. 

Baiie (/?.). — Sur le problème de l'intégralion an poinl de vue 
des variables réelles. (1700-1700). 

Quand ou se sert du cliangement de variables dans une question d'Analyse, 
on suppose implicitement la continuité des dérivées qui y interviennent. 
Rejetant cette restriction, on peut poser le problème de l'intégration en 
admettant seulement les propriétés strictement indispensables pour que les 
éléments qui entrent dans l'équation aient un sens déterminé et vérifient 
cette équation. On ne peut plus alors affirmer d'emblée que ré(|uali<'n 

^^i^=o 
dx ()y 

ait pour intégrale générale une fonction arbitraire de {x — y). 

L'auteur commence par énoncer ce théorème : 

Une fonction d'une variable, qui est continue, et qui est ponctuellement 
variable relativement à tout ensemble parfait, est constante. 

Cette proposition tire son intérêt de ce fait (\vCiine fonction ptut être con- 
tinue et ponctuellement variable relativement au continu, sans être 
constante. 

Ce résultat permet d'intégrer l'équation ci-dessus, si l'on suppose, outre les 
conditions indispensables, la continuité de la fonction par rapport à l'en- 
semble {xy). On voit alors, en effet, que la fonction f doit être constante 
sur chaque droite x — y = const. 

Cette conclusion s'étend aux équations linéaires et homogènes par rapport 
aux deux dérivées piemières de la fonction inconnue. 



92 SliCOiNDK l'AUTlIL 

COMPTES RENDUS iikbdomadaires desséanck.s diî i/Acadkmik oks Scik.nces. 
Tome CXXVII; 1898. 

Krause {^/.). — Sur les systèmes d'équallons din'éretiLielles aux- 
quelles satisfont les fonctions t|uaclruj)lenient périodiques de 
seconde espèce. (y'-Q'^)- 

Tzilzéica. — Sur un théorème de M. Cosserat. (i(3--i68). 

Ce théorème est le suivant : 

Les plans des cercles des systèmes cjcliques déduits d'une congruence cy- 
clique et de Ribaucour ont leurs points de contact avec leurs enveloppes en 
ligne droite; la droite ainsi déterminée forme une congruence dont les déve- 
loppables correspondent à celles de la congruence primitive et découpent les 
enveloppes des plans des cercles suivant des ré^-eaux conjugués. 

M. Tzitzéica rattache ce résultiit à une proposition plus générale qu'il dé- 
montre : 

Considérons une congruence C et faisons correspondre à chaque droite D de 
C la corde de contact \ de la sphère S décrite sur le segment focal de I) 
comme diamètre avec son enveloppe. S'il existe sur la droite A un point ;x 
décrivant une surface dont la normale en a soit parallèle à D, la congruence C 
est cyclique. 

Lecoinu (L.). — Sur Téquilibre d'élasticité d'un bandage pneu- 
matique. (168-1^1). 

Le bandage pneumatique est constitué par un tore en caoutchouc, revêtu 
d'une enveloppe de toile qui limite son extensibilité. Il est soumis intérieu- 
rement à une pression de plusieurs atmosphères, extérieurement à la pression 
atmosphérique. L'auteur étudie l'équilibre de ce bandage, en laissant de coté 
les effets dus à la présence de la toile, et en considérant les rayons de la 
section méridienne connue infiniment petits par rapport au rayon mojen de la 
section équatoriale. 

Zaremba {S.). — Sur un théorème de M. Poincaré. (210-216). 

iM. Poincaré a énoncé et parliellemcnl démontré Finiporlant théorème que 
voici : 

Soient une surface (S) limitant un domaine (D) ; /( j;,^', ^) une fonction 
donnée admettant des dérivées premières dans toute l'étendue du domaine (D), 
et a la fonction satisfaisant, à l'intérieur de la surface (S), à l'équation 

ô" u rï- a à'- Il ; 
OX- r)y- riz- 

ci prenant sur cette surface la valeur zéro; la fonction «aura pour valeur 



H 1-: \ u I-: u I-: s vvuu c a t i o n s. 93 

asyinplotiqne — \ ■, Inrs{|ii'()n fera rroîlrc iridcfiiiiiiiL'iil li- iiumImIc du para- 
mètre E, l'argiinient conscrvanl une valeur (ixe autre (ju'uii inulliplc de 2T.. 

M. Zaremba a pu demoiilrer ce llicorèmc dans toute sa généralité, en sup- 
posant seulement que la surface (S) admet en chacun de ses points des rayons 
de courbure didcrents de zi'ro. 

Duporcq. — Sur la lliéorie des abaques à alignemonls. (265-268). 

Casserai [Eug. elFi\). — Sur la tléformalion iufiniruent petite 
d'un ellipsoïde élastique. (3i5-3i8). 

Les cas dans lesquels on a résolu eiïectivement le problème de la déforma- 
tion infiniment petite d'un corps élastique sont en très petit nombre. MM. Cos- 
serat ont réussi à en traiter plusieurs nouveaux, par l'application des méthodes 
qu'ils ont indiquées {Comptes rendus, 12 avril 1898). Ils font connaître au- 
jourd'hui la solution qu'ils ont obtenue pour l'ellipsoïde à trois axes inégaux. 

Iiicci {G.). — Sur les groupes continus de mouvements d'une 
variété quelconque à trois dimensions. (^^^^-3^6). 

LoiCtt (E.-O.). — Sur les invariants diflérentiels d'un svstème 
dem-hi points par rapport aux transformations projectives. 
(346-349). 

Cotton (Ém.). — Sur la représentation conforme des variétés à 
trois dimensions. (349-35 i). 

Deux variétés à n dimensions (x-) et {x',) sont dites applicables si leurs 
éléments linéaires ds- et ds'- peuvent être rendus identiques. Elles sont repré- 
sentables conformément l'une sur l'autre, si l'on peut déterminer les x en 
fonction des x' de telle sorte que ds- se transforme en ds'\ multiplié par un 
facteur indépendant des diiréientiellcs. 

M. Cotton enseigne à former un covariant cubique (à trois systèmes diffé- 
rents de différentielles) attaché à tout ds- à trois variables. L'évanouissement 
identique de ce covariant est la condition nécessaire et suffisante pour que la 
variété qui admet ce ds- soit applicable sur l'espace euclidien ordinaire. 

Dans le cas général, ce covariant n'est pas identiquement nul. On en peut 
déduire une forme quadratique qui, jointe aux variables ar,, x^, x^, constitue 
ce que l'auteur appelle la variété principale de a;,, x^, x^, ds-, au point de 
vue de la représentation conforme, et qui permet d'énoncer la règle suivante : 
Pour que deux variétés à trois dimensions soient représentables conformé- 
ment l'une sur l'autre, il faut et suffit que leurs variétés principales soient 
applicables. On est ainsi ramené à un problème que Christoffel a résolu dans 
toute sa généralité. 

Ricci {G.). — Sur les groupes continus de mouvements dune 
variété quelconque. (36o-36i). 

Conditions nécessaires cl suffisantes pour qu'une famille de lignes / étant 



<){ SliCONDI' PAUTIIi. 

donnée ilans une variété \ à n dimensions, il existe un groupe continu de 
mouvements des points de V qui ne produisent aucune altération dans leurs 
distances réciproques et qui admettent les lignes l comme trajectoires. 

Padé. — Sur la convergence des réduiles de la réduite expooen- 

li'eile. (444-446). 

Les réduites {p,q) d'une fonction, régulière dans le voisinage de l'origine, 
sont les fractions rationnelles qui, dans le voisinage de ce point, représentent 
cette fonction avec la plus grande approximation, les degrés de leurs numé- 
rateur et dénominateur étant respectivement inférieurs ou égaux à p et q. 

L'auteur énonce les résultais suivants : 

Quel que soit x, le dénominateur et le numérateur de la réduite [p. q) de 
la fonction e' tendent uniformément vers les limites respectives 



quand p cl q croissent indérinimeiit, de telle sorte que le rapport — tende vers 

la limite u. 

Dans tout intervalle, la réduite {p, q) de e"' tend uniformément vers e"", 
quand l'un au moins des deux nombres p el q croit indéliniment, le rapport 

— tendant vers une limite ou croissant indéliniment. 

Loielt [E.-(J.). — Sur une classe de transformations de contact. 

(480-482). 

Gordon {P-)- — Sur le résultant de deux équations. (r)39-54i). 

Painlevè. — Sur les équations dilTérentielles du second ordre à 

points critiques fixes. (54i-544)- 

Dans des Notes précédentes {Comptes rendus, t. CX\\I) M. Painlevé a 
complètement déterminé cinq des six classes d'équations à points critiques 
fixes de la forme 

y" =\\{y',y,x), 

où R est rationnel en y', algébrique en y, analytique en x. Il fait connailre 
aujourd'hui toutes les équations de la classe restante. Ces équations sont au 
nombre de huit. Cinq d'entre elles s'intègrent sans peine. Pour les trois autres, 
l'auteur établit qu'elles ont leur intégrale générale méromorplie dans tout le 
plan et que cette intégrale est une transcendante uniforme, irréductible aux 
transcendantes abéliennes ou engendrées par les équations linéraires, et à leurs 
combinaisons. 

Picard [Em.). — Sur les intégrales doubles de seconde espèce 
dans la théorie des surfaces algébriques. (5j(j-584). 

Hésumé d'un Mémoire où sont posées les bases d'une théorie des intégrales 
tloubles de seconde espèce. 



lil-VUl- l)i;S IMIU.ICAÏIONS. 93 

Une iiUé"r;ile 



f j\\{x,y, z)dxdy, 



où R est une fonction rationnelle de x, v, z, est dite prcsenler le caractère 
d'une intégrale de seconde espèce en un point simple dune surface 

si l'on peut trouver deux fonctions rationnelles U et V de x, t, z telles que la 
différence entre cette intégrale et l'intégrale double 



f.f 



h -7- ) dx dy 

rJx dy, 



reste finie au voisinage du point A. Si le point A est un point multiple de 
/ = o, on déllnit le caractère de l'intégrale de seconde espèce au moyen d'une 
transformation birationnelle. Est dite intégrale de seconde espèce toute inté- 
grale qui présente en tous les points de / le caractère d'une intégrale de 
seconde espèce. (Cette propriété est invariante relativement aux transforma- 
tions birationnelles. ) 

Toutes les intégrales doubles de seconde espèce, relatives à la surface /=<>. 
peuvent se mettre sous la forme 

U et V étant rationnelles en x, y, z et P{x,y, z) étant un polynôme qui s'an- 
nule sur la courbe double. 

Pour toute surface algébrique il existe un certain nombre s d'intégrales 
doubles distinctes de seconde espèce 

telles que toute autre intégrale double de seconde espèce est de la forme 
.,l,-^.A,^...-^.J.^^ff{^Ji + '^^;^dxdy, 

les z étant des constantes. Le nombre est un invariant. 

La Note se termine par l'évaluation du nombre de conditions pour qu'une 
intégrale du type déjà considéré 



// 



^^^^dxdy 



soit eiïectivement de seconde espèce et par deux exemples montrant la con- 
nexion intime qui existe entre la théorie des intégrales doubles de seconde 
espèce et l'étude des cycles linéaires sur une surface. 

De Jonqiiières. — Extension du 11° 102 des Disquisitiones arith- 
melicw de Gauss. (596-601). 



96 SECONDE PARTIE. 

Goursat. — Sur les intégrales intermédiaires des équations du 
second ordre. (6o3-6o6). 

ÉlanL donnée une équalion de iMonge-Ampère 

A { /7 — 5= ) + B /• + C5 + D ^ H- E = o, 

MM. Sophus Lie et Darboux ont montré que, si elle adniel deux intégrales 

intermédiaires distinctes 

¥ {u, v) = o, 

Il et V étant des fonctions de x^ y, z, p, q cX F une fonction arbitraire, celle 
équation peut être ramenée par une transformation de contact à l'une des deux 

formes canoniques 

/■ = o, s = o, 

suivant que ses caractéristiques sont confondues ou distinctes. 

M. Goursat, après avoir indiqué les équations du second ordre à n variables 
qui doivent être considérées comme analogues à l'équation de Monge-Ampère, 
leur étend le théorème ci-dessus. Les résultats qu'il obtient peuvent être énoncés 
comme il suit : 

Soient X,, X^, ..., X,/, P,, P^, ..., P„, Z, (2«-i-i) fonctions des variables 
x^, x-i, ..., ^„', Pi, P2^ ■■■•: Pni ^1 satisfaisant à l'identité 

f/Z — P| c?\, — . . . — P,,*-^^,! ~ {■'{d^ — P\ dx^ — . . . — Pndx„ ) ; 

toute équation de la forme 

D (i/,, li.,^ . . ., ?/„) 



. D(.r,, X2, . . .,x^] 



= o. 



où M,, i/j, ..., z/„ sont n quelconques des fonctions Z, X,. P,,, admet deux inté- 
grales intermédiaires distinctes. Réciproquement, toute équation du second 
ordre, qui jouit de cette propriété, peut être obtenue de cette façon. 

Leau . — Sur les points singuliers situés sur le cercle de conver- 
gence et sur la sommation des séries divergentes. (60^-609). 

Le Roy. — Sur les séries divergentes et les fonctions définies par 
un développement de Tajlor. (G54-657). 

Étant donnée une série entière 7 a„i;", convergente dans le cercle de rayon i, 
si l'on peut construire une fonction o(.r) telle que 

a„ = / Z'(x)x" dx. > a„:3"=: / — dx = /(-), 

on a les théorèmes suivants : 

1° /(^) coïncide à l'intérieur du cercle de convergence avec la somme de la 
série ; 

2° /{:■) est holomorplic en tout point du plan, sauf peut-ètie pour z réel et 



^''^ 9c^KJ> 



I5EVUK DES PUBLICATIONS. 97 

plus grand que i. Si mi-înie y(x) est liolomorplie pour o<a7<i, la coupure 
n'est pas essentielle et f{x) n'a pas d'autres points singuliers que .3 = i et s = ce. 
3° /(s) n'est pas uniforme; le calcul du saut brusque subi par l'intégrale 
quand on franchit la coupure donne les diverses déterminations de/(^). 

Des conclusions analogues sont encore viaies si l'on peut mellrc la série sous 
la forme 



r 



■:i[x) Xi._x, z) dx, 



A étant holomorphe en :: autour de l'orijjino. 

Cette théorie coniprend, comme cas particulier, la théorie des séries som- 
mablcs de M. Borel. 

Ebevt et Perchot. — Une propriété d'une intégrale première des 
équations de la dynamique à deux variables et à potentiel homo- 
gène. (ÔSj-ôac)). 

Leaii. — Sur le eercie de convergence des séries. (-11--12). 

L'auteur indique deux classes étendues de fonctions entières qui n'ont sur 
leur cercle de convergence qu'un seul point singulier. 

Andiade («/•)• — ■ Sur la stabilité. (^12-- i3). 

Borel. — Sur les développements des fonctions uniformes en 
séries de ïavlor. (-5i). 

Enoncé d'un théorème sur les fonctions (M), ou fonctions uniformes dans 
tout le plan, à singularités ponctuelles : 
Etant données deux fonctions (iM) 

u 

la fonction 

u 

où nj désigne un polynôme entier en a„ et 6„, est aussi une fonction ( .M ). Si 9(^) 
et '^(z) sont méi-omorphes, /(^ ) est aussi méromorphe. 

Slônner {Cari). — Sur une équation indétertninée. (-52--54). 

Il s'agit de résoudre en nombres entiers positifs x^,x.^, .. , ^,„, yi,yn, ■■■.}'„ 
l'équation 

( I ) am;. m;-^ . . . ^\y - b v'. n-^^ . . . n,';- = c, 

où A, B, M, M„ , \|. . .., N^_ sont des entiers donnés et où C = ±1 ou dz 2. 

En s'appuyant sur un théorème relatif à l'équation de Pell, qu'il a établi 
Bull, des Sciences niathem., 2* série, t. \MV. (Juin 1900.) 1\.7 



98 SECONDK l'AUTIK. 

anlérieurement, l'auteur prouve que Véquation (i), quand elle est possible, 
n'admet qu'un nombre fini de solutions entières positives, que l'on peut 
obtenir toutesen cherchant les solutions entières positives les plus petites d'un 
nombre fini d'équations de Pell. 

Riquier. — Sur les s_yslèmes difTérentiels dont l'intégration se 
ramène à celle d'équations dinerentielles totales. (8og-8io). 

Un système orthonome passif étant donné, si l'ensemble des éléments arbi- 
traires, dont la connaissance équivaut à celle des déterminations initiales de 
ses intégrales, ne renferme, avec un nombre quelconque de constantes, qu'une 
seule fonction d'un nombre quelconque de variables, la recherche, dans le sys- 
tème proposé, d'intégrales ordinaires satisfaisant à des conditions initiales 
données, se ramène à l'intégration de systèmes passifs d'équations différentielles 
totales du premier ordre. 

Boiissiiiesq. — Relation qui existe, dans la bicyclette roulant sur 
un sol horizontal, entre le mouvement de progression et le mou- 
vement d'inclinaison. (843-848). 

Cette relation est exprimée par l'équation 

cP^ ^b^ d{\a) ^g^ \'oi 
dt- ah dt h ah 

où il est fait usage des notations suivantes : 

g est l'accélération de la pesanteur, 

a la distance, sensiblement invariable, entre les points tic contact A et K des 

deux roues avec le sol, 
h la distance du centre de gravité du système (cavalier et machine) à la 

base AK, 
b la portion KB de base comprise entre la projection B de ce centre de gravité 

sur la base et le point inférieur K de la roue arriére, 
V est la vitesse du point K sur sa trajectoire, 

a l'angle fait sur le sol par le plan de la roue avant, avec la base KA, 
6 est l'inclinaison du plan médian de la roue arrière sur la verticale, comptée 

positivement ou négativement suivant -que cette roue penche, ou non, vers 

le centre de courbure de la trajectoire du point K. 

Golirsat. — Sur quelques types intégrables d'équations aux déri- 
vées partielles du second ordre. (854-855). 

L'auteur a déterminé toutes les équations de second ordre de la forme 
s=f{x,y,z.,p,q), 

pour lesquelles les équations dilTérentielles de chacun des systèmes de caracté- 
ristiques admettent une combinaison intégrable, renfermant les dérivées du 
second ordre. 

Si l'on fait abstraction des équations intégrables par la méthode de Monge, 



ur.vuK Di-:s puhlica iions. 91, 

des équations linéaires et, plus généralement, des équations (|ui appartiennent 
à la classe étudiée par M. Moutard, les équations en question se ramènent par 
des transformations simples à cinq types, que M. Goursat énumère. 

Tzitzéica. — Sur les systèmes orthogonaux. (Saô-SS^). 

Iliinibert {G.). — Sur la nuilliplication complexe des fonctions 
abéliennes. (85--8Go). 

Le problème de la multiplication complexe des fonctions abéliennes de genre 
deux peut être posé comme il suit : 

Soit »(tf, v) une lonction abélieiine aux périodes 

i g h, 

1 o h g'. 
On pose 

U = ^u -h ;j- 1'. \:= À' Il -+- ;x' V : 

on demande dans quel cas la fonction 'j(U, V) pourra s'exprimer rationnelle- 
ment à l'aide des fonctions abéliennes en u, v admettant les périodes précé- 
dentes. 

Pourcju'il en soit ainsi, il faut cl il suffit que g, //, g' vérifient quatre eV/wo- 
tions fondamentales à coefficients entiers, qui ne sont des identités que dans le 
cas de la multiplication ordinaire. 

Si l'on combine ces équations de manière à en déduire des relations cano- 
niques, ou relations du type 

çig + '^j h -h 'f g' -^ o{h'-- gg' ) = o (;i2_4aY — 4o3 > o) 

à coefficients entiers, le nombre des relations canoniques distinctes dépend île 
celui des relations fondamentales distinctes, et Ton peut trouver les multipli- 
cations complexes correspondant à chaque cas. 

Boussinesq. — Aperçu sur la tliéorie de la bicyclette : équilibre 
du cavalier. (895-899). 

Principales conséquences de l'équation établie par l'auteur dans sa dernière 
Note. Nous signalerons celle-ci : quand, par suite d'une circonstance acciden- 
telle, le cycliste est brusquement écarté de sa route, il doit, pour rétablir son 
équilibre, incliner le guidon vers le colé où il s'est jeté. 

Painlcvé. — Sur les équations différentielles du second ordre à 
points critiques fixes. (945-948). 

L'auteur rassemble dans cette Note les résultais qu'il a obtenus sur les équa- 
tions de cette espèce. Il donne le tableau des quinze tj'pes dans lesquels il les 
a fait rentrer toutes, avec l'indication de la façon dont leurs intégrales dépen- 
dent des constantes arbitraires, et l'énoncé de leurs singularités. Certains de 
ces types sont les premiers exemples connus d'équations différentielles dont on 
sache que l'intégrale est uniforme, sans savoir les intégrer ni les ramener à des 
combinaisons de quadratures et d'équations différentielles linéaires. 



loo SECONDH PAKTIE. 

Le Roy. — Sur les points singuliers d'une fonction définie par 
un développement de Tavlor. (948"9^o). 

On considère une série entière dont le rayon de convergence est égal à 
l'unité 



Si a„ est une fonction liolomorphe de n dans un angle, si petit qu'il soit, con- 
tenant à son intérieur la partie positive de l'axe Ox et si la série_/(s) con- 
serve le même cercle de convergence (de rayon i) quand on remplace n par 
l'affixe d'un point situé dans l'angle précédent, la série en question ne peut 
avoir de points singuliers que sur la partie (-i-i, + oc) de l'axe Ox. 

La méthode des représentations conformes, qui a conduit l'auteur à ce résul- 
tat, permet d'étudier la même fonction dans tout le plan. 

On a aussi le théorème suivant : 

Si a„ est une fonction périodique de n, développable en série trigonomélrique 
absolument convergente, la série /{:;) admet effectivement son cercle de con- 
vergence comme coupure, sauf dans deux cas particuliers. 

De la Kallée-Poussin. — Sur la réduction des intégrales mul- 
tiples. (pSo-goi). 

Borel {Em.). — Sur la recherche des singularités d'une fonction 
définie par un développement de Tavlor. (iooi-ioo3). 

Expression nouvelle d'une fonction entière /{z), à l'aide d'une intégrale 
définie où figure une fonction '^{x) régulière pour x positif et tendant, ainsi 
que sa dérivée, vers une valeur déterminée lorsque x tend vers l'infini à l'in- 
térieur d'une certaine aire supposée contenir l'axe des quantités réelles. Cette 
formule, susceptible de nombreuses applications fort générales, établit une rela- 
tion étroite entre l'étude des singularités de f{z) dans tout le plan et l'étude 
du point singulier esscnliel unique de '|'(a7). 

Beiidon (./.). — Sur les systèmes d'équations aux dérivées par- 
tielles réductihlcs aux équations différentielles ordinaires. (ioo3- 
ioo4). 

A propos de la récente Note de M. Riquier {voir ci-dessus), M. Beudon rap- 
pelle qu'il a lui-même donné, sous une autre forme, le résultat de M. Riquier 
dans une Note des Comptes rendus (3i janvier 1898). Il énonce une proposi- 
tion plus générale : 

Le degré de difficulté de l'intégration d'un système d'équations aux dérivées 
partielles ne dépend pas du nombre des variables indépendantes; il est lié seu- 
lement au degré de généralité de la solution ; deux systèmes quelconques ayant 
le même degré de généralité exigent, pour rintégration, des opérations ana- 
logues. 



KliVri' DI'S l'I m.K.ATIONS. ICI 

Maillet [Edin.). — Sur la dcU-nniiialioii du grou[)C des c([ualious 
numériques. (ioo4-ioo5). 

Gravé {D.). — Sur les lignes composées de parties rectilignes. 
(ioo5-iooj). 

L'auteur indique un nioyen de former une fonction y (^ ) qui jouit de pro- 
priétés singulières. Elle n'a pas tie dérivée pour une infinité de valeurs de x; 
pour les autres valeurs de x, sa dérivée est nulle. De plus, f{x) est continue 
et varie de o à i quand x parcourt toutes les valeurs de l'intervalle (o, i). Elle 
est inlégrable, et il est aisé de calculer les valeurs de l'intégrale 



h>{x) = I f{x) dx 



pour toutes les valeurs de :r. Ces valeurs sont rationnelles pour les valeurs 
rationnelles de x. 
Les lignes déterminées par l'équation 

->' = w ( .r ) 

sont composées d'une infinité de parties rectilignes, mais elles admettent en 
chaque point une tangente bien déterminée qui change de direction d'une façon 
continue quand le point de contact parcourt la ligne. 
Les surfaces définies par l'équation 

- = w ( a; ) -J- w ( _>•• ) 

jouissent de propriétés analogues : composées de parties planes, elles ont un 
plan tangent bien déterminé, variable d'un point à l'autre. 

Riquier. — Sur les systèmes différentiels dont l'intégration se 
ramène à celle d'équations différentielles totales. (1194-1196). 

Réponse à la Note récente de ^L Beudon {voir ci-dessus). 

Cahen (Arm.). — Sur les équations différentielles du premier 
ordre, (i 196-1 199). 

L'auteur considère l'équation 

(i) Ljk"-_ oMj-'^N = o, 

où L, M, N sont trois polynômes de degré 7 en j-, dont les coefficients sont 
analytiques en x, et se propose de déterminer toutes les équations de cette 
forme dont l'intégrale ne prend qu'un nombre donné n de valeurs autour des 
points critiques mobiles. 

Quand il en est ainsi, l'intégrale générale de (1) peut s'écrire 

aC=— 2;îC -f-y = 0, 
où a, p, y sont des polynômes en y, de degré n si le genre n de la relatiori 



I02 SECONDIi PAUTIE. 

entre les consUintes intégrales est nul, et de degré 2n si ra = i (le cas ra>i ne 
peut se présenter ici). 
Si l'on pose 

M-— L\=P=OR, [i=— ay^n=Q^R, 

l'équation R = o (de degré /) définit les intégrales singulières; l'équation 
Q = o (de degré j) le lieu des points de rebroussement des intégrales. Les 
fonctions P et FI sont des degrés i et m en y, et l'on a 

2q — 4 ~ 2 i -I- y + A , 2 rt = 3 /n -H 3y -H k. 

Ces nombres étant ainsi définis, la conclusion des recherclics de M. Cahen 
peut être formulée comme il suit : 

Les équations cherchées du type (i) dépendent algébriquement de i 4- 4 
fonctions arbitraires et de constantes arbitraires dont le nombre est égal à 
2«-f-A" — Ç — ^ dans le cas de cj = o et se réduit à A — q lorsque ra = i. 

Guldberg {A.). — Sur les équations aux dlflTérenlielles totales 
linéaires. (1199-1201). 

L'objet de cette Note est de combler une lacune dans la théorie des équations 
linéaires aux dilTérentielles totales, en étudiant le cas où une telle équation 
n'est pas intégrable. Elle peut alors admettre des intégrales singulières dont 
la détermination se fait sans intégration. 

Soit 

V {x, y, z)dx -\- Çl{x, y, z)dy -^-Wlx, y, z)dz = o 

une pareille équation. 

Si une fonction :; ^^f{x,y} satisfait aux deux équations 

âz àz 

P+R— =0. 0-)-R — =0, 

ox oy 

ainsi qu'à la condition qui en résulte 

dy\Rj^ dx\l{J' 

cette fonction est une solution de l'équation proposée. Comme elle est déter- 
minée par une équation finie, il est aisé de i-econiiaitre si elle vérifie les deux 
équations où figurent ses dérivées premières. 

Comme exemple, l'auteur cite l'équation non intégrable 

( z — xy —y)dx^{z- — xyz — x)dy -h dz = o, 
qui admet la solution z — xy. 



HEVUE DES PUBLICATIONS. 



io3 



BULLETIN DE LA Société mathématique de France. 
Tome XXVII; 1899 (i). 

Goursat. — Sur les équations du second ordre à n variables 
analogues à l'équalion de Mon ge-A.m père. (i-34). 

On sait qu'une équation de Monge-Ampère 
(I) A(/-< — 5-) ^ B/- + C5 + Df -^F = 0, 

où A, B, C, D, F sont des fonctions quelconques de x, y, z, /?, q, peut être 
considérée comme provenant de l'élimination du rapport dy : dx entre deux 
équations linéaires et homogènes en dx, dy, dp, dq. M. Goursat s'est proposé 
de généraliser ce tjpe d'équations et d'étudier les équations auxquelles on par- 
vient ainsi. 

Soient x^, x^, . . ., x^na système de n variables indépendantes, et z une fonc- 
tion de ces variables. Posant 



Pi 



dz_ 
àz, 



P^k= :, 



d-": 



dx- dXf. 



{i, k — \, 2, ...,«), 



on se donne arbitrairement un système de n relations distinctes, linéaires et 
homogènes en dx, . . ., dx^^, dp^. . . ., dp,^, dont les coefficients sont des fonc- 
tions quelconques de ^,, x^, ..., x^^, p^, ...,/)„. Si l'on remplace rf/?, par 



p-i dx^ -^ Pr. ^-^2 



/7;„ dx,^. 



l'élimination de dx^, ..., dx,^ entre les n relations obtenues conduit à une 
équation du second ordre, de forme particulière, qui peut être considérée 
comme l'analogue, pour les fonctions de n variables, de l'équation de Monge- 
Ampère. 

Pour former et étudier cette équation, l'auteur part d'abord de n équations 
résolues par rapport à dp^, ..., dp,^, 

(2) dp^-T- y-i, dXi-r-. . .-^ 3.-,^dx^^= o {i = 1, 1, . . .,n). 

Remplaçant les dp- par leurs expressions, on est conduit à l'équation 



(3) 



H = 



P21 -^ ='2. P22 + «22 



Pnl-^ 



Pnl 



Pi 


, + ^\n 


Pi 


n "i" '2,1 


p, 


«-+- ^nu 



Le problème de l'intégration de cette équation revient à ceci : adjoignant 
aux équations (2) l'équation 

(4) dz — p^ dxi — P2 dXr. — . . . — /?„ dx^^ = o, 

et convenant d'appeler multiplicité caractéristique loule suite simplement in- 



(') \oir Bulletin, t. XXIIL, p. 25o. 



io4 SECONDE PAUTIE. 

finie d'élémeiUs du premier ordic satisfaisant aux équations (2) cl (4), trouver 
une multiplicité n fois étendue d'éléments unis du premier ordre telle que 
par chacun de ces éléments il passe une multiplicité caractéristique située 
tout entière sur cette multiplicité à n dimensions. 

Le déterminant H ne changeant pas quand on permute a,j. et ol^^., l'équa- 
tion (3) possède un second sj'stème de caractéristiques dont on obtient les 
équations dilTércalielles en permutant ol^. et 3.-^. dans les équations (a). Ces 
deux s^^stèmes de caractéristiques sont en général distincts; pour qu'ils soient 
identiques, il faut et il suffit que l'on ait 3t,i. = a^.;. 

Une équation du second ordre ne peut être mise sous la forme (3) que de deux 
façons, si la chose est possible; c'est ce que l'auteur établit par deux méthodes, 
dont la seconde fournit le moyen de mettre effectivement sous la forme (3) 
toute équation qui en est susceptible. 

Il rattache ensuite les propriétés déjà obtenues à une théorie plus générale. 
Soit 

(8) F(x^,X.,...,X,^,Z,p^,...,p„.p^^,...,p„„) = 0, 

une écjuation du second ordre de forme quelconque; si l'on pose 

P"=^ ('■'^■ = ''''---'"^' 

on peut consitléier la forme auxiliaire 

(9) I- y Vp,,?,h„ 

OÙ ^,, *2? ••■ désignent n variables auxiliaires, et que M. Goursat a étudiée 
sous le nom de forme associée à l'équation (8) : il a prouvé notamment que, 
pour que l'équation (8) admette une famille de caractéristiques linéaires, il 
faut et il suffit ()ue la forme associée soit décomposable en un produit de deux 
facteurs linéaires en ?,, ;,, ..., ;„. Si l'on applique ce théorème à l'équation (3) 
dont la forme associée est un produit de deux facteurs linéaires, on retrouve, 
correspondant à chacun de ces facteurs linéaires, l'un des systèmes de carac- 
téristiques de l'équation considérée. 

Si l'on prenait pour point de départ, non plus des relations résolues par rap- 
port aux dpi, mais un système de n relations linéaires quelconques en rfj:,, ..., 
dx,^, dp^ ,. . . , dp^i,i\ suffirait d'employer la transformation de Legendre généra- 
lisée pour arriver à un système d'équations résolues par rapport aux nouvelles 
difféi'entielles dP-. On peut donc, pour établir, parmi les propriétés des équa- 
tions les plus générales analogues à l'équation Monge-Ampère, celles qui se 
conservent par une transformation de contact, se borner au cas où les équa- 
tions différentiel les des caractéristiques sont résolues par rapport aux dp-. 

Revenant, eu conséquence, à l'équation (3) et à ses deux systèmes de carac- 
téristiques 

\ dz — p^ dx^ — . . . — />,, (5?J7„= o, 

/ dp--r- a., dx^ -i-. . .-4- a ,, cfjr,, = {i — i, 2, . . ., n), 



(A) 
(B) 



dz — /), dx^ — . . 


• Pn (^^,i~ 0- 


dp,+ x,^dx,-n.. 


• -^ ^„l ^^-^n ~ 



(A =1,2, ..., rt), 



KKVUiï ORS PUBLICATIONS. io5 

on voiL que l'cliiclc de l'cqiialion (j) est lice à la. recherche des combinaisons 
intégrables de chacun de ces systèmes difTérenliels. Pour que rfV soit une com- 
binaison linéaire des équations (A), il faut et il suffit que \ satisfasse aux n 
équations simultanées 

{i6) \.(V)= i-p--, a,,-T a,.- ...— a„.-7— =o 

( t = 1 , 2 , . . ., n). 

Pareillement, pour que dU soit une combinaisun liné;iirc des équations (B), 
il faut et il suffit que U satisfasse aux n équations 

( 14 ) 1 , ( U ) = T i- »t -r- — a^, -- - — a^^ . . .— a. - — =: o 

(A- =1.2, ...,«)• 

On démontre aisément que si cW = o, d\ = o sont deux combinaisons in- 
tégrables appartenant à deux sjsfèmes de caractéristiques différents, les 
fonctions U et V sont toujours en involution. En particulier, si les deux sys- 
tèmes de caractéristiques sont confondus, les deux s^'slèmes (i3) et {i!\) n'en 
font qu'un et deux intégrales quelconques de ce système sont en involution. 

Pour que l'un des sjstèmes de caractéristiques admette le nombre maximum 
(n + i) d'intégrales distinctes, il faut, mais il ne suffit pas que les deux fa- 
milles de caractéristiques soient confondues. 

Ici se place l'étude du cas où l'un des systèmes (i3) ou (i4) admet n inté- 
grales distinctes. Si «<,, u.„ ..., u„ sont des intégrales distinctes d'un de ces 
systèmes, toutes les intégrales de l'équation 

(B) F(m„ u„ ..., u„) = o, 

où F est une fonction arbitraire, satisfont, sauf peut-être les intégrales singu- 
lières, à l'équation du second ordre (3). Réciproquement, toute équation du 
second ordre qui admet une intégrale intermédiaire de la forme (i5) où F 
désigne une fonction arbitraire est nécessairement de la forme (3). La mé- 
thode précédente fournit toutes les intégrales intermédiaires de l'équation 
considérée. 

Pour manifester encore d'autres analogies entre les équations de Monge- 
Ampcre et celles qu'il étudie, M. Goursat examine ensuite les équations (3), 
pour lesquelles l'un des systèmes de caractéristiques admet (/i-i-i) combi- 
naisons intégrables distinctes; il montre que, dans ce cas. on peut toujours 
déduire l'intégrale générale de l'intégrale complète, comme pour les équations 
à deux variables indépendantes. 

Quand les deux systèmes de caractéristiques sont distincts, si les deux sys- 
tèmes linéaires (i3) et (i4) admettent respectivement n intégrales distinctes 
( «1, î^3, . . ., H^) et {v.v.^_, . . ., V,,) de telle façon qu'il existe pour f'équation 
du second ordre deux intégrales intermédiaires distinctes 

F( i/p jr, .... u^^ ) = 0, <ï>(t',, t\, . . ., f„ ) = o, 

dépendant chacune d'une fonction arbitraire de {n — i) variables, le problème 
de l'intégration revient à déterminer deux groupes 

G, ^^,, u.,, .... u„, 
G', V^, V.,, . . ., V„, 



io6 SECONDE l'AK IlE. 

composes respectivement de n fonctions distinctes, tels que deux fonctions 
appartenant à deux groupes différents soient toujours en involution. L'au- 
teur parvient à la solution de ce problème en s'appujant sur les travaux de 
Soplius Lie relatifs aux groupes, et obtient en tout(rt — j) formes canoniques 
essentiellement distinctes pour les deux groupes G et G'. \ chacune de ces 
for/nes canoniques correspond une forme canonique d'équation du second 
ordre, admettant deux intégi-ales intermédiaires distinctes. On peut obtenir, 
sous forme explicite, l'intégrale générale de chacune de ces équations. 

L'énumération que fait M. Goursat des diverses formes canoniques pour 
« = 3, 4 et 5, met en évidence cette loi générale que, parmi les (n — i) formes 
canoniques d'équation à n variables indépendantes figurent les (n — 2) formes 
canoniques d'équation à (« — i) variables. Ainsi, connaissant l'intégrale géné- 
rale d'une équation à (n — i) variables indépendantes, a7i, .r,, ..., a7„_,, pour 
avoir celle de l'équation canonique correspondante à n variables a:,, x^, . . ., a;„, 
il suffit d'ajouter la variable a;,,, à titre de paramètre, dans les deux fonctions 
arbitraires qui figurent explicitement dans l'intégrale générale de l'équation 
à {n — i) variables. 

Revenant maintenant à un système de variables quelconques, on peut résu- 
mer comme suit les résultats obtenus : Soient X,, X^, ..., X„, P,, Po, ..., P„, 
Z des fonctions des (2/14-1) variables Xi, x.,, . . .,x„, />,, />,, • • .. p^i ^ satis- 
faisant à l'identité 

rfZ — P, f/X,— ...— P„rfX„= p{dz—p^dx^ — ... — p^dx,J; 

toute équation de la forme 

D ( M, , M;, ...,;<„) _ 
D{Xt,x,, ...,x,J~ ' 

où M,, u^, ..., ?/„ sont n quelconques des fonctions Z, \,, Pj admet deux 
intégrales intermédiaires distinctes. Réciproquement , toute équation de 
second ordre qui Jouit de cette propriété peut être obtenue de cette façon. 
Le Mémoire se termine par l'étude succincte des équations linéaires du 
second ordre, à plusieurs variables indépendantes, auxquelles peut être 
étendue la célèbre méthode de Laplace. Considérons une équation du second 
ordre linéaire, qui puisse s'écrire 

X[Y(5)] + aX(^) + 6Y(c)--c- = M, 
où 



àf 
dxi 




àf . 
dx. 


^^"dx^ 



les a, b, c, M, a., et p, étant des fonctions des seules variables indépendantes. 
Pour que l'on puisse lui appliquer la méthode de Laplace, il faut et il suffit 

que Ion ail une identité de la forme 

X[Y(^)]-Y[X(G)] = aX(i:) + ixV(:;), 
ce que l'on reconnaîtra aisément, la forme associée à cette équation 



^li 






IIEVUE DliS rUHLlCAllONS. 
devant alors élrc décomposable en deux facteurs linéaires 



De celte décomposition même résulte la connaissance des fonctions a. et jî,. 
Alors les vérifications subséquentes n'exigent plus que des calculs tout à fait 
élémentaires. 

Enfin, M. Goursat démontre que toute équation du second ordre qui 
satisfait aux conditions précédentes peut être ramenée, par un changement de 
variables, à la forme même de Laplace : 

à-z dz ^ dz 



dx\ dx\ dx\ ôx'., 

les variables x'^, ..., x'n ne figurant que dans les coefficients a^, b^, Cj et M,. 

IladamarcL — Sur les conditions de décomposition des formes. 
(34-4:). 

Bourlel. — Etude théorique sur la bicyclette. (47-^7) 7^'9^)' 

Le présent Travail est une reproduction partielle duu Mémoire plus déve- 
loppé que l'auteur a déposé, en juin 1897, pour le concours du prix FournejTon, 
et que l'Académie des Sciences a couronné en décembre 1898. Il se compose de 
deux parties. Dans la première est établie l'équation difl'érentielle du mouve- 
ment relatif d'une machine dont le guidon est tenu à deux mains par le 
cj'cliste; dans la seconde, on se sert de cette équation pour étudier les condi- 
tions d'équilibre. 

Première Partie. — Une bicyclette se compose de trois parties distinctes : 
le cadre, la roue arrière (ou roue motrice), la direction (ensemble formé par 
la roue d'avant, ou roue directrice, sa fourche et le guidon). 

Le cadre présente un plan de symétrie qui est appelé plan moyen de la 
machine. Les deux roues sont considérées comme des cercles mathématiques 
indéformables; le plan de la roue d'arrière coïncide constamment avec le plan 
moyen; celui de la roue d'avant est variable par rapport au plan moyen et ne 
coïncide avec lui que quand le guidon est droit; le sol est supposé plan. 

Dès que l'on tourne le guidon, le point de contact B de la roue d'avant avec 
le sol sort du plan moyen. .Mais en fait, dans toutes les machines actuelles, ce 
point de contact s'écarte si peu de la trace du plan moyen sur le sol que l'on 
peut négliger cet écart; d'ailleurs on suppose que, le guidon étant droit, 
le point B soit situé sur l'axe de rotation de la direction; il en sera toujours 
très proche et la longueur comprise entre B et le point de contact A de la roue 
d'arrière, étant sensiblement constante, pourra être appelée la longueur de la 
machine. Alors le mouvement relatif de la machine par rapport à son plan 
moyen est un mouvement de rotation autour de cette trace, confondue avec 
la droite AB. 

Pour l'éludier. il faut déterminer en fonction du temps l'angle ^ que fait 
à chaque instant le plan moyen avec la perpendiculaire au sol. On suppose, 
dans l'établissement de l'équation différentielle à laquelle satisfait p, que le 
cycliste ne fait aucun mouvement du torse, et l'on néglige les mouvements des 
jambes, ce qui est assez légitime, vu leur faible amplitude et leur symétrie. Il 



loS SECONDK l>AUTII<:. 

faut, d'après la Ihéorje du mouvcmenl relatif, écrire qu'il y a équilibre, en 
vertu des liaisons, entre les forces centrifuges, les foi'ces centrifuges composées, 
les forces d'inertie et la pesanteur, ou que la somme des moments de ces 
diverses forces par rapport à la droite AB est nulle. 
Le cj'cliste et sa machine forment un tout composé de trois parties : 

- 1° L'ensemble du cavalier, du cadre et de la fourche directrice qui, d'après 
les hypothèses faites, a une forme invariable; 
■j" La roue motrice: 
3° La roue directrice. 

M. Bourlet calcule séparément les moments des quatre catégories de forces 
précitées, pour chacune de ces trois parties, et n'a plus qu'à égaler leur 
somme à zéro. On met ainsi de l'ordre dans un calcul qui est extrêmement 
complexe, en même temps que l'on sépare dans l'équation finale les différents 
groupes de termes, d'après leur signification et leur provenance. 

L'équation du second ordre à laquelle arrive l'auteur contient la solution du 
problème suivant : 

Le cycliste faisant décrire à sa machine un cliemin connu, à une allure 
donnée, quel sera le mouvement en inclinaison du plan moyen par rapport 
au sol? 

.Mais elle contient un si grand nombre de termes, qu'on ne peut l'employer 
sans l'avoir simplifiée. On est conduit, tout d'abord, à ne conserver que 
le premier de chacun des douze groupes de termes; puis d'autres simplifications 
conduisent, pour le mouvement sur un sol horizontal, à l'équation approchée 

M(Z-+ A-)^ = .M/^sin3 -/aU + Il + ^ ^ ^ cosS — M W cos3 ^ -, 
dt- \ '■ '■ / P rf< p 

où les lettres ont les significations suivantes : 

M est la masse totale du cavalier et de la machine; 

M/.- le moment d'inertie de cette masse totale par rapport à un axe parallèle 

à AB et passant par son centre de gravité G; 
l la distance de G à la base AB; 
d une longueur sensiblement égale à la distance de G à une perpendiculaire à 

la base AB, menée par A dans le plan moyen ; 
V est la vitesse du point A sur sa trajectoire, et p le rayon de courbure de cette 

trajectoire. 

E E' . 

Enfin, les termes en — et —r proviennent de la rotation des roues. 
/• /• 

Dans une Note insérée aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 
le 28 novembre 1898, I\L Boussinesq a établi une équation qui ne diffère de la 
précédente que par l'absence de ces deux termes. Les hypothèses simplifica- 
tives auxquelles il a recours reviennent, au fond, à ne pas tenir compte du 
mouvement des roues et de la direction. Posées a priori, elles se trouvent 
justifiées par le rapprochement précédent. Mais il y a plus : on voit que, si 
l'on tient compte de la rotation des roues, l'équation différentielle conserve la 
même forme que celles de AL Boussinesq. Par conséquent, les résultats inté- 
ressants que AL Boussinesq a tirés de son équation, pour les petites oscilla- 
tions du plan moyen dans la marche rectiligne, subsistent encore lorsque l'on 
tient compte de la rotation des roues. 



UlîVUI': DIÎS PUBLICATIONS. 109 

L'équation ci-dessus se simplifie encore quand on suppose que le cycliste 
tourne lo guidon assez lentement pour rendre négligeables les variations de 
rapport i''p. On trouve alors 

— -r- = ^ sin ^ cos ,3, 

/ dt- ^ ' p ' ' 

ce qui est l'équation dont M. Bourlet a fait usage dans son Nouveau Traite 
des bicycles et bicyclettes. 

Deuxième Partie. — Il y a lieu de supposer que la vitesse v de la machine 
est constante, paice que les conditions théoriques de variation de vitesse qui 
suffiraient à assurer l'équilibre, en vertu de l'équation de M. Bourlet, seraient 
pratiquement iri'éalisables. L'équilibre d'une bicyclette en marche se définit 
ainsi : 

Une bicyclette est en équilibre lorsqu'elle ne glisse pas latéralement, 
c'est-à-dire lorsque l'angle jî satisfait à la double inégalité 

-/<tang,3<+/, 

/ étant le coefficient de frottement de glissement latéral. 

Deux cas peuvent alors se présenter : 

1° L'équation du mouvement est vérifiée par une valeur constante àe Ji: pour 
l'équilibre, il suffit alors que |î ait cette valeur constante et satisfasse à l'iné- 
galité ci-dessus; on dira alors qu'il y a équilibre parfait. 

1" S'il n'existe pas d'intégrale de l'équation du mouvement qui se réduise à 
une constante, le plan moyen oscillera entre deux positions extrêmes; on dit 
alors que l'équilibre est imparfait. 

Voici les principaux résultats auxquels l'auteur est conduit par l'examen de 
ces deux cas : 

Il ne peut y avoir équilibre parfait sur un sol horizontal que si la trajec- 
toire (T) du point A est convenablement choisie. En écrivant que l'équation du 
mouvement, donnée plus haut, est vérifiée, on obtient une équation du 
premier ordre dont l'intégrale générale est 

Q . 
He" d\ 



tang^J 



P Q^- 

Q désignant la constante 

I /E E' 

'--yriij^v 

H la constante d'intégration et s l'arc de la courbe (T), que l'auteur appelle 
courbe d'équilibre parfait. 
De là, trois cas à distinguer ; 

1° H =0; alors - est constant; <T) est un cercle ou une droite. 

P 
2° H = o et ^ ^ o; la courbe (T) est une spirale dont l'équation intrinsèque 
peut être écrite 

P Q''' 

et qui tend rapitlemcnt vers un cercle asymptote. 



lo SECONDE PARTIE. 

3° H /i o et [î = o; alors (T) est asymptote à une droite. 

Dans ces deux derniers cas, la détermination de (T) s'achève par des quadra- 
tures. Au point de vue de la forme, il n'y a que trois familles de courbes (T), 
chacune à un paramètre p, savoir les cercles (ou droites) et les deux familles 
de spirales fournies par la dernière équation ci-dessus. 

On démontre que, étant donnée dans le plan du sol une courbe quel- 
conque et un point A, on peut toujours trouver une courbe d'équilibre par- 
fait passant par ce point A et ayant en ce point un contact du troisième 
ordre avec la courbe donnée. 

A signaler la spirale d'équilibre parfait 

I £• tans a ( —~ A 

p Qi'- 

qui présente un intérêt tout spécial dans la théorie du virage. Un petit arc de 
cette courbe, à partir de 5 = 0, se confond avec celui d'une courbe pour 
laquelle la courbure est proportionnelle à l'arc : or, une telle courbe est l'arc 
de raccordement de la droite au cercle, lorsque le cycliste effectue un virage. 
Il n'a qu'à provoquer, par un mouvement brusque du buste, l'inclinaison du 
plan moyen : il décrit alors une portion de spirale d'équilibre parfait, jusqu'à 
ce qu'il ait atteint le rayon de courbure du virage circulaire à parcourir. 

M. Bourlet insiste, à cause de son importance toute spéciale, sur le cas du 
cercle et démontre cette proposition : 

Le point de contact de la roue arrière décrivant^ sur un sol horizontal, 
un cercle de rayon p, à la vitesse constante v, il suffit, pour qu'il y ait 
équilibre, que l'inclinaison cl du plan moyen sur le sol reste constante et 
que l'on ait {avec une erreur relative plus petite que o,o3) 

tanga= i-^ > - ; 

la nature de cet équilibre est instable. 

Ce n'est donc que grâce à la mobilité du guidon, et par suite en modifiant 
légèrement à chaque instant sa trajectoire, que le cycliste parvient à garder 
l'équilibre. 

Théoriquement le maintien de l'équilibre par le guidon est possible; mais 
pratiquement cela ne suffit pas; il faut, pour que l'équilibre soit atteint, le 
guidon étant en mains, que la machine s'équilibre d'elle-même dans une cer- 
taine mesure lors du Idche-mains. 

Pour Y équilibre parfait sur un sol incliné, les résultats sont analogues aux 
précédents, à cela près toutefois que les courbes d'équilibre parfait dépendent, 
quant à leur forme, non plus d'un seul paramètre, mais de deux. Ici encore, 
étant donnés dans le plan du sol une courbe quelconque et un point A sur 
cette courbe, il existe toujours une courbe d'équilibre parfait passant en A 
et ayant, en ce point, un contact du troisième ordre avec la courbe donnée. 

Relativement à l'équilibre imparfait, on pourrait croire qu'il s'agit de /a//'e 
décrire au point de contact de la roue motrice un chemin donné à l'avance. 
C'est généralement impossible, si l'on suppose, ce qui a lieu dans la réalité, 
que la vitesse v de la machine soit constante. 

En effet, dès qu'on se donne la trajectoire (T) de la roue motrice, la vitesse v 
et les conditions initiales, l'intégrale [5 de l'équation du mouvement est parfai- 



lUiVUK l)l«:s PUHLICATIONS. m 

lenient déterminée et ne reste pas comprise cnlrc deux limites 'j et — 9; on 
peut d'ailleurs choisir la trajectoire ( T) de manière que [î soit telle fonction 
qu'on voudra de t. Ainsi : 

En marche uniforme, un cycliste ne peut pas, en général, faire décrire 
exactement et indéfiniment à la roue motrice un chemin arbitraire donné 
à l'avance. Cela n'est j>ossible que dans un temps limité, au bout duquel la 
chute est inévitable, à moins que le cycliste ne modifie sa route. 

Il convient dès lors de poser le problème autrement : 

Supposant toujours la vitesse v constante, soit (C) une courbe tracée sur 
le sol. Portons sur tes normales à (C), de part et d'autre du pied, des 
longueurs égales à une petite longueur 5 donnée à l'avance; nous obtien- 
drons ainsi deux courbes parallèles ( C ) et (G"), limitant une bande, un 
sentier de largeur 20, ayant la courbe (C) pour ligne médiane. Trouver 
une courbe d'équilibre comprise tout entière à l'intérieur du sentier ainsi 
défini. 

Ainsi présentée, la question aura vraisemblablement une solution dans le cas 
général; mais, au point de vue pratique, elle est peu intéressante, car tout cy- 
cliste habile réalise l'équilibre par de légers mouvements du buste, tandis que 
tous les calculs précédents reposent sur l'hypothèse où le buste reste immobile 
par rapport au cadre. 

Nous citerons le théorème final : 

Lorsqu'une bicyclette est en équilibre imparfait, l'angle Jî est, ci chaque 
instant, très sensiblement égal à l'angle d'équilibre qui correspond à la 
courbe d'équilibre parfait osculatrice, au point de contact de la roue mo- 
trice avec le sol, à la trajectoire de ce point. 

IJiimbert (G.). — Sur une interprélalion géométrique de l'éqna- 
lion modulaire. (69-70). 

L'auteur rappelle un théorème relatif aux courbes unicursales (|u'il a établi 
dans le Volume précédent du Bulletin de la Société, en l'appuyant sur la 
théorie de la transformation des fonctions elliptiques, et l'applique aux poly- 
gones de Poncelet. 

Il arrive ainsi à l'énoncé suivant : 

Parmi les polygones de n côtés inscrits à une conique C et circonscrits à 
une autre conique G', il en est quatre qui ont pour sommet ou pour côté un 
point commun ou une tangente commune à G et à C ; les centres des 
moyennes distances des sommets des polygones considérés sont sur une co- 
nique G" : le rapport anharmonique, sur la conique C , des centres des 
moyennes distances correspondant aux quatre polygones précédents et le 
rapport anharmonique des quatre points d'intersection de G et de G', sur 
la conique G, sont liés par l'équation modulaire relative à la transforma- 
tion d'ordre n. 

Humhert {G.). — Sur les polygones de Poncelet. (70-- i). 

Le centre harmonique des sommets d'un polygone quelconque par rap- 
port à une droite donnée est un point fixe, si la droite coupe en deux som- 
mets doubles la conique circonscrite C : 
ou, en langage non projectif : 



ii.e SECOND K PAirilE. 

Le centre des moyennes distances des sonuiiets d'un po/ygone quelconque 
est un point fixe, si les deux points à l'infini su/- la conique C sont des 
sommets doubles. 

Bhilel {E .). — Sur une propriété des trajectoires obliques cFune 
famille de géodésiques. (72). 

Les courbes {u = const. et f = const.) dune surface qui se coupent sous un 
angle constant et ont leurs courbures géodésiques dans un rapport constant en 
tous les points de la surface, sont des trajectoii-es obliques d'une même famille 
de courbes parallèles, et réciproquement. Si l'on considère les triangles curvi- 
lignes formés sur la surface par deux courbes C„ et C^ avec les courbes paral- 
lèles associées, les longueurs des côtés portés par C„ et C^ sont proportion- 
nelles aux sinus des angles opposés. 

Andrade. — Sur quelques paradoxes de Statique non eucli- 
dienne. (73-75). 

Bioche [Cit.). — Mémoire sur les surfaces du troisième ordre qui 
admettent pour ligne asymptolique une cubique gauche. (96- 
ii3). 

Introduction. — J'ai montré {Bull. Soc. Math, de France, 1898) que, si 
l'on appelle conjugués par rapport à une cubique gauche des points con- 
jugués harmoniques par rapport aux extrémités d'une corde de cette cubique, 
toute surface du troisième ordre qui admet comme ligne asymptolique une cu- 
bique gauche peut se définir comme le lieu des conjugués des points d'un plan 
par rapport à cette cubique, ou le lieu des pôles du plan par rapport aux qua- 
driques passant par cette cubique; j'appelle une pareille surface conjuguée du 
plan. 

En général, le plan coupe la cubique en trois points distincts; ces points 
sont alors des points doubles, et la surface contient les tangentes à la cubique 
en ces points; réciproquement, toute surface du troisième ordre contenant une 
cubique gauche, possédant sur cette cubique trois points doubles et contenant 
les tangentes en ces points, admet la cubique comme asymptctiquc. 

J'étudie dans ce Mémoire la surface dont je viens de parler, et je complète 
cette étude en considérant les surfaces correspondant : 1° au cas où le plan coupe 
la cubique en des points dont deux sont confondus; 2" au cas où le plan est 
osculateur à la cubique. 

I. Équation et propriétés caractéristiques de la surface générale. — Une 
surface du troisième ordre à trois points doubles peut être représentée par 
l'équation 

xyz ->r {ax + by + c z)t--\- dt^ — ; 

elle contient, en général, douze droites : 

1° Trois dans le plan ^ = o passant chacune par deux des points doubles; 
2° Trois dans le plan 

ax -\- by -X- c z + dt =0, 



U l'iV l] iv DI'S IT lilJCA rioNS. i ri 

qui sonl les inlcrseclinns de ce plan par les faces du Ir-lraèdrc de référence 
autres que celle qui conlieiil les points doubles; 
3° Six droites situées sur la quadrique 

bcyz -^ cazx -~ abxy -v- {ax + by -h c z -\- clt ) dl + abct"- — o. 

Si la surface du troisième ordre contient une cubique passant par les points 
doubles ainsi que les tangentes à celte cubique en ces points, les tangentes en 
question appartiennent au dernier groupe de droites. En exprimant que trois 
de ces droites sont tangentes à une cubique gauche et excluant le cas où la 
surface aurait (jitiilre points doubles on réduit l'équation générale à 

xyz -^- .K{x -^ y -k- z) l- — o. 

Les surfaces i-eprésenlées par cette c(]uation ad-nctlent deux cubiques asymp- 
toiiques F et T' , qui sont sur une même quadrique. 

On peut caractériser une surface du troisième ordre, conjuguée d'un plan. 
par les deux propriétés suivantes : 

1" La surface a trois points doubles, par chacun desquels passent deux 
droites non situées dans le plan des points doubles; 

2" Les plans de ces couples de droites se coupent sur la sur/ace. 

Voici encore un énoncé plus simple : 

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface du troisième 
ordre à trois points doubles admette une cubique gauche comme asympto- 
tique est que cette surface possède une section plane, composée de trois 
droites concourantes, ne passant pas par les points doubles. 

Une surface de celte nature est déterminée quand on connaît les points 
doubles et trois droites qui, passant respectivement par ces trois points, ne se 
rencontrent pas. On peut alors définir simplement les douze droites de la sur- 
face et les deux cubiques asyinptoliqucs. 

II. Représentation sur le plan. — La correspondance qui existe entre les 
points de la surface cr. ceux du pian dont elle est la conjuguée donne immé 
diatement une représentation de la surface sur ce plan. M. Bioche détermine 
successivement les images des droites de la surface, des douze coniques qui 
passent par chacun de ses points, et des cubiques tracées sur la surface, en par- 
ticulier de ses deux cubiques asymptoliqucs; il indique un second mode de re- 
présentalion pour les cubiques. 

III. Systèmes de cubiques gauches. — L'emploi de ces deux modes de re- 
présentation permet d'énumérer les sjslèmes de cubiques tracées sur la surface 
( par deux points quelconques de la surface passent vingt-deux cubiques], d'étu- 
dier les propriétés de ces cubiques ainsi que de leurs projections; d'où ce théo- 
rème : 

La condition pour qu'un faisceau de coniques circonscrites à un triangle 
soit constitué par les projections d'une a/bique gauche est que le pôle d'un 
des côtés du triangle, par rapport à chaque conique du faisceau, soit sur 
une conique circonscrite au triangle. 

On reconnaît en outre que loiite surface ay.mt une cubique a>ym]ilotiqiic 
liull. des Sciences mathém., a- série, I. \\I\ . (Juin 1900.) lî.S 



I ri Sia'.OM)!-: PAiniK. 

(et |>:n' siiile en ayaiil (leu\j est la iransforiiice Iminoiirapliiquc d'une surface 
(lui ix'ul èlre eonsitlérce. de ileux façnns didérentes, comme surface de trans- 
lation. 

I\ . Surfaces particulières. — Dans cette dirnièi'C [lai'lie, l'auteur étudie les 
deux cas particuliers visés à la (în de rintroduclion : 

1° Si un [dan coupe une cul)ii(ue en un point et la loinlie en nu anirc. la 
surface c<injujiuée du plan par rapport à la culiique a deux points douldcs, 
dont l'un doit être considéré comme résultant de la coïncidence de deux points 
doubles. Elle ne présente que quatre droites et n'admet t\y\'une seule ciilii(]ue 
asymplolique. 

Il est à lemarqucr (jue celte surface particulière admet seulement quatre cu- 
biques souches passant par deux points, la surface générale en ayant vini;t- 
deux, et la surface plus particulière qui va èlre é:udiée eu admettant une double 
inlinité. 

■?.° La surface conjuguée d'un |ilan osculateur à une cubique n'est autie que 
la surface réglée à directrices confondues, connue sous le nom de surface de 
Cayley. Toute surface ('e Cavley est susceptible de la dcllniiion précédente. 

()n a immédiatement toutes les coni(]ues ainsi t\nc tou:es les cul)i(|ues de la 
surf.ice et l'on reconnaît qu'on peut faire passer une cui)i(]ue par ^^/f///-^ points 
de la surface. Cela tient à ce qu'un cône du second ordre passant parla direc- 
trice et une génératrice cou[te la surface suivant une culiiquc. 

De Mon Ichriiil . — tliide .sur les siii-faces icdles (Icfinie.s pnr 

ré,|ii;ilioi] i;':„f= o. (1 I i-i2g). 

Dans un Ti'avail ]iré(('-d(Mil {Bull. Soc. Math, de France. iSqS), l'auteur 
s'était occuiié îles surfaces délinies par l'équation 

au- Ou] 

où ç est le terme indc'pendant de .r. y. z dans l'équation du plan tangent en 
coordonnées symétriques u. //,. Il .ivait montré que l'on obtient la congruence 
normale à ces surfaces en menant une droite parallèle à l'inlersection de deux 
|)lans roulant sur deux dévcloppables isotropes et passant par le milieu tlu 
segment (|ui joint les points de contact de ces plans avec deux courbes tracées 
respectivement sur les développabics (segment isotrope). 

Le présent iMémoire a pour objet de considérer à part les surfaces réelles et 
de déduire du mode de génération précédent un mode particulier à celles-ci, 
où n'entrent que des éléments réels. 

Au préalable, l'auteur, afin de préparer la solution qu'il a en vue, présente 
sous deux aspects nouveaux sa méthode générale de consti-uclion, ([ui donne 
aussi bien des surfaces imaginaires que des surfaces réelles. 

I. Si l'on imprime n un système de trois plans I', P', V" aux intersections 
parallèles I, 1', I ', un mouvement tel que les deux premiers plans P, P' rou- 
lent respectivement sur deux dévcloppables isotropes, le troisième plan P" 
passant constamment par le segment de droite qui joint les points de con- 
tact des plans V, P' avec deux courbes respectivement tracées sur chaque 
développable isotrope, toute droite du plan P" parallèle aux trois intersec- 
tions, et dans un rapport de distances consta>it avec les deux droites I, I'. 



iti:vri': i)i-;s l'iii'.i.ic \ iions. m j 

conslilue l'élcmeiit le plus i^cneral de Ici roiii^riienre iiornude auùc surfaces 
définies par Véqanlion {\). 

H. Soit un faisceau de /ila/is mobile, dejtendant de deux variables, tel 
que deu.x de ses plans roulent sur deux developpables isotropes: soient 
encore deux courbes tracées respectivement sur ces developpables ; dans tout 
plan du faisceau, partageant dans un rapport constant le segment qui 
relie les points de contact des courbes aux plans tangents, il existe une 
droite parallèle à l'intersection du faisceau, et normale à une famille de 
surfaces définies par l'équation (i); cette droite est celle qui passe par 
le fiiiint d' intersection du plan et du segment. 

Pour iibonlor le cas des smTaccs nolles, il convifiU tic rappeler C]iie l'iiilc- 
gralo générale de ri''(|iiat ion (i) csl 

l = A«,-t- A,«/-f- 15— r.,, 

nii A, l> s<uil lies l'oiutioiis arbitraires de u, et A,, B, des l'ourlions arbitraires 
de «I ; |)i)iir la n'-alile des surfaces CDrrespondantes, il faut et il suffit (|ue les 
(iuanli:cs 

(/. A, H: ;/,. A,, 15, 

soient respecti veinent ciuiju ;;ui':cs, ce qu'on supposera dorénavanl. Il s'ii^ii de 
rattacher ces surfaces à un syslèmc de [ilans mobiles, analogue à celui qui a 
été considéré dans le cas général, mais dont tous les éléments soient réels. 

A cet ellel, l'auteur étudie le faisceau de plans dont l'intersection coiiuiiune 
est celle des deux plans isotropes représentés par les équations 

( I — u- )x -i- i(i — u- )y -i- 7UZ H- 2 ( A — » R ) = o, 
(i — U])x -f- / (i -i- U])y -+- ?.u^z -+- a (A, — "i R, ) = o; 

c'est le système des plans orthogonaux de ce faisceau (|ui joue, par rapport 
aux surfaces léelles, le rôle précédemment di'volu aux j/lans isotropes par 
lapport aux surfaces quelconques. On a, en eiïet, ce lliéoième : 

Quand deux plans d'un faisceau mobile roulent respectivement sur deux 
developpables isotropes conjuguées, si l'on égale à zéro les parties réelles 
et les parties imaginaires des premiers membres des équations de ces plans, 
on obtient un système orthogonal du faisceau; ses deux plans roulent sur 
deux surfaces dont les points de contact respectifs sont sur une ligne 
droite, bissectrice de l'angle formé par une direction fixe et piar l'inte/-- 
section du faisceau. 

Cette corde îles Ci)nlacts est appelée par l'aulcur segment orthogonal , à 
raison de son analogie avec la conlc précédemment désignée sous le nom de 
segment isotrope. Ces deux droites rencontrent cliaque développable sur la 
même génératrice cl forment, par suite, avec ces deux génératrices un quadri- 
latère. 

Après avoir établi l'existence d'une ilroilc parallèle à riiiterscction du fais- 
ceau considéré et coup.mt le segment isotrope en un point dont h; iappf)rt de 
dislances aux deux cxtrcnulés est constant, M. de Montclicuil rattache celle 
droite à un système d'éléments géométriques réels, ce qui fournil une |)romière 
solution du i)roblème, piiis<|u'une lelle droite est (proposition II) l'c^iriiient 
d'une ciiimruence noiniale aux surfaces définies par l'eijualion ( i i. 



1 1(; SI' ('.ON i)i<: l'AH rii-:. 

On pciil ralUK lier à la proposition I tin aulre nioric de constniclion des sur- 
faces elierchées. 

Enfin l'auteur enseigne à déterminer un système orthogonal dont les deux 
plans coupent le segment isotrope eu deux points dont les rapports de distance 
aux extrémités du segment aient une valeur constante. Si, par le point de 
renconire de ces plans avec le segment isotrope, on mène une parallèle à l'in- 
tersection du faisceau, cette droite partagera le segment isotrope dans un rap- 
port constant et sera, par suite, normale à une famille de surfaces réelles, ce 
(|ui fournil encore une nouvelle solution du problème. 

La considération de ces derniers couples de plans orthogonaux conduit à 
des formules intéressantes qui si'néralisent la théorie des surfaces associées et 
des surfaces adjointes à une surface niinima, due à Ossian Bonnet. 

Léineray . — Sur les équations fonctionnelles qui caractérisent 
les opérations associatives et les opérations distril)uti\es. (i3o- 

.3;). 

Généralisation des résultats oblenus par l'auteur dans un Travail inséré au 
Bulletin de la Société en 1898. 

Les fonctions générales puissanres-P, puissances-/j, etc., considérées dans ce 
Travail, sont appliquées ici aux solutions de quelques équations fonctionnelles. 
Ainsi l'é:|uation d'Abel 

( I ) o f{x, r ) = (f.T -\- or 

est vérifiée par les fonctions h^garithmes-/. Les puissances-/* satisfont à l'équa- 
tion fonctionnelle de certaines fonctions admettant un théorème d'addition 

(III) E{n -i-i>)=/ilu,lv). 

M. Lémeray dit que la fonction '^ est distributive par rapport à la fonction/ 
si l'on a 

(V) .;/(a-, r) -/('>^- 'j'^O- 

Ainsi la multiplication est distributive par rapport à l'addition, l'élévation 
aux puissances est distributive par rapport à la mulliplicaiion. Chercher l'opé- 
ration -^ distributive par rapport à une opération donnée /", c'est résoudre 
par rapport à -ji l'éciuation (V). Pour que ce soit possible, il faut que /soit un 
pro(luil-]\I (ou un quuiicnt-l) ); alors la fonction distributive cherchée est une 
puissance-y;. 

Les fonctions employées par l'auteur permettent d'exprimer les solutions de 
certaines équations fonctionnelles, mais n'in(li(|uent pas les calculs à faire pour 
ol>lenir Icuis valeurs. Aussi est-il nécessaire de donner des expressions limites 
permettant de les calculer : c'est ce que M. I^émera}' fait en réservant les con- 
ditions de validité des formules qu'il donne. 

Son Travail se termine par uni^ application consistant ilans la résolution îles 
éi|uations ( I ). (III) l't (\) daii^ le cas où la fniicl ion / est de l.i foi-nie 

C-{x -^ y) -^ •>C.r;- 
C' — xr 



|{i:\ L !•; DI'S l'il UI.ICA riONS. m; 

Duport (ff-)- — Sur les livpolhèst's foiidamcnlalcs de la (jc-o- 
inétrie. (i;^8-i4 i i. 

Ili'liiiiiollz ;i proposé de prendre pour luise de la (jéoinélrie à n diiiieiisioiis 
les hypothèses suiv;iiUes : 

I. Existence d'une fonction des coordonnées des deux points (distance) con- 
servant sa valeur dans tout mouvement. 

II. Possibilité de fixer n — i points du système, le système restant encore 
mobile ( rotation ). 

III. AJonodiomie, ou retour du système à sa position primilive par une ro- 
tation suflisamnient prolongée. 

En partant lie ces principes, Helmhuliz ;i prouvé que rélénienl de la dislance 
est la racine carrée d'une forme quadratique par rapport aux dinTércnlielles des 
coordonnéns. « Je ferai voir, dit M. Duport, que Ihypothèse II est suflisanle 
pour que la question proposée puisse trouver dans r\iialyse sa solution com- 
plète. » 

Dans cette première Note, il s'en lient au cas d'un espace à deux dinien- 
sions, et cherche la relation qui doit exister entre les distances x, y, z, t, tt, v 
de quatre points pris deux à deux. Il met cette relation, de quatre manières 
différentes, sous la forme d'une équation ayant pour second membre zéro et 
pour premier membre une somme de trois fonctions (inconnues) de trois va- 
riables chacune. L'étude de ce système fonctionnel est renvoyée à un Travail 
ultérieur. 

De Polignac. — Siif le théorème de Tait. (i4'^-i45)- 

Diiporcq {E .). — Stir une oéiiéralisatton de ta Iransformalion de 
Lie. (146-147). 

La transformation de Lie associe à tout point de l'espace une droite isotrope, 
de telle sorte qu'aux points d"une droite quelconque correspondent les généra- 
trices d'une demi-sphère. 

M. Duporc I considère, au lien du complexe des droites isotropes, celui des 
droites qui touchent une même quadrique S; il montre qu'on peut associer à 
tout point de l'espace une droite tangente à S, et cela de telle sorte qu'aux 
points d'une droite quelconque correspondent les génératrices d'une demi- 
quadrique circonscrite à la quadrique i\\e S. 

Dans celte transformation, toute tangente à S correspond à deux points de 
l'espace, tandis que, dans la transformation de Lie, il n'existe qu'un point au- 
quel corresponde une droite isotrope déterminée: tout élément de contact cor- 
respond à quatre éléments de contact différents. 

Si l'on suppose que S est une sphère, à toute droite A on fait correspondre 
deux sphères dont chacune correspond à A par une transformation de Lie. 

Piii/ilc'vé. — Suf le calcul des intégrales diiii .système dilléreiiticl 
par la inétliode de Cauchj-Lipscliilz. (i4o-i52 '). 

lU'Sunii' d'uni.' «'ludi- comparative >ui' la niélhode de Cauchy-Lipsiiiil/, -ur 



1 18 si'Co.M)!': PAin 1 !•;. 

celle des ^pproxiiiiiilioiis successives de M. Picurd et sur la inéthotie déduile 
du calcul des limites. 

La première de ces niélhodes est la plus sim|(le. Elle permet aussi d'obtenir 
tous les résultats auxquels conduisent les autres méthodes. Mais son avantage 
le plus remanjuable, c'est qu'elle définit la solution dans tout l'intervalle où 
elle est continue et définie sans ambiguïté par les conditions initiales, tandis 
que la méthode du calcul des limites exige que les équations proposées soient 
analytiques el ne donne des séries convergentes que dans l'intervalle (a^,, — R, ' 
^uH-R), le point x^ étant le centre du cercle à l'intérieur duquel la solution 
est holoniorphe et l{ le rayon de ce cercle. Quant à la mélhode de M. Picard, 
on ne connaît encore aucun moyeu de déterminer son intervalle exact de con- 
vergence : cet intervalle est, suivant les cas, égal à l'intervalle maximum, ou 
inférieur à Tintcrvalle atlaclié au calcul des limites, ainsi qu'il est montré par 
un exemple. 

Lecofim { L.). — Sur cei'laiiies équations aux dirtcrcDces inèlées. 
(i 53-i6o). 

L'auteur étudie d'abord l'équation 

f{x + h)~f(x-h) _ 

2 h -' ^-' ^ '' 

dans laquelle h et p désignent deux constantes réelles données. Par la subsli- 

\' - 
tutiony(.r) = e " . on obtient la relation 

e' — e~' = 2/»s, 

qui doit être \éri(iée par la nouvelle constanle s, et qui met en évidence di- 
verses solutions : courbes logarithmiques, chaînette, ilroiles, parabole. Après 
l'examen des racines imaginaires s = u -h iv qui conduisent aux courbes 

y = /{x) = e '' cos v -. -, 

i'auleuf cberrlie à lormer des solutions il'une grande généralité, la lonction 
inconnue /'(j; ) pouvant évidemment être choisie d'une façon arbitraire dans un 
intervalle y.h. Par l'emploi d'une formule empruntée au Traité d' Analyse de 
M. Picard (t. II, p. 17.V), il arrive à cette expression 

n *-* e'' + e- '' — 2p ,./„ _ /^ 

oîi la sommation est étendue à tontes les racines ), de l'équation 
e'- — e~'' — 2 /; )v — o ; 

la limite sii|Hhieure a de l'intégrale à eirectiier est égale à a ou it a -h h sui- 
vant que X est com|)ris entre a — h et a ou entre ^7 et « -H h. 

« \fius avons ;nii>i. dit M. Lecurnu, rexpiession de fix) sons l'nrme d'une 
série de lermes dmil rlia-'iiii, pri^ isoli'iiii'iil . vi'rilic l'équation pr()pos(''i-. Il 



UK V iJi': \)\':> l'i; ijlica rioNS. ini 

rcslcraiL a clicnliri- |h)ui' i|iiclli/s lniiii(j> ilc la luKcliciii /'(.r), el dans quelle^ 
conciliions, la foiniiile pciil (Hre iililisic in (Iclmis des lirnilcs |)<nir lcs(|iicllcs 
elle est établie. » 

Il indique eiisuile coniiueiil on |iumrail lurmcr des é(|iialioiis aux dilleienecs 
mêlées analogues à la piéeédeiile, mais cnuienaiit plusieurs l'oriclions inconnues 
cl pour lesquelles on pourrait obtenir une iiilinilé de solutions exi)oncntielles. 

Slormer (^Carl). — Solulioii complclc en iinniljrcs cnlieis de 

ré(|iiali()ii 

I I , - 

m arc laii" - -;- ti arc tani^- = k , ■ 

(itio- 1 70 ). 



L<' |)oinl de di'|iarl de rautciii' l'sl rideiilit 



/', I'' I'.. V 

le la 11 g — ^ arc tans —■ ^ . . . H- aie laiig — I 

''1 "i "11 / 



où K est le module du premier membre. En s'appuyanl sur la théorie des en- 
tiers complexes de Gauss, il ramène la question proposée à celle-ci : « Trouver 
toutes les solutions entières positives et > i des équations indéterminées 






La première est impossible en nombres entiers si n >• 1 (Lobesgue). 

Pour la seconde, .M. Stormer prouve le théorème suivant : 

Les valeurs entières et positives de n, pour les(iuelles l'équation 



admet des solutions entières plus grandes que 1, sont 
// =^ 1 , n =^ :>. /? = '1 . 

Pour n — I. il y a une miinité de solulioiis; pour // — ;; [)iireilleiiient ( équa- 
tion de Pell): pour n~ '|, Lagrangc a prouvé que l'unique solution était 
X = 23g, ^ = iû. 

D'après cela, en écartant les solutions c[ui ne conviennent pas au problème 
considéré, on trouve quatre solutions et (jiialie seuienieiil, sa\oir 

I" La Solution dEulcr 

I i ~ 

arc Uiiii; — r- arc lani; - = — ; 
'- .: " J !i 

.!" La suhilidn iiouxelle 

i 1 t: 

iarc tan g - — arc lang = j ; 
'■'■ "7 I 

> La solution de \ éga 

I 1 T. 

a arc lang ; -:- arc (ang - = y ; 

'1' La solution de Marliiii 

,1 17: 

I arc tau;.; r - arc lan:; -r;- = -r • 



i.io SKCoM^i-; l'A un 1-:. 

Fonlené (G.). — Sur im système de sepl elefs. (i- 1-180). 

Introduction. — Les expressions symboliques à liuit lernies, un réel et sept 
symboliques, qui seront définies plus loin et que j'appelle des octants ont, en 
général, une muUiplicalion non associative; si, malgré ce grave défaut, je me 
décrde à en donner l'idée, c'est que, dans ma pensée, sous une condition qui 
reste à trouver, les octants doivent être propres à représenter le mouvement 
liélicoïdal par lequel on peut amener une figure de l'espace d'une position à 
une autre. On verra tout au moins qu'ils conduisent à la formule de Brioschi 
pour la décomposition du produit de deux sommes de 8 carrés en somme de 
8 cariés, et le fait qu'une forinule analogue n'existe plus pour 2" carrés avec 
n > 3, montre que les octanls sont le dernier terme du groupe quantités com- 
plexes, guaternions, octants; les yr-nions de M. Caslan, comprenant les no- 
nions de Sylvester, sont l'exlension des quaternions dans une autre voie. 

Combebiac. — Calcul des l,ri(|ualernions. (180-194)- 

Le calcul des quaternions réalise une simplification sur la méthode carté- 
sienne, en supprimant les axes de coordonnées, sinon l'origine. 

Les méthodes de VAuscleknungslehre de Grassmann se passent de tout sys- 
tème de référence, mais ne constituent pas un système numérique complexe, 
ce qui rend leur application pénible et très limitée. 

L'auteur se propose d'établir un système numérique complexe capable de re- 
présenter les faits géométriques sans système de référence. 

Celui des biquaternions ne représente pas directement le point ni le plan. 
Pour réaliser un calcul présentant cet avantage, il suffit d'introduire (juatre 
nouvelles unités obtenues en multipliant les quatre unités quaternioniennes i, 
/, y, /. par une autre [Ji, commutative avec elles et formant avec w et l'unité 
vulgaire un système nuniéri([ue ayant les règles de multiplication suivantes : 

[X- = I , W- = (), (jjij. =: — tJLlO = W. 

Les triqunternions sont les quantités complexes composant ce système. 

Ledit (/-•)• — Représentai ion des fonctions par des séries de 
polvnoines. (i94"2'Jo). 

On sait qu'une fonction, liolomorphe dans une aire limitée par un contour 
cfmvexc, peut ètr-e développt'e dans cette aire suivant une série de polynômes. 

Cette [)ropriété a été généralisée récemment par M. -Mittag-T^effler. De son 
côté, AL Leau la généralise de la façon suivante : 

Figurons une courbe C issue de l'oiigine O et allant à un point quelconque A. 
Si l'on multiplie l'affixe de clia(|ue point de C par une constante K, on a une 
nouvelle couibe. Toutes les lignes ainsi forinées constituent une famille telle 
qu'il existe une courbe C, do cette famille, et une seule, ayant son extrémité 
en un point donné P du plan. Cela posé, soit une fonction l'^.;) liolomorplie 
dans une l'égion : un pouiia former ( et d'une infini<é de manières) une série de 
|Mi|yiio!î!es dont les '«rfliricnts sont les produits de ceux de V par des nombres 
qui ne dcpcndcnt (/ue de lu famille de cnurhes considérée ; et cela de nia- 
nii'TC (pie la série repn-sente V{z) en tout point P du plan, tel (/ue la 



RKVUK DKS l'L'Itl.H.A I I0N8. 1.11 

courbe C, soit à une dislance de tout point singulier ayant un minimum 
dijférent de zéro. 

Kti piuticulier, si l'on choisit pour C une droilc on ol)li('nt la région étoilée 
consifléréc par .Miltag-Lefller en 1S98. 

Pet/oii/c/i {.)/.), — Iiit«^<;ralion «;ia])lii(jiie de certains types 
d'équations diirérenlielle.s tlii |ircini<T oi'dre. (aoo-2o5). 

M. Klerils a décrit, en 1897, un appareil d'une extrême simplicité, qu'il a 
appelé tractoriograplie, parce qu'il peut servir à décrire d'un trait continu les 
tractoires d'une courbe plane donnée {tractoires d'une courbe, courbes dont 
on déduit la proposée en portant sur les tangentes une longueur constante à 
partir de leui- point de contact), et qui se prète, en outre, à beaucoup de 
solutions graphiques. 

.M. Pelrovilch nijnlre que cet appareil, légèrement modifié, pourrait tracer 

les courbes intégrales de certains types d'équations dillerentielles du premier 

ordre. Ainsi, soit 

F(X, V) = 

l'équation de la courbe que l'on fait décrire au stylet. La roulette de l'appareil 
modifié tracera une intégrale de l'équation différentielle qu'on déduit de l'équa- 
tion précédente en y remplaçant X et Y respectivement par 

V /-—(/•*— 6-) )-'-— 6r'- r'[b-i-il-->-(l'—b-)y''] 

X -H ; = — » V -, ,, > 

i — _)•- - i-i-y- 

où / et b sont des constantes. Le cas ô = o, qui est celui de l'appareil primitif, 
correspond aux tracioires de F = 0. 

Mais on peut aussi faire varier, avec x, y, y\ X, Y, la longueur b. Un cas 
particulièrement facile à réaliser est celui où 6 dépend de t'' suivant la formule 

( a = const.). 

On a alors, en déplaçant le stylet suivant la courbe F = o, une intégrale de 
l'équation dilférentielle 



^ / . cosa — r'sina ,sina — y cosa' 
F ( j~ — / ^ — > r -I- / • — 

\ i -^ y"- 



, sin a — Y cosa\ 
r -H / — ) = 0. 



En supposant réalisé un appareil où b varie d'après une loi donnée en fonc- 
tion de X, V, y' , X, Y, on peut reconnaître si une équation dilïérenlielle donnée 

f{x, y, y') =0 
est ou n'est pas intégrable au moyen de cet appai'cil. 

Liiidelôf [E .). — Sur la croissance des intégrales des équations 
ditférentielles algébriques du premier ordre. (2o5-2i5). 

C'est une importante proposition de M. Borel, sur ce sujet, qui donne lieu 
au présent Travail. L'auteur en donne utie nouvelle démonstration. <]ni lui 



Il SliCONDIi PAI{T!IÏ. 

periDCl de généraliser et de compléter, sur certains points, les résultats île 
i\[. Borel. 

Soit une équation di (Tércntielle 

{• {x, y, y' ) = o 

algébrique en x. y et )-', et soit -zix) une fonction pu^iiive croissante, telle 
qu'on ait quelque sr^md que soit l'entier |io-itif /;. 



lim 



■zix) 



-M. Lindeliif établit d'abord la proposition suivante : 

Si yix) désigne une intégrale réelle de l'équation V = o, qui reste con- 
tinue pour x> x„, on aura 

!j-(x) I <e-'"-o '""'•' 

à partir d'une certaine valeur de x. 

Pour x(^) = e"^, c'est le théorème de M. Borel. 

Quelques remarques suivent, qui permettent de préciser beaucoup ce premier 
résultat: d'où ce nouvel énoncé: 

Etant donnée une équation différentielle algébrique du premier ordre 
F {x, y, j)') = o, de degré ni par rapport à la variable indépendante x; si 
cette équation admet une intégrale y{ x), qui reste continue pour les valeurs 
de x dépassant une certaine limite, on aura, à partir d'une certaine va- 
leur de X, 

\yix)\< eC'-'"^', 

C désignant une constante positive suj/isamment grande. 

Dans une Mote additionnelle, il est fait état d'une observation suggérée à 
M. Borel par la Communication du présent Article, et qui permet à M. Lindelof 
d'ariver au résultat suivant : 

Les intégrales t {x ) de l'équation F = o, qui /estent continues lorsque x 
tend vers l'infini, ou bien appartiennent au type exponentiel de M. Borel, 
ou bien satisfont constamment, à partir d'une certaine valeur de x, à l'iné- 
galité 

— é^'<y{x) < e", 

quelque petit que soit le nombre positif t. 

Koch (II. von). — Stir les Ibr.clions impliciles définies par une 
inliiiilé (rc(jualions siniiillanées. ( 2 i 5-2^4 ^ ). 

lin s'appuyant sur les propriétés des déterminants d'ordre infini, l'auteur 
démontre l'existence, sous certaines conditions, d'une infinité de fonctions x^, 
X nulles pour ^ = o et holomorplies aux environs de ce point, qui satis- 
fassent à une infinité d'équations 

F,(/; x^x.^, ...) = <,. 



iiuviii-; i)i':s i>i:in.i(,.\ rioNS. [ïi 

li-s premiers membres de ces éiiiialions éluiil des fuiicliuiis aiialyliques, nulles 
et Inilomorphes pour 

^ = o, x^ — o, x.,= o, .... 

Comme exemple, .M. von Kocii prend réi|ualion dillérenlielle 

g +P^-+-<(Q„+Q,v+...-t-Q,„r")=o. 

où t esl un paramélre et où les fonctions P et Q, sont des fonctions périodiques 
de j;, de période 2-, holo.norplies dans une bande parallèle à l'axe réel et com- 
prenant cet axe. Il démontre qu"il existe une fonction périodique de x, de pé- 
riode 2-, qui satisfait à cette équation différentielle, et qui, pour les petites 
valeurs de t, peut être développée suivant les puissances positives de ce para- 
mètre. Ce résuilat se rattache aux récents travaux de M. Poincaré sur la Mé- 
canique céleste. 

Fonteiié. — Stir la dégénérescence des 63 systèmes de coniques 
t|iiadruplement tangentes à une qiiartique. (229-2.36). 

Énoncé d'un théorème induciif. où et a. désignent respectivement les 
nombres de points nodaux et de points cuspidaux de la quartique : 

Les systèmes de coniques qui passent par c' points nodaux donnés d'une 
quartique et qui, de plus, ont avec la' quartique c contacts véritables et passent 
par c" points cuspidaux donnés, sous la condition c'-i- c -)- c"= 4» sont en 
nombre 

^i-S-1/.- r — ( , _u s ) pour c' = o, c = 4) c" = o ; 

2j_o — r.-c — , p„m" C = o, C = 0, C = I ; 

chacun de ces systèmes compte pour i'-'S'-" systèmes. 

Des théorèmes généraux, donnés par M. Humbert en 1866 dans le Journal 
de Liouville, confirment partiellement (c"=o) cet énoncé auquel l'auteur 
avait été conduit par d'autres considérations avant de connaître les travaux 
de M. Humbert. L'exposé de ces considérations fait l'objet de l'Article de 
^L l'onlené. 

Le /iodx (./.). — Extension de la méthode de Laplace aux éqtia- 
tions linéaires aux déiivées partielles d ordre siqjcncur au 
second. (23--262). 

La méthode <le Laplace constitue, [lour les équations linéaires du second 
ortire, une méthode générale d'intégration, en ce sens qu'elle permet de déter- 
miner tiKites les intégrales cxpiicilos dépendant d'une fonction arlulraire. Si 
l'équatiiin 

à-z ôz . ilz 

-T -7 r-a-— ) ~--r-CZ = 

ax oy ()x <)y 

admet une intégrale particulière de Ja forme d'Eiiler 



124 SECONDE PARTIE. 

linéi:ire et homogène par rapport à une fonction arbitraire de ;c et à ses dé- 
rivées, on sait que ii„ satisfait à l'équation 

Il résulte de là que, si l'on effectue la première transformation de Laplace en 
posant 

dz 

la fonction z, a une expression de même forme que 3, mais ne contenant pas 
les dérivées X("). Ainsi, la transformation de Laplace a pour effet de faire dis- 
paraître le premier terme dans les intégrales de la forme d'Euler. C'est à ce 
point de vue que M. Le Roux se place pour l'étendre aux équations linéaires 
d'ordre supérieur, son application réitérée devant conduire à une équation 
admettant une intégrale à un seul terme, qui se calculera par une équation du 
premier ordre. 

Etant donnée une équation d'ordre n, pour laquelle x soit une variable 
caractéristique 

Y" n} » _^^ - 

pour qu'elle admette une intégrale de la forme d'Euler 

z = M„X("')+ i<,X''"-' +. . .-1- «,„X, 

il faut que les fonctions m, satisfassent à des relations de récurrence que l'au- 
teur a établies antérieurement et qui ne déterminent «„ qu'à un facteur prés, 
qui est une fonction arbitraire de x. 

Quand x est une caractéristique simple, c'est-à-dire quand le plus haut indice 
de dérivation par rapport à x, dans l'équation proposée, est n — i, on est con- 
duit à la transformation asymptotique 

ôz 

Si l'on pose 

— = -e« / A„_,,„./r_ ^, 

l'équation en v sera de même forme que l'équation de départ, mais le coeffi- 

d"-' V 
cient de ^^_^ étant nul, la transformation asymptotique s'obtiendra en posant 

simplement 

dv 



D'après cela, dans l'équation en v, isolons les termes qui ne contiennent au- 
cun indice de dérivation par rapport à y 






'k, '-:-^ +...H-x_p = A(t-',: 



Les coefficients >>, dépendent de la fomiion arbitraire de x par laquelle on 



i; l'IVUI-; DI'IS IThLIC A I IONS. 



K.S 



pcul niulliplicr l'une des «Ictcrmiiialioiis de w„ ( Tordre />», au plus égal à « — 2, 
en est indépeiidanl). Mais on peut, avec ces fonctions, former des expressions 
qui ne conliennent plus aucune indéterminée et, par suite, sont de véritables 
invariants : ce sont les déterminants 



,)\, 



h.= 



ôy ôy- 



ày 

ôy' 



au noiTibre de p + i, y compris /i^ = \. qui constiluenl une généralisation des 
invariants de M. Darboux. 

En exprimant que les deux équations 




•^ À„i-' = A(v, ), 



sont compiitibles. on reconnaît que v doit satisfaire : 

1° A une équation d'ordre 2« — i en général, ayant les mêmes caractéris- 
tiques que l'équation en z (l'ordre de multiplicité de la caractéristique x est 
augmenté de » — i); c'est la transformée principale; 

2° A un système auxiliaire composé en général de n — i équations linéaires, 
de forme remarquable : les premiers membres ne contiennent que des dérivées 
prises par rapport à a; et les coefficients dépendent de x seulement, de sorte 
que leur compatibilité rentre dans le cadre de la théorie des équations diffé- 
rentielles à une seule variable. 

Une propriété presque évidente des fonctions a est la suivante : pour que 
l'équation proposée ailmetle une intégrale à un seul terme z = u^\, il faut et 
il suflit que tous les a soient nuls. 

M. Le Roux s'occupe ensuite de définir la transformation de Laplace dans le 
cas où X est une variable caractéristique multiple. L'étude déjà faite de la trans- 
formation du premier ordre dans le cas des caractéristiques simples s'applique 
sans modification essentielle aux caractéristiques multiples. 

Revenant aux caractéristiques simples, l'auteur fait voir que la considérafion 
des systèmes transformés successifs, qui iraient en se compliquant i-apidement, 
n'est pas nécessaire pour définir la suite des transformations : il introduit à 
cette occasion de nouveaux invariants k. à l'aide desciuels on peut former les 
équations successives qui admettent pour solutions les diverses valeurs des 
coefficients u-. Il existe une grande analogie entre les formules auxquelles on 
arrive ainsi et celles que M. Darboux a données pour le second ordre. On y 
voit figurer de nouveaux invariants ^,, formés avec les invariants /.",, et qui 
s'annulent tous, à partir d'un certain rang, lorsqu'il existe une intégrale parti- 
culière de la forme d'Euler et aussi dans certains cas que l'auteur indique en 
terminant. 

liitonne (L.). — Sur les variélrs iiniciii"saies à plusieurs diinen- 
sious. ( 2()3-28>). 



I >6 S !-:(:( ) M) K l'A in 1 1-;. 

(lliiisloll'cl. d;ms un Ailicle des Matitcniatische Aniuilcn ( l. \I\ ), a abordé 
et résolu algébriquement les deux problèmes suivants : 

1° Élal)lir l'existence des invariants absolus ( rationnels) projeclifs, allérents 
à une forme d'ordre n k p variables; 

2° Chercher dans quels cas réi;alilé des invariants absolus correspondants 
assume l'équivalence de deux tonnes. 

M. Autonne, en généralisant un peu les vues de Cliri-ilorTel et en les interpré- 
tant géométriqueinent, a obtenu les résultais que nous allons résumer. 

Soient Z^. les coordonnées rectilignes d'un point Z dans un espace E,,,_^„ à 
m + Il dimensions; soient t- celles d'un point 1' dan-^ un espace E„, à m dimen- 
sions. Etant donnés ni -\- n polynômes P,,(a,; / ), de degré = AI par rapport 
aux variables t, dont les coefficients sont les a., on définit un point Z de l'es- 
pace à ni -!- n dimensions par les relations 

(o) Z,. = ?,.{«; O- 

Le Heu de ce point Z, quand le point T parcourt l'espace E„,, est une .variété 
indécomposable E à m dimensions, comptée une ou plusieurs fois, unicursale 
par définition. 

On suppose ensuite (|ue les t coefficients a soient des polviionies à coefli- 
cients numériques par rapport aux coordonnées \, d'un point \ de l'espace à 
,)i -^ n dimensions. Lrs équations (o) définissent alois une variété lix de même 
nature (|ue E. 

Plusieurs points X, X', X", ... peuvent fournir l,i même variété Ex, mais 
on a dans ce cas un certain nombre de relations, telles qui; 

HfX'j = R(X") =••■= H(X), 

oi^i les 1» sont des fonctions rationnelles des m -h n lettres; ce sont par défini- 
tion les invariants absolus de la variété Ex- 

Cela posé, la variété Ex aux /; -i- /• -i- p (/•, p2^o) invariants absolus H(X) 
est le lieu des points équivalents à un point donné X quelconque. 

Parmi les invariants absolus l{. on en peut choisir», tels que tous les autres 
soient exiirimables algébri(juement en fonctions de ces /i-là {invariants fonda- 
mentaux). On en peut aus-i choisir n ^ r, semi-fondamentaux, tels que 
chaque invariant absolu soit exprimable rationnellement avec les semi-fonda- 
mentaux, tandis qu'aucun semi-fondamental n'est rationnellement exprimable 
avec les semi-fondamentaux, précédents. 

Pour que deux points X et V soient équivalents, il faut et il suffit que les 
semi-fondamentaux soient égaux. 

Voici les définitions relatives à Véquivalence ([u'adoptc l'auteur : 

1° Un point Y est équivalent à un point X quand il existe au moins un 
point T fournissant Y au moyen du système 

V.= P,(X;0: 

■2" Si Y est équivalent à X. par là-mème X est équivalent à Y; 
3" Pour que deux points soient équivalents l'un à l'autre, il faut et il suffit 
(ju'ils soient équivalents à un troisièmt;. 

Lcmeiay. — A|i|)licatioii des fonctions dotihlcincnl |iciiO(li(|iies 
à la soliilion (11111 prnMrmc il ilcration. f'^S'^-ySo). 



K K\ II-; l)i:> l'UHI.I C AildNS. \i.-j 

Il s'agit «lu piiililciiic (le liabbage : 

Délerniiner dfs fondions 9(w) telles que l'on ait iilenli<|ui-meiil 

en posant 

M. I-eau a cléinonlré (Bull. Soc. Math., 1S9S) que les solutions uniformes 
■■i( C) sont nécessairement des fonctions rationnelles. 

M. Lénieray montre qu'il existe des fonctions algébriques irrationnelles. 
répondant à la question. A cet elfet, il considère la fonction ellipli(|ue sn6 de 
périodes 4—1 et 2Q.. ei un argument I égal à la /?'*"•= partie de la période 4^^,- 
Faisant varier 6. il pose 

snO = .3, sn' = a, sn ( 6 + I^ ) = »( .:), 
et démontre aisément que Von a 

par suite celle «•^'"'' itérative est égale à sn8, c'est-à-dire à r. 

Il est ainsi établi que la fonction ï;(.s)est une solution du problème de Bali- 
bage; elle est d'ailleurs irrationnelle, ayant pour expression 

_ a\ (I — :;-) (1 — /.-::-) -hz\^{i — a-) (i — A-g-) 
^^"■'^ i-k-a'z' 

où A- esi le module de la fonction elliptique snO. Aussi M. Lémeray pré- 



cise-t-il la déterminaliun du radical \ (i — z-) (1 — A'-z'-) dans lequel se fait la 
substilution. 

Il signale ensuite une généralisation immédiate du résultat précédent. Soit 
F(8) une fonction di>ublcmcnt périodique et l la n'^°" partie d'une de ses pé- 
riodes : si l'on pose 

i'{f)f = z. F(:) = rt. 

et si le théorème d addition de la fonction F est exprimé par l'équation 

ç[F(6), F(:)] = F(e^:), 

la fonction -^(z^a) esl une intégrale de l'équation fonctionnelle 

-•?„(-) = -• 

On obtient, en particulier, des intégrales rationnelles en prenant pour fonc- 
tion F la tangente trigonométrique ou la tangente liy|)erboliiiue de 6. dont les 
équations 

expriment respectivement les théorèmes d'addition. 
Feiber. — Sur un svinholc aiialoi^iie aux tlélcrniiiiaiil.s. (280- 



ia8 SliCONDH IWilTIK. 

Lecornu (/>•)• — Sur Téquilibre relatif cK un solide sollicilé |)ar la 
force centrifuge. (289-296). 

1° Élude générale des positions d'équilibre fl'un corps solide susceptible de 
toucner autour d'un axe qui est lié à un axe fixe dentraineuient et qui est animé 
d'une rotation uniforme autour de cet axe : les positions d'équilibre stable et 
d'équilibre instable sont en même nombre; il y en a une ou deux, suivant 
les cas. 

2° Lorsqu'un corps solide est mobile autour d'un point entraîné dans un mou- 
vement de rotation uniforme autour d'un axe fixe, il y a luiil positions d'équi- 
libre, réelles ou imuginaires. Leur i-echercbe revient à déterminer, parmi les 
complexes de Painvin associés à une famille de quadriques bomofocales, ceux 
pour lesquels il existe un nombre fini de cônes du complexe tangents à une 
sphère donnée et ajant leurs sommets sur cette sphère. 

Landau {E.). — Sur la série des inverses des nombres de Fibo- 
nacci. ( 298-300). 

Sommation de la série 



oii l'on a posé 



l<, = I, i<2 = I, if„^2 = i/„^, -r- M,,. 



L'auteur exprime cette somme par un produit de deux fonctions thêta, 
savoir 

v/-5 ï, / I 4 1 v/â — I \ ^ / I 4 , v'û — 1 

■î— ;Î2 o -Î-. log I ;53 o ^. log ' 

Painlevé (P-)- — Sur la représentation des fonctions elli[)tifjucs. 

(3oi-3o2). 

Toute fonction elliptique '^(u), d'ordre n, est représentable par le quotient 
de deux expressions de la forme 

rt( p ( « H- /i ) + «2 P' ( " + '0 + • ■ • + «,, ,P^""'' { « -î- /*)) 

h et les a- désignant des constantes convenables. 

La constante h peut recevoir n- valeurs dilférentes. Une fois h choisi, les 
coefficients «^ du numérateur et les coefficients A,- du dénominateur sont déter- 
minés au même facteur constant près. 11 existe donc n- représentations distinctes 
de la fonction o{u) sous la forme considérée. 

Ce théorème donne en particulier la représentation classique des coordonnées 
h imogèncs des courbes de genre i dans un espace que!con(|ue. 



dW 


d <)\\ 


d- 


ô\\ 


dx 


dt dx^ 


' dt' 


âx.. 


()VV 


d dW 


d- 


âW 


ày 


dt dy. 


-^dt' 


ày. 


àW 


d ô\\ 


d- 


dW 


dz 


dt àz, 


■^df- 


7jZ 



UEVUE DES PUBLICATIONS. iio 

SITZUNGSBERICHTE der Koxiglicii preussischex Akadkmii: dI'U W'isskn- 

SCIIAKTKN ZU BkUMN ( ' ). 

i"' semestre 1S98. 

Kœiiigsberger. — Sur une généralisation de léqualion de 
Laplace AV = o. (5-i8). 

Supposons que les composantes X, Y, Z d'une force appliquée en un point A 
de coordonnées x, y, z dépendent de x, y, z et des dérivées a:,, y^, z^ ; x^, 
y,, z^; . . .; j;,/' J';vi ^2v d'ordres i, 2, . . ., 2v, de x, y, z, prises par rapport au 
temps t; v est un entier positif quelconque. 

Lorsque X, Y, Z peuvent être mises sous la forme 

■"^ ^ '' dV dx." 
, , d' ô\\ 

-^^-'''dT^^/ 

_ ^ . . „ „ . . .. .^ . . y d- 6\\ 

^ ~ ~dT ^ dt 7)7, '^ dT- ~^f)r„ —■■■-^^—''' ^, -JT' 

où W désigne une fonction de x, y, z, x,, y,, z,, x^, y^, z^, . . ., x^, y.^, z.^, 
M. Ivœnigsberger propose de dire que la force envisagée admet la fonction de 
forces W. 

Si O est un centre fixe, attirant (ou repoussant) le point A, suivant la 
loi /( /•, /•[, /■,, .••, f'i.j), où r désigne la distance actuelle de A à O et /•,, 
/:■., ..., r,,^ les dérivées d'ordres 1, 2, ..., 2v de /•, prises par rapport à t, la 
condition nécessaire et suffisante pour que la force d'attraction (ou de répul- 
sion) émanant de O admette une fonction de forces W, au sens général donné 
à ce mot par M. Kœnigsberger, est que la fonction f{r, r,, r„, .. ., r.,.^) puisse 
être mise sous la forme 

Supposons que W soit un polynôme en /-,, r^, ..., r.^ dont les coefficients 
dépendent de /■ d'une façon arbitraire. Soient alors a.^ l'exposant le plus élevé 
auquel figure r.^ dans ce polj'nome; a,^_[ l'exposant le plus élevé auquel figure r,_,_, 
dans le coefficient de r^'; a,^_, l'exposant le plus élevé auquel figure r.^^ dans 
le coefficient de r^2~i ''^''j •••" nous conviendrons de dire que le terme 

9 ( /•) rf' r?-- . . . /'^^-j' /',"', 

où -^(r) désigne une fonction de /• seulement, est le terme le plus élevé de W. 
Soient aussi A\ le quotient, e,^ le reste de la division de a,^ par 2; A\_, le quo- 
tient, s.,_, le reste de la division de 3(.^_, — s.^ par 2 ; A\_, le quotient, s.^, le reste 
de la division de a.^_n— c,^_, par 1: ...; enfin /.-, le quotient, s, le reste de la 



(') Voir le Bulletin. \\l\ .. p. 5. 
Bidl. des Sciences malheni., T série, t. XXIV. (Juillet içioo.) H.ç) 



i3o SECONDE PARTIE. 

division de a, — t., par 2. Lorsque £[ est nul et que, dans le terme le plus élevé 

dfe W^ la fonction 9(/') est de la forme '^{r) = — i- c,, où c et Cj désignent 

des constantes, ou encore lorsque s, est égal à i et que, dans le ternie le plus 

élevé de W, la fonction o{r) est de la forme cp(r)= —^-^Cir-i-c.,, où c, 

c,, C2 désignent des constantes, M. Kœnigsberger propose de dire que la fonc- 
tion des forces W de la force centrale envisagée est le potentiel W de cette 
force centrale. 

Il est clair que l'on peut généraliser de diverses manières les notions de 
fonction des forces et de potentiel données en Mécanique rationnelle. Parmi 
toutes ces généralisations, celle de ÎM. Kœnigsberger puise sa raison d'être en 
ce qu'elle permet, entre autres, d'établir pour la force de W. Weber émanant 
d'un centre fixe et appliquée en un point matériel, des propositions analogues 
à celles qui concernent le potentiel de la force de Newton émanant d'un centre 
fixe et appliquée en un point matériel. 

Voici les énoncés des théorèmes démontrés par M. Kœnigsberger : 
Désignons par le symbole A.^ ,^, où |x et v peuvent être des entiers égaux ou 
inégaux, l'opération 

- ^' à' rr- 

:^-''"" dx^^dx.^ à}'.^dy.^ dz^dz.^ 

effectuée sur une fonction de x = ;3r^^, y = J'o ^ = ^0 ^^ ^^ ses dérivées de divers 
ordres x^, y^, z^, x^, y^_, z^_y . . ., prises par rapport à la variable indépendante t; 
le Au „ d'une fonction de x^^^ y,,, 2,, est alors le paramètre différentiel du second 
ordre de cette fonction. Le produit de plusieurs symboles égaux ou inégaux A 
voudra dire que l'on doit elTectuer successivement, en commençant par la droite, 
les opérations indiquées par ces symboles. 

j\L Kœnigsberger démontre que l'on a, quelle que soit la fonction des forces 
centrales envisagée W, la relation fondamentale 



(I) 



ko n -i^' a''' A-3 
"'" 1,0 1,1 2, 



aja,_,!...a,!a,!| ^ 




Cette relation (I) peut être envisagée comme une généralisation de la i-ela- 
tion bien connue 

"'» ^ ~ dx' "^ ày' "^ <)z' - dr' ^ r dr 

qui a lieu pour toute fonction des forces (au sens ordinaire du mot) 

\=Jf{r)dr 

correspondant à une force centrale appliquée en un point matériel A de coor- 
données X, y, z, et ayant une intensité égale à /{r), où r désigne la distance 
de A au centre fixe O. 

Lorsque /(/•) est inversement proportionnelle à /•-, V est le potentiel newto- 
nien; le second membre de la relation précédente est alors nul, en sorte que V 
vérifie l'équation de Laplace A„„V = 0. De même, lorsque W est un potentiel, 
au sens général donné à ce mot par IM. Kœnigsberger, il est aisé de voir que 



RKVUIÎ DES runiJCATIONS. iji 

le second membre de la relation fondamentale ( I ) se réduit à zéro. L'équation 

que vérifie tout potentiel W au sens généralisé par M. Kœnigsberger, pourvu 
que /• ne soit pas nul, est donc une généralisation de l'équation de Laplace 

AjoV = o. 
Lorsque l'attraction centrale a lieu suivant la loi de \Yilliani Wci)er 

où /-désigne la distance du point matériel envisagé A au centre d'attraction O, 

m et ;«, les masses de A et de O, c une constante et oii r,= —, r = —'-, 

' dt - dt- 
il existe une fonction des forces W, au sens général donné à ce mot par M. Kœ- 
nigsberger; c'est la fonction 

W == """' 
/• 

Le terme le plus élevé de cette fonction est le terme — '^ - /•;, en sorte nue 

C" /• • ' 

pour la loi de William Webcr, on a 

_ mm, I 
c- /• 

On voit donc que v = i, a,= 2 d'où A, = o, £, = o; la fonction o{r) est donc 
bien de la forme voulue pour que la fonction des forces W de William Weber 
soit un potentiel dans le sens général donné à ce mot par 1\L Kœnigsberger. Et 
l'équation de Laplace généralisée est, pour le potentiel W de William Weber, 
l'équation 

■^o,o-^i,iW = 0, 

équation que l'on peut écrire, en efTectuant successivement les deux opérations 
indiquées par les symboles A, 

t^'W ^ d' W d' W d' W 

dx-dx\ ' dx'-dy\ """ 'dxh)7l "^ dy^dx\ 

dy'dyl dy^'dzl "^ '^dz'ôx] '^ dz''-dy\ ^ dz^'àz- " *"• 

On étend immédiatement les résultats précédents au cas où, au lieu d'un 
centre (ixe O, on a soit un nombre fini de centres fixes, soit un corps continu 
dont les divers points attirent (ou repoussent), suivant la loi envisagée, un point 
matériel qui reste à distance finie, diiïérenlc de zéro, de ces divers points. 

Fuchs (/..). _ OEuvres de Lejeune-Diriclilel. (jS-jt,). 

M Fuchs annonce à l'Académie que le second et dernier volume des OEuvres 
de Lejeune-D.richlet a paru en septembre 1897. Le premier volume avait été 
publie sous la direction de Kronecker qui a aussi préparé l'impression des 
10 premiers feuillets du second velume. 



i32 SECONDE PARTIE. 

Kœnigsberger (L.). — Sur une généralisation de l'équation de 
Laplace AV = o (second article). (qS-ioi). 

Lorsque la force centrale envisagée ne dépend que de /•, /■, = —n r.,= — r^> 

^ dt ' dt- 

et qu'elle admet un potentiel W, au sens général donné à ce mot par M. Kœnigs- 
berger, ce potentiel est nécessairement de la forme 

W = 9j/-) -I- /•,--?,(/■) + '•;-■?,('■) +----t- '•}-•?>,('•), 

C c 

où o-, (/•) est de la forme -h c, ou de la forme — -f- c,/- + c.,, suivant que "k est 
' '■ r r- 

pair ou impair, c, c,, c,, désignant des constantes, tandis que »o('")) '■r'\{'')i ■■ — 

C5y , (;•) peuvent être des fonctions quelconques de r. Suivant que >k est pair ou 

impair, le potentiel W vérifie l'équation de Laplace généralisée 



A„_„AT,,W=o, 
ou l'équation de Laplace généralisée 

A„„A,_„Ar,, VV=o. 

Lorsqu'il y a plusieurs centres d'attraction, le potentiel est la somme des poten- 
tiels correspondant à chacun de ces centres d'attraction. Lorsque c'est une figure 

continue^qui attire le point matériel envisagé, le potentiel est égal à / Wdm, 

où W désigne le potentiel correspondant à l'attraction de l'élément de masse dm 
de la figure continue, réduit à l'unité de masse, et où l'intégrale est étendue 
à tous les éléments dm de la figure continue. 

Si cette figure continue est une sphère creuse ou pleine, homogène ou formée 
de couches concentriques et homogènes, et si l'on prend l'origine des coordon- 
nées O au centre de la sphère, l'axe OZ suivant la droite joignant O à la posi- 
tion actuelle du point attiré A et le plan OZV dans le plan de la vitesse actuelle 
du point A supposé soit à l'extérieur de la sphère, soit dans son creux, le poten- 
tiel de la sphère creuse sur le point A sera donné par l'expression 



(II) f ' f f'dodOd'^-Jrsm^y 



3,(v/^-H-p- — 2pi;cos6) , , - • û t\, 

-'-!—^ ■ j— (--S — - pcos6 — y psinQcos'^)' 



{z--\- p- — 2 p^ cos6)2 



, , , . , , dy , dz 

dans laquelle o, o, s désignent les coordonnées du point A ; o, y — —-, z = -j~ 

les composantes de sa vitesse actuelle suivant les axes coordonnés; a la densité 
de l'élément dm dont les coordonnées polaires sont p, 6, <]^, en prenant O comme 
pôle, OZ comme axe polaire à partir duquel on compte les angles 6, et le plan 
OZY comme plan polaire à partir duquel on compte les angles 4' ; enfin R,, et R, 
les rayons des deux surfaces sphériques limitant la sphère creuse. 

Plaçons-nous en particulier dans le cas où a loi d'attraction est celle de 
William Weber. Le potentiel de la sphère creuse sur un point A extérieur à 
cette sphère, ou situé dans son creux, est alors donné par une expression de la 



UEVUI-: Dit s PUIiLICATlONS. i33 

forme 



(Hi) .A4^'-â]' 



où A est uue constante, /• désigne la distance de l'clénient de niasse dm de la 
sphère au point A, /•, = -7-» et où l'intégrale est étendue à tous les éléments dm 

de la sphère creuse. Il est d'abord aisé de voir que cette intégrale est dans tout 
l'espace une fonction finie et continue des coordonnées du point A et de leurs 
dérivées par rapport à i, pourvu que /•, reste finie. 

Pour évaluer ce potentiel, supposons en premier lieu que le point A soit exté- 
rieur à la sphère creuse. Il suffira alors de remplacer dans l'expression géné- 
rale (II) du potentiel, obtenue plus haut, a par 1 et »„( /•), 9, (/•), ■o^{ r) par -? o, 

-r^v- et d'effectuer les calculs sous riivpothcse ^ >> H,. On obtient ainsi pour le 
k-r .11 

potentiel \\~, de la sphère creuse au point extérieur A, l'expression 

où v- = y'--hz'- est le carré de la vitesse actuelle du point A, et où M désigne 

la masse / ^~7rj-dp de la sphère creuse. On voit que ce potentiel ne dépend 

que de la distance z du point attiré au centre de la sphère, de la vitesse du 
point attiré et de l'angle que fait cette vitesse avec la droite joignant le point 

attiré au centre de la sphère. Le premier terme M — h ■f:^- représente d'ailleurs 

le potentiel de la masse M de la sphère ci'euse concentrée en son centre O, au 
point attiré extérieur A, pour la loi d'attraction envisagée. Ainsi le potentiel 
de la sphère creuse en un point extérieur A, est égal au potentiel de la masse 
de la sphère creuse concentrée en son centre, quand le cosinus de l'angle que 

fait la vitesse avec la droite joignant A au centre O de la sphère est égal à -^• 

Il est aisé de vérifier à nouveau, sur l'expression obtenue pour W^., que l'équa- 
tion de Laplace généralisée, qui se réduit ici à Aoo^i iW^=o, est satisfaite. 
Enfin, à cause de la continuité de l'expression (III), il est clair que l'expression 
obtenue pour W^ convient encore au cas où le point attiré A est situé sur la 
surface limitant extérieurement la sphère creuse. 

Supposons, en second lieu, que le point attiré A soit situé dans le creux de 
la sphère creuse. Si, dans ce cas, l'on remplace encore dans l'expression gèné- 

i-ale (II) du potentiel cherché, >. par 2, cp„(r) par -> ■■s^ir) par 0, «-.C'') P^i" 7^^-. 

et que l'on effectue les calculs sous l'hypothèse z < R„, on obtient aisément 
pour le potentiel W^ d'une sphère creuse, en un point A situé dans son creux, 
une expression de la forme 

W^. ~a + bv-; 

les valeurs de a et de 6 sont d'ailleurs données par les formules 
■ 1!,, ^ '' - n„ 



134 SECONDE PARTI IL 

Ainsi le potentiel \\\. ne dépend ni de la position occupée par le point attiré, 
dans le creux de la sphère creuse, ni de la direction de sa vitesse, mais seule- 
ment de l'intensité de sa vitesse. Ici encore il est aisé de vérifier à nou- 
veau, sur Tcxpression obtenue pour W^, que l'équation de Laplace généra- 
lisée A|, g\^ ,W^= o est satisfaite. A cause de la continuité de l'expression (III) 
l'expression précédente de W^ convient encore au cas où le point attiré A est 
situé sur la surface limitant intérieurement la sphèi'e creuse. 

Si enfin le point attiré A est placé dans la masse de la sphère creuse, on fera 
passer par A une sphère (S) concentrique aux deux surfaces limites de la 
splière creuse et l'on évaluera le potentiel W^ de la sphère creuse sur le point A 
en ajoutant le potentiel ^^'^,, sur A, de la sphère creuse partielle limitée exté- 
rieurement par (S) au potentiel W^., sur A, de la sphère creuse partielle limitée 
intérieurement par (S). On obtient ainsi pour \\', l'expression 



CTO do. 



Pour une sphère pleine et homogène de rayon R, de densité a, on a en par- 
ticulier pour le potentiel W de cette sphère en un point A quelconque de 
l'espace, suivant que le point A est extérieur ou intérieur à la sphère, l'une ou 
l'autre des deux expressions 

4 r. -'2-1 '.-. 



^\ ,. = 2tt:(t R- — 



3 ; i5A- 3 A- 5A-2 ' 

quand A est sur la surface de la sphère, ces deux expressions coïncident. 

Il est maintenant aisé d'établir l'équation qui, quand la loi d'attraction est 
celle de William Wcber, joue le rôle que joue l'équation de Poisson quand la 
loi d'attraction est celle de Ts'ewton. Il suffit, pour cela, de déduire de l'expres- 
sion que Ton vient d'obtenir pour V^\, dans le cas où le point attiré A est inté- 
rieur à une sphère pleine homogène, l'expression de la fonction A(|(|Ai,W qui, 
quand le point A est extérieur à cette sphère, est nulle d'après l'équation de 
Laplace généralisée. Or on déduit d'abord de l'expression que l'on vient d'obtenir 
pour W,, dans le cas d'une sphère pleine et homogène, la formule 

" '~ 3A-^ ^ A- ' 

comme on a manifestement i 






l'équation cherchée, analogue à celle de Poisson, et convenant à la loi d'attrac- 
tion de William Weber, est l'équation 

A.,„A„W,r._§^. 

Sc/uvarz ( //.). — Sur l'idée fondamenlalc qui sert de fondement à 



REVUE DES PUBLICATIONS. i35 

une nouvelle démonstralion d'un théorème de Wcierstrass, 
(iSq). [Communication verbale non insérée dans les Sitzungs- 
be/iclile.] 

Il s'agit d'une nouvelle démonstration du théorème de Wcicrstrass d'après 
lequel, lorsqu'une intégrale particulière x= <?(") d'une équation diflercntielle 
algébrique du premier ordre, dans laquelle la variable indépendante u ne figure 
pas explicitement, est une fonction plurivoque de u ne prenant qu'un nombre 
fini de valeurs pour une même valeur de m, les trois quantités a^i, x^, x^ définies 
par les trois relations 

a;i=9(f/|), x.= o{u.,')^ ar^, = ;?( «(-f- ;/,)' 

où u^ et iu_ désignent deux variables indépendantes, sont liées par une relation 
algébrique 

G [ r ( "i ) > '■? ( «2 )> '■? ( «1 -i- J<; ) ] = o, 

où les coefficients ne dépendent pas de z/,, u„. 

Kœnigsherger {L.). — Sur une généralisation du principe de la 
conservation des aires et stir son application à l'intégration des 
équations différentielles du mouvement de systèmes admettant 
un potentiel cinétique du premier ordre, (i 48-1 58). 

Soient x'^\ y\'>\ z['>^; ^r^"', JK2"\ 4"^ ...; x'^\ y^^\ 4"^ les coordonnées de n 

points et x[''-\ y'-{'-\ z\'^'^ ; x^/', y'j^\ z^/' ; ... ; x\?\ y[?-\ z[^^ ( pour a = i, 2, . . . , v ) 
les dérivées d'ordre a de ces coordonnées prises par rapport au temps t. Dési- 
gnons par Rj^,, Rj^,, ... (pour a = o, i, 2, ..., v) des fonctions continues 
de a;H, y['^\ ^i«', x^/', ..., i:<«\ et par R^^,^, R^'^, . . . ( pour a = o, i, 2, . . . , v ) 
les dérivées d'ordre K de ces fonctions prises par rapport à t; supposons que 
ces fonctions vérifient les relations 






'V) '1 



X 



dxp ' oyr 

pour p=i, 2 Supposons enfin que le potentiel cinétique II du sjstème 

de n points envisagé soit une fonction de t, des 3n coordonnées de ces n points 
et de leurs dérivées d'ordre i, 2, ..., v prises par rapport à t, qui puisse être 
mis Gous la forme 

II=/[f, R„„ R,,, ...; Rf',>, R^',\ ...; rJï\ Ri=,>, . . . ; ...; R^'j', R^', 

R,„ R,:, ..., RU\ RW. ...; Rii', Ri5\ ...; ••■; Rir", RÎH, 



R R • R''' R'i^ • R'2> R(2' • • R<v-a) Rf\-a) 



Rv-...<, Rv-,,., •••, Rl'-^t,>, Rv^.,., 
R..., R,,, .'..]. 



i36 SECONDE PARTIE. 

Si, pour i= I, 2, ..., «, P,, O,, ..., sont les composâmes des forces exté- 
rieures appliquées au point de coordonnées ^-"^ y-''\ ^,''*' ; si /,., /j,-, •-.,/„,,■; 

?u! ?2<> ••■? 9mi' ■■■ sont les fonctions dites de liaison, et )k,, )>,, ..., a„, les 
paramètres de liaison, les équations diiïérenti elles du mouvement du système 
de,/i points envisagés sont les équations différentielles suivantes, d'ordre 2v, 

àX; dt dx\ ^ ' dV dx^y^ 

dy, dt dy'i ^ ' df ()vT " 



Supposons que les composantes des forces extérieures et les fonctions dites 
de liaison vérifient les relations 



^ir.'P,-^.Q.) = o: ^(.r,/,,-^.?,, 



)=o; 



( = « 



^ (j^/2.~ -^i '■?•:■)= 0; •••; 7 , ( Xi/nu — ^i '^mi ) = Q- 



^ = l 



Sous ces conditions, M. Kœnigsberger démontre que l'équation différentielle 
d'ordre 2 v — i, 



2 i:i:<->'2<->'[^f^(^.5: 

A = ' 



p-1,2,... i = l a = l A = 



où désigne une constante arbitraire, et où, pour chaque indice a et chaque 
indice p, K^ désigne l'expression 

<m d ÙW rf= rm , , d'"- du 

l^a.= :7Tl :n TT77TT + :77^. TTTT^ " • • • + (-0'"" 



dW^, dt ,n\'^\^ dt- ,jR^2' ■ dt'-"- dï{'^-'^> 

est une intégrale première des équations différentielles du mouvement. 

Ce théorème de M. Kœnigsberger est une généralisation du théorème de la 
conservation des aires. Lorsqu'on l'énonce, comme on vient de le faire, dans 
toute sa généralité, il semble assez difficile d'en démêler la portée ; mais il suffit 
de l'appliquer à des cas particuliers simples pour se rendre compte de son im- 
portance. Supposons, par exemple, que l'on envisage le mouvement d'un seul 
point A et que le potentiel cinétique donné H soit de la forme 

H(/-, /•', 1-), 

dr 
où /• désigne la distance actuelle du point A à un centre fixe O, /•' la dérivée -r- > 

et V- le carré de la vitesse actuelle de A. Les conditions sous lesquelles le théo- 
rème de M. Kœnigsberger a lieu sont alors vérifiées, et ce théorème nous apprend 



UEVUli: DliS PUBLICATIONS. • 13; 

que l'intégralion des équations différentielles du mouvement du point A se 
ramène nécessairement à des quadratures seulement. 

Envisageons, par exemple, un point A de masse i attire par une sphère 
creuse formée de couches concentriques et homogènes, la loi d'attraction étant 
celle de \\'illiam \^ cher. Si le point A est extérieur à la sphère, son potentiel 
cinétique est égal à 

H = - - t-— W„ 



où \\\ désigne le potentiel (au sens général donné à ce mot par M. Kœnigsberger ) 

de la sphère creuse au point A : H ne dépend donc que de /•, -tt' et v- comme on 

s'en assure immédiatement en remplaçant \\\ par sa valeur établie dans une 
Communication précédente de M. Kœnigsberger à l'Académie {Sitzungsbe- 
richte, p. gS-ioi; 1898). Mais alors, d'après ce que l'on vient de voir, l'inté- 
gration des équations différentielles du mouvement du point A se ramène à 
des quadratures. Ces quadratures sont d'ailleurs mises en évidence; ce sont 
des intégrales byperelliptiques. 

Si le point A est situé dans le creux de la sphère creuse, on ramène de même, 
au moyen de l'expression du potentiel AV^ de la sphère creuse au point A, 
l'intégration des équations différentielles du mouvement du point A à des qua- 
dratures. Mais ici ces quadratures peuvent être immédiatement effectuées, et 
l'on voit que le point A, attiré par la sphère creuse suivant la loi de ^Viiliam 
AVeber, se meut toujours, dans le creux de la sphère, d'un mouvement rectiligne 
et uniforme. 



Boltzmann (L.). — Sur des phénomènes de rayonnement supposés 
irréversibles (troisième article) (182-18^). 

"SI. Boltzmann a démontré que, dans un espace vide ou dans un milieu 
quelconque parfaitement diélectrique, contenant des résonateurs sans résis- 
tance d'Ohm et étant limité par des parois supposées parfaitement réfléchis- 
santes, tout phénomène électromagnétique est réversible. 

Dans un Mémoire présenté à l'Académie {Sitzungsberichte, 1897, 2' semestre). 
]M. Planck a étudié des phénomènes qui rentrent manifestement, comme cas par- 
ticulier, dans l'ordre de recherches de M. Boltzmann. Il a intégré complètement, 
dans le cas particulier envisagé, les équations de Maxv\'ell en suivant une marche 
fort intéressante; mais il a aussi conclu des formules qu'il a obtenues que le 
phénomène envisagé est irréversible, et M. Boltzmann s'élève contre cette con- 
clusion qui est en contradiction absolue avec ses propres recherches. Dans son 
Mémoire, M. Boltzmann cherche à mettre en évidence la cause de l'erreur 
commise par M. Planck. 

Fuchs[L.). — Sur la théorie des équations aux dérivées partielles 
linéaires simultanées. (221-223). 

Dans plusieurs Communications faites à l'Académie à partir de iSSS, M. Fuchs 
a montré comment on peut exprimer la dérivée, prise par rapport à un para- 
mètre t. des solutions j>' = v{x) d'une équation différentielle linéaire quelconque 



i38 SECONDE PARTIE. 

donnée, sans second membre, 

d" y rf"-' y 

dont les coefficients /?,, ■.., p„ sont des fonctions de x et du paramètre t, en 

fonction linéaire et homogène de y et des dérivées de y prises par rapport à x. 

Il a en particulier étudié la façon dont jk dépend de t, dans le cas où les coef- 

cients />p , /?„ de l'équation différentielle linéaire et les coefficients de 

ày 
l'expression de '-^- sont des fonctions rationnelles de x et de t. 

M. Fuclis est parvenu actuellement à se débarrasser de ces hypothèses restric- 
tives sur la nature des coefficients; il nous appi'end comment on peut étudier, 
quels que soient les coefficients de l'équation différentielle donnée, la façon 
dont jK dépend du paramètre t, sans rien préjuger sur le caractère analytique 

dy 
des coefficients dans l'expression de la dérivée -^ en fonction de y et des déri- 
vées de y prises par rapport à x. Il retrouve ainsi les résultats déjà obtenus et 
croit pouvoir en annoncer de nouveaux. 

Gundcljînger {S.). — Sur la découverte de la double périodicité 
et sur la part que Jacobi a prise à cette découverte. (342-345)- 

M. Gundelfinger croit pouvoir affirmer, contrairement à l'opinion émise par 
M. Bjerknes, que Jacobi a eu certainement, indépendamment d'Abel, une no- 
tion très nette de l'inversion des intégrales elliptiques de première espèce, et 
qu'en outre, il s'est servi, indépendamment d'Abel, du principe de la double 
périodicité, au moins comme d'un principe directeur, lorsqu'il a établi son théo- 
rème de la transformation. Il concède seulement à M. Bjerknes que Jacobi a 
été sans doute loin de songer à développer la théorie des fonctions inverses des 
intégrales elliptiques de première espèce, à l'époque où Abel développait cette 
théorie dans ses Becherclies. Jacobi semble avoir été arrêté par le paradoxe 
qu'entraîne en apparence la notion dédouble périodicité, tant que l'on se borne 
à intégrer le long de Taxe des quantités réelles. Il est d'ailleurs presque certain 
qu'Abel n'a pu résoudre complètement ce paradoxe que sous l'influence de 
Cauch}', e( il semble à M. Gundelfinger plus que probable que Cauchy lui-même 
a été amené à ses belles recherches sur les intégrales curvilignes par l'étude 
de la troisième démonstration de Gauss sur l'existence des racines des équa- 
tions algébriques. 

Sclilesinger (^L.). — Sur la théorie de Gauss de la moyenne arith- 
mético-géométrique et sur les relations qu'il y a entre cette 
théorie et celle des fonctions modulaires. (346-36o). 

On peut établir les principes fondamentaux de la théorie des fonctions modu- 
laires en prenant comme point de départ les recherches de Gauss sur la théorie 
de la moyenne arithmético-géométrique publiées dans le Tome III des OEuvres 
complètes du célèbre Géomètre {OEuvres postiuimes) par les soins de M. Sche- 
ring. Cette méthode a l'avantage de permettre d'étudier les fonctions modu- 
laires indépendamment des fonctions doublement périodiques. 



RliiVUE DES PUBLICATIONS. i3o 

Après avoir rappelé les propriétés de la moyenne arillimético-géomélrique 
M (a, 6) de deux nombres positifs a, 6 où a > 6, et défini q par la formule 

_ M ajA 

q — e "mi«.<), 

où c désigne la racine carrée positive de a- — b-, M. Sclilesinger établit, en sui- 
vant autant que possible la marche même de Gauss, que les trois fonctions 
de q, définies par les relations 



peuvent être développées suivant les puissances de q et que l'on a 

n=-l-oo n=-t-oo n = -l-co 



.(-i)': 



P((7 ), Q (v ), 1^(7) coïncident donc avec les fonctions que l'on désigne dans 

le même ordre par 2?^ (olx), .%,(o|t), rs._{Q\i), où t = i ^ "' ^ I- 
Il en déduit que l'on peut représenter le quotient 

a _ 

qui figure dans l'intégrale complète de première espèce 



'n do 

/ V'/'i — A'sin^9 



par la formule 

PM?)" 

Si l'on se reporte au point de départ de la théorie des fonctions modulaires 
telle qu'elle a été établie par M. Hermite dans son Mémoire de iSSg {Sur les 
équations modulaires), on voit qu'il ne reste plus à I\I. Sclilesinger pour avoir 
rattaché cette théorie à celle de Gauss, sans faire usage de la théorie des fonc- 
tions doublement périodiques, qu'à montrer que pour chaque nombre fini, réel 
ou imaginaire k'^, différant des deux nombres o et i, le coefficient de t dans 
l'expression de t est positif; cette démonstration n'offre d'ailleurs pas de diffi- 
culté. 

Gerhardt [C.-J.). — Sur les quatre lettres de Leibniz qtie 
Samuel Kœnig a publiées en 1753, dans son appel au public. 

(419-427). 

Des quatre lettres de Leibnitz publiées par Kœnig, à Leyde, en 1753, la pre- 
mière est sans doute perdue. Cette première lettre, qui était datée de Hanovre, 
le 16 octobre 1707, était la plus importante des quatre; c'est elle qui contenait. 



i^o SECONDE PAIITIE. 

en effet, les preiaièi'cs allusions qui semblent avoir été faites au principe de la 
moindre action. On sait que Maupertuis croyait avoir découvert ce principe et 
attachait la plus grande importance à sa découverte; on sait aussi qu'il n'admit 
pas l'aulhenlicité de la lettre de Leibniz et que l'Académie des Sciences de 
Berlin affirma, après enquête, que cette lettre adressée, d'après Kœnig, par 
Leibniz à Hermann constitue un faux. Ce fut l'origine de polémiques célèbres 
au cours desquelles Voltaire se montra l'adversaire irréconciliable de Mau- 
pertuis. 

A la (in du dix-huitième siècle, von Murr, à la suite de nombreuses recherches, 
émit l'avis que Leibniz avait adressé la lettre en question, non à Hermann, 
mais à Varignon. M. Gerhardt, après avoir étudié la correspondance entre 
Leibniz et Varignon, conservée à la bibliothèque royale de Hanovre, est amené 
à conclure à l'authenticité de la lettre de Leibniz et à confirmer l'opinion de 
von Murr d'après laquelle cette lettre a été adressée à Varignon. 

Prix de Dooo marcs (6230 francs) à décerner en 1902. 

Soient /,(-), /;(-), ..., /„(-) un système fondamental d'intégrales d'une 
équation différentielle linéaire homogène à coefficients algébriques. 

On demande d'étudier la fonction ^ des variables—? — ? •••> —^i définie par 

l'équation 

«,/,( = ) + z/,/„(^)-t-...+ w„/„(c) = o. 

On demande, en particulier, de donner une représentation de la fonction z, 
dans le cas où elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs pour des valeurs 
données des variables. On recherchera aussi dans quelle mesure ces fonctions 
particulières z peuvent être utilisées dans l'intégration des équations dilTéren- 
ticlles linéaires du jv'""^" ordre. 

Les manuscrits peuvent être écrits en allemand, latin, français, anglais ou 
italien. Ils doivent être adressés avant la fin de l'année 1901, au bureau de l'Aca- 
démie, 8, rue de l'Université, à Berlin. 



Second semestre 1898. 

Planck (^Max). — Sur des phénomènes de rayonnement qui sont 
irréversibles. Quatrième article. (449-476). 

Il convient d'entendre par intensité de rayonnement d'une onde, pendant 
un intervalle de temps <, non pas la somme des intensités de rayonnement des 
divers mouvements périodiques simples dont se compose le mouvement de 
propagation de cette onde, somme qui est indépendante de t, mais la valeur 
moyenne, pendant l'intervalle de temps t, de l'énergie engendrée par le mou- 
vement de propagation de l'onde, quantité qui dépend de t et que l'on peut 
supposer être une fonction continue de t admettant des dérivées par rappoit 
à t. On suppose que t est au moins de l'ordre de grandeur de l'intervalle de 
temps nécessaire pour mesurer l'intensité de rayonnement de l'onde et l'on 
suppose aussi que l'onde rayonne pendant un temps dont le rapport à t soit 
suffisamment grand. 

Pour décomposer l'intensité de rayonnement d'une onde, pendant le temps <, 



HKVUE DES PUBLICATIONS. i4i 

en inlcnsilés de rayonnements partiels correspondant chacun, pendant le même 
temps f, à une couleur déterminée, donc à un nombre de vibrations déterminé, 
on fera agir toute l'onde rayonnante sur des résonateurs convenablement 
choisis et l'on déterminera, pour chaque résonateur l'énergie absoi'bée par ce 
résonateur. 

Si l'un définit ainsi l'intensité de rayonnement correspf)ndant, pendant un 
temps t, à une couleur déterminée, la mesure de cette intensité ne saurait 
fournir la détermination précise de l'amplitude et de la phase des oscillations 
donnant naissance à cette couleur; car le résonateur envisagé réagit non 
seulement sur la couleur correspondant à une période vibratoire égale à celle 
de ce résonateur, il réagit aussi sur des couleurs correspondant à des vibra- 
tions voisines, donc sur un grand nombre de vibrations qui, par des interfé- 
rences réciproques, sont cause d'oscillations dans l'intensité du raj'onnement. 

Il reste donc quelque chose d'arbitraire dans la façon dont ces diverses 
vibrations contribuent chacune à déterminer l'intensité de la couleur envi- 
sagée. C'est de cet arbitraire que M. Planck profite pour distinguer entre tous 
les rayonnements ceux qu'il appelle les rayonnements naturels. 

Dès que l'on se borne à envisager ces rayonnements naturels, les phénomènes 
de rayonnement sont tous irréversibles, sans exception aucune. L'intensité de 
rayonnement des ondes qui quittent le résonateur est soumise à de plus 
petites oscillations que les petites oscillations de l'intensité du rayonnement 
des ondes qui excitent le résonateur. M. Planck donne le nom d'entropie à 
une fonction déterminée qui varie toujours dans le même sens dans la suite 
des temps et dont l'existence suffit pour démontrer l'irréversibilité de tout 
phénomène de rayonnement naturel. 

M. Planck examine enfin sous quelles conditions on peut admettre que les 
phénomènes irréversibles ayant constamment lieu dans la nature vérifient les 
conditions sous lesquelles un rajonnement a été défini comme étant un rayon- 
nement naturel. 

Fuchs [L.). — ^ Sur la llléorie des fonctions abéliennes. (447-486). 

Les modules de périodicité y d'une intégrale liyperelliptique de première 
espèce, envisagés comme des fonctions d'un point de ramification x, vérifient 
une équation différentielle connue que nous désignerons, pour abréger, par ( E). 

Soient _>'pj^, ...,j).,,un système fondamental de solution de l'équation ( E); 

désignons par y\, jk!:, • • -, y'^f les dérivées de j',, y.., . . ., y., prises par rap- 
port à j: et formons les fonctions de ;r, 

XhYi — J'û''^ 

pour toutes les combinaisons d'indices k et / choisis parmi les nombres i, 
2, ..., ip. Toutes ces fonctions de x sont des solutions d'une équation diffé- 
rentielle d'ordre /)( 2/j — i) que l'on appelle l'équation associée d'ordre (2/> — 2) 
de l'équation (E), et que nous désignerons pour abréger par (A). 

Cette équation (A) est nécessairement réductible; elle admet une solution 
rationnelle que AL Richard Fuchs a donnée explicitement dans sa thèse inau- 
gurale ('). La réductibilité de l'équation (A) fournit d'ailleurs les relations 

(') Journal de Crclle, t. 119. 



i42 SECONDE PAIITIE. 

connues dues à Weierslrass qui lient les modules de périodicité des intégrales 
hyperclliptiqucs de première et de deuxième espèce. 

Ces propositions sont établies en faisant usage du groupe de substitutions de 
l'équation (E), groupe qui a été formé par M. Fuchs pour toute équation (E) 
correspondant aux modules de périodicité d'une intégrale liyperelliptique quel- 
coflque de première espèce ('), mais n'a pu encore être formé pour les équa- 
tions du même type correspondant aux modules de périodicité des intégrales 
abéliennes non réductibles aux intégrales hyperellipliques. La méthode précé- 
dente ne peut donc être étendue à des intégrales abéliennes quelconques. 

Mais M. Fuchs a montré (-) comment on peut déterminer les coefficients de 
l'équation différentielle du type (E) qui correspond à une intégrale abéliennc 
quelconque. En s'appuyant sur les équations qui fournissent cette détermina- 
tion des coefficients de l'équation du type (E), M. Fuchs démontre, dans le 
Mémoire actuel, que l'équation associée d'ordre (2/7 — 2) de l'équation envi- 
sagée du type (E), admet nécessairement une solution appartenant au même 
domaine de rationalité que les coefficients de l'équation du type (E); mais 
alors cette équation associée d'ordre (2/» — 2) est réductible, comme dans le 
cas des intégrales hyperelliptiques. 

M. Fuchs montre enfin comment les relations qui mettent cette réduction en 
évidence permettent d'établir les relations connues dues à Riemann qui ont 
lieu entre les modules de périodicité des intégrales abéliennes de première et 
de deuxième espèce. 

Kœnigsberger (L.). — Sur la réduclion que Ion peut faire subir 
au nombre de paramètres indépendants dont dépend Je mouve- 
ment d'un système, en élevant l'ordre du potentiel cinétique de 
ce système. (491-49G). 

Le potentiel cinétique II d'un système de points matériels est défini par la 
relation 

H = — T — U, 

où T est l'énergie cinétique du système et — U son énergie potentielle. Si la 
position du système dépend de \x paramètres q^, g^, ..., g , l'énergie ciné- 
tique T est, dans un grand nombre de problèmes, une fonction homogène qua- 
dratique de q\, q\, ..., q\ dont les coefficients dépendent de g y, g^, ..., g , 
tandis que U est une fonction de «7,, g^, ..., g,j.. 

M. Kœnigsberger appelle potentiel cinétique d'un système guelcongue une 
fonction II d'un certain nombre de paramètres indépendants </,, q^, ..., q 
caractérisant ce système, et de leurs dérivées d'ordres 1, 2, . . . , v^ où v est un 
entier quelconque, choisie de façon que le système varie conformément aux 
équations analogues à celles de Lagrange 

, , <)n d ,)\\ d"- d\\ , , d' d\\ „ , . 



(') Journal de C relie, t. 71. 

(-) Sitzungsberichte der Berlincr Akademie; 1897. 



RIÎVUE DHS PUBLICATIONS. i43 

où P^, Pj, ..., P.^ désignent des fonctions données de 7,, q.,. ..., r/.^. Si, dans 
la fonction H, figurent des dérivées d'ordre k sans qu'il en figure d'ordre supé- 
rieur, M. Kœnigsberger dit que le potentiel cinétique H est d'ordre k. Élever 
l'ordre du potentiel cinétique II d'un système en diminuant le nombre de ses 
paramètres indépendants, c'est donc remplacer ce potentiel cinétique H par un 
autre Hj contenant moins de paramètres, mais contenant par contre des dérivées 
d'ordres plus élevés des paramètres restants que n'en contenait H, sans que 
rien soit changé à la façon dont varie le système, soit qu'on l'envisage comme 
ajant lieu conformément aux équations (i),soit qu'on l'envisage comme ayant 
lieu conformément aux équations analogues aux équations (i) qui corres- 
pondent au potentiel cinétique H,. 

M. Kœnigsberger cherche à établir des conditions nécessaires et suffisantes 
pour que l'on puisse ainsi remplacer le potentiel cinétique d'un système par 
un nouveau potentiel cinétique Hj. 

Envisageons, en particulier, un système de points matériels en mouvement, 
sollicités par des forces données; la position de ce système dépend d'un nombre 
déterminé de paramètres indépendants. En appliquant le critérium de M. Kœnigs- 
berger, on pourra dire sous quelles conditions le même mouvement peut être 
décrit au moyen d'équations différentielles analogues à celles de Lagrange [du 
type des équations précédentes (i), pour v = 2], en supposant, d'une part, la 
position des points matériels envisagés comme dépendant d'un nombre moindre 
de paramétres indépendants et, d'autre part, le potentiel cinétique — T — U 
remplacé par un nouveau potentiel cinétique H; convenablement choisi, dépen- 
dant non seulement de ces paramètres, en nombre moindre, et de leurs dérivées 
premières, mais aussi de leurs dérivées secondes, prises par rapport à t. 

M. Kœnigsberger détermine la forme que prend nécessairement dans tous 
les cas ce nouveau potentiel H,. Dès lors, quand un phénomène a lieu confor- 
mément à des équations du Ij-pe (i), analogues à celles de Lagrange, on sait 
quand ce même phénomène peut aussi être conçu comme a)'ant lieu conformé- 
ment à d'autres équations du même tj'pe dans lesquelles le potentiel cinétique 
est d'un ordre plus petit que celui du potentiel cinétique donné, mais où, par 
contre, le nombre de paramètres indépendants est plus grand. C'est le problème 
inverse du problème d'abord résolu. 

Si l'on veut traduire par une image cette augmentation du nombre de para- 
mètres, on peut se figurer avec Helniholtz et Hertz qu'elle correspond à l'in- 
troduction de mouvements cachés, ou plus généralement de phénomènes cachés. 

Frobenius {G.). — Sur des relations entre les caractères d'tin 
groupe et ceux de ses mineurs, (p. 5oi-.5i5). 

La méthode générale donnée par M. Frobenius (') pour évaluer les car.\c- 
TÈRES d'un groupe donné, n'est pas toujours d'une application facile; dans cer- 
tains cas particuliers, on parvient bien plus rapidement à l'évaluation de ces 
caractères et, par suite, à leur représentation primitive par des substitutions 
linéaires, en s'appuyant sur certaines relations qui les lient aux caractères des 
mineurs du groupe donné. 

-M. Frobenius établit ces relations de deux façons différentes. Dans la prc- 

(') Voir le Compte rendu des Sitzungsbcrichte de iSfjG, Bulletin, t. XXIIF. 
p. i5i. 



i44 SRCONDE PARTIE. 

mièi'e, il part des facteurs premiers du déterminant du groupe donné et montre 
comment on peut alors obtenir les facteurs premiers du déterminant de l'un 
quelconque des mineurs contenus dans ce groupe. Dans la seconde, il suit la 
marche inverse et construit, en s'élevant en quelque sorte du composant au 
composé, les facteurs premiers du déterminant du groupe donné au moyen des 
facteurs premiers du déterminant du mineur envisagé. 

Les résultats obtenus sont particulièrement simples, lorsque le mineur envi- 
sagé du groupe donné est un sous-groupe invariant de ce groupe donné. 

Les formules obtenues sont intimement liées à la décomposition du groupe 
donné en complexes d'éléments, équivalents suivant le système dé modules 
formé par deux mineurs du groupe donné. L'étude du cas particulier où ces 
deux mineurs sont identiques permet de déterminer immédiatement un carac- 
tère de chaque groupe de permutation qui est doublement transitif. 

Liideling (G.). — Sur la variation diurne du magnétisme ter- 
restre, observée à des stations de la zone polaire. (524-53o). 

Schwarz (//•)• — Sur la résolution d'un problème particulier de 
la théorie des fonctions, en relation avec la théorie des séries 
hjpergéométriques. (089). 

Cette Communication de AL Schwarz à l'Académie ne sera publiée qu'ulté- 
rieurement. 

M. Koser présente à l'Académie le tome l^XXII des Publications 
tirées des Archives prussiennes. 

Ce tome contient la correspondance du roi Frédéric II et de Maupertuis, 
président de l'Académie. 

Vogel {II.-C). — Sur le spectre d'iVtaïr et sur la composante, 
suivait le rayon visuel, du mouvement de cette étoile dans 
l'espace. 

Les raies métalliques des spectres des étoiles de la première classe spec- 
trale I^ sont toutes très nettement limitées; seules les raies de l'hydrogène sont 
plus ou moins fondues. Cependant Ataïr, quoique faisant partie de cette pre- 
mière classe spectrale I^, fait exception à cette règle: son spectre contient, en 
effet, comme l'a observé Scheiner, de faibles bandes quelque peu fondues, diffé- 
rentes des larges lignes de l'hydrogène. M. V'ogel montre que ce fait, très 
anormal dans une étoile du type I^, peut être expliqué par la rotation de 
rétoile. Il est toutefois nécessaire d'admettre que cette rotation est assez rapide 
puisqu'un point de l'équateur d'Ataïr aurait une vitesse de 27""" par seconde, 
donc i3 fois plus grande que celle de l'équateur d'un point de notre Soleil; 
toutefois cette vitesse n'est que le double de celle d'un point de l'équateur de 
Jupiter dans le mouvement de rotation de cette planète; elle n'a donc rien 
d'invraisemblable. 

Les observations spectroscopiqucs faites à Potsdam dans les dernières années 
permettent de fixer à 36'-'", i ± o'"",7 la vitesse, eslimce suivant le rayon visuel, 



lUiVUK IJES l'UlUJCATIONS. i {5 

avec liiqiiLllc Alaïr s'éloigne de nous en une seconde. Ce résultai n'est pas con- 
forme à celui qui a été énoncé par M. Dcslandrcs ( Comptes rendus, iSgô, p. 'Jag) 
et d'après lequel Ataïr serait au moins une étoile triple. 

Kœnigsberper {L,.)- — Sur la forme du développement de fonc- 
tions algébriques et sur l'irréduclibilité de certaines équations 
algébriques. ('y35--40' 

En s'appujant sur des rccherclies récentes, contenues dans un Mémoire 
publié dans le tome 115 du Journal de Crelle, sur la généralisation d'un 
théorème d'Eisenstein et l'irréductibilité de certaines équations algébriques, 
M. Kœnigsbcrger établit la forme des coefficients de l'équation algébrique 

(0 y"+/,(^)j"-'+/2(-^)r'-'+---+/,.-.(-2:)r+A(^) = o, 

dont on sait : i" que si a; = a est un zéro de /„(^), l'équation admet, 
pour X ^= 7., un nombre donné v de solutions confondues y = o; 2° que les 
V fonctions de y qui représentent ces v solutions aux environs de a; = a, se 
groupent en cycles de ix,, [i,, ..., [x^. éléments, et que les degrés du premier 
terme du développement sont respectivement 

h, h, ..., h, 

où 

Pi^ P5> > Pi, 

[1,, [jLj, ..., [Xj., Pp p,, .... p^ étant des nombres entiers positifs donnés. Si cp 
et ij/, affectés d'indices quelconques, désignent des fonctions entières de x, si 

l'on pose S = p,-4- po + . . .-i- Pi et que l'on représente par ô-p, pour chaque 
indice et chaque accent, soit le plus grand entier contenu dans l'expression 

( 2 ) ( 1^. - Ti ) li + P.^i + P,+2 + • • • + Pao 

soit ce plus grand entier augmenté d'une unité, suivant que l'expression (2) 
est elle-même un nombre entier ou non, l'équation algébrique envisagée est 
nécessairement de la forme 

+ (.r— a )^\' '^.O'^''^ '-^{x — a)V'^ ?2;y:^+- -h. . .+ {x— 3. )*^'5*92jx y-'-'^'<^^ 
-+- 

-h {x — OLf\ o^^y^,+:'■2+■■■-|■■H-^+^ H-. . .-h (x — ol)^\lI-i v^.^ _^ yi'-i+i-;+-+H~^ 

où les fonctions entières -f^, 9,,^^^, cp^^:,' •••> 9k-i ai(_, ^^ 't'o de la variable x, ne 
s'annulent pas pour x = z. 

M. Kœnigsbcrger recherche ensuite des conditions qui soient suffisantes pour 
que l'on puisse énoncer la réciproque de ce théorème. 
Bu/!, des Sciences niatliém., r série, t. WIV. (Juillet igon.) R.io 



140 SIÎCOiNDI*: l'A 15 II H. 

Eu ii|)pli(|ii;iiit les résultais obtenus à des eus très particuliers, il parvient 
aux trois propositions que voici : 

I. Supposons que tous les coefficients de l'équation (i), sauf le prenuer, aient 
un facteur linéaire commun: si le premier memliie de l'équation (i) est tlivi- 
siWe par un polynôme du même type dont tous les coeflicicnls aient donc 
aussi, sauf le premier, le même facteur commun, et si ce facteur commun 
figure dans le dernier coefficient du polynôme diviseur à une puissance infé- 
rieure d'une unité à celle à laquelle il figure dans le deinier coefficient /,j( a:) 
du premier membre de l'équation (i), on peut affirmer que le quotient de ce 
premier membre de l'équation (r) parle polynôme diviseur envisagé est néces- 
sairement irréductible. 

On en conclut, entre autres, l'irréductibilité de l'équation de la division du 
cercle appartenant à une puissance d'un nombre premier et supposée débarrassée 
des racines non primitives de l'unité. 

II. Soient 

.r,, y. y,„; ti,, T|,, ..., T|„ 

les solutions des deux équations algébriques 

y-+{x — oiY^f,{x)y''^-'+{x-cL)-.f.,{x)y"'-'^... 

-i- (.r — 3')''"'-'/„,_i(-Z').l' H- (.r — olY f^^^i x) =0, 

r» + iJ^— 3')''¥,(-^).r""' + {x- P)'aç)2(a?)jK"-= + -.. 

-^ {x — |i)^'->9,._,(^)r -^- {-^ — 3')-?„('^) =0, 

où f^{x), /.,{x), . . ., /,„{x) ; f^{x), o^_{x), . . . , zi^^(x) désignent des fonctions 
entières de x, telles qiie/„, (a) et c?„(ot) soient dillérents de zéro, où /• désigne 
un entier premier relatif à m, p un entier premier relatif à /î, où enfin e, désigne 

pour cliaque indice i, le plus grand entier contenu dans — > augmenté d'une 

io 
unité, et e le plus grand entier contenu dans —, augmenté d'une unité. 

1 , i o n 

Supposons que la première des deux équations algébriques envisagées n'ait pas 
de point de ramification en ^ = p, et que la seconde n'ait pas de point de rami- 
fication en ^ = a, et envisageons alors une équation de degré mn de la forme 

Y'"" -h l\ ( X ] Y"'"-' H- F. ( J7 ) Y'"--^ -r . . . + F,„„ (x) =0, 

où F, (a:), F.,{x), ..., F„,„(.r) désignent des fonctions entières telles que les 
nui racines de cette équation soient des fonctions bi linéaires 

des solutions j-,, j',, ..., y,„, -n,, t,,, ..., f],, des deux équations proposées, à 
coefficients <\i„{x), <\/^{x), Cf)^_{x), '\i{x) fonctions entières de or. Si m et n sont 
premiers lelatifs, l'équation envisagée de degré mn sera nécessairement irré- 
ductible. 

On en conclut, entre autres, l'irréductibilité de l'équation de la division du 
cercle, correspondant à un nombre entier quelconque et supposée débarrassée 
des racines non primitives de l'unité. 



HKVUE l)i:S IMin.li; ATIONS. lf^- 

III. Envisageons l'équaliDii 

-r-(^ — a )'•.„-. F,„_,(x)j--,- {a:-^YV^Jx} = o, 

où F, (x), FJx), ..., F..,.(:r) désignent clos fonctions entières de a:, telles 
que F„„(a) soit clilléient de zéro, où /• est un nombre impair, premier relatif 

à n, où e.. représente, pour chaque indice /, le plus grand entier contenu dans — , 

■j /i 
augmenté d'une unité. Cette équation est loujours irréductible par adjonction 
de fonctions rationnelles quelconques; si ? désigne un nombre quelconque dif- 
férent de a, elle est encore irréductible par adjonction de \/x — f, ; sous certaines 
conditions qu'il faut chaque fois déterminer, elle peut être réductible par adjonc- 
tion de \'j; — a. 

On en conclut que l'équation de la division du cercle correspondant à un 
n ombre prem ier p qui, comme on sait, est réductible par adjonction de 

V(— I) 2 jo, reste au contraire irréductible par adjonction de V (— i)T~y, quel 
que soit le nombre premfer q différent de /> que Ion envisage. 

Si, dans le plan des imaginaires, on envisage toutes les droites passant par 
l'origine des coordonnées et faisant avec l'axe des quantités réelles un an«le 
dont la mesure soit commensurable à t., aucune de ces droites, sauf les hi sec- 
trices des axes des quantités réelles et purement imaginaires, ne contient l'affixe 
d'un nombre premier complexe de la forme v'>, où p désigne un nombre pre- 
mier réel quelconque de la forme \n — i. 

Hartmann {J.). — Sur I"écliellc du speclre solaire de Rirclilioir. 

(:42-75(3). 

On trouve dans cet article Thislorique des recherches que l'on a faites pour 
transformer en longueurs d'ondes les nombres fournis par la division du spectre 
adoptée par Kirchholf. On y démontre que le spectre de IvirchhofT est formé de 
cinq parties de dispersions différentes. Enfin, on y établit des formules permet- 
tant d'effectuer avec une grande approximation la transformation cherchée. 

Lummer (0.) et Pringsheini (E.). — Recherches sur Ja lépar- 
tilion de l'énergie dans le spectre d'un corps noir. (78,5). 

Ainrers. ~ Sur de nouvelles recherches destinées à déterminer 
la trajecloire de Procvon. (845). Cette Coniniunicatlon faite ù 
l'Académie ne sera pas puhliée. 

La trajectoire elliptique à grande excentricité donnée par M. Sée permet il 
est vrai, de déterminer approximativement la position du compagnon Procvon 
récemment découvert, mais elle ne permet pas de rendre compte des observa- 
tions méridiennes faites sur Procvon lui-même, depuis i:^S ans. ni des obser- 



i48 SliCONDH l'Ain IK. 

valions très précises de sa déclinaison faites pai- O. Slruve, de i8.')r à i8(jo. En 
utilisant toutes ces observations on trouverait plutôt une ellipse de petite excen- 
tricité; mais cette ellipse ne permettrait pas de représenter approximativement 
le mouvement réel du compagnon Proc^on. La question reste donc ouverte. 

J. M. 



VERSLAG VAX de gewone vergadkrixgkn df.k Wis- ic\ N\ti:lrkixdige 

AfDEEUNG DEft KONINKUJKE AkADE.MIE VAN WErENSCHAPPEN TE AmSTEBDAM. 

In-4"(M- 

Tome VI; mai 1897-avril 1898. 

Kortewesr (D.-J.). — Sur certaines vibrations d'ordre snpéiieur 
d'intensité anormale (vibrations de relation) dans les méca- 
nismes à pliisietirs degrés de liberté. (3-6). 

Compte rendu d'une étude qui va paraître dans les Verhanctelingen de 
l'Académie. 

LorenLz [f/.-A.). — Sur la résistance qu'éprouve un courant de 
liquide dans un tuyau cylindrique. (28-6 1). 

Aussi longtemps que la vitesse moyenne d"un courant slationnaire de liquide 
ne surpasse pas une limite dépendant du diamètre du tuyau et du caractère 
du liquide, les particularités du mouvement se déduisent des équations de 
mouvement connues. Les particules se meuvent dans la direction de l'axe et 
la différence de pression de deux sections, le glissement le long de la paroi 
étant impossible, est proportionnelle au coefficient de frottement intérieur et à 
la première puissance de la vitesse moyenne ; de plus, dans le cas de tujaux cir- 
culaires, elle se détermine d'après la loi de Poiseuille. Au contraire, si la vitesse 
moyenne surpasse cette limite {vitesse critique de M. Osborne lieynolds), les 
phénomènes sont bien différents. La différence de pression, nécessaire pour la 
continuation du courant, et donc en même temps la résistance exercée par le 
tuyau, devient proportionnelle à une puissance plus élevée de la vitesse 
moyenne U, d'après plusieurs observations proportionnelles à U-, suivant 
M. Reynolds à U'>'. Que la résistance puisse être proportionnelle à une puis- 
sance de la vitesse moyenne parait encore un peu singulier, quoique les belles 
épreuves de M. lîeynolds {Phi/. Trans., vol. CLXXIV, p. gSS; i883) aient 
révélé le vrai caractère de ce mouvement à grande vitesse. Ce mouvement se 
décompose en un mouvement dans la direction de l'axe (mouvement prin- 
cipal) et en des tourbillons. L'auteur, après avoir critiqué et complété les 
travaux de IMM. lîeynolds et Boussinesq {Phil. Trans., vol. CLXXXVI, p. 128, 



(') Voir Bultclin, T. XXH;, p. Sq. 



lUîVUli DliS l'UlJLlCATIONS. i4<) 

189.'), el Mémoires des Savants étrangers, t. \XIII, n" 1, iX--) sur le riioii- 
vernent principal, étudie les tourbillons accessoires. Ses résultais inipf)rtants 
démontrent que l'accroissement de la résistance des mouvements à grande 
vitesse est en rapport intime avec l'observation bien connue qu'en procédant 
de l'axe vers la paroi la vitesse diminue d'abord insensiblement et ensuite de 
plus en plus considérablement, que le travail nécessaire à surmonter le frotte- 
ment du moiivemciit principal, abstraction faite du travail exigé à suinioniei' 
le frottement des tourbillons, est plus grand que dans le cas où ces tourbillons 
ne se présentent pus. 

Kapteyn [J.-C). — Sur la dlstribulion des vitesses cosmiques. 
(5i-6o). 

Complément d'une communication antérieure (l'erslag, t. l\, p. 4-'8). 
Dans la communication précédente l'auteur avait fait voir comment la loi de 
la distribution des vitesses cosmiques peut être déduite de la manière sous 
laquelle les angles p (entre les mouvements propres totaux et le mouvement 
purement parallactique) sont distribués sur les 180°. Ici, il démontre que, de 
même le montant du mouvement propre peut mener au même but et qu'ainsi 
l'exactitude des résultats est augmeiUée considérablement. A l'aide d'une cci'- 
taine courbe plane /(p, tp ) — o, dont les rayons vecteurs p représentent les 
mouvements propres moyens (|ui correspondent aux valeurs 9, il trouve que la 
distribution des angles p sur les iSo", et de même celle des valeurs moyennes ix 
du mouvement propre correspondant aux valeurs différentes de p, est indé- 
pendante des distances et ne dépend donc que de la loi des vitesses. Ainsi, en 
acceptant l'iiypotlièse b de la communication précédente, il faut qu'on puisse 
trouver cette loi des vitesses. A l'aide des observations de Bradley sur 2355 étoiles 
divisées en 17 groupes l'auteur calcule l'asymétrie 

= log ( Air -t- «Ici:," ) - log ( n,r^» + nlT ) 

dans la distribution des p, où n'a indique le nombre des étoiles pour lesquelles p 
est compris entre a et b. Il irouve (jue 9 varie très sensiblement avec la position. 
Cette variation est sensibk-ment proportionnelle à sin/ ou plutôt à siny coso, 
où / représente l'angle entre les grands cercles qui joignent le centre de cha- 
cune des 17 régions au pôle et à l'antiapex, tandis que S indi(]ue la déclinaison. 
Donc l'auteur croit devoir accepter une cause générale de cette variation. Ces 
causes peuvent être : 1° un mouvement systématique dans la direction du p(Me 
austral de toutes les étoiles à mouvement propre considérable; 2° une correc- 
tion négative de la déclinaison de l'apex; 3" une correction négative de tous 
les mouvements propres en déclinaison et bien une correction constante p ou 
une correction pcosô proportionnelle à cosS, à mesui'e qu'on pose la variation 
proportionnelle à sin^^ ou à sin^cosS. De cqs trois causes l'auteur élimine la 
première et la seconde, tandis qu'il croit la troisième très plausible. 

\] ind (C.-fJ.). — Sur la disj^ersion de la rotation magnétique du 
plan de polarisation. ((^2-94 )• 

M. Poincaré croit pouvoir déduire de la thi'orie de M. H.-A. Lorenlz une 
formule pour lu dispersion susdite (jui serait eu contradiction évidente avec les 



i5() SlîCOKDE rAiniK. 

expériences (voir L'Eclairage électrique, t. XI, p. 4^8; 1897). '^'^' «'oiUraire, 
M. WincI, loin d'être convaincu par le raisonnement de M. Poincarc, tâche de 
faire voir comment la théorie de M. Lorentz, d'aprcs l'exposé que l'auteur lui- 
inèmc en a doni.é tout récemment, mène à une formule de dispersion tout 
à fait d'accord avec l'expérience. 

Lorenlz{II.-A .). — Remarques sur la commiinicalion de iNI. Wind. 

(94-98)- 

Dans ce travail M. Lorentz indique l'erreur qui s'est glissée dans les consi- 
dérations de M. Poincai-é et développe une formule de dispersion plus générale 
dont celle de M. Wind forme un cas particulier; de plus, il fait ressortir que 
cette foruiule est d'accord avec les résultats des expériences de M. Verdct. 

Lorenlz [II. -A.). — Sur la polarisation |)artip|le de la lu- 
mière éuiise par une flamme [)lacéedaiis un cluunp ina<^iicli(|ue. 

(193-208). 

Si l'on place une flainme de sodium ciitic les p()lcs d'un electro-aimant et 
qu'au moven d'un poluriscope de Savart on examine la lumière émise dans 
une direction perpendiculaire aux lignes de force, on constate une polarisation 
j)articlle, les vilirations électriques parallèles aux lignes de force ayant une 
moindre intensité que celles qui leur sont perpendiculaires. L'auteur fait voir 
que ce plit''n<iiii('iic, dont la décomcrte est due à MM. Egoroff et GeorgicwsUy 
( Comptes rendus, 5 avril, 3 mai, 5 juillet iSt)-;), peut être attribué à ral)sorp- 
tion ([ue les rayons provenant de la partie postérieure de la nauime é|)rouvent 
dans la partie antérieure. D'après une loi bien connue, une (elle absorption 
atlcint son maximum s'il y a égalité de périodes entre les |)arlirules luniincuses 
et les particules absorbantes; ce cas se présente dans l'absence d'une force 
magnétique extérieure, toutes les particules vibrantes ayant alors la même 
période T. Après l'excitation du champ magnétique les oscillations parallèles 
aux lignes de force conservent cette période; mais, comme ^L Zeeman l'a dé- 
montré, les vibrations perpendiculaires à ecs lignes présentent deux nouvelles 
périodes V — ^ et T + t. Il en résulte que l'absorption est déterminée en ce qui 
regarde les vibrations de la secontle espèce et que, dans la lumière émise, ces 
vibrations auront une plus grande ijitensité que celles de la première espèce. 
Le Mémoire de M. Lorentz contient toute une théorie mathématique de ces 
absorptions, basée sur la ci>nsidération du mouveiiicnt des ions dans le champ 
magnétique, et la description de rexpéri<'ncc suivante qui confirme l'explication 
proposée : Si la flamme L,, dont il a été question dans ce qui précède, est tra- 
versée par les rayons d'une secimde (lammc de sodium L^, placée elle-même 
hors du champ magnétique, les vibrations de ces rayons, en tant qu'elles sont 
perpendiculaires aux lignes de forée, doivent éprouver une moindre absorption, 
dès que le champ magnétique a détruit l'égalité de périodes que ces vibrations 
présentent dans les deux flammes. Il en doit résulter pour la lumière de L^, 
après son passage à travers L,, une polarisation analogue à celle qui existe 
dans la lumière de L,. C'est ce qu'on observe en elTet, en opérant sous des cir- 
consUinies favorables. 



W 1' V U \i I) K s I» U 151- 1 C A r I O N S. i 5 1 

Van der Waals (^J.-D.). — Sur la représenlalion grapliique des 
équilibres à l'aide de la fonclion ç. (209-218). 

Pour un mélange de deux nialièrcs les conditions des iiliéuonicnes d'éi|ui- 
libre à une lempéralure donnée s'expriment d'une manière naluieile à l'aide 
des propriétés de la fonclion (j;- Si la valeur de 4* est considérée coiiinie dépen- 
dant du volume et de la composition du mélange, t^ est une fonction caracté- 
ristique, de manière que toutes les quantités lliermodj'namiquos se déduisent 
des dérivées partielles de <!^ et de quelques combinaisons connues de ces déri- 
vées. Parce que la fonction vj/ est uniforme, la représentation géométrique 
n'exige qu'une nappe unique de surface. Aussi la fonction ^ = «l* + P^, exprimée 
en température, pression et composition, est une fonction caractéristique; 
seulement la surface qui en donne la représentation admet trois feuilles, de 
manière qu'à une phase liomogène quelconque il correspond en général trois 
valeurs de E. L'auteur étudie cette représentation dans le cas d'un mélange de 
trois matièr-es, la température et la pression étant données. Le théorème général 
« une matière se range sous une pression et une température données de ma- 
nière que la somme des valeurs de ç soit minimum » le conduit à des propriétés 
de la surface ^ et à des constructions qui s'y rapportent. 

Kapteyn [J.-C .) — Vitesse du syslème solaire à travers l'espace 
et parallaxe moyenne des étoiles de grandeurs difTérentes. 

(238-244). 

Lorentz [H. -A.). — L'éllier prend-il part au mouvement aunuel 
de la Terre? Remarques à propos d'un Mémoire récent de 
M. A. -A. Michelson. (266-274). 

Dans {'American Journal of Science, série 4, t. III. p. 475, 1S97, M. Michelson 
a décrit une expérience d'interférence par laquelle on aurait peut-être pu 
découvrir une différence de vitesse entre deux couches horizontales de l'éther. 
Le résultat négatif de cette tentative est en accord avec l'hypothèse que le mou- 
vement de l'éther, si toutefois il existe, est irrolational, c'est-à-dire q-ue les com- 
posantes de la vitesse sont égales aux dérivées partielles d'une certaine fonction 
des coordonnées. C'est une des hypothèses sur lesquelles M. Lorentz a fondé sa 
théorie de l'aberration, hypothèses qu'on peut résumer de la manière suivante : 

A. Les corps transparents contiennent de l'éther qui peut se mouvoir libre- 
ment à travers la matière pondérable. A la surface de séparation de deux 
milieux transparents il y a continuité des composantes de la vitesse de l'éther. 

B. Le mouvement de l'éther est irrotalional. 

C. L'entraînement des ondes lumineuses par les corps transparents est iso- 
trope et déterminé par le coefficient bien connu de Fresnel. 

Dans les Archives néerlandaises, t. XXI, p. io3, 1887, l'auteur a démontré 
que ces hypothèses suffisent à l'explication de l'aberration et de plusieurs phé- 
nomènes qui s'y rattachent; il y parvint aussi à une théorie qui peut être 
regardée comme une modification de celle qui avait été proposée par AL Stokes. 
Ce savant avait admis en elfet l'hypotiièse I>; mais de plus il supposait f|u'à la 



i52 SECONDli PARTIE. 

surface de la Terre la vitesse de l'éther est égale à celle de la planète. Or celte 
dernière hypothèse étant en contradiction avec B, il était nécessaire de l'aban- 
donner et de joindre à B les hypothèses A et C. Selon l'auteur on n'a à choisir 
qu'entre la théorie, ainsi modifiée, de RI. Stokes et celle de Fresnel (absence 
de tout mouvement de l'éther) qui, du reste, y est comprise comme un cas 
patliculier. Dans chacune de ces deux théories il faut encore introduire une 
nouvelle hypothèse, si l'on veut rendre compte du résultat négatif de l'expé- 
rience que M. Michelson a exécutée en i88t (American Journal of Science, 
série 3, t. XXII, p. 120) et qu'il a répétée en 1887 avec le concours de AI. Morley 
(American Journal of Science, série 3, t. XXXIV, p. 333). Cette hypothèse 
aussi énoncée par M. Fitz-Gerald, peut être exprimée dans la forme suivante : 
Soient /, et ^2 deux dimensions pcr|iendiculaires entre elles du corps solide 
(laiton ou pierre) qui, dans ces expériences, a servi de support à l'appareil 
interférentiel, et supposons que ces lignes aient la même longueur, si le corps 
est en repos par rapport à l'éther environnant. Alors, si le corps vient à se 
déplacer à travers ce milieu avec une vitesse p dans la direction de /,, le 

rapport des longueurs de /, et l^ deviendra i — ~^' ^ étant la vitesse de la 
lumière dans l'clher. > 

Van der JJ aals [J.-D.). — Règle approximative pour la forme 
de la courbe de plissement d'un mélange. (a-p-SoS). 

La forme de la courbe de plissement d'un mélange de deux substances n'a élé 
étudiée expérimentalement qu'en deux cas particuliers, par M. J.-P. Kuenen. 
Dans ces deux cas la forme de la courbe de plissement est très dilTérente. Dans 
le premier cas (de CO- et CIPCI) la courbe /(a;, y) = o possède un point oii 
la pression y est maximum, dans le second cas (de Az^O et C'H^) elle admet 
un point où la température x est minimum. Ces deux cas présentant des 
résultats divergents, il est probable que dans d'autres cas on trouvera encore 
bien d'autres formes. Donc, la recherche de toutes les formes possibles a sa 
raison d'être. Seulement, les déterminations expérimentales sont laborieuses 
et prennent beaucoup de temps. Donc il est désirable d'essayer si la théorie 
n'est pas à même de révéler toutes les formes possibles de la courbe. De plus, 
la théorie seule peut décider quelques détails plus délicats. Ainsi l'auteur a 
retracé cette théorie mathématique; en voici les résultats principaux : En indi- 
quant par I — X el X les proportions des deux substances mélangées et en 
posant pour abréger 

a,(i — a;)-+2a, 2(1 — x)x -+- a^x- = a^, 
b^{i — x) -+- b.^x — b^, 

on trouve l'équation de la courbe de plissement par l'élimination de x entre 

les équations 

T 8 a^ _ I a^ 

^ " ^ ^', ^~ ^ ^' 
L'équation cherchée est donc 

A/>=-t- 2V>p-z M- C-z- = Dp-:-, 



llliVUK DKS PUBLICATIONS. 



i53 



où A, 13, C, D reprcsentcnl (K's constanics qui flépondcnl (les cinq paramcliTs a,, 
a, ,, a.,, 6,, b... Donc la courbe de plissement elle-même est une cubique ration- 
nelle dont l'origine est le point double. Dans le premier des deux cas men- 
tionnés on a \. — — I, B = -) C = pour D = i; alors l'origine est un point 

2 IJ 

double à l)rauchcs réelles (nœud); dans le second cas on a A = .'(, B = — -y 
C= - pour D = I et l'origine est un point double à brandies imaginaires 
(point isolé). 

Kaptevn (Tf .). — Sur quelques inU'grales définies. (32y-335). 
Api'lications de la formule : 

_ iru J •' ^ '\_ \-^ z\ z i^ z L' + ^J 

oii f{z) représente une fonction, uniforme à l'intérieur d'une circonférence 
décrite avec un rayon égal à l'unité autour de l'origine de la variable com- 
plexe z ^ X -^ iy comme centre, n'admettant dans ce domaine d'autres points 
singuliers que des pôles, tandis que le cbemin d'intégration forme le contour 
du domaine indiqué après qu'on l'a diminué des points -g = rh i à l'aide de 
deux tiemi cii'conférences décrites avec un ra3'on minimum de ces points z =: rh i 



comme centres. En rcmplarauty ( s ) successivement par i. -^ 
l'auteur trouve 



',(- + ■)". 



n 

.C 

7 

X' 

r 



(logtyng8)-^(:/9 



So 



(log 


tangO) 


?)c-l 


f/0 


(log 


lang9) 


■k _ 
c 


os 2 6 


(log 


tangQ) 


:i--i 


COS2 


cos4 


AO log 


tan 


gOrfO 



= O, 



T,, 



cos2(2A— 1)0 log lang6rf6 = — 



cos^O cosAO loç; tangOrfG 



2(2A-0 



OÙ les S; sont les coefficients du développement connu 

x- 



sec JT — I 



S, 



4 ; 



i54 SHCONDK l'AIlTlK. 

tandis que la l'clalion 

'^^ == b ^' 

lie les coefficients T; aux nombres de Bernoulii. 

Van de Scinde Bakhuyzen [H. -G.). — Remarques sur la dislri- 
bulion des étoiles dans l'espace. [Zc^^-^o^). 

Un des mo)'ens rares de recherche sur la dislrihulion des étoiles dans l'espace 
consiste dans l'élude des données statistiques sur les nombres d'étoiles qui 
semblent faire partie d'un même groupe, ou par leur clarté commune, ou par 
leur spectre, ou par leur degré de mouvement propre. Ces données, mises en 
rapport avec des hypothèses quelconques sur la distribution des étoiles, mènent 
donc à une appréciation du degré de jn-obabilité de ces hypothèses. De cette ma- 
nière on a obtenu des résultats bien importants. Seulement les résultats déduits 
de l'étude de la statistique des mouvements propres ont souvent une valeur 
scientifique plus petite, parce qu'on ne se rend pas toujours compte de l'influence 
de l'hypothèse en question sur le nombre des étoiles à un mouvement propre 
donné. Cette influence a été évaluée d'une manière rigoureuse par lAF. J.-C. 
Kapteyn ( ' ), qui a cherché la relation entre le nombre des étoiles dont le mou- 
vement propre fait un angle donné avec la direction de l'apex et cet angle. Au 
contraire, l'auteur désire connaître la relation entre le nombre des étoiles et 
la grandeur du mouvement propre. A cet effet il suppose que toutes les étoiles 
possèdent des vitesses linéaires égaies de toutes les directions possibles et que 
le système solaire est animé d'une vitesse différente. Alors l'évaluation du 
nombre des étoiles dont le mouvement apparent, vu du soleil, admet une valeur 
angulaire déterminée, mène au problème de la complanation de la partie de la 
surface d'une sphère située à l'intérieur d'un cylindre droit excentrique. L'in- 
tégrale elliptique qui y entre doit être intégrée suivant le rayon du cylindre 
et la distance de l'axe du cylindre au centre de la sphère, de manière que le 
résultat ne se présente pas dans une forme abordable. Donc, eu égard à la dif- 
ficulté du calcul, l'auteur croit que la formule très simple obtenue par M. G. 
Jaeger (Sitzungsberichte de Vienne, t. CIII, p. i!\'o) n'est pas au-dessus de tout 
doute. L'auteur s'occupe ensuite du problème simplifié où l'on n'introduit pas 
la valeur entière du mouvement propre, mais sa projection sur le grand cercle 
qui passe par l'apex et par l'étoile, de manière à échapper à l'influence du mou- 
vement propre du sj'stème solaire; enfin il s'occupe encore d'autres hypothèses. 

Schoute [P. -II.). — • Sur les focales planes el les surfaces fo- 
cales. (404-407). 

L'auteur étend ses résultats sur les focales planes de courbes planes à un 
ou plusieurs axes de symétrie {Comptes rendus, 7 déc. 18.17) ^"^ surfaces 
focales de surfaces à un ou plusieurs plans de symétrie. A cet effet, il est néces- 
saire de s'imaginer un espace E' à <[ualre dimensions, où OX, OY, OZ, OT 
représentent quatre axes perpendiculaires deux à deux. Alors chaque surface S 



{ ' ) Vers la g, t. VI, p. 5 1-6;). 



UliVUlî L)I<;S PUBLICATIONS. i55 

située dans l'espace tridimensional 0(X, Y, Z) dont le plan 0(X, Y) est plan 
de symétrie, admet une surface focale S' située dans l'espace tridimensional 
0(X, Y, T) dont le plan 0{X, Y) est plan de symétrie tout de même. La rela- 
tion réciprocpie entre ces deux surfaces est donnée par le système i-enversible 
de formules de Iransl'orniation 



dz dz , . / ( ôzy /()zy 



Ainsi l'ellipsoïde — -t- ^ 1- — = i admet iiour surfaces focales les deux 

' a- b- c- 

x"- y^ t- .27- z- O . 

hvperholoïdes —, :; + -; — r r, = i et — ; — — — ; — — = i et la 

•' a- — c- b- — c- c- a- — b- 0- — c- b- 

surface cubique Zaz- = ■îi.x^ -^ y^) admet pour surface focale la surface du 

huitième ortire 

9 j 'j [ 3 ( j:'- +. j'^ + t-) ^ Za{x + y) -{- a^-f 

— a[{a-i-!^xY-T-{a^ 4 J')'] j' = i6rt= (a + 4 .r )'' ( a + liyf. 

Dans le cas particulier où S est de révolution autour de l'axe OZ. S' est de 
révolution autour de l'axe OT, et alors les formules de transformation entre les 
courbes méridiennes de ces deux surfaces prennent la forme très «impie indiquée 
dans la Note citée. 

De Vries {J.). — Sur fjuelqnes groupes de cercles. (418-421). 

Dans l'Intermédiaire des Mathématiciens on trouve (t. IV, p. 122) la ques- 
tion suivante : n droites d'un plan pcuvenl-elles être choisies de façon que 
les 5 /i(/i — i) (« — 2 ) cercles circonscrits aux triangles qu'elles forment, prises 
trois à trois, passent par un même point? Au sujet de cette question qui est 
résolue par n tangentes quelconques d'une même parabole, le point de concours 
des cercles étant le foj'er de la courbe, l'auteur rappelle la figure du quadri- 
latère complet avec ses quatre cercles; par une inversion dont le centre ne se 
trouve pas dans le plan de la figure, il la transforme en une configuration de 
huit points et de huit cercles sur la sphère; de quatre manières dill'érenlcs ces 
huit points forment les sommets de deux tétraèdres de Moebius à la fois inscriis 
et circonscrits l'un à l'autre; les sommets d'un cube en forment l'exemple le 
plus simple. Ensuite il passe au quintilatère complet et démontre, encore à 
l'aide d'une inversion de la figure plane en une figure sphérique, le théorème 
de Miquel, d'après lequel les cinq foyers des paraboles qui touchent quatre des 
cinq côtés du quintilatère donné se trouvent sur une même circonférence. 

/\l(/j-ve/- (^J.-C). — Sur le développenietil du biiioine. (4'2i-4^2). 

Si un des deux événements contraires P, Q est le résultat nécessaire d'une 
expéiience délerniinée et si p, g représentent les probabilités de ces événe- 
ments, où p ^ q =zi et p > (7, chaque terme n^p'^q^ du binôme (/>-+- <?)" fait 
coniiaitre la probabilité d'un ccrlaiii résultat de a fois P et p fois Q dans le 
cas de « = (a-i- jî) expériences prises l'une après l'autre, et le résultat le plus 
probable correspond au plus grand leinie. Ici l'auteur se demande si la somme 
des déviations dans l'une des deux directions étiuivaut à la somme des dévia- 
tions dans l'auli'e, c'est-à tlire si les deux sommes, d'abord du gi-uupe des 



i56 SliCONDlî l'Ain llî. 

termes qui précèdent le terme maximum, ensuite du groupe des termes qui le 
suivent, sont égales. En iSgS, M. T.-C. Simmons a cherché à démontrer (voir 
London Math. Soc. Proceedlngs, t. XXYl, p. 290) que, pour y? > «7, la première 
somme surpasse la seconde. Mais, d'après les recherches plus directes de l'au- 
teur, la cliose est hien ])!us délicate. Si A, M, B représcnlenl respectivement la 
somme des termes qui précèdent le terme maximum, le terme maximum et la 
somme des termes qui suivent le terme maxiiiium, M. Simmons trouve 

D'après M. Kluyvcr, cette formule approchée exige une correction; elle est plus 
exacte sous la forme 



A-B = ["^(/>-^)+qOJm, 



où 9, comprise entre — i et +1, est donnée par les relations 
a,„=///> — 0, p^^^= nq -h 0, 

^m cl ?„, se rapportant au terme maximum .^I. Ainsi, comme le démontre le 
talilcau suivant, 

I I 



3 + 3J 3 3 0.763 0,7:8 

5 I \ ■" 2 I ^ 

g + -.j ^ -^^ -O.IOI -0,.I. 

5 2\9 3 4 



lû 1.3 



— o,f)Si — I 
3 



—0,278 
10 



0,282 



déjà pour des valeurs assez petites de «, la formule corrigée donne des résultats 
très satisfaisants, tandis que la formule originale de M. Simmons est en erreur 
quant au signe de A — B en trois des quatre cas cités. 

Les résultats de cette recherche s'appliquent directement au problème sui- 
vant : Dans un certain jeu, on a la probabilité p de gagner q et la probabi- 
lité q de perdre p, où p <i q; on demande laquelle des deux probabilités G et P 
de gagner ou de perdre après n expériences réitérées est la plus grande. 

L'auteur trouve que les deux probabilités G et P, quoique tant soit peu 
égales, oscillent l'une autour de l'autre avec n, de manière que l'on a G > P 
pour certaines valeurs de 71 et G < P pour d'autres. Cependant, si n reste 
indéterminé, la probabilité du cas G > P surpasse celle du cas contraire G < P. 

De Vries {G.). — ^^ Le tourbillon cvclonal. (432-448)- 

Dans cette étude, rédigée en français, l'auteur s'occupe d'un tourbillon de 
révolution, en même temps animé d'une rotation autour de son axe. Son ana- 
lyse est en rapport avec les équations de mouvement données par Î\I. A.-B. 
Basset {TreaLise on Hydrodynamics, t. II, p. 81); ses résultats sont d"accord 
avec les éludes de M.M. llclm Clayton et Douglas Archibald. 



iii':vL'i': i)(':s i'L'bi.ica iions. iSj 

Schoiitc [P. -IL). — Franciscus Jolianncs Van dcn Bcrg. (4'^6). 

La biographie de F.-J. \an den Beig, de iSG/j à uS84 professeur de Mulhé- 
maliques cl de Mécanique appliquée à l'École polytcciinique de Délit; a paru 
dans le Jaarboek de l'Académie de 1S97; elle est suivie d'une liste des travaux 
de ce savant contenant une analyse très sommaire de chaque Mémoire. 

Kasterin (/V.). — Sur la dispersion des ondes acoustiques en un 
milieu hélérogt-ne. (46o-48o, 532). 

Dans cette coinmunicalion, rédigée en allemand, le Professeur de Moscou, 
pour se former une idée nette du mécanisme de l'absorption et de la dispersion 
de la lumière dans les milieux optiques, étudie les phénomènes analogues de 
la propagation des ondes acoustiques dans un milieu artiûciel non homogène. 
D'après ses expériences et théories, un certain degré d'approximation fait 
trouver une analogie parfaite entre la propagation des ondes acoustiques dans 
un milieu non homogène et celle de la lumière dans les milieux absorbants. Ici 
il étudie en détail le passage du son à travers un milieu homogène chargé d'un 
système régulier de petites sphères égales, rigides et fixes, formant dans le 
milieu illimité de l'air une couche d'une certaine épaisseur; les centres de ces 
sphères sont les sommets de parallélépipèdes droits égaux, aux arêtes a, b, c, 
la direction a étant perpendiculaire aux plans limitants de la couche. Le pro- 
blème général de la propagation du son à travers cette couche exige qu'on 
suppose que le rayon /• des sphères et les distances a, b, c aient par rapport à 
la longueur d'onde X tout ordre de grandeur; il se simplifie si /■ et b, c sont 
petits en comparaison de X. Ici l'auteur ne considère que les cas les plus 
simples. Enfin il vérifie ses résultats théoriques à l'aide d'expériences prises 
avec des tuyaux d'orgue remplis de petites sphères. 

Lorentz [II. -A.). — Phénomènes optiques qui dépendent de la 
charge électrique et de la masse des ions. (5o6-5i9, 555-565). 

En mesurant le déplacement des raies spectrales causé par des forces magné- 

tiques (effet Zeeman), on peut trouver la valeur du rapport — j e étant la 

charge et m la masse des ions qui sont en jeu dans les phénomènes lumineux. 
11 y a d'autres phénomènes, la dispersion par exemple, qui dépendent de la 

valeur de — • Pour le faire voir l'auteur considère un corps dont les molécules 
m 

contiennent des ions capables de vibrer autour d'une position d'équilibre. En 

supposant qu'il y ait plusieurs espèces de ces particules et en désignant, pour 

une quelconque de ces espèces, par N le nombre par unité de volume, par e et m 

la charge et la masse et par n^ le nombre des vibrations propres pendant un 

temps 2r., l'auteur trouve pour l'indice de réfraction [i la formule théorique 

suivante : 



!x- -I- 2 û ^^ 



m n-. — n- 



où L se rapporte aux dilTcrcntes espèces d'inns, tandis que V et /( reprcsculcnL 



Ô8 SECONDE PAKTIE. 

la vilesse de la lumière dans l'éLher et le nombre des vibralions de la lumière 
incidente pendant le temps 2-. La charge e doit être exprimée en unités élec- 
tromagnétiques. S'il n'y a qu'une seule espèce d'ions, la formule prend la 
forme 

[j.- -(- 2 3 '" p 

A étant la densité du milieu et p le rapport entre la masse d'une molécule et 
celle de l'ion mobile qu'elle contient. Cette formule <.st appliquée aux mesures 
de M. Ketteler sur la dispersion de l'hydrogène. 

G' 

Ensuite M. Lorentz considère un second i)hénomène où entre le quotient — ■> 

ru 

l'absorption produite par une masse gazeuse. Il suppose que, pendant le temps 
qui s'écoule entre deux chocs successifs d'une molécule, l'ion qu'elle contient 
puisse vibrer librement sous l'influence de la lumière incidente, mais qu'à 
chaque rencontre la vibration acquise soit profondément dérangée, l'énergie 
vibratoire étant ainsi convertie en chaleur. 

Dans la seconde partie du travail M. Lorentz discute principalement la lar- 
geur des raies d'absorption. La dilTérence des nombres de vibrations par unité 
de temps qui correspondent aux bords d'une raie est du même ordre de gran- 
deur que le nombre des chocs qu'une particule rayonnante subit pendant l'unité 
de temps. Quant à la position de la raie dans le spectre, elle doit se déplacer 
légèrement vers le rouge si l'on augmente la densité de la vapeur, mais, tant 
qu'il s'agit d'une absorption aussi faible que celle d'une flamme de sodium, le 
déplacement reste inférieur à la largeur de la raie. Il en est de même du 
déplacement qu'indiquent les formules pour le cas où la densité d'un gaz 
étranger mélangé à la vapeur absorbante serait augmentée; donc la théorie 
mathématique développée par l'auteur ne suffit pas encore à rendie compte 
des observations de M. Ilumphreys sur l'influence de la pression sur la position 
des raies spectrales. 



WytJioff' [\).-A.). — Un système d'opérations dans l'espace à 
quatre dimensions analogues aux qualernions de Hamilion. 

(520-53o). 

Un planiverteur, ou vecteur tout court, est une partie limitée d'aire donnée 
d'un plan, déterminé de position dans l'espace à quatre dimensions, et dont le 
contour est parcouru dans un sens déterminé. Ainsi deux vecteurs sont égaux 
s'ils ont même aire, s'ils se trouvent dans le même plan ou en des plans par- 
faitement parallèles et si leurs contours sont parcourus dans le même sens. Des 
vecteurs égaux ont des projections égales sur un plan quelconque. La somme 
de plusieurs vecteurs n'est, en général, pas réductible à un vecteur unique. En 
effet, si OX-(i = i, 2, 3, 4) représentent quatre axes perpendiculaires entre 
eux et qu'on désigne par P,j l'unité de vecteur située dans le plan X,0\j, 
l'ordre des indices indiquant le sens de ce vecteur, la décomposition d'un vec- 
teur a suivant les six plans coordonnés X^OXj correspond à la formule 

* =«2.l/'-.3+«:ii/>'3|-t- «12/^1:+ «11 /'n + «'2',/':i + «:u/'30 



lUiVUi; DKS l'UBLICA 1 IONS. 119 

où l'on a toujours la relation 

^13*^14 -1- fïji <3^j "t- ûti^ajj = o. 
Donc la composition de plusieurs vecteurs a mène au résultat 

A:3/>2,-f- A3i/?j,-î- Ai.jPpH-. . ., 

où \,|,. remplace -a-^ et en général les six quantités A,j. ne satisfont pas à la 
relation 

-^23 ^M -*- ^31 ^2i + -^12 -^24 = «• 

La réduction d'une somme de vecteurs à deux vecteurs situ('ts en deux plans 
différents est possible d'une infinité de manières. Au contraire celte somme 
se réduit d'une manière unique à un hivecleui\ c'est-à-dire à la somme de 
deux vecteurs situés en deux plans parfaitement rectangulaires l'un à l'autre. 
Seulement en deux cas la réduction à un bivecteur est indéterminée; dans le 
premier cas on a A23= A,,, Aj,.^ A,,, A,o= A,, et dans le second A„3= — A;,, 
A3, = — A,,, A, 2 = — A3,. Dans ces deux cas chaque décomposition de la somme 
en deux vecteurs mène à deux vecteurs d'aire égale. Donc l'auteur parle de 
bivecteurs isocèles et bien de bivecteurs isocèles dexlrogjres dans le premier 
cas et de bivecteurs isocèles léviogyres dans le second. D'un bivecteur isocèle le 
couple de plans est indéterminé. 

Ensuite l'auteur s'occupe d'o|)érations scalaires et vectorielles des bivecteurs. 
Les opérations scalaires n'affectent pas le couple des plans du bivecteur. On y 
range d'abord les variations proportionnelles des deux comnosantes, accom- 
pagnées ou non d'un changement «le signe; ces scalaires s'expriment par des 
nombres positifs ou négatifs. Ensuite l'opération qui transporte chacune des 
deux composantes dans le plan de l'autre composante est une opération sca- 
laire; cela est possible de deux manières, si toutefois on introduit la restriction 
que chacune des composantes transportées doit occuper une même position par 
rapport à la composante originale. Si h indique une de ces deux opérations, 
— h indique l'autre. Donc l'opération scalaire la plus générale peut être mise 
dans la forme p -h qh. 

Les opérations vectorielles changent un bivecteur en un autre situé dans un 
couple de plans coupant orthogonalement les plans du bivecteur original. On 
peut s'imaginer que cette opération s'effectue à l'aide d'une révolution par un 
angle droit autour d'un plan contenant un des angles plans des deux bivecteurs, 
suivie d'une opération scalaire; la révolution qui transporte le bivecteur donné 
dans les plans du second bivecteur s'appelle le verseur^ l'opération scalaire 
complétante s'appelle le tenseur. 

Enfui l'auteur étudie les biquaternions, représentés par 

q = aff-h bfjh -i- {ai^ bji) i --- {a^-^ b-.h )j -h {a^-h b^^/i) k, 

qui permettent de transformer deux bivecteurs quelconques donnés l'un dans 
l'autre. Il considère des sommes de biquaternions conjugués et indique le rap- 
port entre ses propres recherches et la théorie de Clifford. 

Pour plus de détails on conseille la thèse hollandaise de I\I. ^^ ythoff inti- 
tulée : Le biquaternion comme opération dans l'espace à quatre dimensions 
(Amsterdam, Ipenbuur et van Sciduui, 1898). 



i6o SECONDii l'AUTlK. 



Tomo VII; mai 1898-avril 1899 {'). 

Sclioute [P. -IL). — La représenlalion cjclographique des cercles 
de Joachimslhal. (6-12). 

Dans sa Cyklographie M. W. Fiedier de Zurich a développé une théorie 
d'après laquelle un cercle (luelconque du plan est représenté par les deux 
points de l'espace qui se projettent orthogonalement sur ce plan au centre du 
cercle et qui se trouvent de part et d'autre de ce plan à une dislance égale au 
rayon du cercle. D'après celle théorie le réseau des cercles qui passent par un 
point P est représenté par un cône de révolution dont P est le sommet et dont 
les génératrices font avec le plan des angles de 45°; tandis que les cercles d'un 
réseau général sont représentés par un hyperboloïde de révolution dont la 
courbe méridienne est une hyperbole équilatère et bien un hyperboloïde à une 
ou à deux nappes à mesure que le cercle coupant tous les cercles du réseau 
sous des angles droits est réel ou imaginaire. Et les cercles d'un faisceau y 
sont représentés par une hyperbole équilatère dont l'axe réel ou l'axe trans- 
verse est normal au plan des cercles à mesure que les deux points de base du 
faisceau sont réels ou imaginaires; si ces deux points coïncident, cette hyper- 
bole dégénère en deux droites. 

L'application de cette théorie au groupe doublement infini des cercles de 
Joachimslhal d'une conique forme le sujet de cette Communication. 

D'après le théorème de Joachimsthal complété par Laguerre les cercles qui 
passent par les triples de points d'une ellipse qui sont conormaux avec un 
point donné A de cette courbe, forment un faisceau, dont le point A' diamé- 
tralement opposé de A et la projeclion 0„' du centre O sur la tangente t^' en A' 
sont les deux points de base. Ainsi la surface qui forme la représentation des 
cercles de Joachimsthal peut être engendrée parle mouvement d'une hyperbole 
équilatère variable dont l'axe réel est toujours normal au plan de l'ellipse. Si 
le point A parcourt l'ellipse, l'axe transverse de cette hyperbole qui bis.eecte 
rectangulairement la distance A'O^' des points de base du faisceau de cercles, 
reste toujours normal à une ellipse e' homolhétique et concentrique à l'ellipse 
donnée s, dont les axes sont a et b, si ceux de l'ellipse donnée sont désignés 
par 2a et 26. De celte remarque découle qu'un point quelconque P du plan 
est la projection de quatre couples de points-image, de manière q>ie la surface- 
image est du huitième ordre. En effet, un calcul assez simple fait trouver son 
équation dans la forme 

4a-^- 4^'.'''' _ 

( a- 4- a- y (a- 4- b-)- ^ ' 

où u- remplace a:- + y-— --, l'ellipse donnée étant représentée par 



(') Dorénavant l'Acadéiriie publie en même temps une traduction anglaise des 
Mémoires parus dans le Verslag sous le titre Proceedings of the Meetings, etc. 
Les numéros des pages de ce compte rendu-ci se raijportenl toujours à l'édition 
originale. 



lUiVUli DliS PUBLICATIONS. iGi 

De la suifacc-im;ige le ccn-Ie crinlcrsecLion du cùnc m- = o avec le pian à 
l'infini est une courhe quadruple; à côté de celle courbe quadruple elle con- 
tient deux coniques doubles et huit droites, tandis que les sommets de l'ellipse 
donnée e en sont des points doubles. Le contour apparent de la surface sur le 
plan de s est formé par la développée de l'ellipse s'. 

A l'aide de la surface-image on trouve que le système doublement infini des 
cercles de JoacliimsLlial a les caractéristiques 4> 8» '6, c'est-à-dire que 4 '''^ 
ces cercles passent par deux points donnés, que 8 de ces cercles passent par un 
point donné et touchent une droite flonnée, que i6 de ces cercles touclicni deux 
droites données. 

Si la conique donnée est une hyperbole on trouve un résultat tout à fait 
analogue; seulement dans le cas d'une parabole la surface-image se simplifie 
au cône de révolution u- = o, dont le sommet de la parabole forme le sommet, 
tous les cercles de Joachimsthal passant par ce point. 

Lorentz [H. -A.). — Considérations sur l'influence d'un champ 
magnétique sur l'émission de la lumière, (i 1 3-122). 

Les expériences de M^L Cornu, Michelson, Preston, Becquerel et Dcslandrcs 
ont prouvé que, dans bien des cas, la théorie élémentaire bien connue de 
l'efTet Zeeman est insuffisante. En attendant que de nouvelles hypothèses nous 
viennent fournir une explication de l'ensemble des phénomènes, il y a intérêt 
à examiner les conséquences auxquelles on peut arriver indépendamment de 
toute hypothèse spéciale sur le mécanisme de la radiation. C'est au moyen de 
considérations mathématiques très générales sur la symétrie matérielle dont il 
s'agit, que l'auteur démontre les théorèmes suivants : 

1° Dans les expériences où la direction de la radiation coïncide avec celle 
des lignes de force, la lumière qu'on trouve dans un point délcrminé du spectre 
ne peut jamais être polarisée rectilignement ou elliptiquement. Si elle présente 
une polarisation, celle-ci doit être circulaire, complète ou bien partielle. Le 
sens de cette polarisation se renversera avec le champ magnétique. 

2° Si, au contraire, on examine la lumière émise perpendiculairement aux 
lignes de force, et étalée de nouveau en un spectre, on ne trouvera jamais une 
polarisation circulaire ou elliptique. Il ne peut y avoir qu'une polarisation 
rectiligne dans un plan perpendiculaire ou parallèle